正多面体的七种不同类型的着色公式

Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 540-548Published Online May 2020 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2020.105066Seven Different Types of Coloring Formulas for Regular PolyhedronsRenbing XiaoSchool of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming YunnanReceived: Apr. 25th, 2020; accepted: May 18th, 2020; published: May 25th, 2020AbstractIn this paper we obtain the coloring formulas of vertex, edge, surface, point edge, point surface, edge surface, and point edge surface of regular polyhedrons by using Pólya theorem. Our method is to use the knowledge of permutation groups. First we determine the rotation groups of all regu-lar polyhedrons, and then we determine the permutation types and the numbers of elements in the induced permutation groups. Then the formulas are obtained by considering the actions of the groups on the set.KeywordsRegular Polyhedron, Rotation Group, Coloring Formula, Pólya Theorem正多面体的七种不同类型的着色公式肖仁兵云南师范大学数学学院，云南昆明收稿日期：2020年4月25日；录用日期：2020年5月18日；发布日期：2020年5月25日摘要本文我们研究正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。

我们通过考虑正多面体的自同构群(旋转群)在正多面体点、边、面等个体集合上的作用，先求出所有正多面体的旋转群，进而得到这些旋转群在正多面体点、边、面等个体集合上的诱导作用及旋转群中元素的置换类型及个数，然后利用Pólya定理得出正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。

肖仁兵关键词正多面体，旋转群，着色公式，Pólya 定理Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言图着色问题是图论和组合数学中的一个经典问题，着色问题的研究极大地促进了图论和组合数学的发展。

近年来，用代数方法研究图着色问题是解决这一古老问题的重要途径。

所谓正多面体的顶点着色问题如下：用m 种颜色给对一个正多面体的顶点着色，如果两种着色方法经过对正多面体进行一次对称旋转能互相重合，则认为这两种着色本质上是一样的，问本质上有多少种不同的着色？定义详见文献[1]，同时文献[1]中还给出了正六面体的着色公式。

此外叶载良，韩冬在文献[2]中利用Burnside 定理给出了其它四种正多面体的顶点着色公式，本文我们利用Pólya 定理给出五种正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。

2. 预备知识这一节中我们先给出本文需要的一些预备知识，本文中涉及图着色的概念可参见文献[1]，涉及置换群与群作用的概念和内容可参见文献[3]。

定义1.1 [4]设A 是一个n 元集，G 是A 上的一个置换群，g G ∈，如果g 的轮换分解式中含有()1,2,,i b i n = 个长为i 的轮换(122n b b nb n +++= )，则称g 是一个型为(12,,,n b b b )的n 元置换，或称g 是一个型为1212n b b b n 的n 元置换。

定义1.2 [4]设G 是n 元集A 上的一个置换群，12,,,n x x x 是n 个未定元，对每个g G ∈，以()i b g (1,2,,i n = )表示g 的轮换分解式所含有的长为i 的轮换的个数，令()()()()1212121,,,n b g b g b g G n n g GP x x x x xx G∈=∑()12,,,G n P x x x 称为A 上的置换群(G ，。

)的轮换指标。

定理1 (Pólya 定理) [5]设有限群作用在n 个对象组成的集合W 上。

G 中元素g 在上的置换表示记作ˆg。

用m 种颜色给W 里的n 个对象染色，则真正不同的染色方案的个数r 为：()ˆ1r g g Gr m G∈=∑其中()ˆr g是ˆg 的轮换表示中轮换的个数(包括1-轮换)。

定理2 (Burnside 引理) [5]设有限群G 在有限集合Ω上有一个作用，用F (g )表示g 的不动点集，即()F g x g x x =∈Ω=则轨道条数r 为()1g Gr F g G∈=∑肖仁兵即轨道条数等于平均被G 的一个元素保持不动的点的数目。

参考文献[6]，三维空间中总共有五个正多面体，分别为：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，具体如下表1。

Table 1. Number of vertices, sides, number of faces and shape of regular polyhedron 表1. 正多面体的顶点数，边数，面数和面的形状正多面体 顶点数 边数 面数 每个面的形状 正四面体 4 6 4 正三角形 正六面体 8 12 6 正方形 正八面体 6 12 8 正三角形 正十二面体 20 30 12 正五边形 正二十面体123020正三角形3. 主要结果我们的讨论的主要依赖于对正多面体的旋转轴的分类。

下面我们依次对正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体确定其旋转轴的类型，然后确定在相应子图上的诱导作用，最后利用Pólya 定理得到这些正多面体的着色公式。

1) 正四面体：由表1知正四面体的顶点数、边数及面数分别为4，6，4。

图形结构如图1所示。

我们给图形顶点标上数字标号，4个顶点如图依次记为1，2，3，4；6条边依次记为：()112e ，()213e ，()314e ，()423e ，()524e ，()634e 。

4个面依次记为：()1123u ，()2124u ，()3134u ，()4234u 。

Figure 1. Regular tetrahedron structure diagram图1. 正四面体结构图正四面体的旋转轴可分为两类：I 类为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为通过顶点1和其对面()4234u 中心的连线旋转120˚，其点置换()1()234是1131型置换，对应的边置换为()123e e e ()465e e e 是32型置换，对应的面置换为()4u ()123u u u 是1131型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素； Ⅱ类为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，以()112e 与其对边()634e 的中点连线为轴旋转180˚为例，其点置换()12()34是22型置换，求得对应的边置换为()1e ()6e ()25e e ()34e e 是1222型置换，对应的面置换为()12u u ()34u u 是22型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素。

加上单位元，点置换群4V 有14型1个，1131型8个，22型3个；边置换群4E 有16型1个，32型8肖仁兵个，1222型3个；面置换群4U 有14型1个，1131型8个，22型3个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的顶点、边、面着色公式为：()44211112V N m m =+, ()464213812E N m m m =++, ()44211112U N m m =+ 如果我们考虑正四面体旋转群G 作用在包含正四面体顶点和边的集合{}1234561,2,3,4,,,,,,e e e e e W e =上，导出的群称为点边置换群4VE ，则I 类旋转为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取G 中元素1g 为通过顶点1和其对面u 4 (2 3 4)中心的连线旋转120˚，作用在集合W 上，得到的置换表示称为点边置换，得到()()1ˆ1234g= ()123e e e ()465e e e 是1133型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素；II 类旋转为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，取G 中元素2g 为以()112e 与其对边()634e 的中点连线为轴旋转180˚，得到()()2ˆ1234g= ()1e ()6e ()25e e ()34e e 是1224型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素；加上单位元，则点边置换群4VE 有110型1个，1133型8个，1224型3个。

由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的点边着色公式为：()4106413812VE N m m m =++ 所以我们可以类似的得出正四面体的点面置换群4VU 有18型1个，1232型8个，24型3个；边面置换群4EU 有110型1个，1133型8个，1224型3个；点边面置换群4VEU 有114型1个，1234型8个，1226型3个；由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的点面、边面和点边面着色公式分别为：()48411112VU N m m =+, ()4106413812EU N m m m =++, ()4148613812VEU N m m m =++2) 正六面体：由表1知正六面体的顶点数、边数及面数分别为8，12，6。

图形结构如图2所示。