人教版九年级数学上典中点课后作业24.2.3切线(A)(含答案)

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人教版数学九年级上册第24章圆 24.2---24.4检测题含答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯24.2点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题1．已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对2．关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①垂直于弦的直线一定经过圆心；②经过直径外端的直线是圆的切线；③对角互补的四边形四个顶点共圆；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．已知⊙O的半径为3cm，且点P在⊙O外，则线段PO的长度为（）A．等于6cm B．大于3cm C．小于3cm D．等于3cm5．若直线l与半径为10的⊙O相交，则圆心O与直线l的距离d为（）A．d＜10B．d＞10C．d＝10D．d≤106．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．C．D．7．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．C．D．28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，0），则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．C．9．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4B．4C．4+8D．610．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（）A．36°B．44°C．54°D．64°二．填空题11．边长为3cm的等边三角形的外接圆半径是．12．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，点G是△ABC的外心，则CG的长为．13．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA ＝1，∠APB＝60°，则△P AB的周长为．14．《九章算术》是我国数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“直角三角形短直角边长为8步，长直角边长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”如图，请写出内切圆直径是步．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为．三．解答题16．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AE为⊙O直径，⊙O的半径为2，连接BE．（1）求AC的长；（2）求证：BE＝DC．17．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与⊙O的位置关系怎样？18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．19．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M（填内、外、上）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是相交，故选：A．2．【解答】解：①垂直平分弦的直线经过圆心，故①不符合题意；②经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故②不符合题意；③对角互补的四边形四个顶点共圆；故③符合题意；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故④符合题意；故选：B．3．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．4．【解答】解：点P在⊙O外且⊙O的半径为3cm，可知点P到圆心的距离大于r，即PO大于3，故选：B．5．【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线l与⊙O相交，∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即d＜10．故选：A．6．【解答】解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：B．7．【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝2，由勾股定理得，BD＝＝，故选：C．8．【解答】解：根据垂径定理的推论，如图，作弦AB、AC的垂直平分线，交点O′即为三角形外接圆的圆心，且O′坐标是（3，2）．故选：A．9．【解答】解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A．10．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝36°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，∵等边三角形的边长为3cm，∴AD＝（cm），∵∠DAO＝∠BAC＝60°×＝30°，∴AO＝＝（cm）．故答案为：cm．12．【解答】解：因为Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，点G是△ABC的外心，所以CG是直角三角形ABC斜边的中线，则CG的长为．故答案为：．13．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，∴P A＝PB，OA⊥P A，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠APB＝30°，△P AB为等边三角形，在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，∴P A＝OA＝，∴△P AB的周长＝3P A＝3．故答案为3．14．【解答】解：根据题意，直角三角形的斜边为＝17，所以直角三角形的内切圆的半径＝＝3，所以直角三角形的内切圆的直径为6．故答案为6．15．【解答】解：如图，P点为△ABC的外接圆的圆心，其坐标为（5，5）．故答案为（5，5）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，连接EC，∵AD⊥BC于点D，AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠AEC＝∠ABD＝45°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵AE＝4，∴AC＝AE sin45°＝4×＝2；（2）证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠AEB＝∠ACB，∴△ABE∽△ADC，∴BE：DC＝AE：AC＝4：2＝，∴BE＝DC．17．【解答】解：如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，在直线y＝﹣2x+中，令x＝0，解得：y＝；令y＝0，解得：x＝，∴A（，0），B（0，），即OA＝，OB＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝＝＝，＝ABOC＝OAOB，又S△AOB∴OC＝＝＝1，又圆O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与圆O的位置关系是相切．18．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，根据题意得，AN＝4，CM＝2，∴CN＝4，＝×4×2＝4（cm2）；∴S△CMN故答案为4cm2；（2）设经过x秒，根据题意得，（8﹣2x）x＝3，解得x1＝1，x2＝3；即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，∴MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，整理得5t2﹣32t+52＝0，∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，∴原方程没有实数解，∴△MCN外接圆的半径不能是cm．19．【解答】解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；（2）∵A（0，4），M（2，0），∴MA＝＝2，即⊙M的半径为2；（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），∴DM＝＝24.3 正多边形和圆一．选择题1．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣3．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．104．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．7．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．28．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD10．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．811．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．12．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（）A．42°B．40°C．36°D．32°13．