复变函数与积分变换 第二章

注意(1) 定义中 z z0 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. (3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理2.1
设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
则 lim f ( z ) A a ib
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f ( z ) ' f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) , ( g( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可； R( z ) P(z) 在 复 平 面 上 （ 除 分 母0 为 点外）处 Q( z )
lim
z z0
z
lim
z z0
z z0
n 1 ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 ) n 1 lim nz0 z z0 z z0
③
设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
在 z0 x0 iy0处连续 ( x , y ) ( x0 , y0 ) . lim v ( x , y ) v ( x 0 , y0 )
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
u( x , y ) u( x0 , y0 )
有界性：
设D为复平面上的有界闭域 若f ( z )在D上连续 M 0, z D， 恒有 f ( z ) M
（0 r )
则称A为 f ( z )当z z 0时的极限，记作 lim f ( z ) A
z z0
或当z z 0时，f ( z ) A
y
(z)
w f (z)

v
(w)

A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
复变函数的几何意义 在几何上， w=f(z)可以看作：
f (z) z E ( z平面 ) w w G(w平面）的映射 (变换 ).
定义域 y (z)
函数值集合 v (w)
称w为z的象点 (映象)，而z称为w的原象。
w=f(z)
z
o
E x
ຫໍສະໝຸດ Baiduw=f(z)
G
w o u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换） 在复变函数中用两个复平面上点集之间的
显然有 w f [ ( w )] w G 当反函数单值时 z [ f ( z )] z E
当函数 (映 射 )w f ( z )和 其 反 函 数 (逆 映 射 ) z ( w )都 是 单 值 的 ， 则 称 函(数 映射 )w f ( z ) 是一一的。也称集合 E与 集 合 G是 一 一 对 应 的 。
处可导 .
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
w z2 u x2 y2
v 2 xy
1 1 例2 若已知 f ( z ) x 1 x 2 y 2 iy 1 x 2 y 2 将 f ( z )表示成z 的函数 .
1 1 设z x iy , 则x ( z z ), y ( z z ) 2 2i 1 f (z) z z
例 讨论: f ( z ) z在整个 z平面上的可导性 . 注意(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续
求导公式与法则 ----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数; z 多个w值，称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
E f ( z )的定义集合，常常是平 面区域（定义域）
G {w w f ( z ) , z E } — 函数值集合
z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv ( x , y )
l i m g( z ) B, 则
z z0 z z0 z z0
l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) A B l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) AB
由定理2.3 P ( z ) a 0 a1 z a n z n 在整个复平面内是连续 的； P(z) R( z ) 在复平面内除分母为 0点外处处连续 . Q( z )
定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理2.5 设f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )
z z0
若在区域 D内 处 处 连 续 ， 则 称 f ( z )在D内 连 续 ; 若z、z0 C , 且 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f (z)
z z0
在曲线 C上 点z0处 连 续 .
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数。
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
函数问题时，可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射（变换）。
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。 3
1 例 已知映射 w , 判断: z平面上的曲线x 2 y 2 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
z z0
z x iy z0 x0 iy0
( x , y ) ( x 0 , y0 ) ( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
u( x , y ) a v( x, y ) b
lim
定理2
若 l i m f (z) A
z z0 z z0 z z0
z平面上的曲线x 1被 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
反函数
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E,函数值集合为G
f (z) z E w w G
一个(或几个) z E w G z ( w ) 则称z ( w)为w f ( z )的反函数（逆映照） .

x x x x x iy x iy
当z取 实 数 趋 于 0时, f z 1;
f l i m 不存在 . z 0 z 当z取 纯 虚 数 趋 于 0时, f z 0;
1 例 讨论: f ( z ) 在整个z平面上的可导性 . z
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
注意
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
可导 . 例 证明: f ( z ) Re z在平面上的任何点都不
证 明: f Re (z z ) Re (z ) z z
x 2 y, x y 2在平面上处处有极限
例2 讨论 f ( z ) z Re z z 在z 0时的极限.
2 Re z 例3 讨 论 f ( z ) 2
z
在z 0时 的 极 限 .
3.复变函数的连续性
定义 若 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f ( z )在z0处 连 续 ;
故 u u( x, y ) v v( x, y )
w f ( z ) u iv u u( x , y ) v v( x, y )
2 例1 w z
令z x iy w u iv
则 w (u iv ) ( x iy)2 x 2 y 2 2 xyi
例
设 z=w2 则称 w
z ze
i
z 为z=w2的反函数或逆映射
2
w
2 k
( k 0,1)
∴为多值函数.
2 复变函数的极限
定义 设 w f ( z ), z U ( z 0 , r ), 若存在数A， 0,
（） , 当 0 z z 0 时, 有 f ( z ) A ,
对
象
复变函数（自变量为复数的函数） 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。
主要任务
主要内容
复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习
中要善于比较、区别、特别要注
设曲线 C为闭曲线或端点包括在 内的曲线段 若f ( z )在C上连续 M 0, 在曲线上恒有 f ( z ) M
例
讨论f (z)=argz的连续性。
y z o
(z)
P ( x ,0)
x
z
第二节 解析函数的概念
1. 复变函数的导数
2. 解析函数的概念
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
z z0 z z0
i m f (z) f (z) l A z z0 lim ( l i m g ( z ) 0) z z0 g ( z ) l i m g ( z ) z z0 B
z z0
. 例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
z 0
如果极限 lim
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 存在，则称函数 z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作
dw f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
意复数域上特有的那些性质与结 果。
第二章：解析函数
第一节 复变函数的概念、极限与连续性 1. 复变函数的概念 —与实变函数定义相类似
定义 设E为一个复数集。若对E中的每一个复数
z x iy，按照某种法则f 有确定的一个或几个 w u iv与之对应，则称复变数w是复变数z的 函数（简称复变函数）,记作 w f ( z ).
可导与连续
若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证 明: 若f ( z )在z0可 导, 则 0, 0, f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z0 ) , z f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 令 z f ( z0 ),则 lim z 0, z 0 z 由此可得 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z z z , 使得当 0 z 时, 有