初中数学《等腰三角形》公开课优质课PPT课件
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等腰三角形全国优质课一等奖完美PPT课件
20
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
等腰三角形课件PPT
等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
课件《等腰三角形》优质PPT课件_人教版1
∴BF=CF（三线合一）
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 AB
∴BF=CF（三线合一）
C BD F E
分析 :
∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
• 抓住图形对称性,巧 从而AD是底边ＢＣ上的 高 ，
为______ __。 由于射线ＤB的像是射线ＤC 射线ＤC的像 ⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
2.3 等腰三角形
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
想一想:
等腰三角形ABC，其中 AB=AC 作
Δ ABC顶角的平分线AD并以AD对折
你会发现什么? 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
10 cm 或 11 cm
AB＝AC 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
10 cm 或 11 cm
∠B ＝ ∠C.
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
10 cm 或 11 cm
BD＝CD ∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
10 cm 或 11 cm 1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
A
A
A
角平 分线 1 2
高线
中线
B D CB D C B D C
三条边都相等的三角形 叫做等边三角
形；它是特殊的等腰三角形 Ａ
Ｂ
Ｃ
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件(共28张PPT)
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、 角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°,
则∠B =
；
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B,
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成等边对等角）
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 作BC边上的中线AD 作顶角的平分线 AD
归纳总结
A等腰三角形常见辅助线A NhomakorabeaA
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 的中线AD
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
接求出等腰三角形的面积。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
《等腰三角形的性质》优秀课件pptx
定义及特点定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
特点等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线；两腰相等，两底角相等。
与等边三角形关系区别等边三角形的三边都相等，三个角都是60度；而等腰三角形只有两边相等，两底角相等，顶角可以是任意角度（小于180度）。
联系等边三角形可以看作是特殊的等腰三角形，即当等腰三角形的顶角为60度时，它就变成了等边三角形。
03在建筑设计中，等腰三角形常被用于构建具有对称美的结构，如尖顶房屋、桥梁的支撑结构等。
建筑学在机械设计和制造中，等腰三角形的稳定性被广泛应用，如三脚架、起重机的支撑结构等。
工程学在解决一些实际问题时，等腰三角形可以作为数学模型，帮助我们理解和解决问题，如测量高度、计算角度等。
数学建模实际应用举例01等腰三角形定义有两边相等的三角形称为等腰三角形。
02两边相等定理内容等腰三角形的两个底角相等。
03定理证明方法通过构造中线或高，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
两角相等定理内容定理证明方法推论通过构造角平分线或中线，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
在等腰三角形中，若有一个角是60°，则这个三角形是等边三角形。
030201等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
对称性在等腰三角形中，若两条边相等，则对应的两个角也相等。
对称性推论1在等腰三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形是直角三角形，且直角在顶角处。
对称性推论2在等腰三角形中，若底边两端点到对称轴的距离相等，则这两个点是底边的两个三等分点。
对称性推论3对称性及其推论两条边相等根据等腰三角形的定义，若一个三角形有两条边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
两个角相等等腰三角形的两个底角相等，因此若一个三角形有两个角相等，则可根据此性质判定该三角形为等腰三角形。
2.2 等腰三角形 课件(共24张PPT) 浙教版 八年级上册
活动二：认识等腰三角形
A DE
求证：等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， CD，BE分别是腰AB，AC上的中线.
求证：BE=CD
B
C
活动二：认识等腰三角形
证明：∵CD，BE分别是AB，AC上的中线，
A
∴AD=
1 2
AB
，AE=
1 2
AC，
DE
∵AB = AC， ∴AD = AE.
又∵ ∠A = ∠A，
B
C
∴△ABE ≌△ACD(SAS)，
∴BE =CD.
活动二：认识等腰三角形
已知线段a，b (如图）,
a
用直尺和圆规作等腰三角形ABC.
b
使AB=AC= b，BC= a .
A
如图所示，
bb
△ABC即为所求作的三角形。
B a CE
活动三：找出等腰三角形
C3 C1 C4
如图，在格点中找一点C，
∴△ADE是以直线AP为对称轴的轴对称图形，
C ∴点D和点E关于AP对称.
活动二：认识等腰三角形
A
如图，在△ABC中，AB=AC，
AP是△ABC的角平分线。
点D、E分别是AB，AC上的点，
D
E
且AD=AE.
（3）DE与BC平行吗？请说明理由。 BP C
活动二：认识等腰三角形
A D BP
解:（3）DE平行于BC，理由如下：
P3 P5
C
课堂小结
轴对称图形
特殊：等边三角形
概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形
对称轴：1条或3条
找等腰三角形
位置分类 上
《等腰三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (2)
球 ,小杰比张明多投进2个 ,三人平均每人投进14个球.问小杰和小
明各投进多少个
2x 12 14
设第|一次射击的成绩为x个 , 可列方程为3
0.8x72
观察你所列的方程 ,这些方
340 1 x500 10.33
程之间有什么共同的特点
★方程两边都是整式；
?
2x 12 14 3
★方程中只含有一个未知数； ★未知数的指数是一次 .
的一个较小的取值范 围 ,逐一将这些可取
数式的值，如下表：
3
的值代入方程进行尝
x
13 14
15 16 17 18 …
试检验.能使方程左右 两边相等的未知数的
值就是方程的解.这种
2x 12 3 8 4 0
3
33
14
尝试检验的方法是解 决问题的一种重要的 方法.
由上表知，当x＝15时，2 x 12 3
●●
●
●
形
状 等边 等腰
等边
等腰
三角 三角
三角
三角
形
形
形
形
等腰 三角 形
等边 等腰 三角 三角 形形
方程小史
"方程〞一词来源于我国古算书<九章算术>.在这部 著作中 ,已经会列一元一次方程.
