均值与方差
均值和方差正态分布
)5
P(x
2)
C
25(
2 3
)3(
1 3
)2
Eξ
1C
33(
1 3
)3
C
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1 3
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2 3
)(
1 3
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C24(
1 3
)2(
2 3
)2(
1 3
)
3)p
13 30
类型1：离散型随机变量的期望与方差
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0 号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号). （1）求ξ的分布列，期望与方差； （2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的 值。
Eξ=1.5
Dξ=2.75
均值与方差
一、离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望
离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的 加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 · xi · xn P p1 p2 · pi · pn
则称
·
·
DX (x1 EX)2 p1 (·xi EX)2 pi ·(xn EX)2 pn
n
(xi EX)2 pi 为随机变量X的方差
i1
称 X DX 为随机变量X的标准差
离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值 就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量 X 的均值或 数学期望 ，它反映了离
散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 n
称
D(X)＝
∑
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的
方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ，其算术平方根 DX 为
2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说 明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的 取值越集中，由方差定义知，方差是建立 在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统 计中常用 DX来描述 X 的分散程度．
基础自测
1．随机变量 ξ 的分布列如下：
＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，
Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
探究提高 ξ 是随机变量，则 η＝f(ξ)一般仍是 随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用 均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算．
变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中 记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取 球的标号． (1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，
整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)” 为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ)．
均值–方差准则
均值–方差准则
方差是均值准则的未来，可以解决的问题比均值准则要多。
均值准则是建立在简单的统计
学和经济理论基础上的，它实际上是一种贪心算法：实时估计系统中的所有变量的期望值，并做出最适当的抉择。
然而，它只考虑了简单的统计学，而忽略了更加深入、复杂的考虑
因素，比如变量之间的相关性、数据误差、微小却又影响最终结果的变量等。
因此，方差准则被引入，它是建立在比简单统计学更复杂的数学理论基础上的。
方差准则
的目的是最小化系统中变量之间的差异，也就是说，它强调变量之间的一致性，即变量差
异越小，系统效果越好。
由于考虑了变量之间的相关性、数据误差、微小变量等复杂因素，因此方差准则比均值准则更加精准，可以很好地满足客户的需求。
总之，方差准则是一种更加先进更加精准的均值准则，它可以更好地考虑变量之间的相关性、数据误差以及微小变量等复杂因素，从而更好地满足客户的需求。
动态计算均值和方差
动态计算均值和方差计算均值和方差是统计学中的两个重要概念，用于描述数据的中心趋势和散布性。
均值即数据的平均值，可以用来表示数据的集中程度；方差则是描述数据偏离均值的程度，用来衡量数据的离散程度。
