矩阵论解题步骤-期末考试题

1. 广义逆（必考类型）
假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ，且A 可以满秩分解为A = BC ，A 的秩r(A) = r ，则B 为s x r 矩阵，C 为r x n 矩阵。

则G 可表示为： H
1
1
C (CC )(B B)B H H
H
G --=
例题：
步骤：显然，A 要分解为BC ，必须知道A 的秩，故先对A 进行行化简成最简式
，r(A)=2，故A 满秩分解为A=（3x2）
（2x4）=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ，B 由A 最简式中只有1的原列组成，C 由A 的最简式的非零首元行组成。

B = ，
C =
，H 11C (CC )(B B)B H H H
A --+=，通过计算即可
得到A 的广义逆。

（若B 、C 中有单位矩阵，那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵）
性质：
2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=
比较重要的性质
(1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)]
(5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ，其中A=s x n ，B=n x t
步骤：
设r(B)=r ，B 的满秩分解为B=HK ，所以ABC=AHKC ， r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r （性质（5））
AB=AHK ，故r(AB)<=r(AH)，同理得r(BC)<=r(KC)，（性质（4）） 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)，原式得证
知识点：
A ． 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ，其中B=s x r ，C=r x n 。

该分解称为A 的
满秩分解。

3. nxn 2n n
2V {X |AX ,X C }n X ==∈，证明：12=V n C V ⊕
证明包含两部分，1）证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1
2V {0}V =
2）证明12V n C V ⊂⊕，12V n
C V ⊃⊕
步骤：
先证第一步，设1
2V V η∈ ，由已知可得，0,A A ηηη==，
因此0η=，故12V V +是直和，
很显然12V n C V ⊃⊕，两个子空间的和仍然属于该线性空间，因此主要证明
12V n C V ⊂⊕，只要能证明12,n C ηηηη∀∈=+分解，使得11V η∈，22V η∈即
可，
(A )A ηηηη=-+，可以证明，
2(A )A A ()A A 0A ηηηηηη-=-=-=用到已知条件，因此1(A )V ηη-∈，令2A X,AX=A A =A A X ηηηη=⋅==，因此2A V η∈，证明完毕。

4.
（1） 求F 在特定一组基下的矩阵，先搭好架子
111221
22111221{F (E ),F (E ),F (E ),F (E )}=(E ,E ,E ,E )B ，
B 就是所求矩阵，依次计算等式前面各项，
11F(E )=
11E =
=
，
12F(E )= ，21F(E )= ，22F(E )= ，故B=
(2) 易知11122122R(F)=span{F(E ),F(E ),F(E ),F(E )}，又由(1)可知，
11F(E )=1121E +E ，12F(E )=1222E +E ，21F(E )=1121E +E ，22F(E )=1222E +E ，显然，1121E +E 与1222E +E 是线性无关的，因而R(F)的一组基为
，
，
要求()22{X|AX 0,X C }K F ⨯==∈ 的一组基， 设1
23
4x x X x x ⎛⎫=
⎪⎝⎭
， F(X)=AX=
1
234x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=13
241324x x x x x x x x ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
=
130x x +=
240x x +=，因此X=1212x x x x ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
=1x +2x
，1121E -E 与1222
E -E 是线性无关的，因而K(F)的一组基为 ，
，
(3) 为证明R(F)+K(F)是否是直和，只要看他们的基的并集是否线性无关即可，列出
1121E +E ，1222E +E ，1121E -E ，1222E -E 在基11122122(E ,E ,E ,E )下的坐标向量组成的矩
阵并作初等列变换可得
->
，显然该矩阵的秩为4，也就是说R(F)+K(F)的
基的并集是线性无关的，因为R(F)+K(F)是直和。

5.
（1） 先证明H()ξ是线性映射，
H()=()2,()2,2,k l k l k l k l k l αβαβαβωωαβαωωβωω
++-<+>=+-<>-<>=(2,)(2,)k k l l ααωωββωω-<>+-<>=kH α（）
+l H β（），显然H()C n ξ⊂，故H()ξ是线性变换。

6.
7. 设A=
，（1）求变换矩阵P ，使1P AP J -=，其中J 是A 的Jordan 标准
形，（2）写出A 的Jordan 标准形J
计算特征多项式||I A λ-= λ
λ
λ
=
3
+1λ（），易知=-1λ是该特征多项式的三重根，令B A I =+，r(B)=2，A 的阶为3的主对角元为=-1λ的Jordan 块为1，可知，J=
，
再计算P ，设123(X ,X ,X )P =，由AP PJ =得，
1()X 0A I +=，21()X A I X +=，32()X A I X +=，
()X 0A I +=的通解为()2, 1, 1T X =，取 ()12, 1, 1T X =，再从非齐次方程组
1()Y A I X +=的解中任取一个作为2X ，显然可取2(1,0,0)T X =，另取一解
3(1/4,1/4,0)T
X =-，因此P=。

8. 已知A=
，求e A 。

（详细内容见下方“范数“）
令(x)e x
f =，先求A 的特征多项式
212-12
2322|I-A|=-13=(-1)
(1)(1)(-1)(1)1-11-1
-1
1+2
λλ
λλ
λλλλλλλλ++--=+--
因为r(A+I)=2，r(A-I)=2，因此A 的Jordan 标准形为
100=0-1100-1J ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 又因为()()2
A I A I -+=0由此可得A 的最小多项式为m(x)=2
(-1)(1)λλ+（另外一个求最
小多项式的办法： 看Jordan 标准形，11λ=的Jordan 块的最高阶数为1，故最小多项式里面的-λ(1)的次数为1，2-1λ=的Jordan 块的最高阶数为2，故最小多项式里面的λ(+1)的次数为2。

）
由于m(x)的最高次数为3，故设()2
g x ax bx c =++，又
''f ()g(),f ()g ()λλλλ== 因此，令()()()()''1111,f (1)g (1)f g f g -==-=--，
，分别代入原式即可求得11
13,,222e e e e a b c e -----=
== 因此()()11
213e x x 222
A
f A
g e A e e e e -----+=+==
F A 2A ，（2）矩阵函数，应该是二选一）
（1） 矩阵范数， 若ij sxn A a =（），
a. 则2
m F
A
A
=即对应于2-范数的矩阵范数，叫做Frobenius 范数，
2
1/21/21/22
,(|a |)(trA A)(trAA )H H ij m i j A
===∑
，
b. 则2
A
=(A A)H ρ是A A H 的特征值的模的最大值，
例题：
步骤：根据公式1/2(trM M)H F
M
=，因此先看M M H =
，故
，从而可得22F
M
a b =+；
另外，2
max(c,d)M ==，原因在于M 是对角矩阵。

（2） 矩阵函数（很难）。