函数及其表示练习题
高考数学专题复习-2.1函数及其表示-高考真题练习(附答案)
专题二函数的概念与基本初等函数2.1函数及其表示考点一函数的概念及表示1.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgnx=1,>0,0,=0,-1,<0.则()A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx答案D 由已知可知xsgnx=s >0,0,=0,-s <0,而|x|=s >0,0,=0,-s <0,所以|x|=xsgnx,故选D.2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1答案A 由已知条件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.评析本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.3.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案D 由x 2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.4.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=4−|U +lg 2-5x+6t3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C 要使函数f(x)有意义,0,0,>0,解之得2<x<3或3<x≤4,故选C.5.(2014山东理,3,5分)函数()A. B.(2,+∞)C. D.答案C 要使函数f(x)有意义,需使(log 2x)2-1>0,即(log 2x)2>1,∴log 2x>1或log 2x<-1.解之得x>2或0<x<12.故f(x)的定义域为0,6.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2x答案D函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.易错警示利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.评析本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.7.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=11+2,则对任意实数x,有()A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=13答案C∵f(x)=11+2,∴f(-x)=11+2−=22+1,∴f(x)+f(-x)=11+2+22+1=1.故选C.一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时,f(0)+f(0)=12+12=1,f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时,f(-1)-f(1)=11+2−1−11+21≠0,故B选项错误.根据排除法可知选C.8.(2022北京,11,5分)函数f(x)=1+1−的定义域是.答案(-∞,0)∪(0,1]解析由题意得≠0,1−≥0,解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].9.(2016江苏,5,5分)函数y=3−2t2的定义域是.答案[-3,1]解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.考点二分段函数1.(2019天津理,8,5分)已知a∈R.设函数f(x)=2-2ax+2a,x≤1,tEns>1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为()A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]答案C本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想.(1)当x≤1时,f(x)=x 2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a 2,①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a 2,要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a 2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,综合①②可知,a≥0时,f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,lnx>0,f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤ln 恒成立.令g(x)=ln ,g'(x)=lnt1(lnp 2,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min =g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a 的取值范围是0≤a≤e,故选C.解后反思求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a 在R 上恒成立⇔f(x)min ≥a,f(x)≤a 在R 上恒成立⇔f(x)max ≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.2.(2019天津文,8,5分)已知函数≤x ≤1,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为()答案D 本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.画出函数y=f(x)的图象,如图.方程f(x)=-14x+a 的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-14x+a 的公共点的个数.当直线l 经过点A 时,有2=-14×1+a,a=94;当直线l 经过点B 时,有1=-14×1+a,a=54.由图可知,函数y=f(x)的图象与l 恰有两个交点.另外,当直线l 与曲线y=1,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.联立=1,=−14x +a,得1=-14x+a,即14x 2-ax+1=0,由Δ=a 2-4×14×1=0,得a=1(舍去负根).综上故选D.一题多解令g(x)=f(x)+14x=4(0≤x ≤1),>1),当0≤x≤1时,g(x)=2+4为增函数,其值域为0,当x>1时,g(x)=1+4,对g(x)求导得g'(x)=-12+14,令g'(x)=0,得x=2,当x∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴当x=2时,g(x)min =g(2)=1,函数g(x)的简图如图所示:方程f(x)=-14x+a 恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a 有两个不同的交点,由图可知54≤a≤94或a=1满足条件,故选D.易错警示本题入手时,容易分段研究方程2=-14x+a(0≤x≤1)与1=-14x+a(x>1)的解,陷入相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.3.(2015课标Ⅰ文,10,5分)已知函数f(x)=2t1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74 B.-54 C.-34 D.-14答案A 当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即log 2(a+1)=3,得a+1=23=8,∴a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.故选A.评析本题主要考查分段函数,指数与对数的运算,考查分类讨论的思想,属中等难度题.4.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=1−sx ≥0,2,x <0,则f(f(-2))=()A.-1B.14C.12D.32答案C ∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f =12,选C.5.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=3ts x <1,2,x ≥1.若f 则b=()A.1B.78C.34D.12答案D=3×56-b=52-b,当52-b≥1,即b≤32时-b=252-b,即252-b=4=22,得到52-b=2,即b=12;当52-b<1,即b>32时-b=152-3b-b=152-4b,即152-4b=4,得到b=78<32,舍去.综上,b=12,故选D.6.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=·2,x≥0,2-,x<0(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=() A.14 B.12 C.1 D.2答案A由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故选A.7.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)=e t1,x<1,13,x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.答案(-∞,8]解析f(x)≤2⇒<1,e t1≤2或≥1,13≤2⇒<1,≤ln2+1或≥1,≤8⇒x<1或1≤x≤8⇒x≤8,故填(-∞,8].8.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)=−2+2,≤1,+1−1,>1,则f=;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是.答案3728;3+3解析∵+2=74,∴f==74+47−1=3728.f(x)的大致图象如图.∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,∴由图可得b>1且b+1-1=3,∴b=2+3,∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3⇒x+1-1=3(x>1),故x=2+3,令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,令x+1-1=1(x>1),无解,∴a min=-1,b=2+3,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.。
函数及其表示练习题
