张正友标定数学原理

Hale Waihona Puke Baidu图像坐标系
像素坐标系
三次坐标变换： ①从世界坐标系到摄像机坐标系的 旋转和平移变换； ②从摄像机坐标系到图像坐标系的 透视变换； ③从图像坐标系到像素坐标系的成 像变换。
张正友标定法具有以下优点： 采用平面标定模版，器材 容易获得； 精度高，相对误差可低于 0.3%； 实验过程简单，相机和标 定板都可以自由放置。
张正友标定法的原文为“A Flexible New Technique for Camera Calibration”，为相机标定更提供了 很大便利，并且具有很高的精度，现已 作为工具箱或封装好的函数被广泛使用。
数学原理
u Ar r s v 1 2 1
A 0 0
B12 B22 B23
B13 B23 B33
2
1
2

2
(v0 u0 ) v0 2 2 2
2 (v0 u0 ) v0 2 2 2 2 2 (v0 u0 ) v0 1 2 2 2 v0 u0
张正友摄像机标定法
黄佐昌 控制工程1班
A Flexible New Technique for Camera Calibration
A Four-step Camera Calibration Procedure with Implicit Image correction
坐标系
世界坐标系
摄像机坐标系
(u u0 )(x 2 y 2 ) (u u0 )(x 2 y 2 ) 2 k1 u u 2 2 2 2 2 (v v0 )(x y ) (v v0 )(x y ) k2 v v
在n幅图像中，每幅取m个点，故有m乘n个点， 利用最小二乘法求出径向畸变系数。
T
1
(v11 v22 )T b 0
综上可得：
v12T b 0 即： (v11 v 22)T
Vb 0
v12T b 0 (v11 v 22)T
A 0 0

0
u0 v0 1
vij hi1h j1 hi1hj 2 hi 2hj1 hi 2hj 2 hi3hj1 hi1h j 3 hi3hj 2 hi 2h j 3 hi3hj 3
A 0 0

0
u0 v0 1
B是一个对称矩阵,我们 假定：
T b [ B11, B12, B 22, B13, B 23, B33]
h A A h2 0
T 1
T
1
v12 b 0
T 1
T
h A A h1 h A A h2
T 1 T 2
对H再次进行变形，得
H h1 h2
h3 Ar1 r2 t
u Ar r s v 1 2 1
r3
X Y t Ar1 r2 0 1
X t Y 1
单应性矩阵H的求解
参数的优化
将每张图像的控制点根据求解的参数重新投影到
三维空间，最小化与真实值的差异，就是建立非 线性最小化模型：
ˆ A, Ri , ti , M j mij m
n m i 1 j 1
使用Levenberg-Marquarat算法进行求解 即可。
张正友的畸变模型
u u (u u0 )[k1 ( x2 y 2 ) k2 ( x2 y 2 )2 ] v v (v v0 )[k1 ( x2 y 2 ) k2 ( x2 y 2 )2 ]
H是3乘3的矩阵，有一个元素作为齐次坐标， 有8个未知量待解，（X，Y），（u，v）已 知，可获得2个方程，而求8个未知量，至少 需要8个方程，即需要4个对应点，因此每张 图片上选4个点都可以计算出一个H矩阵。
B11 B AT A1 B21 B13 1 2 2 v0 u0 2
r3
X Y t Ar1 r2 0 1
X t Y 1

0
u0 v0 1
假设世界坐标与摄像机坐标的XY平面重合，即Z=0，有 上述等式成立。 令H A r r2 t 1 上式可化为


~ ~ sm HM


内参矩阵A的求解
我们知道，A有5个未知量，b中的元素是由 这些未知量构成，由上式可获得两个方程， 而求5个未知量至少需要5个方程，因此只需 要知道3个单应性矩阵H，得到对应的v11， v12，v22，便可获得6个方程，从而求解出 内参矩阵A。H和A已知，便可求出每幅图片 的旋转平移矩阵（R，t），即外参数矩阵。
枕形畸变与桶形畸变
张正友标定方法流程
1. 2. 3. 4. 5. 6.
打印一张标定板，然后附加到一个平坦的表面上。 通过移动标定板，拍摄标定板各种角度的图片。 角点提取。 计算内部参数和所有的外部参数。 通过最小二乘法先行求解径向畸变系数。 优化所有的参数。
标定实验
标定结果
畸变校正
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