连续系统的数学模型
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
信号与系统复习题
信号与系统期末复习题一、填空题1.描述线性非时变连续系统的数学模型是_微分方程______________________________。
2.离散系统的激励与响应都是___离散时间信号_____。
4.请写出“LTI ”的英文全称___线性时不变____。
5.若信号f(t)的FT 存在，则它满足条件是_____________________。
8、周期信号的频谱是离散的，频谱中各谱线的高度，随着谐波次数的增高而逐渐减小，当谐波次数无限增多时，谐波分量的振幅趋向于无穷小，该性质称为__收敛性____ 9、若某信号)(t f 的最高频率为3kHz ，则)3(t f 的奈奎斯特取样频率为 18 kHz 。
10、某系统的频率特性为23)(3)(2+++=ωωωωj j j j H ，则其冲激响应为h(t)= )()3(2t e e tt ε--- 。
11、=*)(3)(2n n n n εε )()23(11n n n ε++- 。
12、已知1)(2-=z z z F ，则f(n)= )(])1(1[21n nε-- 。
13、某LTI 连续系统的输入信号为)()(2t e t f t ε-=，其冲激响应)()(t t h ε=，则该系统的零状态响应为)(n y zs 为)(]1[212t e t ε-- 。
14．（4分）()()u t u t *= t u (t )[][]u n u n *= (n +1)u [n +1]=(n +1) u [n ]15．（4分）已知信号f （t ）= Sa （100t ）* Sa (200t )，其最高频率分量为f m = 50/π Hz ，奈奎斯特取样率f s = 100/π Hz 16．（4分）已知F )()]([ωj F t f =，则F 3[()]j tf t e = [(3)]F j ω-F()(2)n f t t n δ∞=-∞⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑= 1[()]2n F j n ωπ∞=-∞-∑17．（2分）设某因果离散系统的系统函数为az zz H +=)(，要使系统稳定，则a 应满足 | a | < 118．（2分）已知某系统的频率响应为3()4j H j e ωω-=，则该系统的单位阶跃响应为 4 u (t -3)19．（3分）已知某系统的系统函数为2()1H s s =+，激励信号为()3cos 2x t t =，则该系统的稳态响应为()2(arctan 2)y t t =- 20．（3分）已知)2)(21()(--=z z z z X ，收敛域为221<<z ，其逆变换为 21()[]2[1]32n n u n u n ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦二、选择题1．连续信号)(t f 与)(0t t -δ的卷积，即=-*)()(0t t t f δ(a) )(t f (b) )(0t t f - (c) )(t δ (d) )(0t t -δ 2．连续信号)(t f 与)(0t t -δ的乘积，即=-)()(0t t t f δ(a) )()(0t t f δ (b) )(0t t f - (c) )(t δ (d) )()(00t t t f -δ 3．线性时不变系统的数学模型是(a) 线性微分方程 (b) 微分方程 (c) 线性常系数微分方程 (d) 常系数微分方程4．若收敛坐标落于原点，S 平面有半平面为收敛区，则(a) 该信号是有始有终信号 (b) 该信号是按指数规律增长的信号 (c) 该信号是按指数规律衰减的信号(d) 该信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间n t t ，成比例增长的信号 5．若对连续时间信号进行频域分析，则需对该信号进行 (a) LT (b) FT (c) Z 变换 (d) 希尔伯特变换 6．无失真传输的条件是(a) 幅频特性等于常数 (b) 相位特性是一通过原点的直线 (c) 幅频特性等于常数，相位特性是一通过原点的直线(d) 幅频特性是一通过原点的直线，相位特性等于常数 7．描述离散时间系统的数学模型是(a) 差分方程 (b) 代数方程 (c) 微分方程 (d) 状态方程 8．若Z 变换的收敛域是 1||x R z > 则该序列是(a) 左边序列 (b)右边序列 (c)双边序列 (d) 有限长序列 9．若以信号流图建立连续时间系统的状态方程，则应选(a) 微分器的输出作为状态变量 (b) 延时单元的输出作为状态变量 (c) 输出节点作为状态变量 (d)积分器的输出作为状态变量 10．若离散时间系统是稳定因果的，则它的系统函数的极点 (a) 全部落于单位圆外 (b) 全部落于单位圆上 (c) 全部落于单位圆内 (d) 上述三种情况都不对11、某LTI 系统的微分方程为)()(2)(t f t y t y =+'，在f(t)作用下其零状态响应为t e -+1，则当输入为)()(2t f t f '+时，其零状态响应为： (a) t e -+2 (b) t e --2 (c) t e -+32 (d)1 12、某3阶系统的系统函数为ks s s ks s H ++++=32)(23，则k 取何值时系统稳定。
自动控制原理考试填空题
自控原理填空题复习指南1.对于一个自动控制的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性、准确性。
2.反馈控制系统的工作原理是按偏差进行控制，控制作用使偏差消除或减小，保证系统的输出量按给定输入的要求变化。
3.系统的传递函数只与系统本身结构参数有关，而与系统的输入无关。
4.微分方程是时间域中的连续（填连续或离散）系统的数学模型，传递函数是复数域中连续（填连续或离散）系统的数学模型。
差分方程是时间域中的离散（填连续或离散）系统的数学模型，脉冲传递函数是z域离散（填连续或离散）系统的数学模型。
频率特性是频率域数学模型。
（此题11/12/13班只需了解连续部分）5.自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环、闭环、复合三种。
6.传递函数G(S)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
7.线性连续定常系统的稳定的充分必要条件是闭环系统特征方程的根全部具有负实部，或者闭环传递函数的极点均位于s左半平面；线性离散定常系统稳定的充分必要条件是闭环系统特征方程的根模均小于1，或者闭环传递函数的极点均位于z平面单位园内。
8. 线性连续系统的数学模型有 微分方程、传递函数、频率特性、状态空间表达式（现代部分讲解） ；线性离散系统模型有 差分方程、脉冲传递函数、状态空间表达式（现代部分讲解）） 。