函数及其表示练习题一．解答题（共40小题）1．已知f（x）为一次函数，若f[f（x）]=4x+8，求f（x）的解析式．2．设函数f（x）=．（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．3．设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．4．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，函数y=的定义域为B．（1）求集合A、B．（2）（∁U A）∪（∁U B）．5．（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．6．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．7．若函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，求函数f（x﹣1）的定义域．8．（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域；（2）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域．9．已知f（x）的定义域为，求函数的定义域．10．已知函数f（x）的定义域为[7，15），设f（2x+1）的定义域为A，B={x|x＜a或x＞a+1}，若A∪B=R，求实数a的取值范围．11．已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，求y=f（x+1）+f（x2﹣3）的定义域．12．已知函数f（x）=（Ⅰ）求f[f（﹣2）]的值；（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；（Ⅲ）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．13．设函数f（x）=x2+x﹣．（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．14．求函数y=的值域．15．求下列函数的值域：（Ⅰ）y=（x＞0）；（Ⅱ）y=3x+4﹣．16．求函数的值域．17．已知一次函数f（x）=kx﹣2满足f（2）﹣f（0）=6．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的值域．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．按要求求下列函数的值域：（1）y=3﹣1（观察法）；（2）y=（配方法）；（3）y=2﹣x+（换元法）；（4）y=（分离常数法）．20．求下列函数的值域（1）（2）（3）．21．求函数f（x）=，x∈[0，3]的值域．22．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．23．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．24．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．25．求下列各题中的函数f（x）的解析式．（1）已知f（）=x+4，求f（x）（2）已知函数t=f（x）满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）26．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．27．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．28．已知函数y=|x+1|+|1﹣x|．（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象．29．例2、（1）已知，求f（x）．（2）已知，求f（x）．（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．（4）已知f（x）满足，求f（x）．30．设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，g（x）=k（1）画出函数f（x）的图象．（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值．31．已知函数．（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．32．已知函数f（x）=x2﹣|x﹣1|+3．（1）用分段函数表示函数f（x）解析式；（2）列表并画出该函数图象；（3）指出该函数的单调区间．33．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；（2）作出函数f（x）的简图；（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．34．已知函数f（x）=．（1）求f（π）；（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；（3）若f（a）=3，求a的值．35．已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．（1）求m的值；（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．36．已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．37．已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=x﹣1，求函数f（x）的解析式．38．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．39．设函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1 （﹣3≤x≤3），（1）证明f（x）是偶函数；（2）画出这个函数的图象；（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；（4）求函数的值域．40．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13（1）求函数f（x）的解析式；（2）画该函数的图象；（3）当x∈[t，5]时，求函数f（x）的最大值．函数及其表示练习题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2013秋•菏泽期中）已知f（x）为一次函数，若f[f（x）]=4x+8，求f（x）的解析式．【分析】由题意知，f（x）为一次函数，故可设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），利用函数解析式求得f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，结合待定系数法列出关于a，b的方程，求得a，b．最后写出所求函数的解析式即可．【解答】解：设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），则f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，又f[f（x）]=4x+8，则有a2x+ab+b=4x+8，得或，故所求函数的解析式为：或f（x）=﹣2x﹣8．【点评】本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法．属于基础题．2．（2014•江苏模拟）设函数f（x）=．（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．（I）在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，结合图象写出：|x+1|+|x 【分析】﹣2|﹣5≥0的解集，就是所求函数的定义域．（II）由题意知，x∈R时，|x+1|+|x﹣2|≥﹣a 恒成立，故，|x+1|+|x﹣2|的最小值大于或等于﹣a，从而得到a的取值范围．【解答】解：（I）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，得定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）（II）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，又由（I）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3．【点评】本题考查求函数的定义域的方法，绝对值不等式的意义和解法，体现了数形结合的数学思想．3．（1985•全国）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．【分析】函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，求解即可．【解答】解：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，1]【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4．（2015秋•晋中期中）已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，函数y=的定义域为B．（1）求集合A、B．（2）（∁U A）∪（∁U B）．【分析】（1）根据负数没有平方根及分母不为零列出不等式组，求出不等式组的解集确定出集合A，B．（2）先利用（C U A）（C U B）=C U（A∩B），再结合所求出的集合利用交集的定义即可得到（C U A）∪（C U B）．【解答】解：（1）由x≥2A={x|x≥2}由x≥﹣2且x≠3B={x|x≥﹣2且x≠3}（2）A∩B={x|x≥2且x≠3}∴（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）={x|x＜2或x=3}【点评】此题属于以函数的定义域、值域为平台，考查了交、并、补集的混合运算，要求学生熟练掌握根式函数的意义．5．（2016春•陕西校级期中）（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．【分析】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为函数y=f（x）的定义域是[﹣1，2]，所以函数f（1﹣x2）中﹣1≤1﹣x2≤2，∴﹣1≤x2≤2，即x∈[﹣，]，∴f（1﹣x2）的定义域为[﹣，]．（2）∵函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，∴﹣2＜x≤1，﹣4＜2x≤2，﹣7＜2x﹣3≤﹣1，即函数y=f（x）的定义域为（﹣7，﹣1]．【点评】本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．6．（2017•龙凤区校级模拟）已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2015秋•安阳校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，求函数f（x﹣1）的定义域．【分析】由已知中函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，可以求出函数f（x）的定义域，进而求出函数f（x﹣1）的定义域．