高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数：

绝对值得性质：

(1)|a+b|≤|a|+|b|

(2)|a-b|≥|a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

(4)|b a |=)0(||||≠b b a

函数的表示方法：

（1）表格法

（2）图示法

（3）公式法（解析法）

函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性

（3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性

反函数：

定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1

x f

y -=存在，且

是单值、单调的。

基本初等函数： （1）幂函数

（2）指数函数 （3）对数函数

（4）三角函数

（5）反三角函数

复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：

定义：设

{}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么

小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n

x ，不等式

ε

<-a x n 都成立，则称数a 是数列

{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a

x n

n =∞

→lim ，或

a

x n →（∞→n ）

收敛数列的有界性：

定理：如果数列

{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛

函数的极限：

定义及几何定义

函数极限的性质：

（1）同号性定理：如果

A

x f x x =→)(lim 0

，而且A>0(或A<0),则必存在

x 的某一邻域，当

x 在该邻域内（点

x 可除外），有0)(>x f （或0)(

（2）如果

A

x f x x =→)(lim 0

，且在

x 的某一邻域内（

x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ），

则0≥A （0≤A ）。

（3）如果

)

(lim 0

x f x x →存在，则极限值是唯一的

（4）如果

)

(lim 0

x f x x →存在，则在)(x f 在点0x

的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。

无穷小与无穷大：

注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷

小的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε

<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。

无穷小与无穷大之间的关系：

（1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1

x f 为无穷小

（2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1

x f 为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系：

（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理：

（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小

（2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小 推论：

（1）常数与无穷小的乘积是无穷小

（2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和

两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理）

设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x

可除外）满足条件：

（1）)()()(x h x f x g ≤≤ （2）

A

x g x x =→)(lim 0

，

A

x h x x =→)(lim 0

则

A

x f x x =→)(lim 0

准则二 单调有界数列必有极限

定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在

重要极限：

（1）1

sin lim

0=→x x

x

（2）

21

cos 1lim

20=-→x x x （3）e x x

x =+∞→)11(lim 或e

x x x =+→1

0)1(lim

无穷小阶的定义：

设βα、为同一过程的两个无穷小。

（1）如果

0lim

=αβ

，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo =

（2）如果

∞=αβlim

，则称β是比α低阶的无穷小

（3）如果

)1,0(lim

≠≠=c c c αβ

，则称β与α是同阶无穷小 （4）如果

1lim

=αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~

几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x

)0(ln 1

~

)1(log →+x x a x a

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，x x ~sin x x ~tan

2

21~

cos 1x

x - x x ~arcsin x x ~arctan

指数函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=-

二项式中常用的等价无穷小：

0→x 时，ax x a

~1)1(-+

n x x n

~

11-+

函数在某一点处连续的条件： 由连续定义

)

()(lim 00

x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x

处连续必须同时满足下列三个条

件：

（1）)(x f 在点0x

处有定义

（2）当

x x →时，)(x f 的极限)

(lim 0

x f x x →存在

（3）极限值等于函数)(x f 在点0x 处的函数值)

(0x f

极限与连续的关系：

如果函数)(x f 在点0x

处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，

反之，则不一定成立