弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理

假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是 可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
解决这些方程，还须给出边界条件 ① 面力边界 ② 位移边界 ③ 混合边界
σ ij n j = f si
在 S 上 在 S 上 在 Sσ 上 在 Su 上
ui = ui
σ ij n j = f si
3. 圣维南原理（局部性原理）
可表述为：在物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则 该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用 的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。 也可表述为：若把作用在物体局部边界上的面力用另一组 与它静力等效（即有相同的主矢和主矩）的力系来代替，则在 力系作用区域附近应力分布将有显著的改变，但在远处所受的 影响可以不计。 根据古迪尔（Goodier，J.N）等人的研究，圣维南原理所 指的区域，大概和外力作用的区域的大小相等。
涉及初应力问题时，这一假设不再成立。 这一定理为以后常用的 逆解法 或 半逆解法 提供了一个 理论依据。因为在一般情况下，直接由给定的边界条件去求 解弹性力学的基本方程是很困难的，因此常采用上述两种方 法。
逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全部基本方程
的应力分量或位移分量，然后考察，在确定的坐标系下，对 于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面 力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。
ui = ui
分别称为弹性力学的第一类、第二类和第三类边值问题， 第三类也称为混合边值问题。如不考虑物体的刚体运动，则三 类边值问题的解是唯一的。 以应力为基本未知量时还应满足应变协调方程。
由前述方程组可知：如果给出了位移分量，则不难先由几 何方程求出应变分量，再由物理方程求应力分量；反之，如果 给出了应力分量，则很容易由物理方程求出应变分量，但把所 求得的应变分量代入几何方程后，为了使几何方程组不矛盾， 从而通过它们的积分求出位移分量，这就要求这组应变分量满 足一组补充方程，即应变协调方程：
程和物理方程求应变分量和应力分量。
§5-3 应力解法
以应力分量为基本变量求解弹性力学的方法，称为应力 解法。要求在体内满足平衡方程，其相应的应变分量还须满 足应变协调方程。 这样从应变协调方程和物理方程中消去应变分量得到以 应力表示的协调方程（简称应力协调方程）———贝尔特拉 米---米歇尔方程。 总之，以应力为基本变量求解时，归结为在给定的边界
据材料力学应力解答，可知在圆柱体扭 转时，截面上发生与半径垂直而且与点 到圆心的距离成正比的切应力，因此设 这里 α 表是单位长度的扭转角。 将 τ 向Ox和Oy轴方向分解，得
M O
τ zy
ϕ
τ
x
τ = αGρ
τ zx
y
τ xz = −τ sin ϕ = −αGρ sin ϕ
τ yz = τ cos ϕ = αGρ cos ϕ
ε ij ,kl eikm e jln = 0
因此，通常可以采用两种方法求解弹性力学问题：一种是 以位移分量作为基本变量求解，称为位移解法；另一种是以 应力分量作为基本变量求解，称为应力解法。
§5-2 位移解法
以位移分量为基本变量求解弹性力学的方法，称为位移 解法。 在平衡方程、几何方程和物理方程中消去应力分量和应 变分量以得到只包含位移分量的方程（即以位移表示的平衡 方程，称为拉梅-纳维方程），同时，边界条件也用位移分 量表示。
τ yz = αGx
dxdy = 0
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
∫∫τ
zx
dxdy = −zy
ϕ
τ
x
∫∫τ zy dxdy = αG ∫∫ xdxdy = 0
M = αG ∫∫ x + y dxdy = αGI P
第五章 弹性力学问题 的建立和一般原理
§5-1 弹性力学的基本方程及其边 值问题 §5-2 位移解法 §5-3 应力解法 §5-4 弹性力学的一般原理 §5-5 弹性力学的简单问题
(1)综合弹性力学的基本方程，并按边界条件 将问题分类； (2)阐述解决弹性力学问题通常采用的两种方 法——位移解法和应力解法，并推演其相应 的方程； (3)介绍弹性力学的几个一般原理； (4)介绍弹性力学的几个简单问题；
y 易验证，在体积力 为零时，上面一组 应力分量是满足平 衡微分方程的
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx ， σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
接着来校核它们是否满足边界条件。将应力分量 应用于边界条件
f sx = τ zx n
f sj = σ ij ni
① 在柱体的侧面
2
拉梅-纳维方程还可表示为矢量形式
(λ + G )∇θ + G∇
2
U + Fb = 0
U为位移矢量，Fb为单位体积力矢量。 边界条件
f si = λuk ,k ni + Gui , j n j + Gu s ,i ns
总之，以位移作为基本变量求解时，归结为在给定的边界
条件下求解拉梅-纳维方程。求得了位移分量，就可通过几何方
2 2
∇ ∇ γ xy = 0
2 2
§5-3 弹性力学的一般原理
1. 叠加原理
在小变形线弹性情况下，作用在物体上的几组荷载产 生的总效应（应力和变形）等于每组荷载单独作用效应的 总和。 叠加原理在材料力学和结构力学中得到了广泛的应用， 例如用来求解复杂载荷作用梁的位移、变形、应力等。
2. 解的唯一性定理
2 2
(
)
τ zx
y
前二式自然满足.