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，即≤x≤2，则≤x+1≤3，若≤x﹣1≤3，则≤x≤4．故函数f（x﹣1）的定义域为[，4]，故答案为：[，4]．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．8．（2016春•临沂校级月考）（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域；（2）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域．【分析】（1）设x2=t，根据函数f（t）的定义域为得出t的取值范围，再求出x的取值范围即可；（2）设2x+1=t，根据函数f（2x+1）的定义域求出t的取值范围即可．【解答】解：（1）设x2=t，由题意，函数f（t）的定义域为（0，1），即0＜t＜1，∴0＜x2＜1，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1；∴f（x2）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；（2）设2x+1=t，则x=，∵函数f（2x+1）的定义域为（0，1），∴0＜＜1，解得1＜t＜3，∴f（t）的定义域是（1，3），即f（x）的定义域是（1，3）．【点评】本题考查了函数的定义域和应用问题，是基础题目．9．（2015秋•射洪县校级月考）已知f（x）的定义域为，求函数的定义域．【分析】由已知函数的定义域，可得，然后求解二次不等式组得答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为，∴由，得，解得或1≤x≤．∴函数的定义域为[]∪[1，]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查二次不等式组的解法，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．10．（2016秋•南昌期中）已知函数f（x）的定义域为[7，15），设f（2x+1）的定义域为A，B={x|x＜a或x＞a+1}，若A∪B=R，求实数a的取值范围．【分析】由f（x）的定义域求出f（2x+1）的定义域得到A，再由A∪B=R列关于a的不等式组得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[7，15），∴由7≤2x+1＜15，得3≤x＜7，即A={x|3≤x＜7}，又B={x|x＜a或x＞a+1}，且A∪B=R，∴，解得：3≤a＜6．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了并集及其运算，考查数学转化思想方法，是基础题．11．已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，求y=f（x+1）+f（x2﹣3）的定义域．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，4]，∴由得，即，解得≤x≤，故函数的定义域为[，]．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．12．（2014•海淀区校级模拟）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f[f（﹣2）]的值；（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；（Ⅲ）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由题意可得f（﹣2）=1﹣（﹣4）=5，f[f（﹣2）]=f（5），运算求得结果．（Ⅱ）由题意可得，f（a2+1）=4﹣（a2+1）2，运算求得结果．（Ⅲ）分①当﹣4≤x＜0 时、②当x=0、③当0＜x＜3 时三种情况，分别求出函数的值域，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（﹣2）=1﹣（﹣4）=5，f[f（﹣2）]=f（5）=4﹣25=﹣21．（5分）（Ⅱ）f（a2+1）=4﹣（a2+1）2=﹣a4﹣2a2+3．（10分）（Ⅲ）①当﹣4≤x＜0 时，∵f（x）=1﹣2x，∴1＜f（x）≤9．（11分）②当x=0 时，f（0）=2．（12分）③当0＜x＜3 时，∵f（x）=4﹣x2，∴﹣5＜x＜4．（14分）故当﹣4≤x＜3 时，函数f（x）的值域是（﹣5，9]．（15分）【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值以及值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（2010•郓城县校级一模）设函数f（x）=x2+x﹣．（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．【分析】本题考查二次函数的值域问题，第（1）小问考查的是定轴定区间的值域问题，比较容易，第（2）小问是值域逆向问题，由于区间含有参数a，所以需要对函数的对称轴与区间的位置关系进行讨论，有时还需要考虑区间的中点与对称轴的位置关系．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣，∴对称轴为x=﹣．∵﹣＜0≤x≤3，∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即．（2）∵f（x）的最小值为﹣，∴对称轴x=﹣∈[a，a+1]．∴解得﹣≤a≤﹣．∵区间[a，a+1]的中点为x0=a+，当a+≥﹣，即﹣1≤a≤﹣时，f（x）最大值为f（a+1）=．∴（a+1）2+（a+1）﹣=．∴16a2+48a+27=0．∴a=﹣．当a+＜﹣，即﹣≤a＜﹣1时，f（x）最大值为f（a）=，∴a2+a﹣=．∴16a2+16a﹣5=0．∴a=﹣．综上知a=﹣或a=﹣．【点评】本题涉及的主要数学思想是分类讨论的思想，对于分类讨论的题目，我们要弄清楚分类的标准，做到不重复不漏掉；14．（2016春•南通校级月考）求函数y=的值域．【分析】利用分式函数的性质以及转化法进行求解即可．【解答】解：方法一：y===3﹣，∵x2+2≥2，∴0＜≤，0＜≤，﹣≤﹣＜0，3﹣≤3﹣＜3，即≤y＜3，即函数的值域为[，3）．方法二：由y=得yx2+2y=3x2﹣1，即（3﹣y）x2=2y+1，当y=3时，方程等价为0=7，不成立，则y≠3，∴x2=≥0，得≤y＜3，即函数的值域为[，3）．【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的单调性的性质以及函数的性质是解决本题的关键．15．（2014秋•道里区校级期中）求下列函数的值域：（Ⅰ）y=（x＞0）；（Ⅱ）y=3x+4﹣．【分析】（Ⅰ）由函数式，解出x，令x＞0，解出即可得到值域；（Ⅱ）令=t（t≥0），则x=，化函数为t的二次函数，运用二次函数的值域的求法，即可得到所求值域．【解答】解：（Ⅰ）由于y=（x＞0），则x=＞0，解得，﹣，则值域为（﹣，）；（Ⅱ）令=t（t≥0），则x=，则有y=+4﹣t=（t﹣）2﹣，由于t≥0，则当t=，y取最小值﹣．则值域为[﹣，+∞）．【点评】本题考查函数的值域求法，考查换元法和反解法求值域的方法，考查运算能力，属于中档题．16．（2016秋•张家口校级月考）求函数的值域．【分析】设，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设，则函数∴故所以函数的值域为【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．17．（2014春•西城区期末）已知一次函数f（x）=kx﹣2满足f（2）﹣f（0）=6．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的值域．【分析】（Ⅰ）由已知，得（2k﹣2）﹣（﹣2）=6，求出k值，可得f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的解析式，分x＞0和x＜0两种情况结合基本不等式求出函数值的取值范围，综合讨论结果可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得（2k﹣2）﹣（﹣2）=6，（3分）解得k=3．所以函数f（x）的解析式为f（x）=3x﹣2．（6分）（Ⅱ）．当x＞0时，，当且仅当，即x=1时等号成立，（8分）所以g（x）≥2．（10分）当x＜0时，因为，所以，当且仅当，即x=﹣1时等号成立，（11分）所以g（x）≤﹣10．（12分）所以，函数g（x）的值域为（﹣∞，﹣10]∪[2，+∞）．（13分）【点评】本题考查的知识点是函数的值域，函数的解析式，基本不等式的应用，是函数，方程，不等式的综合应用，难度中档．18．（2015秋•枣阳市期中）已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．按要求求下列函数的值域：（1）y=3﹣1（观察法）；（2）y=（配方法）；（3）y=2﹣x+（换元法）；（4）y=（分离常数法）．【分析】根据所要求的观察法、配方法、换元法、以及分离常数法即可求解本题．【解答】解：（1）函数的值域为[﹣1，+∞）；（2）y=，∴该函数的值域为[0，]=[0，]；（3）令，则x=，所以：；∴原函数的值域为（﹣∞，]；（4）y=；∵，∴；∴该函数的值域为{y|y≠﹣2}．【点评】考查函数值域的概念，以及常用方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法，根据不同的函数选择对应方法即可．20．（2009春•启东市校级月考）求下列函数的值域（1）（2）（3）．【分析】（1）本题宜用分离常数法求值域，其定义域为{x|x≠0}函数可以变为y=﹣1+再由函数的单调性求值域．（2）令=t，将函数转化成关于t的一道定函数在定区间上的值域问题，通常利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．（3）先把函数化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．【解答】解：（1）由题函数的定义域为{x|x≠﹣1}=﹣1+≠﹣1故函数的值域为{y|y≠﹣1}（2）：令=t，t≥0，则x=，∴y=，当且仅当t=1时取等号故所求函数的值域为[﹣1，+∞），（3）原式可化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，∴△=9y2﹣8y（y﹣1）≥0，∴y（y+8）≥0，∴y＞0 或y≤﹣8，，故答案为：（﹣∞，﹣8]∪（0，+∞）【点评】本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．（1）小题求值域采用了分离常数法的技巧，对于分式形函数单调性的判断是一个好办法，注意总结这种技巧的适用范围以及使用规律．（2）是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．21．求函数f（x）=，x∈[0，3]的值域．【分析】先利用换元法设t=将函数转化为y===，然后再次化简转化为基本x+型函数，求函数的导数，结合分式函数的性质进行求解．【解答】解：t=，∵x∈[0，3]，∴t∈[1，2]，则x=t2﹣1，则函数等价为y===，令m=t﹣2，则m∈[﹣1，0]，则函数等价为y=当t=2时，m=0，此时y=0，当m∈[﹣1，0），则函数等价为y=，设h（m）=m+，则h′（m）=1﹣=，当m∈[﹣1，0）时，h′（m）＜0，即函数h（m）为减函数，∴h（m）≤h（﹣1）=﹣1﹣11=﹣12，则h（m）+4≤﹣12+4=﹣8，则y=∈[﹣，0），当m=0时，y=0，综上y∈[﹣，0]，即函数的值域为[﹣，0]．