2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(一)(有答案解析)

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.（-1+i）（2i+1）=（）
A. 1-i
B. 1+i
C. -3-i
D. -3+i
3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）
A. 8
B. 4
C. 2
D.
4.已知向量，的夹角为，，，则（）
A. B. -3 C. D. 3
5.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属
的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）
A. B. C. D.
6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学
普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）
A. 50
B. 55
C. 100
D. 110
7.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是
（）
A. c＜a＜b
B. c＜b＜a
C. a＜b＜c
D. a＜c＜b
8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是
（）
A. 168
B. 169
C. 336
D. 338
9.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率
的范围是（）
A. （-∞，1）
B. [0，1]
C. [1，+∞）
D. （0，1]
10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则
异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动
点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实
数a的范围是（）
A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．
14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或
“小”）．
15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．
16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，
5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．
（1）求A的余弦值；
（2）求b和c．
18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”
又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天
调练天数
人数3013040
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
热烈参与者非热烈参与者合计男140
女55
合计
附：k2=（n为样本容量）
P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
19.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：
为定值．
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，
∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．
（1）证明：BE⊥PC；
（2）求多面体PABED的体积．
21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求函数y=f（x）的极值点．
22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负
半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．
（1）写出曲线E的直角坐标方程；
（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为
（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．
23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．
（1）求+的最小值；
（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：【分析】用列举法写出集合B．
本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．
【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．
即集合A中的元素个数是4．
故选：B．
2.答案：C
解析：【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】
解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．
故选：C．
3.答案：B
解析：【分析】
根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．
【解答】
解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，
又由双曲线的离心率e=，
则有e==，则c=a=2，
则b==2，
则该双曲线的虚轴长2b=4；
故选：B．
4.答案：D
解析：【分析】
根据条件即可得出，从而求出．
考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．
【解答】
解：∵，的夹角为，=-3，||=2；
∴；
∴．
故选：D．
解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，
基本事件总数n==10，
A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，
则A或B被选中的概率是p=1-=．
故选：D．
基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出
A或B被选中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.答案：B
解析：【分析】
本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．
【解答】
解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，
即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，
其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为
1+2+3+…+10=×10×11=55．
故选：B．
7.答案：A
解析：解：，
，
；
∵；
∴；
∴c＜a＜b．
故选：A．
根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．
考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．
解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中
满足条件sin=1的k的个数n的值，
由sin=1，
又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，
可得：n=168．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．
本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C
解析：解：∵y=，
∴y′=
=．
∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，
∴，则y′=．
∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．
故选：C．
求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．
10.答案：D
解析：【分析】
本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注
意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．
【解答】
解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，
∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，
∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），
则，，
∴cos＜＞=
．
∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．
故选：D．
11.答案：C
解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，
∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1
∴a=5，c=4．
∴椭圆的离心率为e=，
故选：C．
可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1
求得a，c．即可得椭圆的离心率．
本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．
12.答案：A
解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，
且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），
所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；
所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，
等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；
即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，
所以|a|＜，解得-＜a＜；
所以实数a的范围是（-，）．
故选：A．
判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；
把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，
由此求出实数a的范围．
本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．
13.答案：3
解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，
∵6=a2=2a1，∴a1=3．
故答案为：3．
先求a2，再求a1．
本题考查了数列的递推公式，属基础题．
14.答案：大
解析：解：实数x，y满足约束条件的
可行域如图：
则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果
A时截距取得最小值，此时在取得最大值，
故答案为：大．
画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意
义，然后推出结果．
本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的
可行域是解题的关键．
15.答案：
解析：解：∵sinα+cosα=，
∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．
又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，
∴sinα=，cosα=，tanα=．
故答案为：．
由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得
cosα，sinα的值，则tanα可求．
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．
16.答案：1
解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，
a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，
所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．
故答案为：1．
通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，
∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，
∵sin A≠0，
∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，
∵B+C=π-A，
∴sin A=，
∵A∈（0，），
∴cos A==；
（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），
又∵b+c=10，a=，
∴解得：bc=25，
∴解得：b=c=5．
解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．
（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．
（2）
热烈参与者非热烈参与者合计
男35105140
女55560
合计40160200
K2=≈7.292＞6.635，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．
解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．
（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．
本题考查了独立性检验，属中档题．
19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．
∴抛物线的方程为y2=2x；
（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由，可得ky2-2y-2k=0．
设A（），B（），则，y1y2=-2．
∵，．
∴=
=
=
=．
∴．
解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，
∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，
∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，
∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，
∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．
解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，
∵面PCD⊥面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，
∵△PCD是正三角形，CD=2，
∴PF=3，EG=，
∴V P-ABCD==4，
=，
∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．
解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．
（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．
本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
21.答案：解：（1）当a=-1时，．
∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，
故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．
（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，
①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；
②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，
可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；
当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．
当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．
③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．
可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；
当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．
当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．
解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．
22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；
所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．
（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，
设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）
点M到直线l的距离d==≤=
解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；
（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，
∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，
当且仅当a=b=2时取“=”；
∴+的最小值为1；
（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，
则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，
即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；
∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，
即|m+2|≤1，
∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，
∴m的取值范围是-3≤m≤1．
解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；
（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，
即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．
本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。