裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施

8.2.5 裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施
对裂缝宽度的限制，应从保证结构耐久性，钢筋不被锈蚀及过宽的裂缝影响结构外观，引起人们心理上的不安两个因素来考虑。

《混凝土结构设计规范》（GB50010）规定，钢筋混凝土构件在荷载的标准组合下，并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度，应符合下式规定：
（8-20）
式中w max——按荷载的标准组合并考虑长期作用影响计算的构件最大裂缝宽度，按式；
w lim——裂缝宽度限值，根据构件所处的环境类别（表8-1）不同，裂缝宽度限值取表8-2中的值。

表8-1 混凝土结构的使用环境类别
表8-2 混凝土结构构件的最大裂缝宽度限值w lim (mm)
《公路钢筋混凝土和预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）规定，钢筋混凝土构件在正常使用极限状态下的裂缝宽度，应按作用短期效应组合并考虑长期效应影响进行验算，且不得超过以下规定的限值：
一般环境0.20mm
有气态、液态或固态侵蚀物质环境0.10mm
这里，一般环境系指寒冷和严寒、无侵蚀物质影响的地面和水下及与土直接接触的环境；有气态、液态或固态侵蚀物质环境系指包括海水、使用除冰盐在内及工业污染的环境。

从影响裂缝宽度的主要因素以及两本规范的裂缝宽度计算公式中我们发现，当设计计算发现裂缝宽度超限，或要求减小裂缝宽度时，选择较细直径的钢筋及变形钢筋是最为经济的措施。

因为同样面积的钢筋，直径小则其周长与面积比就大，这就增大了钢筋与混凝土间的粘结力，采用变形钢筋亦是这个道理。

粘结力大，可使裂缝间距缩短，裂缝即多而密，裂缝间距内钢筋与混凝土之间的变形差就小，裂缝宽度减小。

但是，当采用上述措施仍不能满足要求时，亦可增大钢筋截面面积，从而增大截面的配筋率，减小钢筋的工作应力，减小平均裂缝间距；当然，有时也可采取改变截面形式及尺寸或提高混凝土强度等级等办法。

8.2.6 小结
两本规范的裂缝宽度计算公式相差较大（见表8-3）。

从理论基础上看，《混凝土结构设计规范》（GB50010）采用一般裂缝理论，然后通过试验数据统计回归的方法确定其中的系数；《公路钢筋混凝土与预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）公式则纯粹是建立在试验统计分析基础上的。

但二者所反映的裂缝宽
度的主要影响因素大体上仍然是一致的，即钢筋直径、形式、配筋率和钢筋的工作应力等。

需要再次强调的是，本节上述裂缝宽度验算方法只是针对于荷载作用下的竖向弯曲裂缝而言的。

实际工程中大量存在的非荷载裂缝及荷载作用下其他形式的裂缝，目前还没有可靠的计算方法来控制，这些裂缝往往是通过构造措施来保证的。

从这个角度来理解构造设计，应该更能帮助大家领会构造设计的重要意义了。

表8-3 建筑工程与公路桥梁工程关于受弯构件最大裂缝宽度计算公式的比较
§8-3 钢筋混凝土受弯构件的变形验算
8.3.1 变形验算的目的和要求
在结构的使用期限内，各种荷载的作用都将产生相应的变形，如梁和板的跨中挠度、简支端的转角、柱和墙的侧向位移等。

对受弯构件的变形进行控制主要出于以下三方面的考虑：
1．功能要求结构构件产生过大的变形将损害甚至使构件完全丧失所应承担的使用功能。

例如厂房结构过大的变形，会影响精密仪器的操作精度；桥梁过大的挠度则影响桥面行车速度和舒适；吊车梁过大的变形会影响吊车的正常运行和使用期限；屋面构件变形过大，将导致表层积水、渗水等。

2．防止非结构构件破坏结构构件的过大变形可能导致一些变形能力较差的脆性非结构构件破坏，如门窗开启困难，轻质隔墙开裂等。

3．外观要求构件出现明显的挠度时会使使用者产生不安全感。

如刚度过小，桥面或楼面板大幅度震颤，给使用者造成很大的心理压力甚至导致心理恐慌。

因此，在设计混凝土结构时，应该对使用阶段的构件最大变形进行验算，并按允许值加以限制。

《混凝土结构设计规范》（GB50010）对受弯构件的挠度限值见表8-4。

表中括号内的数值适用于使用上对挠度有较高要求的构件。

悬臂构件的允许挠度值按表中相应数值乘以2.0取用。

《公路钢筋混凝土和预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）中对受弯构件的挠度限值规定为：对梁式桥主梁的最大挠度，取计算跨度的1/600；主梁的悬臂端取计算跨度的1/300。