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6B．7C．8D．914．已知圆的内接正六边形的面积为18，则该圆的半径等于（）A．3B．2C．D．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°二．填空题16．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的圆，则B、E两点间的距离为．17．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．18．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是．19．中心角为36°的正多边形边数为．20．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于cm2．21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．22．正六边形的边长为2，则边心距为．23．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为．24．如图，将边长为20的正方形剪去四个角，得到一个正八边形ABCDEFGH，那么这个正八形的边长为．（≈1.41，结果保留一位小数）25．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝度．三．解答题26．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．27．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．28．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．29．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝度，并说明理由．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝，且∠EON＝度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）30．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．参考答案一．选择题1．D．2．A．3．B．4．A．5．D．6．A．7．C．8．B．9．D．10．B．11．C．12．A．13．B．14．B．15．B．二．填空题16．10．17．A．18．3．19．10．20．24．21．（3，3）．22．．23．：：1．24．8.2．25．72．三．解答题26．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．27．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．28．解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．29．（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案为：90°，EM，108°．30．解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．24.4《弧长和扇形面积》一．选择题1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9B．3C．D．2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．B．C．4D．2+4．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（）A．πB．πC．D．5．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（）A．πB．πC．2πD．3π6．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm27．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm28．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3B．6C．3πD．6π9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1 10．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是（）m．（结果用含π的式子表示）A．6πB．8πC．10πD．12π二．填空题11．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．13．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．15．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中的长是cm（计算结果保留π）．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：（1）点B'的坐标为．（2）点A经过的路径的长度为π．（友情提示：已经有π）20．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．22．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为（保留根号）．∠ADC的度数为°；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）参考答案一．选择题1．解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr＝，r＝cm．故选：A．3．解：如图：BC＝AB＝AC＝1，∠BCB′＝120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，故选：B．4．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长l＝＝π，故选：C．5．解：连接OO′，∴OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴的长＝＝π，故选：B．6．解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π＝350πcm2，故选：B．7．解：设底面圆的半径为R，则πR2＝25π，解得R＝5，圆锥的母线长＝＝，所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π；圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π，所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．故选：A．8．解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr＝×2π×10，解得r＝6．故选：B．9．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．10．解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，则∠OBC＝45°，O旋转的长度是：2×＝π，O移动的距离是：＝π，则圆心O所经过的路线长是：π+π＝6π．故选：A．二．填空题11．解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．12．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的长为＝．故答案为：．13．解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为：12π．14．解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．15．解：∵圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，∴圆锥的底面半径为＝5cm，∴圆锥的底面周长为10πcm，∴扇形AOC中的长是10πcm，故答案为：10π．16．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．三．解答题17．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．18．（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴的长为：＝．19．解：如图所示：∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．∴A'的坐标为（0，4），B'的坐标为（2，1），∴OA＝OA'＝4，∴点A经过的路径的长度＝＝2π．20．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，．∴．∴图中阴影部分的面积为：．21．解：（1）连接OF，∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x＝．∴OE＝2x＝．即⊙O的半径为．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝＝π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝S Rt△OEF＝＝．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝π﹣．22．解：（1）点D的坐标为（﹣4，0）；（2）如图，AD＝＝4，即⊙D的半径长为4；∵AD＝CD＝4，AC＝＝4，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为（﹣4，0）；4；90；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