【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合根式和分式的关系，多次使用换元法进行转化，结合函数的导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．22．（2015春•南昌校级期末）已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．【分析】（1）对于函数f（g（x）），把g（x）看做一个整体变量代入函数f（x）的表达式即可求出；（2）代入（1）的解析式求出即可．【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．【点评】理解函数的定义中的对应法则和复合函数的定义域是解题的关键．23．（2015春•重庆期末）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f （x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）根据f（0）=f（1），求出m的值，再根据方程x=f（x）有两个相等的实数根，得到判别式△=0，求出n的值，从而求出函数的解析式；（Ⅱ）根据二次函数的性质，求出其对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），∴n=1+m+n．…（1分）∴m=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）∴n=1．…（6分）∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f（x）有最小值．…（9分）而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分）【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、值域问题，是一道基础题．24．（2016秋•普宁市校级期末）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．【分析】由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，利用恒等式的对应项系数相等即可得出．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．∵f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，∴3[a（x+1）+b]﹣2[a（x﹣1）+b]=2x+17，化为ax+（5a+b）=2x+17，∴，解得．∴f（x）=2x+7．【点评】本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质．25．（2015春•临沂校级月考）求下列各题中的函数f（x）的解析式．（1）已知f（）=x+4，求f（x）（2）已知函数t=f（x）满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）【分析】（1）利用换元法设t=+2（t≥2），则=t﹣2，代入求出即可；（2）将x换成，则换成x，解出f（x）即可．【解答】解：（1）设t=+2（t≥2），则=t﹣2，即x=（t﹣2）2，∴f（t）=（t﹣2）2+4（t﹣2）=t2﹣4，∴f（x）=x2﹣4（x≥2）．（2）由2f（x）+f（）=2x，①将x换成，则换成x，得2f（）+f（x）=，②①×2﹣②，得3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，本题是一道基础题．26．（2014秋•梧州期末）已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，∴f（t）=4×=2t+2．故f（x）=2x+2．则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．27．（2015秋•乐陵市校级期中）（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17可确定出k，b的值，进而可求函数解析式（2）在已知的等式当中，用替换x，联立f（x）和f（）二元一次方程组求解f（x）即可．【解答】解：（1）由题意可设f（x）=kx+b∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17∴3[k（x+1）+b]﹣2[k（x﹣1）+b]=2x+17即kx+5k+b=2x+17∴解方程可得，k=2，b=7∴f（x）=2x+7（2）由2f（x）+f（）=3x①可得2f（）+f（x）=②①×2﹣②得：3f（x）=6x﹣所以，f（x）=2x﹣（x≠0）【点评】本题考查了运用代入法、待定系数法等方法求解函数的解析式，属于基本方法的简单应用28．（2013春•新会区校级月考）已知函数y=|x+1|+|1﹣x|．（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象．【分析】（1）由x+1=0，得出x=﹣1．由x﹣1=0，x=1．只要分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1分别去掉绝对值符号，写出y的表达式即可．（2）根据（1）画出草图如下图．【解答】解：（1）函数y=|x+1|+|1﹣x|=（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：【点评】本题考查了含绝对值类型的函数化为分段函数及图象，恰当分类讨论是解决问题的关键．29．（2009•青羊区校级模拟）例2、（1）已知，求f（x）．（2）已知，求f（x）．（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．（4）已知f（x）满足，求f（x）．【分析】（1）用配凑法根据可得答案．（2）用换元法，令t=，可得x=，代入即可．（3）设f（x）=ax+b代入可得．（4）通过联立方程组可得答案．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）．（2）令（t＞1），则，∴，∴．（3）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=3ax+3a+3b﹣2ax+2a﹣2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．（4）①，把①中的x换成，得②，①×2﹣②得，∴．【点评】本题主要考查求函数解析式的一般方法﹣﹣配凑法、换元法、待定系数法、方程组法．30．（2014秋•深圳校级期中）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，g（x）=k（1）画出函数f（x）的图象．（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值．【分析】（1）由于函数f（x）的解析式画出函数f（x）的图象如如所示：（2）∵函数f（x）与g（x）有3个交点，可得g（x）的图象经过y=﹣（x2﹣4x﹣5）的最高点（2，9），从而求得k的值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|=|（x﹣5）（x+1）|，画出函数f（x）的图象如如所示：（2）∵函数f（x）与g（x）有3个交点，∴由（1）的图可知此时g（x）的图象经过y=﹣（x2﹣4x﹣5）的最高点（2，9），可得k=f（2）==9．【点评】本题主要考查函数的图象的作法，两个函数的图象的交点个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．31．（2015秋•菏泽期中）已知函数．（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．【分析】（1）利用函数的解析式直接求出函数的图象；（2）通过函数的图象直接写出函数的单调区间以及函数的值域．【解答】解：（1）图象如下图所示；…（5分）（2）由图可知f（x）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]， (8)值域为[﹣1，3]；…（12分）【点评】本题考查函数的图象的作法，函数的值域以及函数的单调区间，考查基本知识的应用．32．（2013秋•大姚县校级期末）已知函数f（x）=x2﹣|x﹣1|+3．（1）用分段函数表示函数f（x）解析式；（2）列表并画出该函数图象；（3）指出该函数的单调区间．【分析】（1）讨论绝对值化简f（x）=x2﹣|x﹣1|+3=；（2）列表画图，（3）由图象直接写出单调区间．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣|x﹣1|+3=；﹣（3）由图象知，函数的减区间为（﹣∞，﹣）；增区间为（﹣，+∞）．【点评】本题考查了函数的图象的作法与应用，属于基础题．33．（2016春•朔州校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；（2）作出函数f（x）的简图；（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．【分析】（1）利用函数的奇偶性求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；（2）结合函数的表达式进行作图；（3）根据函数的表达式写出函数f（x）的单调区间及最值．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣1=x2+2x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x﹣1，∴f（x）=．（2）函数f（x）的简图：（3）单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣1]和[0，1]，当x=1或﹣1时，f（x）有最小值﹣2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．34．已知函数f（x）=．（1）求f（π）；（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；（3）若f（a）=3，求a的值．【分析】（1）由π＞2，代入求值；（2）作函数的图象；（3）由题意，a2=3．【解答】解：（1）f（π）=2π；（2）如下图：（3）由图可知，f（a）=3时，a2=3，解得，a=．【点评】本题考查了学生对分段函数的掌握情况及学生的作图能力，属于基础题．35．（2016秋•舒城县校级期中）已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．（1）求m的值；（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．【分析】（1）由一次函数f（x）是减函数，且f（1）=0，求出m的值；（2）由（1）知m的值，把f（x+1）≥x2化为﹣（x+1）+≥x2，求出x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，且f（x）是减函数，f（1）=0，∴，解得m=；（2）当m=时，f（x）=﹣x+，∴f（x+1）≥x2可化为﹣（x+1）+≥x2，解得﹣≤x≤0；∴x的取值范围是[﹣，0]．