宋元时期 ,中|国数学家创立了 "天元术〞 ,用天元 表示未知数进而建立方程.这种方法的代表作是数学 家李冶写的<测圆海镜>书中所说的 "立天元一〞相当 于现在的 "设未知数x〞.
D
线段AD与AE重合 ,所以点B ,C关于直线AP对称.点
D ,E也关于直线AP对称.所以BC ⊥ AP , DE⊥ AP ,
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
《等腰三角形》PPT教学课文课件
• R·八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
目录
01
02
03
04
05
复
探
巩
课
作
习
索
固
堂
业
导
新
练
小
布
入
知
习
结
置
复习导入
什么是三角形？ 什么是等腰三角形？
探索新知
知识点1 探索并证明等腰三角形的性质 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把
它展开，得到的△ABC 有什么特点？
腰三角形？
（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三
角形吗？
解：（1）△ABC，△ADE，△BDF， △CEF，△BCF都是等腰三角形.
巩固练习
（2）△BDF和△CEF是等腰三角形. ∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF. 又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF， ∠EFC=∠BCF=∠ACF， ∴DF=DB，EF=EC. ∴△BDF和△CEF是等腰三角形.
等（简写成“等角对等边”）．
A
符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ AB =AC．
B
C
探索新知
知识点4 等腰三角形判定的应用
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
1
求证：AB =AC.
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它 的对称轴．
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
目录
01
02
03
04
05
复
探
巩
课
作
习
索
固
堂
业
导
新
练
小
布
入
知
习
结
置
复习导入
什么是三角形？ 什么是等腰三角形？
探索新知
知识点1 探索并证明等腰三角形的性质 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把
它展开，得到的△ABC 有什么特点？
腰三角形？
（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三
角形吗？
解：（1）△ABC，△ADE，△BDF， △CEF，△BCF都是等腰三角形.
巩固练习
（2）△BDF和△CEF是等腰三角形. ∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF. 又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF， ∠EFC=∠BCF=∠ACF， ∴DF=DB，EF=EC. ∴△BDF和△CEF是等腰三角形.
等（简写成“等角对等边”）．
A
符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ AB =AC．
B
C
探索新知
知识点4 等腰三角形判定的应用
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
1
求证：AB =AC.
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它 的对称轴．
1.1《等腰三角形》课件(共25张PPT)
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300. B
∴BC= AB.(在直角三角形中,
300角所对的直角边等于斜边的一
半).
A
300
C
推论：
1: 3 :2
学无止境
已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求 :腰上的高.
D
2a
A
2a
B
150
150
C
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一
C
(有一个角是600的等腰三角形是等
边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一
驶向胜利 的彼岸
命题的证明
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边)B.
C
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形 B 600
又∵ DE//BC， ∴∠ADE =∠B=60°
∠AED =∠C=60° ∴∠ADE =∠AED
B
C
∴ △ADE是等腰三角形 又∵ ∠ADE =60° △ABC是等边三角形
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（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什 么数量关系？并结合图②加以证明.
A
A
A
D
P
C
E
B
①
P D
C
EB
②
P
C
BE
③
D
操作：在△ABC中，AC=CB=2，∠C=90°，将 一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中 点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边 分别交射线AC、CB于D、E两点.图①，②，③是 旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：
（2）当t取何值时，△PBQ是等腰三角形?
A
P
BQ
C
变式：已知如图，△ABC中， AB=AC=5cm， BC=6cm，动点P、Q同时从B、C两点出发，分别沿 BA、CB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当 点P到达点A时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s），解答下列问题：
（2）当t取何值时，△PBQ是等腰三角形?
A
否存在某一时刻t，使四边形
APQC的面积是△ABC面积的六
P
分之五？如果存在，求出相应的t
值；不存在，说明理由。
B MQ
C
操作：在△ABC中，AC=CB=2，∠C=90°，将 一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中 点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边 分别交射线AC、CB于D、E两点.图①，②，③是 旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：
A
P
BQ
C
变式：已知如图，△ABC中， AB=AC=5cm， BC=6cm，动点P、Q同时从B、C两点出发，分别 沿BA、CB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s， 当点P到达点A时，P、Q两点停止运动．设点P的 运动时间为t（s），解答下列问题：
（3）设四边形APQC的面积为y
（cm2），求y与t的关系式；是
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三
角形？若能，请指出所有情况（即写出△PBE为等
腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
A
A
A
D
P
P
P
D
C
E
B
①
C
EB
C
BE
③
D
别是AB，BC，AC上的点且BP=CQ，∠PQR=∠B，
试说明△PQR是等边三角形吗?
A
P
R
BQ
C
变式：已知如图，△ABC中， AB=AC=5cm， BC=6cm，动点P、Q同时从B、C两点出发，分别沿 BA、CB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当 点P到达点A时，P、Q两点停止运动，R是AC上的 点．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
如图，在△ABC中，AB=AC =5， A BC=6，求△ABC的面积.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D B
D
C
∵AB=AC，BC=6
∴BD=CD=3
∴AD= AC2 CD2 52 32 4
1
1
S
ABC
BC 2
AD
6 4 12 2
已知：如图，△ABC是等边三角形，点P、Q、R分
（1）当∠PQR=∠B时，△PQR是什么三角形呢?
A
P
R
BQ
C
变式：已知如图，△ABC中， AB=AC=5cm， BC=6cm，动点P、Q同时从B、C两点出发，分别沿 BA、CB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当 点P到达点A时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s），解答下列问题：