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典题精讲例如图，△ABC的内切圆⊙O与 BC，CA，AB分别相切与D,E,F,且AB=9， BC=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC，可得
F
O
（13-x)+(9-x)=14.
B
D
你又能得出什么新的 C
。
P
结论?并给出证明.
O
CA=CB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ， ∠OPA=∠OPB.
又 ∵ PC=PC ，∴ △PCA ≌ △PCB .∴AC=BC.
探索新知
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，
。
往往需要我们
O
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
若连接两切点A，B，AB 交OP于点M.你又能得出什么新
B
的结论?并给出证明.
OM
P
OP垂直平分AB
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
探索新知
若延长PO交⊙O
B
于点C，连接CA，CB，
C
解得x=4.
因此 AF=4，BD=5，CE=9.
课堂作业
例如图，AB是⊙O的直径，AD，DC，BC是切
线，点A，E，B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC
(2)若BC=9，AD=4，求OB的长.

24.2.3+切线的判定和性质课件+2023-—2024学年人教版数学九年级上册

1.[2023眉山中考]如图，AB切⊙ O于点B，连接OA
交⊙ O于点C，BD//OA交⊙ O于点D，连接CD，
若∠OCD = 25∘ ，则∠A的度数为(
A.25∘
B.35∘
C.40∘
C )
D.45∘
第1题图
【解析】如图，连接OB. ∵ AB切⊙ O于点B，
∴ OB ⊥ AB，∴ ∠ABO = 90∘ . ∵ BD//OA，
AE的长为(
B )
A.1
B. 2
C.2
D.2
2
第2题图
【解析】 ∵ OA是⊙ O的半径，AE是⊙ O的切线，
∴ ∠A = 90∘ . ∵ ∠AOC = 45∘ ，OA ⊥ BC，∴△ CDO和△ EAO都是等腰直角
三角形，∴ OD = CD，OA = AE. ∵ OA ⊥ BC，∴ CD =
1
BC
线，∴ ∠OPB = 90∘ . ∵ ∠ABC = 90∘ ，∴ OP//BC，
∴ ∠CBD = ∠POB = 40∘ ．
8.如图，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙ O上一点，
点D为BA的延长线上一点，连接CD.若DC与⊙ O
相切，点E为OA上一点，且∠ACD = ∠ACE.求
证：CE ⊥ AB.
证明：∵ 与⊙ 相切，
AC是⊙ O的切线，A为切点，BC经过圆心.若
∠B = 21∘ ，则∠C的度数是(
A.21∘
B.42∘
C )
C.48∘
D.69∘
第6题图
【解析】如图，连接OA. ∵ AC是⊙ O的切线，A
为切点，∴ AC ⊥ OA，
∴ ∠OAC = 90∘ . ∵ ∠B = 21∘ ，
∴ ∠AOC = 2∠B = 2 × 21∘ = 42∘ ，

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计

人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》这一节主要介绍了直线与圆的位置关系，特别是圆的切线。

学生将学习如何判定一条直线是否为圆的切线，以及切线与圆的性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。

但是，对于切线的判定和性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，逐步引导他们理解和掌握切线的判定和性质。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解切线的定义，学会判定一条直线是否为圆的切线，掌握切线的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：切线的定义，判定一条直线是否为圆的切线，切线的性质。

2.难点：理解并掌握切线的判定定理，以及如何运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际情境中理解切线的定义和性质。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流、分享，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示切线的定义、判定和性质。

2.练习题：准备一些有关切线的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。

3.教学道具：准备一些圆形模型和直线模型，以便在课堂上进行直观展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆形物体，如篮球、乒乓球等，引导学生观察这些圆形物体上的切线。

然后提出问题：“你们认为，什么是切线？切线有哪些特点？”2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过动画演示切线的形成过程，让学生直观地理解切线的定义。

人教版九年级数学上册：24.1.3 课后作业：方案(A)部

24.1.3 弧、弦、圆心角课后作业：方案（A）一、教材题目：P89-P90 T3、T4、T13,∠C=75°.求∠A的度数.1．如图，⊙O中，AB AC与的长度，并证明你的结论.2．如图，AD=BC,比较AB CD3.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.求证：四边形OACB 是菱形.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，且∠AOB＝∠COD，连接AC，BD，有下列结论：①AB ＝CD ；②∠AOC ＝∠BOD ；③AC ︵＝BC ︵；④△AOC ≌△BOD .其中正确的结论是________(写序号即可)．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .7．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ， F ，延长BA 交⊙A 于点G . (1)求证：GE ︵＝EF ︵；(2)若BF ︵的度数为50°，求∠C 的度数．8．(1)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，且C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交 OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .[第16(1)题](2)在(1)题中，如果∠AOB ＝120°，其他条件不变，如图所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．[第16(2)题]答案一、教材1．解：AB ︵＝AC ︵⇒AB ＝AC ⇒⎭⎬⎫∠B ＝∠C ∠C ＝75°⇒∠A ＝180°－2×75°＝30°. 点拨：等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等．2．解：AB ︵＝CD ︵.证明：AD ＝BC ⇒AD ︵＝BC ︵⇒AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵⇒CD ︵＝AB ︵.点拨：在⊙O 中，由AD ＝BC ，得AD ︵＝BC ︵，进而可知AB ︵＝CD ︵. 3．证明：连接OC .⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB ＝120°C 为AB ︵的中点⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧∠AOC ＝60°∠BOC ＝60°OA ＝OC ＝OB ⇒ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA ＝OC ＝AC OB ＝OC ＝BC ⇒AO ＝OB ＝BC ＝AC ⇒四边形OACB 是菱形．点拨：四条边都相等的四边形是菱形．二、典中点4. ①②④ 点拨：由∠AOB ＝∠COD 可得 ∠AOC ＝∠BOD ，而OA ＝OC ＝OB ＝OD ，故可得①②④均正确，与弧AC 一定相等的是弧BD ，故③错误． 5．10 点拨：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′，∵ BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵C 与C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC .∴∠BOC ′＝60°.∴D ，O ，C ′在同一条直线上．∴ DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10，此时P 与O 重合． 6．(1)解：△AOC 是等边三角形．理由如下： ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠BOD ＝180°－∠AOC －∠COD ，∴∠BOD ＝180°－60°－60°＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠D ＝60°，∴∠D ＝∠COD ，∴OC ∥BD .解题策略：本题利用了转化思想，通过利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，求得角的度数，然后通过∠BOD 实现了角之间的转化，从而使问题得以解决．7．(1)证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝ EF ︵.(2)解：∵BF ︵的度数为50°，∴∠BAF ＝50°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝65°.又 ∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABF ＝115°.解题策略：在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题最贴近，就应构造这一组量，再证明相等． 8．(1)证明：连接AC ，BD .∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵， ∴AC ＝CD ＝BD .∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝30°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝30°，∴∠ACE ＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC .∴AE ＝AC .同理可得BF ＝BD . ∴AE ＝BF ＝CD . (2)解：成立．证明略．。