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质的应用以及解不等式的问题，是基础题．36．（2016秋•临猗县校级月考）已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据一次函数f（x）是增函数，设出一次函数的表达式，代入f（f（x））=4x ﹣3，利用系数相等可求一次函数解析式；（2）根据（1）中求出的函数是增函数，直接求出f（x）在[﹣2，2]上的最大值，则实数m 的取值范围可求．【解答】解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．由f（f（x））=4x﹣3，得：a（ax+b）+b=4x﹣3，即a2x+ab+b=4x﹣3，所以，，解得：或，因为a＞0，所以a=2，b=﹣1．所以f（x）=2x﹣1；（2）由f（x）＜m，得m＞2x﹣1．不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，即为m＞2x﹣1对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，因为函数f（x）=2x﹣1在[﹣2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．所以m＞3．所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，考查了利用代入法求函数解析式，本题的（2）实则是分离变量的解题思想，此题是基础题．37．已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=x﹣1，求函数f（x）的解析式．【分析】设出函数f（x）的解析式，利用f（f（x））=x﹣1，求出函数f（x）的解析式．【解答】解：设一次函数f（x）=ax+b，∴f（f（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=x﹣1，∴，解得；∴f（x）=x﹣．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题目．38．（2011•泰兴市校级模拟）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．【解答】解：（1）由f（0）=2可知c=2，又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．∴，解得a=1，b=﹣2∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，f（x）min=f（1）=1，即m=1；当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，根据韦达定理得到：，即，∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x==1﹣又a≥1，故1﹣∴M=f（﹣2）=9a﹣2m=则g（a）=M+m=9a﹣﹣1又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=【点评】考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．39．（2013春•荔城区校级期中）设函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1 （﹣3≤x≤3），（1）证明f（x）是偶函数；（2）画出这个函数的图象；（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；（4）求函数的值域．【分析】（1）由﹣3≤x≤3得到函数的定义域关于原点对称，求出f（﹣x）化简得到与f（x）相等得证；（2）讨论x的取值分别得到f（x）的解析式，画出函数图象即可；（3）在函数图象上得到函数的单调区间，分别指出增减函数区间即可；（4）分区间[﹣3，0）和（0，3]上分别利用二次函数求最值的方法得到函数的最值即可得到函数的值域．【解答】解：：（1）证明∵x∈[﹣3，3]，∴f（x）的定义域关于原点对称．f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|﹣1=x2﹣2|x|﹣1=f（x），即f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，即f（x）=根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（3）函数f（x）的单调区间为[﹣3，﹣1），[﹣1，0），[0，1），[1，3]．f（x）在区间[﹣3，﹣1）和[0，1）上为减函数，在[﹣1，0），[1，3]上为增函数．（4）当x≥0时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的最小值为﹣2，最大值为f（3）=2；当x＜0时，函数f（x）=（x+1）2﹣2的最小值为﹣2，最大值为f（﹣3）=2．故函数f（x）的值域为[﹣2，2]．【点评】考查学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题，会证明函数的奇偶性，会根据图象得出函数的单调区间，会求函数的值域．40．（2005秋•金湖县校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13（1）求函数f（x）的解析式；（2）画该函数的图象；（3）当x∈[t，5]时，求函数f（x）的最大值．【分析】（1）由f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，得到f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x+13，由此求出a，b，c的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）先求出该函数的对称轴和顶点为坐标，再求出它与y轴的交点坐标，然后结合函数的对称性作出这条开口向上的抛物线．（3）x∈[t，5]，f（x）=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，当﹣3≤t≤5时，函数f（x）的最大值为f （5）=f（﹣3）=9+6+7=22．当t＜﹣3时，函数f（x）的最大值为f（t）=（t﹣1）2+6．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）=ax2+bx+c+a（x+1）2+b（x+1）+c=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c∵f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13∴∴f（x）=x2﹣2x+7（2）该函数是对称轴为x=1，顶点为（1，6），与x轴无交点，与y轴交于（0，7），开口向上的抛物线．（3）∵x∈[t，5]，f（x）=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，∴当﹣3≤t≤5时，函数f（x）的最大值为f（5）=f（﹣3）=9+6+7=22．。
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案高一数学（必修1）第一章：函数及其表示基础训练选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A。
⑴、⑵B。
⑵、⑶C。
⑷D。
⑶、⑸2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（）A。
1B。
0或1C。
2D。
1或23.已知集合A={1.2.3.k}，B={4.7.a。
4.a^2+3a}，且a∈N，x∈A，y∈B*，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则a，k的值分别为（）A。
2，3B。
3，4C。
3，5D。
2，54.已知f(x)={x+2(x≤-1)，x^2(-1<x<2)，2x(x≥2)}，若f(x)=3，则x的值是（）A。
1B。
1或-3C。
1，或±3D。
35.为了得到函数y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移，这个平移是（）A。
沿x轴向右平移1个单位B。
沿x轴向右平移1/2个单位C。
沿x轴向左平移1个单位D。
沿x轴向左平移1/2个单位6.设f(x)={x-2(x≥10)，f[f(x+6)](x<10)}，则f(5)的值为（）A。
10B。
11C。
12D。
13填空题1.设函数f(x)={1/(x-1)(x≥1)，2/x(xa，则实数a的取值范围是（0.1）。
2.函数y=(x-2)/(x^2-4)的定义域是R-{-2.2}。
3.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
4.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是(-∞。
0)∪(1.+∞)。
5.函数f(x)=x+(1/x)的最小值是2.解答题1.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
解：当x+1≠0时，即x≠-1时，f(x)有意义，所以f(x)的定义域为R-{-1}。
2.求函数y=(x^2+x+1)/(x+1)的值域。
解：y=(x^2+x+1)/(x+1)=x+1+1/(x+1)，当x→±∞时，y→±∞，所以y的值域为R-{-1}。
高一数学函数及其表示试题答案及解析
②定义域和值域都是 的函数 不存在承托函数；
③ 为函数 的一个承托函数；
④ 为函数 的一个承托函数．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①③
【解析】由题意可知，如果存在函数 ( 为常数)，使得 对一切实数 都成立，那么称 为函数 的一个承托函数，那么对于 来说，不存在承托函数，当 ， ，则此时有无数个承托函数；②定义域和值域都是 的函数 不存在承托函数，因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误；对于③因为 恒成立，则可知 为函数 的一个承托函数；成立；对于④如果 为函数 的一个承托函数.则必然有 并非对任意实数都成立，只有当 或 时成立，因此错误；综上可知正确的序号为①③.
⑷ ，能被称为“理想函数”的有_ _（填相应的序号） 。
【答案】（4）
【解析】依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
⑴ 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
⑵ 为定义域上的偶函数，排除（2）；
【答案】B
【解析】函数 的定义域为R，
函数 的定义域为 ，所以与函数 的定义域不同，不是同一函数；
函数 的定义域为R，且 ，与与函数为同一函数；
函数 的定义域为 ，所以与函数 的定义域不同，不是同一函数；
函数 ，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数.
故选：B.