8.3.2 钢筋混凝土受弯构件变形计算的特点
由材料力学知识可知，受弯构件的挠度可由下式通过对曲率进行二次积分得到：
(8-21a)
特别地，对于匀质弹性体材料的受弯构件，求解以上积分，荷载作用下最大挠度a f 均可表达为：
(8-21b)
式中为与构件边界条件和受荷条件有关的挠度系数。

该式意味着，对于给定的材料和截面几何尺寸，由于构件截面的抗弯刚度EI为定值，因而挠度a f与弯矩M成正比。

钢筋混凝土受弯构件挠度变形有着明显不同的特点。

随着外部荷载的增加，构件截面刚度逐渐减小（图8-8）。

裂缝的出现与开展，使构件的中性轴沿纵向呈波浪变化，截面刚度沿构件纵向亦不断变化（图8-9）。

由此可见，钢筋混凝土构件的抗弯刚度（一般用B表示）与匀质弹性体构件的抗弯刚度EI有很大的区别。

另一方面，在长期荷载作用下，构件压区混凝土的徐变，混凝土的收缩，钢筋与混凝土间的粘结蜕化，裂缝的进一步开展，都会使构件的截面刚度随时间逐渐降低。

这就进一步使构件的刚度和变形计算复杂化。

但是从式（8-21a）我们发现，只要能将截面刚度计算出来，那么构件在荷载作用下的变形总可以计算出来。

因此，钢筋混凝土受弯构件的挠度计算最终可以归结为拉区存在裂缝情况下的截面刚度的计算问题。

图8-8 钢筋混凝土受弯构件弯矩与挠度、曲率及刚度间的关系
图8-9 荷载作用下钢筋混凝土受弯构件的刚度和曲率变化图
受拉区存在裂缝情形下的截面刚度计算方法可以分为三类：有效惯性矩法、刚度解析法以及等效拉力法等。

目前我国《混凝土结构设计规范》（GB50010）考虑拉区混凝土的工作，根据平截面假定，采用刚度解析法计算构件截面刚度B；而《公路钢筋混凝土和预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）则引入换算截面的概念，采用有效惯性矩法计算截面刚度。

截面刚度计算出来后，还有一个截面刚度沿构件纵向的分布问题。

如前所述，钢筋混凝土构件由于裂缝的存在，截面刚度沿构件纵向是不断变化的。

精确地分析各截面的刚度并以此进行挠度的计算是非常复杂而且是没有必要的。

实际挠度计算时，通常采用所谓的“最小刚度原则”，即一般取同号弯矩区段内弯矩最大截面的抗弯刚度作为该区段的抗弯刚度（图8-9）。

对于简支梁，取最大正弯矩截面的刚度作为全梁的抗弯刚度；对于带悬挑的简支梁、连续梁或框架梁等，则取最大正弯矩截面和最小负弯矩截面的刚度，分别作为相应弯矩区段的刚度。

构件刚度分布图确定后，即可按结构力学的方法计算钢筋混凝土受弯构件的挠度。

根据最小刚度原则计算的构件弯曲变形会稍微偏大，但是考虑到实际构件中剪切变形的影响，这样计算的变形仍是合理的。

下面按照不同专业分别阐述两种截面刚度的计算方法。

8.3.3 GB50010方法
一钢筋混凝土梁的纯弯段，在弯矩作用下出现裂缝，进入裂缝稳定发展阶段后，裂缝的间距大致均匀。

各截面的实际应变分布不再符合平截面假定，中和轴的位置受到裂缝的影响而成为波浪形（图8-10a），裂缝截面处的压区高度为最小值。

各截面的顶面混凝土压应变和受拉钢筋应变也因此成波浪变化（图8-10b）。

设平均
应变为和，出现在裂缝截面的最大应变为和。

图8-10 受弯构件在正常使用阶段上中和轴、截面应力、应变、刚度图构件的截面平均刚度可按下述步骤建立计算公式：
（1）几何条件——试验证明，截面的平均应变仍符合线性分布。

因此截面的平均曲率为
（8-22a）
其中，顶面混凝土压应变的变化幅度较小，近似可取；与前节裂缝的计算类似，为了分析的简便，钢筋的平均拉应变取
（8-22b ） 式中为钢筋应变不均匀系数。