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置外心不一定在三角形内部内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

人教版九年级数学上册24.2.3圆和圆的位置关系

四、合作交流建构新知两圆位置关系的判定方法
圆与圆的位置关系
位置关系
外离相离相交外切相切内切内含
性质
判定
d,R,r数量关系
d与R、r的关系
d＞R+r 0 ≤ d＜R-r
图形
交点个数 0 2 1
R-r ＜d＜R+r d=R+r d=R-r
小结
要确定两圆的位置关系，关键是计算出数据 d、(R+ r)和(R –r)这三个量,再把它们进行大小比较。
练习口答题
判断下列说法是否正确
× 1.当两圆只有一个公共点时，两圆外切（） × 2.当两圆无公共点时，两圆内含（）
3.两圆只有两个公共点时，两圆相交（ √）
√） 4.两圆相切时有且只有一个公共点（
5.只有外离、内含没有公共点（ √ ）
练习填空题
1、两圆半径分别是12和9,两圆的圆心距是20,则两圆的位置关系是_______ 。相交 2、两圆的半径分别为3和2,当圆心距d满足l＜d＜5 内含。时，则两圆的位置关系是_______ 3、两圆的半径分别为3和4，若两圆内切，则圆心距 1 d= _______ 。
外离相离相交外切相切内切内含
性质判定
d,R,r数量关系
d与R、r的关系
d＞R+r 0 ≤ d＜R-r
图形
交点个数 0 2 1
R-r ＜d＜R+r d=R+r d=R-r
小结
要确定两圆的位置关系，关键是计算出数据 d、(R+ r)和(R –r)这三个量,再把它们进行大小比较。
七、回顾小结布置作业
人教版九年级上册
24.2.3 《圆和圆的位置关系》

人教版九年级数学上典中点课后作业24.3正多边形和圆(A)(含答案)