【考点】函数的定义
12.已知函数 ，则该函数与直线 的交点个数有（ ）
C．（4）
D．（3），（5）
【答案】C
高一数学函数概念及其表示练习题
函数的概念及表示(国庆作业）一、选择题:1、函数y=）A．{}1x x≤B．{}0x x≥C．{}10x x x≥≤或D．{}01x x≤≤2、函数11xyx+=-的值域为（）A．()()11-∞+∞，，B．()1,1-C．()()11-∞+∞，-，D．()()11-∞-+∞，-，3、下列函数()()f xg x与表示同一函数的是（）A．()()42f x xg x==与B．()()2xf x xg xx==与C．()()f xg x==D．()()2f x xg x==与4．给出下列四个对应，其中构成映射的是…( ）A．（1)(2） B．(1）（4）C．(1)(3)（4） D．（3）(4）5.已知函数f（x）＝错误!若f（a)＝f(4)，则实数a等于……（)A．4 B．1或－1C．－1或4 D．1,－1或46、函数()13f xx=-的定义域是（）A．(),3-∞B．()3+∞，C．()()33-∞+∞，，D．()()33-∞+∞，，7．集合{}22M x x=-≤≤，{}02N y y=≤≤，给出下列四个图形,其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ).8．下列图形是函数y＝－|x｜（x∈[－2,2］）的图象的是( ）9．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）。
10．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ）。
A ．[1,2)-B ．[0,2)-C ．[0,3)-D ．[2,1)- 11、已知函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则()2f x -的定义域为（)A ．[]2,3-B ．[]1,4-C ．[]16，D ．[]4,1-12．在函数y ＝｜x|(x ∈[－1，1]）的图象上有一点P （t ，|t|）,此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形（如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为（ )二、填空题13．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______;f ［(2)f ]＝______． 14．已知2(21)2f x x x +=-，则()f x = 。
函数及其表示练习题含详细答案解析
函数及其表示练习题含详细答案解析2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
解：（1）由于f （x ）=2x =|x|，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴f （x ）=1212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f （x ）=x 1+x 的定义域为{x|x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x|x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f （x ）和y=g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f （x ）和y=g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
3、求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）y =3）312x y x +=-； （4）y x =+5）y x =6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；解：（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y 又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤， ∴04μ≤≤[0,2]，∴y =[0,2]（3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠ （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠（4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞注：总结y ax b =+变形：2y ax b =+2y ax b =+（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[42πα+∈，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[1-（6）数形结合法：23(4) |1||4|5(41)23(1)x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y≥，∴函数值域为[5,)+∞（7）判别式法：∵210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R由22221x xyx x-+=++得：2(2)(1)20y x y x y-+++-=①①当20y-=即2y=时，①即300x+=，∴0x R=∈②当20y-≠即2y≠时，∵x R∈时方程2(2)(1)20y x y x y-+++-=恒有实根，∴△22 (1)4(2)0y y=+-⨯-≥，∴15y≤≤且2y≠，∴原函数的值域为[1,5]（8）21 21(21)111121 212121222 x x x xy x xx x x x-+-+===+=-++ ----，∵12x>，∴12x->，∴112122xx-+≥-，当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立∴12y≥，∴原函数的值域为1 ,) 2+∞4、求函数的解析式（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ；解：（1）配凑法：∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）； （2）换元法：令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-；（3）待定系数法：设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+；（4）方程组法：12()()3f x f x x += ①把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-∴1()2f x x x =-。
函数及其表示60题02
1．．若函数y=f(x)的定义域是[2，4]，12(log )y f x =的定义域是（ ）（A ）[21，1] （B ）[4，16] （C ）[41,161] （D ）[2，4] 【答案】C【解析】此题考查抽象函数的定义域问题的求法；已知()y f x =定义域为A ，求[()]f g x 定义域问题，只要解关于x 的()g x A ∈不等式即可；所以1111222211112log 4log log log 416164x x x ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，所以选C 2．若偶函数()f x 满足)()2(x f x f -=+，且当(0,1)x ∈时，()32xf x =-，则3(log 54)f =（ ） A ．31B ．21 C ．－31 D ．－21 【答案】D【解析】(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 为周期为4的周期函数 因为()f x 为偶函数，所以当(1,0)x ∈-时，(0,1)x -∈，则()()32xf x f x -=-=-因为275481<<，所以33log 544<<，则31log 5440-<-< 所以334(log 544)33log 543811(log 54)(log 544)32223542f f --=-=-=-=-=-，故选D 。
3．下列说法中：①所有幂函数的图象都经过点（1，1）和（0，0） ②所有幂函数的图象都不经过第四象限 ③函数0x y =的图象是一条直线④幂函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数 正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】此题考查幂函数的性质；当0α>时，幂函数过定点(0,0),(1,1)，在第一象限内递增；当0α<时，幂函数过定点(1,1)，在第一象限内递减；所有的幂函数都不过第四象限，因为正数的任何次幂都大于零，所以当自变量取正数时，函数值是正数；所以①错，②对，0y x =的定义域是{|0}x x ≠，所以此函数的直线是除了(0,1)之外的部分，所以③错，④对，如3,y x y x ==是奇函数，2y x =是偶函数，12y x =既不是奇函数也不是偶函数 ，所以正确的有2个，选C4．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则229a b ab+ 的最大值与最小值之和为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．494【答案】B【解析】令()(32)g m a m b a =-+-，因为当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，即0()1g m ≤≤恒成立，所以0(0)10(1)1g g ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即010221b a a b ≤-≤⎧⎨≤+-≤⎩ 满足上述条件的点(,)a b 的可行域如下：由图可知，目标函数b z a =在边界b a =上取到最小值1，在点14(,)33处取到最大值4，所以[1,4]ba∈ 而2299a b a b ab b a +=+，令bx a=，则14x ≤≤ 9y x x =+，229'x y x -=，当13x ≤≤时，'0y ≤，此时函数9y x x=+单调递减，当34x ≤≤时，'0y ≥，此时函数9y x x=+单调递增 所以函数9y x x =+在点3x =处取到最小值6，因为1x =时10y =，4x =时254y =所以函数9y x x=+在点1x =处取到最大值10所以229a b ab+的最小值为6，最大值为10，则两者之和为16，故选B5．若函数()f x 在给定区间M 上存在正数t ，使得对于任意x M ∈，有x t M +∈， 且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数。
(完整版)函数及其表示练习题及答案
i函数及其表示练习题一．选择题1函数满足则常数等于（）23(,32)(-≠+=xxcxxf,)]([xxff=cA B33-C D33-或35-或2. 已知，那么等于（）)0(1)]([,21)(22≠-=-=xxxxgfxxg21(fA B151C D3303．函数的值域是（）2y=A B[2,2]-[1,2]C D[0,2][4已知，则的解析式为（）2211(11x xfx x--=++()f xA B21xx+212xx+-C D212xx+21xx+-5．设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )()f x(A)是奇函数 (B)是奇函数()()f x f x-()()f x f x-(C) 是偶函数 (D) 是偶函数()()f x f x--()()f x f x+-6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数bxaxy+=2)0,0(≠≠+=babaxy的图象只可能是（）7．已知二次函数，若，则的值为（)0()(2>++=aaxxxf0)(<mf)1(+mfAl l ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关8. 已知的定义域为，则的定义域为（)(x f )2,1[-|)(|x f ）A ．B ．C ．D ．)2,1[-]1,1[-)2,2(-)2,2[-9. 已知在克的盐水中，加入克的盐水，浓度变为，将y 表示成x 的函x %a y %b %c 数关系式（ ）A ．B ．C ．D ．x b c ac y --=x cb ac y --=x a c b c y --=x ac cb y --=10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=，那么等于（p q f =)3()72(f ）A ．B ．C ．D ．qp +qp 23+qp 32+23qp +11. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x ]（B ）y ＝[310x +]（C ）y ＝[410x +]（D ）y ＝[510x +]12.已知函数则()()2113,f x x x =+≤≤A ． B ．()()12202f x x x -=+≤≤()()12124f x x x -=-+≤≤C ． D ．()()12202f x x x -=-≤≤()()12104f x x x -=-≤≤13.函数的定义域为y =A ．B ．()4,1--()4,1-C ． D ．()1,1-(1,1]-14.设函数则的值为()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A ．B ．C ． D.15162716-891815. 定义在上的函数满足R ()f x ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=则等于（ ）()3f - A. 2 B. 3 C. 6 D ．916.下列函数中与函数有相同定义域的是 （ ）y =A ．B 。
函数及其表示练习题
函数及其表示练习题一、选择题1. 下列哪个选项不是函数的三要素？A. 定义域B. 值域C. 对应法则D. 图像2. 设函数f(x) = 2x + 3，则f(1)的值为：A. 2B. 3C. 5D. 63. 下列哪个函数是增函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = 2xD. y = 1/x4. 若函数f(x) = (x 1)/(x + 1)，则f(x)的定义域为：A. x ≠ 1B. x ≠ 1C. x ≠ 0D. 全体实数二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x 5，则f(2) = _______。
2. 若函数g(x) = 2x^2 4x + 3，则g(1) = _______。
3. 设函数h(x) = |x 2|，则h(3) = _______。
4. 若函数f(x) = 1/x，则f(x)的定义域为 _______。
三、解答题1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，求f(0)、f(1)和f(1)的值。
2. 设函数g(x) = 1/(x 2)，求g(x)的定义域。
3. 已知函数h(x) = |2x 3|，求h(2)、h(1.5)和h(0)的值。
4. 若函数f(x) = 3x^3 4x^2 + 2x，求f(1)、f(1)和f(0)的值。
5. 设函数g(x) = (x + 1)/(x 1)，求g(x)的定义域。
四、应用题1. 某商店销售某商品，每件商品的成本为50元，售价为80元。
请写出该商店每件商品的利润函数，并求出当销售10件商品时的总利润。
2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶过程中速度保持不变。
请写出汽车行驶距离与时间的函数关系，并求出行驶3小时时的行驶距离。
3. 某企业生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为200元。
请写出该企业生产成本与生产数量的函数关系，并求出生产50件产品时的总成本。
五、判断题1. 函数f(x) = x^2和g(x) = (x + 1)^2在定义域上是一致的。
函数及其表示方法(习题及答案)
5. 下列各项表示同一函数的是（ ） A． f (x) x2 1 与 g(x) x 1 x 1 B． f (x) x2 1 与 g(x) x 1
C． f (t) 1 t 与 g(x) 1 x
1t
1 x
D． f (x) 1 与 g(x) x 1
x
6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则
15.