本文将详细介绍动态计算均值和方差的方法。
静态计算均值和方差是指在数据给定的情况下，通过简单的数学公式来计算数据的均值和方差。
假设我们有n个数据点x1, x2, ..., xn，那么均值μ可以通过以下公式计算：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n方差σ^2可以通过以下公式计算：σ^2 = ((x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2) / n 这种计算方法只适用于数据已给定的静态场景，而无法处理动态场景下数据的实时更新和变化。
1. Welford’s方法Welford’s方法是一种经典的动态计算均值和方差的方法。
它是一种递归算法，每次接收一个新的数据点时，通过更新当前的均值和方差来计算新的均值和方差。
下面是Welford’s方法的伪代码：初始化计数器n=0初始化均值M=0初始化方差S=0当接收到新的数据点x时：n=n+1Δ=x-MM=M+Δ/nS=S+Δ*(x-M)均值为M，方差为S/nWelford’s方法的优点是只需要O(1)的存储空间和计算时间，适用于处理大规模的动态数据。
2. Knuth的方法Knuth的方法是另一种动态计算均值和方差的方法。
它与Welford’s 方法类似，但使用了更简洁的更新公式。
下面是Knuth的方法的伪代码：初始化计数器n=0初始化均值M=0初始化方差S=0当接收到新的数据点x时：n=n+1Δ=x-MM=M+Δ/nS=S+Δ*(x-M)*(x-M-Δ)均值为M，方差为S/nKnuth的方法的孪生差分形式使其能够处理具有很高峰值数据的情况，相比Welford’s方法具有更好的数值稳定性。
三、代码实现下面是使用Python实现Welford’s方法和Knuth的方法的示例代码：```pythonimport math# Welford’s方法def calculate_mean_variance_welford(data):n=0mean = 0M2=0for x in data:n=n+1delta = x - meanmean = mean + delta / nM2 = M2 + delta * (x - mean)variance = M2 / nreturn mean, variance# Knuth的方法def calculate_mean_variance_knuth(data):n=0mean = 0M2=0for x in data:n=n+1delta = x - meanmean = mean + delta / nM2 = M2 + delta * (x - mean) * (x - mean - delta)variance = M2 / nreturn mean, variancedata = [1, 2, 3, 4, 5]mean_welford, variance_welford =calculate_mean_variance_welford(data)mean_knuth, variance_knuth =calculate_mean_variance_knuth(data)print("Welford’s方法：均值 =", mean_welford, "方差 =", variance_welford)print("Knuth的方法：均值 =", mean_knuth, "方差 =", variance_knuth)```四、总结动态计算均值和方差是一种处理实时数据的重要技术。
离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的均值与方差介绍在概率论中，随机变量是描述随机实验结果的数学对象。
离散型随机变量是一种取有限或可数个值的随机变量。
本文将探讨离散型随机变量的均值与方差，以及它们在概率论和统计学中的重要性。
一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指其可能取值为有限或可数个的随机变量。
如投掷一枚骰子的结果可以表示为一个离散型随机变量，可能取值为1到6。
离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）进行描述。
二、离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值，也称为期望值，是对随机变量取值的加权平均。
它可以通过对随机变量的每个可能取值乘以相应的概率，然后求和得到。
2.1 期望值的计算公式设离散型随机变量X的取值为x1,x2,...,x n，对应的概率为p1,p2,...,p n，则随机变量X的期望值（均值）为：E(X) = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n期望值可以理解为随机变量在大量重复试验中的长期平均。
2.2 期望值的性质期望值具有以下性质： - 期望值是线性的，即对于常数a和随机变量X、Y，有E(aX + Y) = aE(X) + E(Y) - 如果X和Y相互独立，那么E(XY) = E(X)E(Y)三、离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差度量了随机变量取值的离散程度，是对随机变量的离散性的一种度量。