9. 系统开环频率特性的低频段，主要是由 放大环节（开环增益） 环节与 微积分 环节来确定。
10. 常用研究非线性系统的方法有 相平面 与 描述函数 两种。
11. 稳定系统的开环幅相频率特性靠近（-1，j0）点的程度表征了系统的相对稳定性，它距离（-1，j0）点越 远 ，闭环系统相对稳定性就越高。
12. 频域的相对稳定性常用 相角裕度（相位裕度） 与 幅值裕度（增益裕度） 表示，工程上常用这里两个量来估算系统的时域性能指标。
13. 某单位反馈系统的开环传递函数2()(5)G S s s =+，则其开环频率特性是5(90arctan )2()(5)o w j G jw jw jw +==+，开环幅频开环对数频率特性曲线的转折频率为5rad/s 。
连续系统的数学模型
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U(s)L{δ(t)}1
U(s)
Y(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y ( s)G ( s )
1 系统G(s) G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
T12=0
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网 络的串联？为什么？
一阶有源网络系统
R1
C
ur
i
R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章 连续控制系统的数学模型
被控量 （输出量）
测量元件
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结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。
这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。 比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方块：表示对输入信号进行的数学变换。
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
① 静态模型与动态模型 (静态模型是t→∞时系统的动态模型)
1 0
T
duc dt
uc
ur
② 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型
③ 连续时间模型与离散时间模型
④ 参数模型与非参数模型
2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。
Simulink中连续与离散模型的区别
Simulink中连续与离散模型的区别matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!本文中的一些具体数学推导见下面：计算机仿真技术1.连续系统vs离散系统连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。
其实在simpowersystem的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。
离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。
但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。
下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。
离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。
为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。
在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。
在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。
孙炳达版自动控制原理第2章线性连续系统数学模型5
第二章 线性连续系统的数学模型
2.5 信号流程图
2.5 信号流程图
一、信号流程图的概念与常用术语
信号流程图，是一种由节点和支路组成的信号传递 网络，表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。
例 某一线性系统，它由下述方程式描述：
x2 = a12 x1
式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；
G2
-H1 -1
G3 -H2
1 Y(S)
信号流程图共有5条回路，各回路增益分别为：
La G1G2H1 Lb -G1G2G3 Lc G2G3H2 Ld G4 H2 Le G1G4
以上回路不存在互不接触情况。
2.5 信号流程图
1 (La Lb Lc Ld Le ) 1 G1G2H1 G1G2G3 G2G3H2 G4H2 G1G4
1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
2.5 信号流程图
例 用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。 G4
R(S) 1 G1
G2
-H1 -1
G3 -H2
1 Y(S)
解：R(S)与Y(S)之间有2条前向通路
T1 G1G2G3 T2 G1G 4
2.5 信号流程图
G4
R(S) 1 G1
2.5 信号流程图
支路具有两个特征： 有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信
号传递的方向，用箭头表示。 有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。
支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。
2.5 信号流程图
-b1 -b2
-b3
a1
a2
a3
a4
a5
a6
x1
x2
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续动态系统
第三章 连续动态系统讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程—状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。
例，离散与连续的形象解释。
