一元一次方程奥数专练

第06讲 一元一次方程概念和等式性质考点·方法·破译1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．经典·考题·赏析【例１】 下面式子是方程的是( )A ．x ＋3B ． x ＋y ＜3C ．2x 2 ＋3 ＝0D ．3＋4 ＝2＋5【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x 2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C ．【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－13x ＝x ＋l ，④2x ＋y ＝3中方程的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( ) A ． 272＋x ＝13 (196－x ) B ． 13(272－x ) ＝196 –xC ．12×272 ＋x ＝196－xD ．13(272 ＋x ) ＝196－x03．根据下列条件列出方程：⑴3与x 的和的2倍是14 ⑵x 的2倍与3的差是5 ⑶x 的15与13的差的2倍等于1【例２】下列方程是一元一次方程的是( )A ．x 2－2x －3＝0 B ．2x －3y ＝4 C ．1x＝3 D ．x ＝0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D ．【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy ；④x ＝2；⑤3x ＝1；⑥3x x-＝4x ；⑦（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ；⑧ax ＋b 其中等式有___________个；一元一次方程有___________个． 02．（江油课改实验区）若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．－2C ．2D ．4 03．（天津）下列式子是方程的是( )A ．3×6＝ 18B ．3x －8 c ．5y ＋6 D ．y ÷5＝1【例3】若x ＝3是方程－kx ＋x ＋5 ＝0的解，则k 的值是( )A ．8B ．3C ．83-D ．83【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k ＋3 ＋5 ＝0，k ＝83故选择D ． 【变式题组】01．（海口）x ＝2是下列哪个方程的解( )A ．3x ＝2x －1B ．3x －2x ＋2 ＝0C ．3x －1 ＝2x ＋1D ．3x ＝2x －2 02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 03．（上海）如果x ＝2是方程112x a +=-的根，那么a 的值是( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．－604．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：(1)某数的3倍比这个数大4；(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？(3)一个商店今年8月份出售A 型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A 型电机多少台？【例4】 （太原）c 为任意有理数，对于等式12a ＝2×0.25a 进入下面的变形，其结果仍然是等式的是( )A ．两边都减去－3cB ．两边都乘以1cC ．两边都除以2cD ．左边乘以2右边加上c【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A ．【变式题组】01．（青岛）如果ma ＝ mb ，那么下列等式不一定成立的是( )A ．ma ＋1＝mb ＋1B ．ma −3＝mb −3C ．12-ma ＝12-mb D ．a ＝b 02．（大连）由等式3a −5 ＝2a ＋b 得到a ＝11的变形是( )A ．等式两边都除以3B ．等式两边都加上（2a －5）C ．等式两边都加上5D ．等式两边都减去（2a －5） 03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )A ．如果2x −3 ＝7，那么2x ＝7−xB ．如果3x −2＝x ＋l ，那么3x −x ＝1−2C ．如果－2x ＝5，那么x ＝－5＋2D ．如果－13x ＝1，那么x ＝－3 【例5】 利用等式的性质解下列方程： ⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －13x −5 ＝4 ⑴解：两边都减去7得 x ＋7 −7 ＝19 −7 合并同类项得 x ＝12⑵解：两边都乘以15-得x ＝ －6 ⑶解：两边都加上5得－13x −5＋5 ＝4 ＋5 合并同类项得－13x ＝9 两边都乘以－3得x ＝－27【解法指导】 要使方程x ＋7 ＝19转化为x ＝a （常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x ＝a 的形式． 【变式题组】01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v ，回来的速度是2v ，则他的平均速度为( )A ．122v v + B ．12122v v v v + C ．12122v v v v + D ．1212v v v v +02．（杭州）已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程2x −ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 03．（郑州）下列变形正确的是( )A ．由x ＋3＝4得x ＝7B ．由a ＋b ＝0，得a ＝bC ．由5x ＝4x －2得x ＝2D ．由6x＝0，得x ＝0 04．（南京）解方程2332x -= ( ) A ．同乘以23- B ．同除以32 C ．同乘以－32 D ．同除以32【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．解：设他存入的本金是x 元，则5个月的利息是2%×5x ＝0.1x 元，需交利息税0.lx ×20%＝0.02x 元，根据题意得：x ＋0. lx −0.02x ＝ 1080． 【变式题组】01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是( )A ．160元B ．128元C ．120元D ．8元 02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p 、q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l ．