已知
f
(x)
x
（
x
≥
0） ，若
f
(a)
f
(1)
2 ，则
a
的值为
x（ x 0）
____________．
16. （1）若函数 f (2x 1) x2 2x ，则 f (3) _________．
（2）函数 f (x 1) x 1 ，若 f (a) 3，则实数 a=______．
（3）已知
g(x)=3x+2，
f
(
g(x))
1 x2（ x2
x
0），则
f
(1)=____．
17. 已知 f (x)是二次函数，且 f (x 1) f (x 1) 2x 2 4x ，求 f (x) 的解析式．
4
【参考答案】
1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. D 9. A 10. 4 11. ③④
15. 1
16. （1）-1；（2）11；（3）8
17. f (x) x2 2x 1
5
12. 求下列函数的定义域： （1） f (x) 1 x x
（2） f (x) (x 1)0 x x
（3） f (x) x 2 6 2x 1
（4）
f
专题练习：函数及其表示(含参考答案)
14．(2018·山东济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B.当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选 B.当0≤x ≤4时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴f (x )∈[－8，1]；当a ≤x ＜0时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为增函数，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1⊆[－8，1]，－8≤－12a ＜－1，∴18≤2a ＜1. 即－3≤a ＜0.16．(2018·陕西西安模拟)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤M ，M ，f （x ）＞M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( )A ．2B ．1 C. 2D ．－ 2解析：选B.由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，x 2≥1，－x 2≤－1，∴2－x 2≤1，f M (x )＝2－x 2；当－1＜x ＜1时，x 2＜1，∴－x 2＞－1，∴2－x 2＞1，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，选B.17．(2018·福州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：选C.当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24， 显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B.当a ＝23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (1)＝21＝2.显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.故排除D.选C. 18．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎨⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1，∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x .答案：g (x )＝9－2x19．(2018·柳州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎨⎧f （a ）＜0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎨⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 答案：(－∞，2]。
函数及其表示练习题
人教新课标数学必修Ⅰ1.2函数及其表示练习题（1）一、选择题(5357'='⨯)⒈ 下列各组函数表示同一函数的是 （ ）Ａ.11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g Ｂ.32)(x x f -=与x x x g 2)(-⋅=Ｃ.x x f =)(与2)()(x x g = Ｄ.12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g ⒉ 函数xy 111+=的定义域是 （ ）Ａ.{}0>x x Ｂ.{}10-≤>x x x 或 Ｃ.{}10-<>x x x 或 Ｄ.{}10<<x x⒊ 函数()Z x x x x y ∈≤≤--=,412的值域是 （ ）Ａ.[]12,0 Ｂ.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41Ｃ.{}12,6,2,0 Ｄ.{}12,6,2⒋ 已知映射B A f →:,其中集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中的元素在映射B A f →:下的对应的元素.且对任意的,)(,a a f A a =∈则集合B 中的元素的个数是 （ ）Ａ.4 Ｂ.5 Ｃ.6 Ｄ.35. 二次函数222+-=x x y 的值域是 （ ）Ａ.R Ｂ.φ Ｃ.),0[+∞ Ｄ.),1[+∞⒍ 若函数)(x f y =的定义域为],2,6[-则函数)(x f y =的定义域为（ ）Ａ.]4,4[- Ｂ.]2,2[- Ｃ.]2,0[ Ｄ.]4,0[⒎ 已知函数,1)(2+=x x f 则)]1([-f f 的值等于 （ ）Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5二、 填空题(0254'='⨯)⒏ 已知),0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g 则=)0(f ______________.⒐ 已知,2)(,11)(2+=+=x x g xx f 则=)2(f ______________. =)]2([g f __________.⒑ 函数24)(++=x x x f 的定义域为______________. ⒒ 已知定义在),0[+∞上的函数⎩⎨⎧≤≤≥+=).20(),2(2)(2x x x x x f 若,425)]}([{=k f f f =k _____. 三、 解答题(5495'='⨯)⒓ 已知函数,32)(2-+=x x x f 求)(),2(),2(a f f f -的值.⒔ 已知二次函数),(x f 当2=x 时有最大值,16它的图像截x 轴所得线段长为8，求).(x f⒕ 画出函数12)(-=x x f 的图像.⒖ 某山海拔7500,m 海平面温度为,25C o 气温是高度的函数,而且高度每升高,100m 温度就下降.6.0C o 请你用解析式表示出气温T 随高度x 变化的函数关系,并指出函数的定义 域和值域.参考答案⒈D ⒉C ⒊C ⒋A ⒌D ⒍D ⒎D⒏3 ⒐71;31 ⒑{}24-≠-≥x x x 且 ⒒23⒓32,122,52-+--a a ⒔124)(2++-=x x x f ⒕图略 15.x x T 500325)(-= 定义域]7500,0[ 值域]25,20[-1.2.1 函数的概念 1.2.2函数的表示法一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共 36分）1. 设集合，，则在下面四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 2.已知函数()11f x x =+，则函数()()f f x 的定义域是（ ） A. }1|{-≠x xB. }2|{-≠x xC. }21|{-≠-≠x x x 且D. }21|{-≠-≠x x x 或3.定义域为R 的函数的值域为[]，则函数) 的值域为 （ ） A.[2, B.[0, C.[ D.[4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．2|,|x y x y ==B ．C ．33,1xx y y ==D ．2)(|,|x y x y ==5.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以 60千米/时的速度从地到达地，在地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离（千米）表示为时间(时)的函数表达式是（ ） A ． B ．C ．D ． 6. 下列对应关系：①{1，4，9}，{-3，-2，-1，1，2，3}，→的算术平方根; ②，，的倒数; ③，，.4 , 2 22 - = +- = x y x x y ⎪ ⎩ ⎪⎨ ⎧ > - ≤ ≤ = ) 5 . 3 ( 50 150 ) 5 . 2 0 ( 60 t t t t x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < - ≤ < ≤ ≤ = ) 5 . 6 5 . 3 ( 50 325 ) 5 . 3 5 . 2 ( 150)5 . 