1．连续动态系统的数学描述在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。
1.1 线性动态系统用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。
满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。
所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次性（常数项直接提取到函数外）。
例，判断ax y =与b ax y +=是否属于线性操作。
线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即n n x a x a x 11111++='n nn x n n x a x a x ++=' 1 矩阵形式：AX X =' 据ij a 的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。
1.2 非线性动态方程如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。
线性函数本质上只有一种，即： ax y =不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。
而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。
非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。
非线性连续系统的动力学方程一般形式如下：),,;,,(1111m n c c x x f x ='),,;,,(1122m n c c x x f x =' ),,;,,(11m n n n c c x x f x ='矩阵形式：),(C X F X =' n f f ,,1 中至少应有一个为非线性。
离散连续详解
matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!1.连续系统vs离散系统连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。
其实在simpowersystem 的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。
离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。
但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。
下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。
离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。
为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。
在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。
在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。
2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模Note：这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散，无关乎现实世界的连续系统和离散系统。
第2章连续控制系统的数学模型
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
第2章 连续系统的数学模型
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统的数学模型可以由多个方程组成,以下是一些常见的连续系统模型:
1. 牛顿第二定律方程:这是一个描述物体运动的方程,它表达了物体的位置和速度随时间的演化,通常写成以下形式:
$dX/dt = -ax$
其中,$X$ 表示物体的位置,$a$ 表示物体的加速度,$t$ 表示物体运动的时间。
2. 热力学方程:热力学方程描述了系统的热力学性质,包括温度的演化和热传导等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} =
-kAfrac{mathrm{d}X}{mathrm{d}t}$
其中,$T$ 表示系统的温度,$A$ 表示系统的面积,$k$ 表示热导率,$X$ 表示物体的位置。
3. 电磁学方程:电磁学方程描述了电荷、电流和磁感应等电磁现象的数学模型,可以描述电磁波的传播、电路中电荷的分布等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t} = -frac{partial V}{partial t}$
其中,$E$ 表示电场强度,$V$ 表示电场的电荷密度,$t$ 表示时间。
4. 波动方程:波动方程描述了声波或波动现象的数学模型,可以描述声波的传播、波动的产生等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}^2X}{mathrm{d}t^2} +
frac{mathrm{d}^2theta}{mathrm{d}t^2} = r^2sintheta$
其中,$X$ 表示物体的位置,$theta$ 表示物体的极角,$r$ 表示物体的距离,$t$ 表示时间。
这些方程只是连续系统模型中的一部分,还有很多其他的方程可以用来描述不同的连续系统现象。
第2章 连续系统的数学模型
本章主要内容
1. 控制系统数学模型的概念 2. 控制系统常用的几种数学模型(微分方程、传 递函数和动态结构图)。 3. 了解这些数学模型之间的相互关系。
2
第2章 连续系统的数学模型
1 2 3 4 5
系统数学模型的概念
系统的微分方程 传递函数 动态结构图 系统数学模型的MATLAB表示
3
2.1 系统数学模型的概念
G( s)
c(t)/r(t) ξ =0.2 ξ =0.5 ξ =1 R(s) ωnt
1 T 2 s 2 2Ts 1
n 2 G( s) 2 2 s 2n s n
n2 2 S 2 2 n S n
C(s)
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
6. 延迟环节 （时滞环节、滞后环节）