M = αG ∫∫ x + y dxdy = αGI P
2 2
(
)
M O
τ zy
ϕ
由上述第三式，可得
τ
x
M α= GI P
IP为极惯性矩 GIP称为抗扭刚度。
τ zx
y
这样就证明了，对于圆柱体的扭转，用材料力学 方法所求出的应力分量，也是弹性力学的解答
下面求圆柱体扭转的位移分量 利用胡克定律，将应力分量代入几何方程可得
2 Θ 1 ∂ ⎛ ∂Fbx ∂Fbz ⎞ 2 ∇ τ xz + = −⎜ + ⎟ 1 +ν ∂x∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂z 2 ⎛ ∂Fby ∂Fbx ⎞ Θ 1 ∂ 2 ⎟ ∇ τ xy + = −⎜ + ⎜ ⎟ x y 1 +ν ∂x∂y ∂ ∂ ⎝ ⎠
体力为常量时，贝尔特拉米-米歇尔方程 可简化为
2 2 2 2 2 2
∇ ∇ τ zx = 0
2 2
表明：体积力为常 量时，应力分量、 应变分量和位移分 量均满足双调和方 程，也就是说，应 力分量、应变分量 和位移分量均为双 调和函数。
∇ ∇ τ xy = 0
2 2
∇ ∇ γ yz = 0
2 2
∇ ∇ ε y = 0, ∇ ∇ ε z = 0,
∇ ∇ γ zx = 0
半逆解法，就是对给定的问题，根据弹性体的几何形
状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力 分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这 些量合在一起来凑合已知的边界条件；或者把全部的应力分 量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹 性力学的基本方程和边界条件。 这两种方法都有试算的性质。
条件下求解由平衡微分方程和应力协调方程组成的偏微分方 程组。
贝尔特拉米-米歇尔方程
2 Θ ∂ 1 1 2 ∇ σx + =− 2 1 +ν ∂x 1 −ν
1 ∇ σy + 1 +ν
2
1 ∇ σz + 1 +ν
2
1 ∇ τ yz + 1 +ν
2
⎛ ∂Fbx ∂Fby ∂Fbz ⎞ ∂Fbx ⎜ ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎟ − 2 ∂x ⎝ ⎠ ∂Fby ∂ 2Θ 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ∂Fbz ⎞ ⎜ ⎟ + =− + −2 2 ⎜ ⎟ ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂y 1 −ν ⎝ ∂x ∂ 2Θ ∂Fbz 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ∂Fbz ⎞ ⎜ ⎟ =− + + −2 2 ⎜ ⎟ ∂z ⎠ ∂z ∂y 1 −ν ⎝ ∂x ∂z ⎛ ∂Fbz ∂Fby ⎞ ∂ 2Θ ⎟ = −⎜ + ⎟ ⎜ y z ∂y∂z ∂ ∂ ⎝ ⎠
用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡 力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较 远处，几乎没有应力产生。
矩形薄板的单向拉伸。
§5-3 弹性力学的简单问题
1、圆柱体的扭转
考察在两端承受扭矩 M且不计体力的圆柱体， 求应力分量和位移分量。
采用半逆解法 用材料力学的方法求得应力分 量，校核它们是否满足平衡微 分方程和应力边界条件（因应 力分量是坐标的一次函数，故 贝尔特拉米——米歇尔方程自 然满足）。 如满足的话，则根据解的唯一性 定理，就是为题的解答。
f sy = τ zy n f sz = τ xz l + τ yz m
f sx = 0 ， f sy = 0 ， f sz = 0
l = cos ϕ = x
ρ
， m = sin ϕ =
y
ρ
， n=0
故，侧面处的边界条件显然满足。
② 在柱体的两个端面上（外力分布情况不清楚） 可利用圣维南原理写出放松边界条件，即为
§5-1 弹性力学的基本方程及其边值问题
¾平衡（运动）微分方程： （3个方程）
σ ij ,i + Fbj = 0
¾几何方程： （6个方程）
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
¾物理方程：（ 6个方程）
基本方程组 包含15个方 程和15个未 知量 6应力分量 6个应变分量 3个位移分量
2 Θ 1 ∂ 2 ∇ σx + =0 2 1 +ν ∂x 2 ∂ Θ 1 2 ∇ σy + =0 2 1 +ν ∂y 2 Θ 1 ∂ 2 ∇ σz + =0 2 1 + ν ∂z
, , ,
2 Θ 1 ∂ 2 ∇ τ yz + =0 1 + ν ∂y∂z 2 ∂ Θ 1 2 ∇ τ xz + =0 1 + ν ∂x∂z 2 Θ 1 ∂ 2 ∇ τ xy + =0 1 +ν ∂x∂y
τ xz = −αGy,τ yz = αGx, σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∂u ∂w ∂v ， εx = γ yz = + ∂x ∂y ∂z ∂v ∂u ∂w ， εy = γ zx = + ∂y ∂z ∂x ∂v ∂u ∂w ， εz = γ xy = + ∂z ∂x ∂y
⎧ ∂θ 2 ( ) λ + + ∇ G G u + Fbx = 0 ⎪ ∂x ⎪ ∂θ ⎪ 2 ( ) λ + + ∇ G G v + Fby = 0 ⎨ ∂y ⎪ ⎪ ∂θ 2 ( ) λ + G G w + Fbz = 0 + ∇ ⎪ ∂z ⎩
拉梅方程
拉梅-纳维方程也可表示为
(λ + G )uk ,ki + G∇ ui + Fbi = 0
或
σ ij .kk
1 + σ kk ,ij = 0 1 +ν
体力为常量时，可证明
∇ 2∇ 2u = 0, ∇ 2∇ 2 v = 0, ∇ 2∇ 2 w = 0
∇ ∇ σ x = 0,
2 2 2 2 2 2
∇ ∇ τ yz = 0
2 2
∇ ∇ σ y = 0, ∇ ∇ σ z = 0, ∇ ∇ ε x = 0,