求代数式40p ＋l 0lq ＋4的值．【解法指导】用代入法可得到p 、q 的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．解：把x ＝l 代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 中必有一个数是偶数：(1)若p ＝2，则Sq ＝ 95，q ＝19，40p ＋l 01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；(2)若5q 为偶数，则q ＝2，p ＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l 0lq ＋4的值为2003.【变式题组】01．（广东省竞赛题）已知x ＝3x ＋1，则（64x 2 ＋48x ＋9）2009＝_______． 02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a 、b 、c 、d ，定义新运算：a b c d＝ ad − bc ，已知241x x-＝18，则x ＝( )A ．－1B ．2C ．3D ．4演练巩固 反馈提高01．下面四个式子是方程的是( )A ．3 ＋2 ＝5B ．x ＝2C ．2x −5D ．a 2 ＋2ab ≠b 2 02，下列方程是一元一次方程的是( )A ．x 2 −2x −3＝0B ．2x −3y ＝3C ．x 2−x −1＝ x 2＋1D ．110x-= 03．“x 的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )A ．12x ＝7−x B ．12x ＋7 ＝−x C ．12＋7 ＝x D ．12＝x ＋7 04．（石家庄）把1200g 洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g 外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg 洗衣粉，列方程为( ) A ．5x ＋15＝ 1200 B ．5x －15 ＝1200 C ．4x ＋15＝ 1200 D ．4（x ＋15)＝1200 05．在方程①3x −4 ＝7；②2x＝3；③5x −2 ＝3；④3（x ＋1）＝2（2x ＋1）中解为x ＝1的方程是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④06．如果方程2n ＋b ＝n −1的解是n ＝－4，那么b 的值是( )A ．3B ．5C ．－5D ．－1307．若“△”是新规定的某种运算符号，设a △b ＝ a 2 ＋b 则（－2）△x ＝10中x 为( )A ．－6B ．6C ．8D ．－808．（武汉）小刚每分钟跑am ，用6分钟可以跑完3000m ，如果每分钟多跑l 0m ，则可以提前1分钟跑完3000m ，下列等式不正确的是( )A ．(a ＋10)(b －1) ＝abB ．（a −10)(b ＋l ) ＝3000C ．30001b -＝a ＋10 D ．300010a +＝b −1 09．已知关于x 的方程(m ＋2)x m ＋4 ＝2m －1是一元一次方程，则x ＝_______．10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x −2＝ 10 ＋x 的解是_______． 11．（福州）已知34m −1＝34n ，试用等式的性质比较m 、n 的大小．12.（西宁）已知方程a −2x ＝－4的解为x ＝4，求式子a 3−a 2−a 的值．13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？培优升级 奥赛检测01．下列判断中正确的是( )A ．方程2x －3 ＝1与方程x (2x －3)＝x 同解，B ．方程2x －3 ＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解．C ．方程x (2x －3)＝x 的解是方程2x －3 ＝1的解．D ．方程2x −3 ＝1的解是方程x (2x －3)＝x 的解． 02．方程2009122320092010x x x ++•••+=⨯⨯⨯的解是( ) A ．2008 B ．2009 C ．2010 D ．201103．（江苏省竞赛题）已知a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax ＝0的解是x ＝l (2)方程ax ＝a 的解是x ＝l(3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)a x a =的解是x ＝±1 结论正确的的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．304．（“希望杯”邀请赛）已知关于x 的一元一次方程(3a ＋8b )x ＋7 ＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3−3 a 2−5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个 06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程5x -＋（x −5）＝0的解的个数为( )A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个07．若x ＝9是方程123x a -=的解，则a ＝______；又若当a ＝1时，则方程123x a -=的解是______． 08．方程1322035y y +--=的解是_____，方程()3115x x -=+的解是_____． 09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知39901995x + ＝1995，那么x ＝____． 10．（“希望杯”邀请赛试题）已知2x x =+，那么19x 99 ＋3x ＋27的值为____．11．（广西竞赛）解关于x 的方程x a b x b c x a cc a b++++++++＝－3． 12．a 为何值，方程()16326a x x a x +=--有无数个解． 13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m 本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k （是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？第07讲 一元一次方程解法考点·方法·破译1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用． 2．会用一元一次方程解决实际问题经典·考题·赏析【例１】解方程：5x ＋2＝7x －8【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．