（2）物理关系——在梁的使用阶段，裂缝截面的应力分布如图8-11d ，顶面混凝土的压应力和受拉钢筋应力按下式计算：
或
（8-22c ） 式中为混凝土的弹性系数。

（3）平衡关系——忽略截面上拉区混凝土的应力，建立裂缝截面的两个平衡方程（图8-11d ）：
或
（8-22d ） 式中为压区混凝土应力图形完整系数；为裂缝截面上的内力臂系数；为裂缝截面混凝土的相对受压区高度。

将式（8-22c ）、（8-22d ）代入式（8-22a ），作变换得
（8-22d ）
故截面平均刚度为
（8-23）
式中E s，A s，h0以及和等为确定值；其余的系数
等均随弯矩而变化，需另行确定。

受拉钢筋应变的不均匀系数，在裂缝计算中已经给出，即。

裂缝截面的内力臂系数，因为构件使用阶段的弯矩水平变化不大，裂缝发展相对稳定，试验表明其值约为0.83～0.93，配筋率高者，其值偏低，计算时近似地取其平均值为=0.87。

图8-11
令，称为混凝土受压区边缘的平均应变综合系数，其值随弯矩的增大而减小，在使用阶段（M/M u=0.5～0.7）内基本稳定，弯矩值对其影响不大，而主要取决于配筋率。

根据试验结果得矩形截面梁的回归分析式（图8-11）：
（8-24）
考虑到受压区有翼缘板的影响，对于T
形，工形截面构件，上式右侧改为
，这里。

于是式（8-23）变为：
（8-25）
上式就是GB50010中规定的在荷载标准组合作用下受弯构件的短期截面刚度的计算公式。

8.3.4 JTJ023方法
1．换算截面
换算截面是指将物理性能与混凝土明显不同的钢筋按力学等效的原则通过
弹性模量比值的折换，将钢筋换算为同一混凝土材料而得到的截面。

图8-12所
示为在受拉区裂缝出现前后不同的换算截面。

根据换算截面由材料力学方法可以求得其等效截面惯性矩I0和I cr。

图8-12 换算截面
2．短期截面刚度
将一根带裂缝的受弯构件视为一根不等刚度的构件（图8-13a），裂缝处刚度最小，两裂缝间刚度最大，图8-13b实线表示截面刚度变化规律。

为便于分析，
取一个长度为l m的裂缝区段，近似地分解为整体截面区段和开裂截面
区段。

根据试验分析，和与开裂弯矩M cr和截面上所受弯矩M s的比值有关，可按下列公式确定：
（8-26）
（8-27）
把图8-13c变刚度构件等效为图8-13d的等刚度构件，采用结构力学方法，按在端部弯矩作用下构件转角相等的原则，可求得等刚度受弯构件的等效刚度B。

图8-13 受弯构件截面刚度等效示意图
根据图8-13c所示变截面构件，求出裂缝区段两端截面的相对转角：
（8-28）根据图8-13d所示等截面构件，求出裂缝区段两端截面的相对转角：
（8-29）令=，可得：
（8-30）将式（8-26）、（8-27）代入式（8-30），整理后得：
（8-31）
式中 B ——开裂构件等效截面的抗弯刚度；
B0——全截面的抗弯刚度，B0=0.85E c I0；
B cr——开裂截面的抗弯刚度，B cr=E c I cr；
M cr——截面开裂弯矩；
I0——全截面换算截面惯性矩；
I cr——开裂截面换算截面惯性矩。

上式即为JTJ023中所给出的刚度计算公式。

8.3.5 长期荷载作用的影响
以上介绍的是钢筋混凝土受弯构件的短期刚度的计算方法，由此计算的挠度为短期荷载作用下的挠度变形。

如前所述，当构件在持续荷载作用下，由于压区混凝土的徐变，钢筋和混凝土间的滑移徐变等因素，其挠度将随时间而不断缓慢增长。

这也可以理解为构件的抗弯刚度随时间而不断降低。

因此，为了保证构件的适用笥，
在验算构件的挠度变形时，要求在荷载效应的标准组合（或称“短期组合”）作用下并考虑荷载长期作用影响后的构件挠度，不应超过规范规定的允许限值。

