二综合法与分析法

所以(c－a)(c－b)＝c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋ c2－c>0，解得c<0或c>23(舍)．
所以－13<c<0，即1<a＋b<43.
分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特 点是利于思考，因为其方向明确，综合法的优点是条理 清楚、形式简洁．证明时常用分析法探路，综合法书写．
当且仅当x＝12时，(x＋y)max＝14，
1
1
所以ax＋y≥a4， ax＋y≥a8
当x＝12，y＝－14时取等号.①
又ax＋ay≥2 ax＋y(当且仅当x＝y取等号)，②
1
所以ax＋ay≥2a8.③
由于①，②等号不能同时成立，
1
所以③式等号不成立，即ax＋ay＞2a8成立．
故原不等式loga(ax＋ay)＜18＋loga2成立．
求证过程
实施一系 列的推出 或等价变 换
寻求结论 成立的充 分条件
求证目标
要求证的 结论
所需条件 全部成立
证题方向 由因导果 执果索因
若不等式a－1 b＋b－1 c＋c－λ a>0 在条件 a>b>c 时恒成
立，则λ的取值范围是________．
解析：不等式可化为a－1 b＋b－1 c>a－λ c.
因为 a>b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>0，所以
λ<aa－来自百度文库bc＋ab－－cc恒成立．
因为a－c＋a－c＝（a－b）＋（b－c）＋
a－b b－c
a－b
（a－b）b－＋（c b－c）＝2＋ab－－bc ＋ab－－bc ≥2＋2＝4.所 以λ<4.
答案：(－∞，4)
类型3 分析法与综合法的灵活运用 [典例3] 设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求 证：loga(ax＋by)＜18＋loga2. 证明：由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数． 欲证loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证ax＋ay＞2a18. 因为y＋x2＝0，0＜a＜1， 所以x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14.
归纳升华 1．综合法和分析法的比较． (1)相同点：都是直接证明． (2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表 达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索． 2．证明不等式的通常做法． 常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程．
[变式训练] 已知实数a，b，c满足c<b<a，a＋b＋c ＝1，a2＋b2＋c2＝1.求证：1<a＋b<43.
第二讲 证明不等式的基本方法
2．2 综合法与分析法
（第三学时）
[学习目标] 1.理解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特 点(重点)． 2．会用综合法、分析法证明不等式(重点、难点)．
综合法与分析法的比较
方法
证明的起 始步骤
基本不等 综合 式或已经
法 证明过的 不等式
分析 要求证的 法 不等式
证明：因为a＋b＋c＝1，所以欲证结论等价于1<1 －c<43，
即－13<c<0. 又a2＋b2＋c2＝1，则有
ab＝（a＋b）2－2 （a2＋b2）＝（1－c）2－2 （1－c2） ＝c2－c.①
又a＋b＝1－c.② 由①②得a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个 不等实根，从而Δ＝(1－c)2－4(c2－c)>0， 解得－13<c<1. 因为c<b<a，