24.3 正多边形和圆课后作业：方案（A）一、教材题目：P108 T1、T2、T4 P109 T6、T71. 完成下表中有关正多边形的计算：2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？3.如图，H,I,J,K,L分别是正五边形ABCDE各边的中点.求证：五边形HIJKL是正五边形.4.如图，正方形的边长为4cm,剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.5.用48 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆.哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形； ⑧平行四边形．A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个7．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形．(画图工具不限，但要保留画图痕迹)9．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12答案一、教材1．解：2．解：原题可转化为如图所示，已知圆内接正方形ABCD 的边长为a ，求⊙O 的半径．连接OA ，作OE ⊥AB 于E ，因为OE ⊥AB ，所以AE ＝12AB ＝a2.又因为∠AOE ＝45°，所以OE ＝AE .因为OA ＝AE 2＋OE 2，所以OA ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝22a. 即选用的圆形铁片的半径至少是22a .点拨：会将实际问题转化为数学问题是解本题的关键．3．证明：因为五边形ABCDE 是正五边形，所以AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E .又因为H ，I ，J ，K ，L 分别是正五边形ABCDE 各边的中点，所以AH ＝BH ＝BI ＝CI ＝CJ ＝DJ ＝DK ＝EK ＝EL ＝AL .在△AHL 和△BIH 中⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝BI ，∠A ＝∠B ，AL ＝BH ，所以△AHL ≌△BIH .同理可证，△AHL ≌△CJI ≌△DKJ ≌△ELK ，所以易得HI ＝IJ ＝JK ＝KL ＝HL ，∠LHI ＝∠HIJ ＝∠IJK ＝∠JKL ＝∠ KLH .所以五边形HIJKL 是正五边形．4．解：如图所示．由题意，得AD ＝4 cm ，△DME 、△CFG 、△BQH 、△ANP 都是全等的等腰直角三角形．设AN ＝x cm ，则MN ＝NP ＝AN 2＋AP 2＝x 2＋x 2＝2x (cm )，所以x ＋x ＋2x ＝4，解之，得x ＝4－2 2. 所以MN ＝2x ＝2(4－22)＝42－4.S 正八边形＝S 正方形－4S △ANP ＝42－4×12×(4－22)2＝322－32 (cm 2)．答：这个正八边形的边长和面积分别为(42－4) cm ，(322－32) cm 2.点拨：求正多边形的面积最关键的问题是分割和拼接．5．解：用48 m 长的篱笆围成的正三角形场地、正方形场地、正六边形场地、圆形场地的面积分别是：S 正三角形＝12×16×83＝643≈110.9(m 2)，S 正方形＝⎝⎛⎭⎫4842＝122＝144(m 2)， S 正六边形＝6×12×8×43＝963≈166.3(m 2)，S 圆＝π⎝⎛⎭⎫482π2＝242π≈183.4(m 2)．很显然设计成圆形场地的面积最大．点拨：在周长相同的条件下，边数越多，面积越大，围成圆形的面积最大，这一规律广泛应用在生产实践中．二、典中点6．C7．C8．解：如图所示．9．错解：B诊断：设正多边形的边数为n.因为正多边形内角和为(n－2)·180°，正多边形外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果3，最后导致错选B.正解：A。

2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习知识点 1 切线的判定1.下列说法中正确的是( )A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.如图所示，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________.3.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB=________°时，AC才能成为⊙O的切线.4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.求证：直线CE是⊙O的切线.知识点 2 切线的性质5.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为( )A.25°B.30°C.35°D.40°6.如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°7.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径为________.8.如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=________.9.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA=40°，求∠ABC的度数.10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面三个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.011.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是________.(结果保留π)12.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD 之间的距离为18，则弦CD的长为________.13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.14.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.15.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断.参考答案1.B2.答案不唯一，如∠ABC=90°3.60 [解析] ∵在△AOB 中，OA=OB ，∠AOB=120°，∴∠OAB=30°，∴当∠CAB=60°时，OA ⊥AC ，此时AC 为⊙O 的切线.4.证明：连接OD ，∵OA=OD ，∴∠2=∠3.∵AD 平分∠CAE ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE ∥OD ，∴∠E=∠ODC.∵AE ⊥CD ，∴∠E=90°，∴∠ODC=90°，∴OD ⊥CE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线.5.D6.D [解析] 连接OD.∵CA ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，∴∠OAC=∠ODC=90°.∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°－∠C －∠OAC －∠ODC=150°.∵OB=OD ，∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°.7.5 [解析] 连接OB ，根据切线的性质可知OB ⊥AB.设圆的半径为r ，根据勾股定理可得r2＋AB 2=(r ＋AC)2，即r 2＋122=(r ＋8)2，解得r=5.8.8 [解析] ∵CA 与⊙O 相切，∴AB ⊥AC.∵在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴BC=2AB=8.故答案为8.9.解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAP=90°.∵∠OPA=40°，∴∠AOP=180°－90°－40°=50°.∵OB=OC ，∴∠ABC=∠BCO.又∵∠AOP=∠ABC ＋∠BCO ，∴∠ABC=12∠AOP=12×50°=25°. 10.A [解析] 连接OD ，根据切线的性质定理可得OD ⊥CD.由于AB 是⊙O 的直径，根据“直径所对的圆周角等于90°”，可得∠ADB=90°，结合已知条件“∠A=30°”可以说明①②的正确性；在Rt △ADB 中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2BD ，从而AB=2BC.11.16π [解析] 如图，设AB 与小圆切于点C ，连接OC ，OB.∵AB 与小圆切于点C ，∴OC ⊥AB ，∴BC=AC=12AB=12×8=4. ∵在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2＋BC 2，∴圆环(阴影)的面积=π·OB 2－π·OC 2=π(OB 2－OC 2)=π·BC 2=16π.故答案是16π.12.24 [解析] 如图，设AB 与⊙O 相切于点F ，连接OF ，OD ，延长FO 交CD 于点E.∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13.∵AB 是⊙O 的切线，∴OF ⊥AB.∵AB ∥CD ，∴EF ⊥CD ，即OE ⊥CD ，∴CE=ED.∵EF=18，OF=13，∴OE=5.在Rt △OED 中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，∴ED=OD 2－OE 2=132－52=12，∴CD=2ED=24.13.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.14.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ， ∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠EDC ＋∠ODC=∠ECD ＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD ⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线.(2)设⊙O 的半径为x.在Rt △ODF 中，根据勾股定理，得OD 2＋DF 2=OF 2，即x 2＋42=(x ＋2)2，解得x=3.∴⊙O 的直径的长为6.15.解：(1)答案不唯一，如①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC.理由：①∵∠BAE=90°，∴AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.②∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC ＋∠BAC=90°.∵∠EAC=∠ABC ，∴∠BAE=∠BAC ＋∠EAC=∠BAC ＋∠ABC=90°，即AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.(2)EF 是⊙O 的切线.证明：如图，作直径AM ，连接CM ，则∠ACM=90°，∠M=∠B ，∴∠M ＋∠CAM=∠B ＋∠CAM=90°.∵∠CAE=∠B ，∴∠CAE ＋∠CAM=90°，即AE ⊥AM.∵AM 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.。

