高考数学复习：基本不等式

＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3
＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x， 即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)的最大值为－1.
(3)易知函数 y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，
所以 A(－3，－1)．又因为点 A 在直线mx ＋ny＝－1 上，所
当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·10x0＝35－
20＝15， 此时，当且仅当 x＝1x00时，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元． ∵9<15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生 产中所获利润最大，最大利润为 15 万元．
[规律方法] 应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题 意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象 成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函 数的最大值或最小值；④写出正确答案．
三式相加，得 2bac＋cba＋acb≥2(a＋b＋c)，即bac＋cba＋acb≥
a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
考点二 利用基本不等式求最值
1 (1)当 0<x<12时，函数 y＝12x(1－2x)的最大值为 _____1_6__．
(2)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的最小值是( )
2.(1) 当
x＞0
时
，
f(x)
＝
2x x2＋1
的
最
大
值
为
_____1_____．
(2)若 x<3，则函数 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值为__－__1____．
(3)已知函数 y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若
点 A 在直线mx ＋ny＝－1 上，且 m，n>0，则 3m＋n 的最小
＋a1b＝4ab＋a1b，令 t＝ab，所以 f(t)＝4t＋1t .因为 f(t)在0，18 上单调递减，所以 f(t)min＝f18＝127，此时 a＝2b＝12.
考点三 利用基本不等式解决实际问题
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创 业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成 本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万 元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产 量不小于 8 万件时，W(x)＝6x＋1x00－38(万元)．每件产品 售价为 5 元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部 售完．
以m3 ＋n1＝1.
所以
3m
＋
n
＝
(3m
＋
n)·m3 ＋n1
＝
10
＋
3m n
＋
3·3mn＝16，当且仅当 m＝n 时，等号成立，所以 3m ＋n 的最小值为 16.
(4)因为 a>0，b>0，1＝a＋2b≥2 2ab，所以 ab≤18，当且 仅当 a＝2b＝12时等号成立．又因为 a2＋4b2＋a1b≥2a·(2b)
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析 式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利
润最大？最大利润是多少？ [解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收 入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
[规律方法] 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足 的三个条件：一正二定三相等． (1)“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之 积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的 和转化成定值；
(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到， 只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．
A．6＋2 3D
B．7＋2 3
C．6＋4 3
D．7＋4 3
(3)若两个正实数 x，y 满足2x＋1y＝1，并且 x＋2y>m2＋2m
恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋D∞)
C．(－2，4
D．(－4，2)
[解析] (1)∵0<x<12，∴1－2x>0，
“＝”．
∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立． 法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b＝1＋aa＋bb＋a1b＝1＋a2b，
∵a，b 为正数，a＋b＝1，
∴ab≤a＋2 b2＝14，当且仅当 a＝b＝12时取“＝”．
于是a1b≥4，a2b≥8，当且仅当 a＝b＝12时取“＝”．
1.设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a ＋b＋c. 证明：∵a，b，c 都是正数，∴bac，cba，acb都是正数． ∴bac＋cba≥2c，当且仅当 a＝b 时等号成立，cba＋acb≥2a， 当且仅当 b＝c 时等号成立，acb＋bac≥2b，当且仅当 a＝c 时等号成立．
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y_____时，x＋y 有___最__小_____值是___2___p____．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y_____时，xy 有___最__大_____值是____p4_2_____．(简记:和定积最大)
所以 3a＋4b＝ab，故4a＋3b＝1.
所以 a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋4ab＋3ba≥7＋2
＋4 3，当且仅当4ab＝3ba时取等号．故选 D.
4ab·3ba＝7
(3)x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝2＋4xy＋xy＋2≥8，当且仅当4xy＝
xy，即 x＝2y 时等号成立．由 x＋2y>m2＋2m 恒成立，可知 m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2.
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116.
ab>0， (2)由题意得ab≥0，
所以a>0，
3a＋4b>0， b>0.
又 log4(3a＋4b)＝log2 ab，
所以 log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
3.某化工企业 2014 年年底投入 100 万元，购入 一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此 外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元， 由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万 元．设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单 位：万元)． (1)用 x 表示 y；
∴1＋1a1＋1b≥1＋8＝9，
当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
在本例条件下，求证1a＋1b≥4. 证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4， 当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
∴1a＋1b≥4.
[规律方法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本 不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有： 拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换 法等．
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：1＋1a1＋1b≥9.
[证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.
∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
－13x2＋4x－3，0<x<8. 所以 L(x)＝
35－x＋1x00，x≥8.
(2)当 0<x<8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元，
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更
换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的
污水处理设备．
解：(1)由题意得，y＝100＋0.5x＋（2＋x 4＋6＋…＋2x）， 即 y＝x＋1x00＋1.5(x∈N*)． (2)由基本不等式得：
y＝x＋1x00＋1.5≥2 x·10x0＋1.5＝21.5，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时取等号． 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备．
值为___1_6____．
(4)已知正实数 17
a，b
满足
a＋2b＝1，则
a2＋4b2＋a1b的最小
值为___2_____．
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号． (2)∵x<3，∴x－3<0， ∴3－x>0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：_a_>_0_，__b_>__0_． (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝___b____时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为____2______，几何
平均数为_____a_b____，基本不等式可叙述为：两个正实数