3.1 方差的计算公式设随机变量X的期望值为μ，它的方差可以通过以下公式计算：Var(X) = E((X - μ)^2) = (x_1 - μ)^2 * p_1 + (x_2 - μ)^2 * p_2 + ... + (x_n - μ)^2 * p_n方差的计算可以理解为对每个取值与期望值的差的平方再乘以相应的概率，然后进行加权求和。
3.2 方差的性质方差具有以下性质： - 方差是非负的，即Var(X) >= 0 - 方差的平方根称为标准差，标准差是对随机变量取值波动程度的一种度量 - 如果X和Y相互独立，那么Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)四、均值和方差的应用离散型随机变量的均值和方差在概率论和统计学中具有重要的应用。
高斯随机变量的均值和方差
高斯随机变量的均值和方差高斯随机变量的均值和方差概述：高斯随机变量是一种常见的概率分布，也被称为正态分布。
它在各个科学领域中都有广泛的应用，具有很强的实用价值。
均值和方差是高斯随机变量的两个重要统计特征，对于了解它的分布特性和应用具有重要意义。
一、高斯随机变量的定义和性质高斯随机变量的定义是指数学上服从正态分布的随机变量。
它的概率密度函数可以表示为一个钟形曲线，呈现出对称性和峰值集中的特点。
正态分布的概率密度函数可由均值和方差唯一确定。
1. 对称性：高斯随机变量的概率密度函数关于均值对称，即曲线在均值处达到峰值。
2. 峰值集中：均值是高斯随机变量的分布特征之一，它确定了曲线的中心位置。
方差则衡量了数据相对于均值的离散程度，决定了曲线的宽窄。
二、高斯随机变量的均值均值是一个概率分布的集中趋势的度量标准，对于高斯分布来说，均值是分布的中心位置。
1. 数学期望：高斯随机变量的均值也被称为数学期望，表示了随机变量的平均值。
对于高斯分布，其数学期望即为分布的均值。
2. 均值的性质：高斯随机变量的均值具有线性性质，即对于两个独立的高斯随机变量X和Y，它们的线性组合aX + bY的均值就是a和b的加权平均值。
三、高斯随机变量的方差方差是用来衡量数据的离散程度，对于高斯分布来说，方差决定了数据的分布宽度。
1. 方差的定义：高斯随机变量的方差是其概率分布关于均值的平均偏离程度的度量。
方差的数学定义为随机变量与均值的差的平方的期望。
2. 方差的性质：高斯随机变量的方差有以下几个性质：（1）方差非负，即方差的值大于等于0。
（2）方差为0表示所有数据都是相同的，即没有离散度。
（3）方差具有线性性质，对于两个独立的高斯随机变量X和Y，它们的线性组合aX + bY的方差为a^2Var(X) + b^2Var(Y)。
结论：高斯随机变量的均值和方差是衡量它分布特性的重要统计量。
均值决定了分布的中心位置，方差则表征了对中心位置的离散程度。
正态总体中均值与方差的关系 -回复
正态总体中均值与方差的关系-回复正态总体指的是服从正态分布的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多特性，包括对称的形状、均值和方差对分布起着重要的影响。
正态分布的均值μ表示数据的中心位置，而方差σ^2则衡量了数据的离散程度。
在正态总体中，均值和方差之间存在一定的关系，即均值的变化会影响方差的大小，反之亦然。
首先，我们来探讨均值对方差的影响。
正态总体的方差受到均值的影响，均值的变化会导致分布的形状发生改变，从而影响方差的大小。
当均值发生变化时，数据的分布趋势会向均值方向偏移，这会使得数据的离散程度也发生变化。
如果均值增加，那么数据分布将会向右偏移，数据点相对于均值的距离会变大，导致方差增加。
反之，如果均值减小，数据分布将会向左偏移，数据点相对于均值的距离会变小，从而方差减小。
可以看出，均值的变化对方差的大小具有明显的影响。
其次，我们来讨论方差对均值的影响。
方差衡量了数据的离散程度，方差的大小取决于数据点离均值的距离。
当方差增加时，数据点相对于均值的距离变大，这意味着数据的离散程度变大。
在正态总体中，方差的变化会导致数据的分布形状发生改变。
当方差增加时，数据分布会变得更加扁平，即数据点相对于均值的距离变大，从而改变了分布的形状。
这会使得均值的准确性下降，因为更多的数据点偏离了均值，所以均值也会有所增加或减小。
综上所述，正态总体中均值和方差之间存在着紧密的关系。
均值的变化会导致数据分布的形状发生变化，进而影响方差的大小。
方差的变化会对数据的离散程度产生影响，进而影响均值的准确性。
需要注意的是，均值和方差是正态总体的两个重要参数，它们之间的关系可以通过数学公式进行描述和计算。
通过对均值和方差的分析，我们可以更好地理解正态总体的特点和性质，从而为统计分析和推断提供支持。
平均值（Mean）、方差（Variance）、标准差（StandardDeviation）区别
平均值（Mean）、⽅差（Variance）、标准差（StandardDeviation）区别原⽂链接：对于⼀维数据的分析，最常见的就是计算平均值(Mean)、⽅差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。
在做【特征⼯程】的时候，会出现缺失值，那么经常会⽤到使⽤平均值或者中位数等进⾏填充。
平均值平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表⽰数据集的平均⼤⼩；其数学定义为以下⾯10个点的CPU使⽤率数据为例，其平均值为17.2。
14 31 16 19 26 14 14 14 11 13⽅差、标准差⽅差这⼀概念的⽬的是为了表⽰数据集中数据点的离散程度；其数学定义为：标准差与⽅差⼀样，表⽰的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为⽅差的平⽅根：为什么使⽤标准差？与⽅差相⽐，使⽤标准差来表⽰数据点的离散程度有3个好处：表⽰离散程度的数字与样本数据点的数量级⼀致，更适合对数据样本形成感性认知。
