焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用

2 2 2

2(a -C ) 2b 1 COST 1 COST

由任意三角形的面积公式得:

2 e

S

,F 1PF 2 = b tan 2

典题妙解

△ F i PF 2的面积.

y

1 中，a =10,b =8,c =6,而 J - 60 .记 | PR

几，| PF 2 |二 r 2.

64

点P 在椭圆上,

-由椭圆的第一定义得：r 1 r 2 =2a=20.

例1 若P 是椭圆

100

F 2是其焦点，且—FfF ? =60，求

2

S..R PF 2

- 2 r 1r 2 Sin 71 - b

1 COST

e e

2sin COS — 2 2 二 b 2 2COS 2

-

2

e tan —.

2 同理可证，在椭圆 2

2

y- —1(

b

a >

b >0) 中，公式仍然成立.

解法一：在椭圆

100 即 4a 2 -2r 1r 2(1 COST ) = 4c 2.

2

2

定理 在椭圆 写•爲二1 ( a > b > 0)中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任

,, 2 2 2

在厶F |PF

2中，由余弦定理得：r i

r 2 -2r i r 2cos v - （2c ）.

配方，得：（n 亠 r 2 ）2 —3「订2 =144.

256 .400 一3叩2 =144.从而 吋2二已

3

.Sr 1PF^b 2tan

64tanBO 、6^

2 3

| PF i | | PF 2 |

A. 3 3

7 ,贝y cos 二二 PF1 PF2.

| PF 1 | ■〔 PF 2 |

2

9 S.^PF ? - b tan 2 故选

答案A.

= 9tan30' -3.3.

点 P 到 x 轴的距离为 h ,则 S.F I PF 2 二 b 2tan 寸=9tan45 =9 ,又 S FPF2

解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了, 两个解法的优劣立现!

例2 已知P

2

2

是椭圆—1上

25 9

的点，

F 1、 F 2分别是椭圆的左、右焦点，若

PF 1 PF 2 则厶F 1PF 2的面积为（

2 2 例3（ 04湖北）已知椭圆 —•厶=1的左、右焦点分别是 16 9 F i

、

F 2 ,点P 在椭圆上.若P 、F 1、

F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到x 轴的距离为（ 9 A.—

5

9・

7

B.

7

C. 解：若已或F 2是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长 b 2

若P 是直角顶点，设

1

S.F |PF 2 二 2「1r 2 Sin 71

64.3

x 2

解法二：在椭圆 一

100

2

計中，b 2=64，而—a

B. 2 3

解：设-F 1PF 2

(2c) h = 7h,

2

一 9 7 .、.7h =9 , h

.故答案选D.

7

金指点睛

2 2

y x

1. 椭圆

1上一点P 与椭圆两个焦点 F i 、F 2的连线互相垂直，则厶F 1PF 2的面积为（）

49 24

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

X 2

2

— 一

2. 椭圆

y = 1的左右焦点为F i 、F 2， P 是椭圆上一点，当厶F i PF 2的面积为1时，PF i 卩F 2

4

的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

2

3. 椭圆

y 2 =1的左右焦点为F i 、F 2，P 是椭圆上一点，当厶F 1PF 2的面积最大时，PF i 卩F 2

4

的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. - 2

X 2 2

4•已知椭圆 — y -1 （ a > 1）的两个焦点为 F i 、F 2, P 为椭圆上一点，且• F i PF 2=60 ,

a

则| PF i | |PF 2啲值为（

）

1 B.-

3

F i 、F 2为焦点，点P 在椭圆上，直线PF i 与PF 2倾

斜角的差为90 , △ F 1PF 2的面积是20,离心率为

PF 1 PF o

1

6.已知椭圆的中心在原点，F 1、F 2为左右焦点，P 为椭圆上一点，且 --

，△ F 1

PF 2

— |PF i |-|PF 2|

2

—

4 3

的面积是.3，准线方程为x

，求椭圆的标准方程.

3

答案

1.解： F 1PF 2 - v -90 ,b 2

=24 ,

故答案选D.

/

a

2

日 日 日 皿 r --—'

5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴,

二 b tan 24tan45 = 24.

2