解：移项，得 5x －7x ＝－8－2 合并同类项，得 －2x ＝－10 系数化为1，得 x ＝5 【变式题组】01．(广东)关于x 的方程2(x －1)－a ＝0的根是3，则a 的值是（ ）A ．4B ．－4C ．2D ．－102．（陕西）如果a 、b 是已知数，则－7x ＋2a ＝－5x ＋2b 的解是（ ）A ． a －bB ． －a －bC ． b －aD ． b ＋a 03．解下列方程：⑴2x ＋3x ＋4x ＝18 (2)3x ＋5＝4x ＋1 【例２】解方程： 11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．解： 去括号，得 11－2x －2＝3x ＋8x －12 移项，得 －2x －3x －8x ＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x ＝－21系数化为1，得 1321=x 【变式题组】01．（广州）下列运算正确的是（ ）A ． －3（x －1）＝－3x －1B ． －3(x －1)＝－3x ＋1C ． －3(x －1)＝－3x －3D ． －3(x －1)＝－3x ＋302．(黄冈)解方程：－2(x －1)－4(x －2)＝1去括号结果，正确的是（ ）A ． －2x ＋2－4x －8＝1B ． －2x ＋1－4x ＋2＝1C ． －2x －2－4x －8＝1D ． －2x ＋2－4x ＋8＝1 03．（广州）方程2x ＋1＝3(x －1)的解是（ ）A ． x ＝3B ． x ＝4C ． x ＝－3D ． x ＝－4 04．解下列方程：⑴7(2x －1)－3(4x －1)＝5(3x ＋2)－1 (2)3(100－2x )＝400＋15x【例３】解方程：14126110312-+=+--x x x 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项解： 去分母时，得 4(2x －1)－2(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－12 去括号，得 8x －4－20x ＝6x ＋3－12 移项，得 8x －20x －6x ＝3－12＋4＋2 合并，得 －18x ＝－3系数化为1，得 61=x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤： （1） 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1． 这五个步骤要注意灵活运用．【变式题组】 01．（厦门）如果关于x 的方程5432bx a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是（ ） A ． b a 53>B ． a b 53≥ C ． 5a ≥3b D ． 5a ＝3b02．(银川)甲、乙两船航行于A 、B 两地之间，由A 到B 航行的速度为每小时35千米，由B 到A 航速为每小时25千米，今甲船由A 地开往B 地，乙船由B 地开往A 地，甲先航行2小时，两船在距B 地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x 千米，根据题意可列方程（ ）A ．22512035120+=-xB ．25120235120=+-x C ．23512025120+=-x D ．35120225120=+-x 03．（四川）解方程：2121364+=--x x04．（大连）若方程12151221-=--+x x x 与方程x ax a x 23262-=-+的解相同，求a a a 22-的值． 【例４】解方程：35.0102.02.01.0=+--x x【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．解：原方程变形为：35.010)1(1002.0100)2.01.0(100=⨯--⨯-x x即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3去括号，得 5x －50－2x －2＝3 移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2 合并，得 3x ＝15 系数化为1，得 x ＝5 【变式题组】01．对方程7.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（ ） A ． 72231+=-+x x x B ． 722031+=-+x x x C ． 7223110+=-+x x x D ． 72231010+=-+x x x 02．（郑州）解方程：2.15.023.01=+--x x【例５】解方程：14981522097211012-+-=-+-x x x x 【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．解： 移项得20971521498211012---=---x x x x 两边分别通分得： 602535427x-=即 125761x-=解得 x ＝1【变式题组】01．(大连)解方程7)3045(54=-x ，较简便的是（ ） A ．先去分母 B ．先去括号 C ． 先两边都除以54 D ． 先两边都乘以5402．解方程：18]6)432(51[7191=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++x03．解方程：6422012621=++++x x x x x【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．（1） 小明拿到了哪3张卡片？（2） 你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．解：设小明拿到的三张卡上的数字为x ,x ＋6,x ＋12 （1） 依题意得： x ＋x ＋6＋x ＋12＝342合并，得 3x ＋18＝342 移项，得 3x ＝324 系数化为1，得x ＝108答：这三个数为108，114，120（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是 （3） 假设 x ＋x ＋6＋x ＋12＝86合并，得 3x ＋18＝86 移项，得 3x ＝324系数化为1，得 368=x 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为368． 【变式题组】01…⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？× × ×× ×【例７】（河南省竞赛题）若关于x 的方程9x －17＝kx 【解法指导】把x 的值用k 的代数式表示，利用整除性求出k 的值. 解：∵ 9x －17＝kx ∴ (9－k )x ＝17∴ kx -=917∵ x 为正整数，∴9－k 为17的正整数因数 ∴ 9－k ＝1 或 9－k ＝17∴ k ＝8 或 k ＝－8 故k ＝±8 【变式题组】01．