依然以上述10个点的CPU使⽤率数据为例，其⽅差约为41，⽽标准差则为6.4；两者相⽐较，标准差更适合⼈理解。
表⽰离散程度的数字单位与样本数据的单位⼀致，更⽅便做后续的分析运算。
在样本数据⼤致符合正态分布的情况下，标准差具有⽅便估算的特性：66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，⽽99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。
贝赛尔修正在上⾯的⽅差公式和标准差公式中，存在⼀个值为N的分母，其作⽤为将计算得到的累积偏差进⾏平均，从⽽消除数据集⼤⼩对计算数据离散程度所产⽣的影响。
不过，使⽤N所计算得到的⽅差及标准差只能⽤来表⽰该数据集本⾝(population)的离散程度；如果数据集是某个更⼤的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述⽅差公式和标准差公式进⾏贝塞尔修正，将N替换为N-1：经过贝塞尔修正后的⽅差公式：经过贝塞尔修正后的标准差公式：公式的选择是否使⽤贝塞尔修正，是由数据集的性质来决定的：如果只想计算数据集本⾝的离散程度(population)，那么就使⽤未经修正的公式；如果数据集是⼀个样本(sample)，⽽想要计算的则是样本所表达对象的离散程度，那么就使⽤贝塞尔修正后的公式。
072随机变量的均值与方差
§16.1 随机变量的均值与方差1.所示，则称n n 2211为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)=n n p x p x p x +++ 2211，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p性质：①E(C)=C ；②E(aX)=aE(X)；③E(aX+b)=aE(X)+b ；④超几何分布X ～H(n,M,N)的数学期望为NnM X E =)(，二项分布X ～B(n ，p)的数学期望为np X E =)(。
2.X 的概率分布如表所示，则称n n p x p x p x 22211)()()(μ-++-+- 为离散型随机变量X 的方差，记为V(X)或2σ，即V(X)= n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- （其中)(X E =μ，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p ），方差也可用公式212)(μ-=∑=i ni i p x X V ，即22)()()(X E X E X V -=，V(X)的算术平方根称为X 的标准差，即)(X V =σ。
性质：①0)(=C V ；②)()(2X V a b aX V =+；③超几何分布X ～H(n,M,N)的方差为)1())(()(2---=N N n N M N nM X V ，二项分布X ～B(n ，p)的方差为)1()(p np X V -=。
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。
方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
三、典型例题例1：有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求E(ξ)、V(ξ)例2：假定某射手每次射击命中目标的概率为32，且只有3发子弹。
方差与均值的计算公式
方差与均值的计算公式在咱们的数学世界里，方差和均值那可是相当重要的概念呀！它们就像是数学大厦里的两根顶梁柱，支撑着很多问题的解决和分析。
咱们先来说说均值。
均值呢，其实就是一组数据的平均值。
比如说，有一组数 1、2、3、4、5，那这组数的均值就是（1 + 2 + 3 + 4 + 5）÷ 5 = 3 。
这个计算过程很简单吧？就是把所有的数加起来，再除以这组数的个数。
我想起之前给学生们讲均值的时候，有个小家伙特别有意思。
当时我在黑板上写下了一组数，让大家算算均值。
这个小家伙特别积极，举手说：“老师，我会！”结果呢，他把数加错了，算出了一个很离谱的答案。
大家都笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。
从那以后啊，他算均值的时候可认真了，再也不出错啦！再来说说方差。
方差是用来衡量这组数据的离散程度的。
方差的计算公式稍微复杂一点，是每个数据与均值之差的平方的平均值。
假设还是刚刚那组数 1、2、3、4、5，均值是 3 。
那方差就是 [(1 - 3)² + (2 - 3)² + (3 - 3)² + (4 - 3)² + (5 - 3)²]÷ 5 ，算出来就是 2 。
有一次考试，有道关于方差计算的题目，好多同学都做错了。
我仔细一看，原来是大家在计算平方的时候出了差错。
我就给他们又重新讲了一遍，还让他们自己多做几道练习题巩固一下。
咱们在实际生活中，方差和均值的用处可多了去啦。
比如说，要比较两个班级学生的成绩，就可以通过计算均值来看看哪个班级的平均成绩高；通过计算方差呢，能知道哪个班级的成绩更稳定。
假如你是一个水果摊老板，你每天记录不同水果的销量。
通过计算均值，你能知道哪种水果平均卖得比较多，从而决定进货的量。