2 0 ( 60 t tt t t x其中是A 到B 的函数的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共 18分)7.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x . 8.已知函数则((6))f f9．已知且＝4，则的值 为 ．三、解答题（本大题共3小题，共46分） 10．（14分）求下列函数的定义域： （1）xx x y -+=||)1(0；（2）xxx y 12132+--+=．11.（16分）作出下列各函数的图象：(1)∈Z ； (20)．12. （16分）求下列函数解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x一、选择题1.C 解析：由函数的定义知①中的定义域不是，④中集合中有的元素在集合中对应两个函数值不符合函数定义，故不对，只有②③成立．故选C ．2.C 解析：由()1f x ≠-，即111x ≠-+，得1x ≠-且2x ≠-. 3.C 解析：因为函数()f x 的定义域为R ,所以的取值范围也是R ,因此函数 ()()f x a f t +=的值域与函数()f x 的值域相同,是. 4.A 解析：B 、C 、D 三个选项中的两个函数的定义域不相同,不表示同一个函数，A 选项中的两个函数的定义域与对应关系都相同，表示相同的函数.故选A. 5.D 解析；从Ａ地到Ｂ地用了1502.560=(时),因此当0 2.5t ≤≤时, t x 60=.因为在B 地停留1小时,所以当2.5 3.5t <≤时, 150x =. 经 3.5小时开始返回,由B 地到A地用了150350=（时）,因此当3.5 6.5t <≤时,()15050 3.532550.x t t =--=-综上所述,6.A 解析: 根据函数的概念，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应.对于①，集合中的1，4，9在集合B 中都有唯一的元素与它对应，故是函数；对于②，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素对应;对于③，集合A 中的元素x ∈在集合B 中都有唯一的元素x 22与它对应，故是函数. 故选A ． 二、填空题7. 12-x 解析：()()()223221g x f x x x +==+=+-，所以()2 1.g x x =-8.25-解析：((6))f f =()225f -=-.9.5 解析：∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∴ f (x )＝32x －72.∵ f (a )＝4，∴ 32a －72＝4，∴ a ＝5. 三、解答题10.解 ：（1）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0的定义域是{x |x <0，且x ≠1-}．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 得32,2,0.x x x ⎧-⎪<⎨⎪≠⎩≥ ∴23-≤x ＜2，且x ≠0.故函数的定义域是{x |23-≤＜2，且x ≠0}．11.解：(1)因为x ∈Z ，所以函数的图象是由一些点组成的，这些点都在直线y ＝1－x 上．(如图①)(2)所给函数可化简为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥1)，1－x (0<x <1)，图象是一条折线．(如图②)12.解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(2)2f (x )＋1f x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3x ,①把①中的x 换成1x，得21f x ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (x )＝3x,②①×2－②得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x16. 17.图① 图② 1。
高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案
04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。
函数其表示练习题(打印版)
函数其表示练习题（打印版）### 函数及其表示练习题#### 一、选择题1. 函数f(x) = 2x + 3的定义域是（）。
A. {x | x > 0}B. {x | x < 0}C. R（实数集）D. {x | x ≠ 0}2. 函数y = √(x-1)的值域是（）。
A. {y | y ≥ 0}B. {y | y ≤ 0}C. {y | y > 1}D. {y | y < 1}#### 二、填空题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是 ________。
2. 函数f(x) = 1/x的图像关于 ________ 对称。
#### 三、解答题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，求证：函数f(x)的图像是抛物线。
解答：由于f(x)是一个二次函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
根据二次函数的性质，当a > 0时，函数图像开口向上，当a < 0时，函数图像开口向下。
函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))计算得出。
因此，函数f(x)的图像是一个抛物线。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的极值点。
解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2。
接下来，我们需要判断这两个点是极大值点还是极小值点。
通过计算二阶导数f''(x) = 6x - 6，我们发现f''(0) = -6 < 0，所以x =0是极大值点；f''(2) = 6 > 0，所以x = 2是极小值点。
因此，函数f(x)的极值点为x = 0和x = 2。
#### 四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.1x^2 + 20x + 1000，其中x表示产品数量。
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1.2
函数及其表示
一、
选择题
1、函数()y f x =的图象与直线x m =的交点个数为（
）
A ．可能无数个
B ．只有一个
C ．至多一个
D ．至少一个
2、设{}{}
M=22,02x x N y y -≤≤=≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则
()f x 的图象可以是（
）
3、函数()x
f x x
=+
的图象是如图中的（
）
A
．
B ．
C ．
D ．
4、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x -
5、设函数()()221,1
1,22,1x x f x f f x x x ⎡⎤⎧-≤=⎨⎢⎥+->⎩⎣⎦
则的值为（
）
A ．
15
16
B ．2716
-
C ．
89
D ．18
6、一个面积为2
100cm 的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它
的高y 表示成x 的函数为（ ） A ．()500y x x => B ．()1000y x x => C ．()50
0y x x
=
>
D ．()100
0y x x
=
> 7、函数(
)1
3
f x x =-的定义域为（
）
A ．[)(]22+∞-∞-，，
B ．[)()2,33+∞，
C ．[)
()(]2,332+∞-∞-，，
D ．(]2-∞-，
8、设()()()()1,0,00,0x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，则(){}
1f f f -⎡⎤⎣⎦的值是（
）
A ．1π+
B ．0
C ．π
D ．1-
二、填空题
9、已知函数()()f x g x 、分别由下表给出：
则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为____________，当()2g f x =⎡⎤⎣⎦时，x =_______________。
10、已知)
()11,f
x f x =-=则_____________。
11、已知区间[]2,35a a -+，则a 的取值范围是_____________。
12、函数()f x =________________。
三、解答题
13、若函数()()[]2
23,,y f x x a x x a b ==+++∈的图象关于直线1x =对称，求b 的
值。
14、已知()f x 是一次函数，且(){}87f
f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式。
15、用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y x 与的函数关系()y f x =，并求其定义域。
16、求下列函数的值域： （1）()2
212y x x x =--≤≤
（2）2
1y x =+
D A
B
C 2x。