(成都)要使一元一次方程－kx ＝k 的解为x ＝－1，必须满足的条件是（ ）A ．可取一切数B ． k ＜ 0C ． k ≠0D ． k ＞002．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝___________演练巩固·反馈提高01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）A ． 40元B ．35元C ． 28.9元D ． 5.1元02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（ ）A ． 2x ＋4×20＝4×340B ．2x －4×20＝4×340C ． 2x ＋4×72＝4×340D ． 2x －4×20＝4×34003．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A ． 600×0.8－x －20 B ．600×0.8＝x －20 C ．600×8－x ＝20 D ．600×8＝x －20 04．(长沙)一轮船往返于A 、B 两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ） A ． 18千米/时 B ． 15千米/时 C ． 12千米/时 D ． 20千米/时 05．（武汉）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．72 D ． 72-06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x 元，则所列方程正确的是（ ） A ． x －5000＝5000×30.6% B ．x ＋5000×20%＝5000(1＋3.06%) C ． x ＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D ． x ＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%07．(南通)关于x 的方程mx －1＝2x 的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ． m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜2 08．若x ＝2不是方程2x ＋b ＝3x 的解，则b 不等于（ ）A ．21-B ．21 C ．2 D ．－209．（天津）若3223=+-k kxk 是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为x ＝_______ 10．(广东)若2x －1＝3,3y ＋2＝8，则2x ＋3y ＝_________11．(南京)x 为何值时，式子32-x 与式子13+-x满足下列条件： ⑴相等⑵互为相反数 ⑶式子32-x 比式子13+-x的值小112．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为x ； ⑵设个位数上的数为y .13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01cm ，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的43少0.34cm ，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）培优升级·奥赛检测01．（南昌）把a 千克的纯酒精溶在b 千克水里，再从中取b 千克溶液，在这b 千克溶液中含酒精的千克数为（ ）A ．aB ．b a b +2 C ．ba ab+ D ．ba b+2 02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）A ． 5x ＋4＝0 则5x ＝－4B ．52=y得y ＝10 C ．4)23(51=--y y 则42351=+-y y D ．3x ＝4则34=x 03．（第18届“希望杯”赛题）方程12007200535153=⨯++++xx x x 的解是x ＝____A ． 20072006B ． 20062007C ． 10032007D ．2007100304．(广西竞赛题)若方程(m 2－1)x 2－mx ＋8＝x 是关于 x 的一元一次方程，则代数式m 2008－|m －1|的值为（ ）A ． 1或一1B ．1C ． －1D ．2 05．如果2005－200.5＝x －20.05，那么x 等于（ ）A ．1814.25B ． 1824.55C ．1774.45D ．1784.45 06．若x ＝0是关于x 的方程x －3n ＝1的根，则n 等于（ ）A ．31-B ．31 C ．3 D ．－307．（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米A ． 2070B ． 1575C ． 2000D ．150008．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ）A ．0.5小时B ．1小时C ． 1.2小时D ．1.5小时09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本．10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．11．（宁波）已知关于x 的方程332-=-bx x a 的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0,求代数式abb a -的值．12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？第08讲 实际问题与一元一次方程考点·方法·破译1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型• 2．熟练掌握运用方程解决实际问题•经典·考题·赏析【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝商品进价商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）解：设原进价为x 元，根据题意得① 当利润为50%时：（1+50%)x ＝400 解得x ＝3800② 当利润为100%时：（1+100%)x ＝400 解得x ＝200所以：3800×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元） 答：应在240～320元范围内还价• 【变式题组】01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折•王波两次购物分别付款80元、252元•如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ） A ．