而方差能告诉你哪种水果的销量波动比较大，让你提前做好应对的准备。
总之，方差和均值的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多应用，就能熟练掌握它们，让它们成为咱们解决问题的有力工具！希望大家都能在数学的海洋里畅游，轻松搞定方差和均值！。
方差和均值
方差和均值
方差是一种用来衡量数据分布离散程度的统计量。
它表示数据平均数与每个数据点的差的平方的平均数。
计算方差的公式为：
方差= ∑(X - 均值)^2 / (n-1)
其中，X表示数据中的每个数据点，均值表示数据的平均数，n表示数据的个数。
均值是一种用来衡量数据的中心位置的统计量。
它表示数据的平均数。
计算均值的公式为：
均值= ∑X / n
其中，X表示数据中的每个数据点，n表示数据的个数。
均值和方差都是用来描述数据分布的统计量。
均值表示数据的中心位置，方差表示数据分布的离散程度。
均值越大，数据的中心位置就越靠右；方差越大，数据的分布就越分散。
平均值方差标准方差的关系
平均值、方差和标准方差的关系在统计学中，平均值、方差和标准方差是描述数据分布特性的重要指标。
它们之间的关系密切，通常用于分析和理解数据集的内在波动性和规律性。
1. 定义1.1 平均值（Mean）：是数据集中所有数值的和除以数值的数量。
它反映了数据集的中心位置。
1.2 方差（Variance）：是衡量数据点与平均值之间差异的指标。
它反映了数据集的离散程度。
1.3 标准方差（Standard Deviation）：是方差的平方根，用于提供方差的可视化度量，更好地反映数据的波动性。
2. 关系平均值、方差和标准方差之间的关系密切。
它们可以相互计算，并且一起提供了对数据分布特性的全面描述。
标准方差是方差的平方根，因此它与方差具有相同的量纲，但提供了更直观的波动性度量。
3. 计算公式3.1 方差的计算公式为：Var(X) = 1/n Σ(xi-μ)²（μ是平均值，xi 是每个数据点）3.2 标准方差的计算公式为：SD(X) = sqrt(Var(X))4. 用途平均值、方差和标准方差在数据分析中具有多种用途。
例如，它们可以用于：4.1 比较不同数据集的分布特性：通过比较平均值、方差和标准方差，可以了解不同数据集的集中趋势和波动性。
4.2 判断数据分布的稳定性：如果标准方差较小，则说明数据分布相对稳定；反之，如果标准方差较大，则说明数据分布存在较大的波动。
4.3 计算置信区间和预测区间：方差和标准方差可用于计算数据的置信区间和预测区间，以评估不确定性和预测未来的可能性。
4.4 检验假设和进行统计测试：标准方差在假设检验和统计测试中非常重要，因为它提供了对数据波动性的度量，从而帮助确定样本数据是否来自特定的分布或是否具有显著差异。
4.5 描述金融风险：在金融领域，方差和标准方差被用于衡量投资组合的风险，帮助投资者了解投资的不确定性程度。
平均值、方差和标准方差是统计学中的重要概念，它们之间的关系提供了对数据分布特性的全面描述和理解。
平均值和方差的计算公式
平均值和方差的计算公式在我们学习数学的过程中，平均值和方差这两个概念可是相当重要的“小伙伴”。
那咱们就来好好聊聊它们的计算公式。
先来说说平均值，也叫平均数。
简单来说，就是把一堆数字加起来，然后除以数字的个数。
比如说，咱们班有五个同学，这次数学考试的成绩分别是 80 分、90 分、85 分、95 分和 75 分。
那怎么算出平均成绩呢？咱们把这五个分数加起来：80 + 90 + 85 + 95 + 75 = 425 分。
然后再除以 5，也就是 425÷5 = 85 分，这 85 分就是这五个同学这次考试的平均成绩啦。
再讲讲方差。
方差这个概念稍微有点复杂，不过别担心，咱们慢慢捋清楚。
方差是用来衡量这组数据的离散程度的。
比如说，还是上面那五个同学的成绩，我们已经算出平均成绩是 85 分。
那每个同学的成绩与 85 分的差的平方的平均值，就是方差。
具体计算是这样的：先算出每个同学成绩与 85 分的差，80 - 85 = -5，90 - 85 = 5，85 - 85 = 0，95 - 85 = 10，75 - 85 = -10。
然后把这些差平方，（-5）² = 25，5² = 25，0² = 0，10² = 100，（-10）² = 100。
再把这些平方后的数加起来：25 + 25 + 0 + 100 + 100 = 250。
最后除以数字的个数 5，250÷5 = 50，这 50就是这组数据的方差。
我记得有一次，学校组织数学竞赛，我给学生们出了一道有关平均值和方差的题目。
题目是这样的：有一组数据 12、15、18、20、22，求它们的平均值和方差。
同学们拿到题目后，有的皱起了眉头，有的开始动笔计算。
有个平时很机灵的同学小明，很快就算出了平均值，他兴奋地举手说：“老师，我算出来平均值是 18 ！”我笑着点了点头，鼓励他继续算方差。
可这方差就把他难住了，他挠着头，嘴里还念念有词。
方差与均值之间的计算公式
方差与均值之间的计算公式在咱们的数学世界里，方差和均值那可都是相当重要的概念。
咱先来说说均值，均值啊，简单说就是一堆数的平均水平。
比如说，咱班这次考试的数学成绩分别是 80 分、90 分、75 分、85 分和 95 分，把这几个数加起来，再除以 5 ，得到的这个数就是均值啦。
那方差又是啥呢？方差其实反映的是这组数据的离散程度。
还是拿刚才考试成绩的例子来说，如果这几个成绩离均值都比较近，那方差就小，说明大家的成绩比较集中；要是有的特别高，有的特别低，离均值都挺远的，那方差就大，说明成绩的差异比较大。