人教版九年级数学上典中点课后作业24.2.4切线长(A)(含答案)

24.2.4 直线和圆的位置关系——切线长课后作业：方案（A）一、教材题目：P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T141．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.(提示：设△ABC的内心为O，连接OA,OB,OC)2.如图，P A，PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数.3.如图，AB，BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD，BO=6cm,CO=8cm. 求BC的长.4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》5．如图，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，连接OP ，AB .下列结论不一定正确的是( )A ．P A ＝PB B ．OP 垂直平分ABC ．∠OP A ＝∠OPBD ．P A ＝AB6．(2015·南充)如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°7．(2015·南京)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A.133B.92C.4133D ．2 58．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则()A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF10．(2015·滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A.2B．22－2C．2－2 D.2－111．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形12．如图，P A，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.13．(2015·绵阳)如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．(1)求证：△BOC≌△CDA；(3)若AB＝2，求阴影部分的面积．答案一、教材1．解：如图所示，设⊙O 与△ABC 各边切于点D ，E ，F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， OD ＝OE ＝OF ＝r .所以S △AOB ＝12AB ·OD ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △AOC ＝12AC ·OF ，所以S △ABC ＝S△AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB ·OD ＋12BC ·OE ＋12AC ·OF ＝12r ·AB ＋12r ·BC ＋12r ·AC ＝12r (AB ＋BC ＋AC )＝12rl.点拨：本题的结论：S ＝12rl (S 为三角形的面积，r 为三角形的内切圆半径，l为三角形的周长)可以作为一个公式记住． 2．解：⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A ⇒∠OAP ＝90°∠BAC ＝25°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BAP ＝65°⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A PB 切⊙O 于点B ⇒P A ＝PB ⇒∠ABP ＝∠BAP⇒∠P ＝180°－2×65°＝50°. 点拨：根据切线长定理知P A ＝PB .3．解：AB ，BC ，CD 分别切⊙O 于E ，F ，G ⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧BO 平分∠ABC ⇒∠CBO ＝12∠ABCCO 平分∠DCB ⇒∠BCO ＝12∠DCB AB ∥CD ⇒∠ABC ＋∠DCB ＝180° ⇒ ∠BCO ＋∠CBO ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BOC ＝180°－90°＝90° BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm⇒BC ＝BO 2＋CO 2＝62＋82＝10(cm)．点拨：有关圆的题目应全面分析图形中的条件，综合运用相关的定理进行计算或证明．4．解：如图所示，设D ，E ，F 为切点，连接OD ，OE ，OF ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB .⎭⎪⎬⎪⎫OD ⊥BCOE ⊥AC ∠C ＝90°OE ＝OD ⇒四边形ODCE 是正方形⇒⎭⎪⎬⎪⎫CE ＝CD ＝OE ＝OD ＝r.⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE BD ＝BF CE ＝CDBC ＝a ，CA ＝b⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE ＝b －r BF ＝BD ＝a －r AB ＝c.⇒(b －r )＋(a －r )＝c ⇒r ＝a ＋b －c2.点拨：直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2，应熟练掌握．二、典中点5.D6.C7．A 点拨：设MN ＝x ，DN ＝y ，根据切线长定理可得GM ＝MN ＝x ，ED ＝DN＝y ，AE ＝AF ＝5－y ，FB ＝BG ＝y －1，CM ＝6－(x ＋y )，在Rt △DMC 中， DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(x ＋y )2＝[6－(x ＋y )]2＋42，解得x ＋y ＝133，即DM＝133.故选A.8.D 9.C 10.B 11.C12．证明：(1)∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，P A ＝PB ，∴PO ⊥AB ，∴∠ABP ＋∠BPO ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥PB . ∴∠ABP ＋∠ABC ＝90°.∴∠ABC ＝∠BPO ＝12∠APB ，即∠APB ＝2∠ABC .(2)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由(1)知PO ⊥AB ， ∴AC ∥OP .13．(1)证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD ＝CD . ∵四边形OADC 为平行四边形， ∴四边形OADC 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∠4＝∠5＝∠6.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6， ∴OB ＝OC ＝OA .∴点O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形， ∴BC ＝AC .在△BOC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠3＝∠5，OC ＝AD ，∴△BOC ≌△CDA .(2)解：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图， ∵点O 为△ABC 的外心 ∴∠AOB ＝120°∴∠BOH ＝60°，∠1＝30°.∵OH ⊥AB ， ∴BH ＝AH ＝12AB ＝1，∴OH ＝33，OB ＝233. ∵扇形AOB 的圆心角为120°，∴S 扇形AOB ＝13S 圆＝13π⎝⎛⎭⎫2332∴S 扇形AOB ＝49π.∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △AOB ＝49π－12×2×33＝4π－339.。