288元 B ．322元C ．288或316元D ．332或363元02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元•为了扩大销售量把每件商品的售价降低百分之x 出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x 等于（ ）A ．1B ．1.8C ．28D ．2903．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（ ）A ．26元B ．27元C ．28元D ．29元【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费•解：设中型车辆有x 辆，则小型车辆有(50－x )辆，根据题意得6x +4(50－x )＝230，解得x ＝15 50－x ＝35答：中小型车辆分别是15辆、35辆• 【变式题组】01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ） A ．144 人 B ．72人 C ．48 人 D ．36人02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ） A ．1支 B ．2支 C ． 3支 D ．4支【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行的时间为半小时•某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同•如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x +40)千米 根据题意得2160630=+x （x +40） 解得x ＝200答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米•【变式题组】01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ）A ．10千米B ．20千米C ．40千米D ．50千米02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km 的车费为5元），3km 后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（ ）A ．8kmB ．9kmC ．6kmD ．10km03．(南宁) 小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地二人都均速前进，已知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km ，到中午12时，二人又相距36km ，求A 、B 两地间的路程•【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m 2墙面•每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m 2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x 工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1•解：设每一名一级技工一天刷xm 2的墙面，则每名二级技工一天刷(x －10) m 2的墙面. 根据题意得8503+x ＝1040)10(5--x 解得x ＝122 则x －10＝122－10＝112答：每一名一级技工一天刷122m 2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m 2的墙面.【变式题组】01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20%，则两年后城市绿化面积是原来的（ ）A ．1.2倍B ．1.4倍C ．1.44倍D ．1.8倍02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的322/3要同时开甲、乙两龙的时间（ ） A ．38小时 B ．34小时 C ．4小时 D ．58小时 03．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程•解：设该队负x 场，则胜(x +2)场，平的场数为11－x －(x +2)＝ (9－2x )场根据题意得3(x +2)+1x (9－2x )＝18解得x ＝3 ∴9－2x ＝9－2×3＝3答：该队战平了3场.【变式题组】01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（ ）A ．3场B ．4场C ．5场D ．6场02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元•当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪种获利多？为什么？【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解•解：对方案一：获利为4500X 140＝630000(元)对方案二：15天细加工：6X 15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X 90+1000X 50＝725000(元)对方案三：设将x 吨蔬菜进行细加工，则(140－x )吨进行粗加工，根据题意得解得x ＝60 140－x ＝140－60＝80故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三【变式题组】01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小时•02.A 市和B 市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C 市10台，D 市8台，已知从A 市调一台到C 市和D 市的运输费分别为400元和800元；已知从B 市调一台到C 市和D 市的运输费分别为300元和500元•问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比•解：设站点每隔x 分钟开出一辆 根据题意，得121244x x -=-，解得x ＝6 答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆•【变式题组】01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x 米，以等速前进，它进入300米的隧道经历了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x •。