那它们之间的计算公式是啥呢？先说均值，设一组数据为 $x_1$ ，$x_2$ ， $x_3$ ，...... ， $x_n$ ，那均值 $\overline{x}$ 就等于（ $x_1 + x_2 + x_3 + ...... + x_n$ ） / $n$ 。
再来看方差，方差用 $S^2$ 表示，它的计算公式是：$S^2 =\frac{1}{n} [ (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ...... + (x_n - \overline{x})^2 ]$ 。
记得我之前教过一个学生小明，这孩子啊，脑子挺灵，就是对方差和均值的公式老是搞混。
有一次做作业，明明是让求方差，他给我算出个均值来。
我就问他：“小明啊，你是不是把这两个公式当成双胞胎，分不清啦？”小明挠挠头，不好意思地笑了。
我就给他举了个特别好玩的例子。
我说：“你看啊，咱们把这组数据想象成一群小朋友，均值呢，就像是这群小朋友的平均身高。
方差呢，就像是看看这些小朋友的身高差距大不大。
如果大家都差不多高，那方差就小；要是有的特别高，有的特别矮，那方差就大。
” 小明听了，眼睛一下子亮了，说：“老师，我懂啦！”从那以后，小明再遇到这类问题，就很少出错啦。
其实啊，学习方差和均值的计算公式，就得像这样，多联系实际，多想想例子，才能真正搞明白。
均值比较与方差分析
均值比较与方差分析
一、均值比较：
均值比较是比较不同组别之间的平均值差异。
常用的方法有独立样本t检验和配对样本t检验。
1.独立样本t检验：
独立样本t检验是用来比较两个独立样本之间的均值是否存在显著差异。
常见的应用场景包括比较两个不同组别的观测值（例如男性和女性的身高差异）或者比较两种不同治疗方法的疗效。
2.配对样本t检验：
配对样本t检验是用来比较同一组个体在不同时间点或者不同条件下的均值差异。
常见的应用场景包括比较同一组人群在接受其中一种治疗前后的效果或者在两种不同测试之间的得分差异。
二、方差分析：
方差分析是比较不同组别之间的方差差异。
常用的方法有单因素方差分析和多因素方差分析。
1.单因素方差分析：
单因素方差分析是用来比较一个因素对于不同组别间的均值差异是否存在显著影响。
例如，研究人员想要知道不同教育程度对于收入的影响，可以将不同教育程度作为一个因素进行方差分析。
2.多因素方差分析：
多因素方差分析是用来同时比较两个或两个以上因素对于不同组别间的均值差异是否存在显著影响。
例如，研究人员想要知道不同教育程度和不同工作经验对于收入的影响，可以同时将教育程度和工作经验作为因素进行方差分析。
在使用这两种方法时，需要确保数据符合一定的假设条件，如正态性和方差齐性。
如果数据不符合这些假设条件，可能需要采取一些数据转换或者使用非参数方法进行分析。
总结来说，均值比较和方差分析是常用的统计分析方法，用于比较不同组别之间的差异。
通过这些方法，我们可以了解不同组别之间是否存在显著差异，帮助我们做出更准确的结论和决策。
均值分析与方差分析
协方差分析
协方差分析是利用线性回归的方法消除混杂因素的 影响后进行的方差分析，这是实际工作中经常要考 虑的问题。
非饱和模型的SPSS操作
饱和模型的SPSS操作
本章小结
本章介绍了均值分析、方差分析的方法，其中方差分 析由包括单因素方差分析、多因素方差分析、重复度 量和协方差分析。均值分析和方差分析是专业统计分 析中最重要的，同时也是最基础的统计分析方法，在 多元统计中已经得到了广泛的应用，希望读者能认真 学习和掌握。
多因素方差分析
单变量：保存
多因素方差量资料是指对同一受试对象的某项观测指标 进行多次测量所得到的数据。如对病人治疗（后手 术）后一天、三天、一周、两周等多个时间点进行 连续观测；教育研究中观察不同学期学生的成绩变 化情况；心理研究中观察不同时间段个体的心理调 适能力；经济领域中研究市场的动态等。重复测量 设计的数据分析若采用前述的普通方差分析方法， 同样需要满足独立、正态、等方差的前提假设。可 实际情况是：重复测量观测值来自同一受试对象的 不同时间点，不能完全满足以上各项前提假设条件 。
6.协方差分析 7. 本章小结
均值分析
均值分析过程的优势在于所有的描述性统计量均按 因变量的取值分组计算，无需像其他程序那样必须 先运行文件拆分过程。在输出结果中各组的描述指 针被放在一起，也便于相互比较。如果需要，均值 分析过程还可以直接输出方差分析结果，并计算相 应的相关性指针而无需再次运行其他过程，显然要 比先描述再比较要方便得多。
单因素方差分析
单因素ANOVA：对比
单因素方差分析
单因素ANOVA：两两比较
单因素方差分析
单因素ANOVA：选项
多因素方差分析
多因素方差分析用来研究两个及两个以上的控制变 量是否对观察变量产生显著影响。由于讨论多个因 素对个案的影响，因此这种方差分析过程被称为多 因素方差分析。多因素方差分析不仅能够分析多个 因素对观测变量的影响，而且能够分析多个控制因 素的交互作用能否对观测变量的分布产生影响，进 而最终找到利于观测变量的最优组合。
证明平均值与方差相互独立
证明平均值与方差相互独立
证明平均值与方差相互独立:
首先，要理解平均值和方差的定义。
对于N个样本，其平均值μ
和方差σ^2分别为：
μ=1/N∑X_i；
σ^2=1/N*∑ (X_i-μ)^2；
其中X_i为N个样本中的第i个值。
从公式可以看出，平均值μ
是所有样本X_i的平均值，而方差σ^2就是每个样本X_i与其平均值
μ之间的均方差。
证明平均值与方差彼此独立，意味着平均值和方差的变化对彼此