初三数学九年级上册：24.2.2 第3课时切线长定理教学设计教案

第3课时切线长定理学习目标：1.理解切线长的定义；2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1.直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2.切线的判定和性质是什么？3.角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。

P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（二）探究切线与切线长的区别和联系：区别联系切线切线长跟踪训练：判断1.圆的切线长就圆的切线的长度。

（）2.过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）（三）探究切线长定理：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴ 跟踪训练：1.如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ，与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________。

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：（1）△PDE 的周长；（2）∠DOE 的度数。

人教版九年级数学上册 24.2.2.3 切线长定理同步练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章24.2.2.3 切线长定理同步练习题一、选择题1．平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．54．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(D)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD5．将一把直尺，含60°角的直角三角板和光盘如图摆放，点A为60°角与直尺的交点，AB ＝3，则光盘的直径是(D)A．3 B．3 3 C．6 D．6 36．如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为(A)A．1 B. 3 C．2 D．2 37．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB 均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)A．9 B．10 C．12 D．148．如图，等边△ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O 的半径为(A)A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 39．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)A．4 B．6.25 C．7.5 D．910．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF11.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．2二、填空题12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝219°．14．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．15．如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)三、解答题16．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm.17．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，若∠BOC＝90°，求证：AB∥CD.证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.18．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.求证：(1)DG∥CA；(2)AD＝ID.证明：(1)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠2＝∠7＝12∠ABC.∵DG 平分∠ADF ， ∴∠1＝12∠ADF.∵∠ADF ＝180°－∠ADC ＝∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DG ∥AC. (2)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠5＝∠6. ∴∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，即∠4＝∠DAI. ∴DA ＝DI.。

2018-2019学年度人教版数学九年级上册《24.2.3切线的判定和性质》同步练习含答案

20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿 x 轴正方向以 0.5 个单位/秒的速度平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的时间为秒．
21．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CD 交 AB 于 E，连接 OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过 E 作弦 GF⊥BC 交圆于 G、F 两点，连接 CF、BG．则下列结论： ①CD⊥AB；②PC 是⊙O 的切线；③OD∥GF；④弦 CF 的弦心距等于 BG．则其中正确的是（只需填序号）
A．4
B．8
C．4 或 6
D．4 或 8
二．填空题（共 6 小题）
16．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（﹣4，0），半径为 1 的动圆⊙P 沿 x 轴正方向运动，若运动后⊙P 与 y 轴相切，则点 P 的运动距离为．
17．如图，直线 PA 是⊙O 的切线，AB 是过切点 A 的直径，连接 PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ABC=25°，则∠P 的度数为．
B．2
C．
D．2
5．如图，∠NAM=30°，O 为边 AN 上一点，以点 O 为圆心，2 为半径作⊙O，交 AN 边于 D、E
两点，则当⊙O 与 AM 相切时，AD 等于（）Fra bibliotekA．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（）