动态结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。 这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。从 同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同。 比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方框：表示对输入信号进行的数学变换。 对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。
(a0 s n a1s n1 (b0 s m b1s m1 an1s an )C (s) bm1s bm ) R(s)
bm1s bm an1s an
系统
C ( s) b0 s m b1s m1 G ( s) R( s) a0 s n a1s n1
F (t ) F 1 F 2 ma
F(t) 2
f
m
dx(t ) d 2 x(t ) X(t) 得 F (t ) kx(t ) f m dt dt 2
一、连续系统的仿真分析 例： 蹦极跳系统的数学模型
单位延迟模块的参数设置
三、 线性系统仿真分析
例 ：线性离散系统仿真分析 1. 数字滤波器的数学描述 2. 低通数字滤波器的差分方程描述：
y(n) 1.6 y(n 1) 0.7 y(n 2) 0.04u(n) 0.08u(n 1) 0.04u(n 2)
系统的Z变换 Y ( z ) 0.04 0.08z 1 0.04z 2 U ( z) 1 1.6 z 1 0.7 z 2
y(n) 1.6 y(n 1) 0.7 y(n 2) 0.04u(n) 0.08u(n 1) 0.04u(n 2)
此数字滤波器为线性离散系统，使用滤波器形式对其进 行描述如下：
Y ( z ) 0.04 0.08z 1 0.04z 2 U ( z) 1 1.6 z 1 0.7 z 2
通信系统输出信号 原始锯齿波信号
延迟与失真
图5.40 通信系统输出与原始锯齿波信号比较
混合系统设计之二：行驶控制系统 汽车行驶控制系统是应用非常广泛的控制系统之一， 其主要目的是对汽车速度进行合理的控制。系统的工 作原理如下： （1）汽车速度操纵机构的位置发生改变以设置汽车 的速度，这是因为操纵机构的不同位置对应着不同的 速度。 （2）测量汽车的当前速度，并求取它与指定速度的 差值。 （3）由速度差值信号驱动汽车产生相应的牵引力，并 由此牵引力改变汽车的速度直到其速度稳定在指定的 速度为止。 由系统的工作原理来看，汽车行驶控制系统为典型 的反馈控制系统。下面建立此系统的 Simulink 模型并 进行仿真分析。
一、连续系统的仿真分析
例： 蹦极跳系统的数学模型
二、离散系统的仿真分析
例： 人口变化系统的数学模型 这是一个简单的人口变化模型。在此模型中，设某一年的人口数 目为p，其中表示年份n，它与上一年的人口、人口繁殖速率以及新 增资源所能满足的个体数目之间的动力学方程由如下的差分方程所描 述：
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统是指一类以时间为连续变量的系统，其状态和输出在任意给定时间都是连续变化的。
数学上，为了描述和分析这种连续系统的行为，我们使用了一种被称为微分方程的数学模型。
微分方程是用于描述连续系统中变量之间关系的方程。
它涉及到导数的概念，因为导数可以表示一个变量相对于时间的变化率。
连续系统的数学模型通常采用微分方程的形式来表示。
一种常见的连续系统的数学模型是一阶线性常微分方程。
这类方程描述了一个系统中一个变量的变化速率与其他变量之间的线性关系。
一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为：
dy/dt = a*y + b*u
其中，y是系统的输出变量，t是时间变量，u是系统的输入变量，a 和b是常数。
这个方程表示了输出变量y的导数与输入变量u之间的线性关系。
除了一阶线性常微分方程，高阶线性常微分方程和非线性微分方程也被用来描述连续系统的数学模型。
高阶线性常微分方程涉及多个导数，可以表示更复杂的系统行为。
非线性微分方程则允许描述非线性系统
的行为，其中系统的变量之间的关系不再是线性的。
通过建立连续系统的数学模型，我们可以利用数学方法来分析和预测系统在不同条件下的行为。
这对于工程师和科学家来说是非常有用的，因为它们可以帮助我们设计和优化控制系统、了解系统的稳定性和响应特性，并预测系统的性能。
总之，连续系统的数学模型是通过微分方程来描述的。
这些方程可以是一阶或高阶的，线性或非线性的，它们允许我们分析和预测连续系统的行为，并为实际应用提供有用的指导。
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-1
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
自动控制原理(王万良)第二章
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
根斯巴克连续体解析
根斯巴克连续体解析1.引言1.1 概述概述部分的内容：引言部分是一篇文章的开端，它起到引导读者进入主题的作用。
对于本文而言，我们将要讨论的主题是"根斯巴克连续体"。
根斯巴克连续体是一种在物理学和数学领域中广泛应用的概念。
它是由奥地利物理学家根斯巴克（Erwin Schrödinger）在20世纪初提出的。
根斯巴克连续体是指在宏观尺度上描述物质性质的一种模型，它假设物质是连续的，而非离散的。
通过根斯巴克连续体的模型，我们可以更好地理解和描述物质的运动和行为。
它可以应用于多个领域，包括传热传质、电磁场理论、流体力学等。
在近一个世纪的发展中，根斯巴克连续体的理论逐渐成熟，并在各个学科中起到重要的作用。
本文将深入探讨根斯巴克连续体的定义和特点。
在接下来的部分中，我们将介绍根斯巴克连续体的基本概念和数学表达，以及它在不同领域的应用。
此外，我们还会讨论对于根斯巴克连续体的理解和应用的重要性，以及展望未来在这一领域的研究方向。
通过对根斯巴克连续体的深入理解和应用，我们可以更好地理解宏观物质的行为，为解决实际问题提供更准确和全面的解释。
本文的目的就是为读者介绍根斯巴克连续体的概念和应用，并对其在科学研究和工程实践中的价值进行探讨。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对根斯巴克连续体的解析，并探讨其在不同领域中的实际应用和未来发展的前景。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织架构和段落框架，它决定了文章的逻辑顺序和内容层次。
一个良好的文章结构可以使读者更清晰地理解文章的内容和思路。
本文的文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开头，用于引入主题和背景信息，引起读者的兴趣。