没有影响，即可以分开考虑。
这可以通过简单的数学计算来证明，以
下是证明的详细步骤：
（1）将两者的公式进行整合，可以得到：
σ^2=1/N*∑ [(X_i-μ)^2]= 1/N*∑ (X_i^2-2μX_i+μ^2)；
（2）令μ=1/N*∑X_i 并替换到上式：
σ^2=1/N*∑ (X_i^2-2*[1/N*∑X_i]*X_i+[1/N*∑X_i]^2)
（3）由上式可以看出，μ和X_i相互独立，因此：
σ^2=1/N*∑ (X_i^2) - 2*[1/N*∑X_i]^2 + [1/N*∑X_i]^2；
（4）继续化简，得到：
σ^2=1/N*∑ (X_i^2) - [1/N*∑X_i]^2；
（5）最后，可以得到平均值μ和方差σ^2的关系：
σ^2=1/N*∑ (X_i^2) - [1/N*∑X_i]^2；
从上述步骤可以看出，μ和σ^2没有直接的关系，可以分开考虑。
这也就是证明平均值和方差是彼此独立的理由。
均值与标准方差
均值与标准方差
均值与标准方差是统计学中常用的两个概念。
均值指一组数据的平均数，是一组数据的集中趋势的度量。
计算均值的方法是将数据中的所有数值相加，然后除以数据的数量。
标准方差是一组数据的离散程度的度量。
它表示数据的分布有多分散，计算标准方差的方法是先求出每个数值与均值的差，然后将这些差的平方相加，再除以数据的数量，最后取平方根。
均值与标准方差在很多领域都有广泛的应用，比如在财务、经济学、物理学等等。
在财务中，均值和标准方差可以用来评估投资的风险性和收益性；在经济学中，均值和标准方差可以用来分析经济指标的波动情况；在物理学中，均值和标准方差可以用来分析实验数据的分布情况。
总之，均值和标准方差是统计学中非常重要的概念，掌握它们的计算方法和应用场景对于理解和应用统计学都是必不可少的。
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离散型随机变量的均值与方差
【教学引入】复习分布列、三种常见分布列。
说明分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律。
提出问题：如何从分布列中获取随机变量取值的总体水平（平均取值）、离散程度（区分度）等信息？
【案例探究】销售由a.b.c 三种糖果混合的混合糖，如何进行合理定价？
① 当a,b,c 价格相同，比例相同时； ② ②当a,b,c 价格不同，比例相同时； ③ ③当a,b,c 价格不同，比例也不同时。
对于①②，只需求三种糖价格的算术平均值即可，对于③，习惯的算术平均显然是不合理的。
设a,b,c 三种糖价格分别为18元/kg, 24元/kg, 36元/kg,混合比例为3：2：1，则易得合理价格为
23366
1
243118212336242183=⨯+⨯+⨯=++⋅+⋅+⋅x x x x x x (元/kg).此价格称为三种价格的
加权平均。
【权的含义】设三种糖每颗质量、外观完全相同，从混合糖中任取一颗，分别求取到a 、b 、c 的概率。
设三种糖的颗数分别为3m,2m,m ，属古典概型，用古典概型概率计算公式计算得概率分别为6
1,31,21。
权是各种糖的质量与总质量之比，其统计意义是随机变量X 等于相应值的概率。
【合理价格的统计意义】用X 表示从总体中任取一颗糖，所抽到的糖的价格，则X 有三种可
能的取值，⎪⎩
⎪
⎨⎧=c b a X 如果取出的是如果取出的是如果取出的是,36,24,18，其分布列为：
=18×P （X=18）+24×P （X=24）+36×P （X=36），是以概率为权重的每种糖果的单位价格的加权平均（即随机变量X 的均值）。
【离散型随机变量的均值（数学期望）】
∑==n
i i i p x EX 1.反映随机变量取值的平均水平。
平均水平的含义：一方面是以概率为权的加权平均；另一方面是该随机变量的多次独立观测值的算术平均的极限（当观测次数趋于无穷时）。
【随机变量均值与样本均值的联系与区别】
根本区别是：随机变量均值是常数，样本平均值是随机变量。
联系：样本容量越大，样本的均值越接近总体的均值。
设每1kg 混合糖含有n 颗。
从总体中抽出容量为n 的简单随机样本：其中a 糖n 1颗，b 糖n 2颗，c 糖n 3颗，则取到三种糖的频率分别为n
n f 1
1=
，n n f 22=
，n
n
f 33=。
用X i 表示样本中第i 块糖的单价，则样本的平均单价3211
3624181f f f X n X n
i i ⨯+⨯+⨯==∑=(即取出的1kg 糖的真实价值)，它是一个
随机变量，不同的试验一般会得到不同的样本，样本的均值也会改变。
（1）如果多次抽取容量为n 的随机样本，1f 总在2
1
处左右摆动，2f 总在
31处左右摆动，3f 总在61处左右摆动。
6
1
,31,21分别为从混合糖中取到a,b,c 糖的概率。
平均水平的含义：反复对这个随机变量进行独立观测，所得到的各个观测值的算术平均值随着观测次数的增加而越来越接近于这个随机变量的均值。
（2）3211lim lim lim lim lim 3624181f f f X n X n n n n
i i n n ∞
→∞→∞→=∞→∞→⨯+⨯+⨯==∑
=23366
124311821=⨯+⨯+⨯(元/kg).对于这种简单随机样本，随着样
本容量的增加，样本均值将越接近于总体的均值，即样本的真实价值越
接近于总体价值（实际定价）。
【数学期望的运算性质1】若Y=aX+b,其中a,b 为常数，则EY=aEX+b. 进一步推广：随机变量线性组合的均值等于这些随机变量均值的线性组合.