九年级数学： 24.2.3切线长定理教案12

级九学科数学组长签字第周第课时使用人备课教师课题24.2.3 直线与圆的位置关系(三)切线长定理课型新授课共1课时第1课时教学目标知识与技能1.通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．过程与方法通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力。

情感、态度、价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

教学重点与难点切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．教学方法及学法指导讲授法教学工具多媒体教学过程复备问题导入问题1 经过⊙O上一个已知点A，作已知圆的切线怎样作？能作几条？问题2 经过圆外一点P，如何准确地作已知⊙O的切线？探究新知1.切线的定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

几何语言:PA、PB分别切⊙O于A、B → PA = PB∠1=∠2 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。

切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E ，交AB 于C 。

（1）写出图中所有的垂直关系（2）写出图中与∠OAC相等的角（3）写出图中所有的全等三角形（4）写出图中所有的等腰三角形简单应用如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线PA 、 PB,则切线长为_____cm，这两条切线的夹角为______，∠ AOB______。

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24.2.3 直线和圆的位置关系——切线
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P101 T3-T5 P102 T10、T12
1．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25cm.
(1)如果UV=28cm，VT是多少？
（2）如果∠UVW=60°，VT是多少？
2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB,求证：直线AB是⊙O
的切线.
3.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切线，求证：AP=BP.
4.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY=0.65m，并且XY⊥WY，这个油桶的底面半径是多少？为什么？
5.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF 与⊙O相切于点A的条件是()
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是()
A．相离B．相切
C．相交D．以上三种情况都有可能
8．(2015·泸州)如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()
A．65°B．130°C．50°D．100°
9．(2015·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为()
A．40°B．35°C．30°D．45°
10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．
11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以点D 为圆心，DB 长为半径作⊙D .
求证：AC 与⊙D 相切．
答案
一、
教材
1．解：(1)由题意可知：UV 与⊙T 相切，所以UV ⊥UT ，
所以VT ＝UV 2＋UT 2＝282＋252＝ 1 409(cm)． (2)易证△VUT ≌△VWT ，
所以∠TVU ＝∠TVW ＝1
2×60°＝30°，
所以VT ＝2UT ＝2×25＝50(cm)．
点拨：在直角三角形中出现30°，45°，60°角时，只要已知一条边的长，即可求得其他两边的长．
2．证明：连接OC ，因为OA ＝OB ，CA ＝CB ，
所以OC ⊥AB (三线合一)．
又因为直线AB 经过⊙O 上的点C ，所以直线AB 是⊙O 的切线． 3．证明：连接OP ，如图所示， AB 切小⊙O 于点P ⇒
⎭
⎪⎬⎪⎫OP ⊥AB
AB 是大⊙O 的弦⇒ AP ＝BP .
点拨：当已知圆的一条切线时，一般需要连接切点和圆心．
4．解：这个油桶的底面半径是0.65 m．理由：如图所示，设这个油桶底面圆的圆心为O，连接OW，OX，则OX⊥XY，OW⊥WY.
因为WY⊥XY，所以四边形OXYW是矩形．
又因为OW＝OX，所以矩形OXYW是正方形，
所以这个油桶的底面半径是0.65m.
点拨：当一个圆与一直角的两边相切时，圆心、两个切点和直角顶点四个点是一个正方形的四个顶点．
5．证明：连接OC.
因为CD为⊙O的切线，C为切点，
所以OC⊥CD.又因为AD⊥CD，所以AD∥OC，
所以∠DAC＝∠ACO.
因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO，
所以∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.
二、典中点
6.A
7.B
8.C
9.C
10．证明：连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD∥OC，∴∠OAD＝∠BOC，∠ADO＝∠DOC.
∴∠BOC＝∠DOC.
又∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC.
∴∠ODC＝∠OBC.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°.∴DC是⊙O的切线．
11．证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
∵AD平分∠BAC，BD⊥AB，
DE⊥AC，
∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于⊙D的半径，
∴AC与⊙D相切．。