在引言部分中，将概述根斯巴克连续体的基本概念和背景，介绍其在实际应用中的重要性和需求。
同时，也可以简要提及文章接下来的结构安排，让读者知道本文将如何展开。
正文部分是文章的主要内容，是对根斯巴克连续体进行详细解析和阐述的部分。
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Y (s) b1s n1 b2 s n2 bn1s bn num(s) G( s ) n n 1 n2 U ( s) s a1s a2 s an1 den(s)
(2 2)
在MATLAB 语言中，可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式系数 向量方便地加以描述。例如对于（2-2 ）式，系统可以分别定义传递函数的 分子、分母多项式系数向量为：
第四章 补充
连续系统常用的数学模型及其转换
1．微分方程及传递函数的多项式模型
d ( n ) y (t ) d ( n 1) y (t ) dy(t ) d ( n 1)u (t ) d ( n 2)u (t ) du(t ) a a a y ( t ) b b b bnu (t ) 1 n 1 n 1 2 n 1 n n 1 n 1 n2 dt dt dt dt dt dt (2 1)
[例4] 已知系统的状态空间描述为
2.25 5 2.25 4.25 x 0.25 0.5 1.25 1.75 y 0 2 0 2x 0 .5 4 2 1.25 0.25 x u 2 1.25 1 0.25 0.75 0 1.25
num b1 b2 bn1 bn den 1 a1 a2 an1
an
sys tf (num, den)
[例1] 已知系统传递函数为
G(s)
2s 9 s 4 3s 3 2s 2 4s 6
利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。 解:
在 MATLAB 中，用函数 ss( ) 来建立控制系统的状态空间模 型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空 间模型。ss( )函数的调用格式为： sys=ss(a,b,c,d)
函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模型。函数输入参 数a,b,c,d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。
二. MATLAB的工作环境 启动MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。
而选中命令窗口中View菜单的“Dock command Window”子菜单又可让 命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能)。
窗口中的符号“》”，表示MATIAB已准备好，正等待用户输入 命令。用户可以在“》”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功 能。 在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑， 如用“↑”键或“↓”键回到上一句指令或显示下一句命令。 (3)工作空间窗口“Work-space” 工作空间指运行MATLMB程序 或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次MATLAB， MATIAB会自动建立一个工作空间。
2．传递函数的零极点增益模型
(s z1 )(s z 2 )(s z m ) G( s) k (s p1 )(s p2 )(s z n ) (2 3)
在MATLAB里，用函数命令zpk( )来建立控制系统的零极点增 益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增 益模型。zpk( )函数的调用格式为：
(4) 命令历史窗口“Command History”
[例2] 已知系统传递函数为
G( s)
7(2s 3) s 3 (3s 1)(s 2) 2 (5s 3 3s 8)
利用MATLAB将上述模型表示出来。 解：其MATLAN命令为： num=7*[2,3]; den=conv(conv(conv([1,0,0],[3,1]),conv([1,2],[1,2]),[5,0,3,8]); sys=tf(num,den) 运行结果： Transfer function: 14 s + 21 15 s^8 + 65 s^7 + 89 s^6 + 83 s^5 + 152 s^4 + 140 s^3 + 32 s^2
利用MATLAB将上述模型表示出来。 P41 作业2-2
解：
>> k=5; >> z=-20; >> p=[0,-4.6,-1]; >> sys=zpk([z],[p],[k]) 结果： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------s (s+4.6) (s+1)
3．状态空间模型
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t ) ( a) (b) (2 4)
补充知识：MATLAB的基础知识Ⅰ
一. MATLAB简介
MATLAB具有以下主要特点：
1)超强的数值运算功能。在MATLAB里，有超过 500种的数学、统计、科 学及工程方面的函数可供使用，而且使用简单快捷。由于库函数都由本领域 的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。 2)语法限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需 对矩阵预定义就可使用。 3)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操 作系统上运行。 4)强大的数据可视化功能。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但 在MATMB里，数据的可视化非常简单。MATIAB还具有较强的编辑图形界 面的能力。 5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工 具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖 的研究。
sys=zpk([z],[p],[k])
z z1
p , p n
函数返回的变量 sys 为连续系统的零极点增益 模型。
[例3] 已知系统传递函数为
G( s)
5( s 20) ， s( s 4.6)(s 1)
利用MATLAB将上述模型表示出来。