【例1教学】
目的：训练用定义计算随机变量的均值；导出两点分布随机变量的均值公式。
【数学期望的运算性质2】若X 服从两点分布，则EX=p(成功概率). 提出问题：X 服从两点分布，即X ～B （1，0.7）；如何求投篮10次的得分均值？引出服从二项分布的随机变量均值问题。
方法1：（两点分布与二项分布的关系） 若X 服从两点分布，则EX=p(成功概率).
设ξ是n 个相同的两点分布随机变量之和，即ξ=nX,则ξ～B(n,p).根据数学期望的线性性质得E ξ=nEX=np.
方法2：利用公式11--=k n k n nC kC 、期望定义、二项式定理推导。
【数学期望的运算性质3】若X ～B(n,p),则EX=np. 【例2教学】
目的：训练用性质3求期望；进一步了解两点分布与二项分布的内在关系。
注意：（1）模型识别——为什么可以用二项分布随机变量均值的结论求平均成绩；（2）提出三种做法供学生比较；（3）比较一次测试中的成绩与随机变量均值的区别与联系。
【例3教学】
平均损失含义：表示损失的随机变量的均值。
多次损失的情况下，各次损失的平均值接近于最小。
每次的损失是损失随机变量的一次观测值。
&.有a.b.c 三种糖果，每颗的质量、外观完全一样，它们的销售的价格和销售利润率情况见下表：
糖中任取一颗糖，取到a,b,c 的三个概率值为权重）为销售价格。
已知a 糖在混合糖中所占比例为2
1。
（1）若销售价格确定为24元/kg,求三种糖的混合比例；
（2）为使混合糖的销售利润为3.6元/kg, 三种糖的混合比例应为多少？
（注：利润率=
）
（）
（元销售金额元利润值）
解：设b 糖和c 糖在混合糖中所占比例分别为p,
2
1
-p 。
（1）根据古典概型，在混合糖中任取一颗糖果，其单价为18元/kg,
24元/kg, 36元/kg 的概率分别为21，p,
2
1
-p 。
用X 表示这颗糖果的价
∴18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=24,解得p=4
1,故三种糖果的混合比例是2:1:1.
（2）每千克a,b,c 糖的利润分别为2元，4元，6元. 根据古典概型，在混合糖中任取一颗糖果，其利润为2元/kg, 4元/kg, 6元/kg 的概率分别为2
1，p,
2
1
-p 。
用ξ表示这颗糖果的利润（元/kg ），则它是一个
∴2×P(ξ=2)+4×P(ξ=4)+6×P(ξ=6)=3.6,解得p=0.2,故三种糖果的混合比例是5:2:3.
&.有a.b.c 三种糖果，每颗的质量、外观完全一样，它们的销售的价格和销售利润率情况见下表：
现将三种糖混合，并以糖中任取一颗糖，取到a,b,c 的三个概率值为权重）为销售价格。
已知混合糖的销售价格恰等于b 糖的销售价格。
（注：利润率=
）
（）
（元销售金额元利润值）
（1）求混合糖中a,c 两种糖的混合比例； （2）求混合糖销售利润率的取值范围.
解：设混合糖中，a,b, c 三种糖的质量与混合糖总质量之比分别为：
321,p p p 。
（1）根据古典概型，在混合糖中任取一颗糖果，其单价为18元/kg, 24元/kg, 36元/kg 的概率分别为321,p p p 。
用X 表示这颗糖果的价格，
∴18××P(X=36)=24,即
181p +242p +363p =24.
Θ1p +2p +3p =1, ∴1p =23p ,即
a,c 两种糖的混合比例为2：1.
（2）根据每种糖的销售利润率求得每销售1千克a,b,c 糖的利润分别为2元，4元，6元. 根据古典概型，在混合糖中任取一颗糖果，其利润为2元/kg, 4元/kg, 6元/kg 的概率分别为：321,p p p 。
用ξ表示这颗糖果的价格（元/kg
∴每销售1kg 混合糖可获得的利润为：2×P(ξ=2)+4×P(ξ=4)+6×P(ξ=6)= 21p +42p +63p =4-23p ,则利润率为：
3312
1
612424p p -=-. 3
1
0],1,0[31133312≤≤∴∈-=--=p p p p p Θ，
∴混合糖销售利润率的取值范围为]6
1,365[
.。