那么如何考虑长期荷载作用对挠度的影响呢？目前国内建筑工程与公路桥涵工程所采用的方法有所不同。

前者（GB50010）引入长期刚度B l的概念，通过对刚度的折减来考
虑挠度随时间的增长；而后者（JTJ023）则采用挠度长期增长系数直接反映挠度随时间的增长。

但是从本质上讲，两种方法是一致的。

假设在荷载长期作用下的挠度增大系数为，那么构件在荷载作用下的挠度用短期刚度计算，可以表示为：
（8-32a）
式中M l为准永久组合（或称“长期组合”）弯矩值，M k为标准组合弯矩值。

(M k-M l)即为短暂荷载作用产生的弯矩值。

相同的挠度，若用长期刚度计算，则为：
（8-32b）
令上述二者相等，则得
（8-33）上式即为《混凝土结构设计规范》（GB50010）中的期刚度的计算公式。

式中荷载长期作用下的挠度增长系数按下式计算：
（8-34）式中和分别为纵向受拉和受压钢筋的配筋率。

受压钢筋能阻碍受压区混凝土的徐变，混凝土压应变越小，截面曲率就越小，相应地长期挠度也越小。

上式的项就是为了反映受压钢筋的这一有利影响。

此外，根据国内试验结果，翼缘在受拉区的T形截面的值比配筋率相同的矩形截面的为大，故规范还规定，对翼缘在受拉区的T形截面，应在式（8-34）的基础上增大20%。

以上为建筑工程中长期荷载作用对挠度影响的处理方法。

下面再来看公路桥梁工程如何处理长期荷载作用对挠度的影响。

与式（8-32a）相同的挠度若用短期刚度和短期效应组合下的弯矩值计算，引入挠度长期增长系数，则计算式可以表示为：
（8-32c）同样，由式（8-32a）及（8-32c）可得挠度长期增长系数
（8-35）
为便于计算，对于公路桥梁，常遇的恒、活载比例下，M l/M k=(0.557～0.894)，取平均值为M l=0.733M k。

另外，公路桥梁钢筋混凝土受弯构件通常不配受压区纵向
受力钢筋或配置很少，因而可近似地取=2.0，对于高强混凝土结构构件，当=0时，=1.85～1.65之间。

将以上M l=0.733M k及值代入公式（8-35），即可得到：
C40以下混凝土时，=1.7
采用C40~C80混凝土时，=1.6～1.4，中间强度等级按直线插入取值。

此即《公路钢筋混凝土与预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）对挠度长期增长系数的规定。

由此可以看出，在长期荷载的影响方面，两本规范的计算方法本质上是一致的，只是各自的表现形式不同而已。

8.3.6 受弯构件的挠度验算
这类问题是：已知构件截面尺寸、混凝土强度等级、钢筋种类、数量、直径、混凝土保护层厚度、永久荷载的标准值、可变荷载的标准值、准永久值系数、计算跨度，要求验算受弯构件的挠度。

挠度验算步骤可以归纳如下：
（1）根据力学分析结果，进行荷载效应的标准组合（或称“短期组合”），得到最大弯矩截面的弯矩M k（或M s），建筑工程中还要进行荷载效应的准永久组合以得到M l；
（2）由公式（8-25）或（8-31）计算截面的短期刚度；
（3）计算构件的长期刚度B l或由混凝土强度等级选择构件的挠度长期增长系数
；
（4）由式或计算荷载效应标准组合（或称“短期组合”）作用下并考虑荷载长期作用影响后的构件挠度。

（5）根据结构构件的类型，选用正确的挠度限值，验算构件的挠度是否超过允许值。

挠度验算不通过时，增加截面高度是提高截面刚度的最有效的方法。

当然，也可以加大截面配筋率、提高受压区钢筋面积，或改变截面形式尺寸等措施来提高截面刚度。

[例8-4][例8-5]
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8.3.7 小结
两本规范的刚度与变形计算方法形式上看来，相差很大，但仍有相近之处。

从挠度计算的总体思路上来看，两本规范都采用了“最小刚度原则”来确定受弯构件沿纵向的截面刚度分布。

在确定构件截面的短期刚度上，尽管《混凝土结构设计规范》（GB50010）采用的是平截面假定基础上的刚度解析法，而《公路钢筋混凝土与预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）则采用有效惯性矩法，但二者在刚
度推导过程当中都以平均裂缝间距l m范围内的一段构件作为分析研究的对象，以l m内的平均刚度作为其截面刚度。

在考虑长期荷载作用对挠度的影响时，尽管二者的表现形式不同，前者采用对短期刚度进行折减的长期刚度来考虑，后者
则通过引入一个挠度长期增长系数来考虑，但前文的分析已经表明了两种方法的统一性。