第一章自主检测
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第一章自主检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.设全集U =R ,下列集合运算结果为R 的是( )
A .Z ∪∁U N
B .N ∩∁U N
C .∁U (∁U ∅)
D .∁U {0}
2.函数f (x )=x -3+7-x 的定义域是( )
A .[3,7]
B .(-∞,3]∪[7,+∞)
C .[7,+∞)
D .(-∞,3]
3.设全集U 是实数集R ,M ={x |x <-2或x >2},N ={x |x 2-4x +3<0},则图1-1中的阴影部分所表示的集合是( )
图1-1 A .{x |-2≤x <1} B .{x |-2≤x ≤2}
C .{x |1 D .{x |x <2} 4.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( ) A B C D 5.函数f (x )=⎩ ⎪⎨⎪⎧ x -2 (x <2),f (x -1) (x ≥2),则f (2)=( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 6.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A .y =x 3 B .y =|x |+1 C .y =-x 2+1 D .y =-4x +1 7.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+1x ,则f (-1)=( ) A .2 B .1 C .0 D .-2 8.偶函数f (x )(x ∈R )满足:f (-4)=f (1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,则不等式xf (x )<0的解集为( ) A .(-∞,-4)∪(4,+∞) B .(-4,-1)∪(1,4) C .(-∞,-4)∪(-1,0) D .(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4) 9.设f (x )是R 上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (7.5)=( ) A .-1 B .1 C .-0.5 D .0.5 10.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图1-2,设小矩形的长、宽分别为x 、y ,剪去部分的面积为20,若2≤x ≤10,则y =f (x )的图象是( ) 图1-2 A B C D 二、填空题(每小题5分,共20分) 11.已知函数f (x )=x -1,若f (a )=3,则实数a =__________. 12.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=x 2-x ,则当x ≥0时,f (x )的解析式为____________. 13.已知集合A ={x |x 2+5x +6=0},B ={x |mx +1=0},且A ∪B =A ,则实数m 的值组成的集合为____________. 14.不等式ax 2+bx +c >0的解集为⎝⎛⎭ ⎫-13,2,对于系数a ,b ,c ,则有如下结论: ①a <0;②b >0;③c >0;④a +b +c >0;⑤a -b +c >0.其中正确的结论的序号是____________. 三、解答题(共80分) 15.(12分)已知集合A ={x |3≤x <6},B ={x |2 分别求∁R (A ∩B ),(∁R B )∪A . 16.(12分)已知f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且a 17.(14分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)画出f(x)的图象; (2)求f(x)的解析式. 18.(14分)设f (x )=ax 2+bx +3a +b 的图象关于y 轴对称,定义域为[a -1,2a ],求f (x )的值域. 19.(14分)对于定义域为R 的函数f (x )=4x -a x 2+1 (a 为常数),回答下列问题: (1)若f (1)=12 ,求a 的值; (2)当a 取由(1)所确定的值时,求y =f (x )的值域. 20.(14分)已知函数f (x )=x m -2x ,且f (4)=72 . (1)求m 的值; (2)判断f (x )的奇偶性; (3)判断f (x )在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 第一章自主检测 1.A 解析:∵全集U =R ,∴Z ∪∁U N =R ,N ∩∁U N =∅,∁U (∁U ∅)=∅,∁U {0}={x ∈R |x ≠0}. 2.A 解析:由⎩ ⎪⎨⎪⎧ x -3≥0,7-x ≥0解得3≤x ≤7.故选A. 3.C 4.B 解析:依定义知,C 中图象不是函数图象,A 中定义域不是M ={x |-2≤x ≤2},D 中值域不是N ={y |0≤y ≤2}.故选B. 5.A 解析:f (2)=f (2-1)=f (1)=-1.故选A. 6.B 7.D 解析:f (-1)=-f (1)=-(1+1)=-2. 8.D 解析:由已知条件通过f (x )(x ∈R )的草图得知:函数f (x )(x ∈R )的值在(-∞,- 4),(-1,1),(4,+∞)上都为正,在(-4,-1),(1,4)上为负,故不等式xf (x )<0的解集为(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4). 9.C 解析:方法一:f (7.5)=-f (5.5)=f (3.5)=-f (1.5)=f (-0.5)=-f (0.5)=-0.5. 方法二:f (7.5)=-f (-7.5)=f (-5.5)=-f (-3.5)=f (-1.5)=-f (0.5)=-0.5.故选C. 10.A 解析:∵2xy =20,∴y =10x ,x ∈[2,10].故选A. 11.10 12.f (x )=-x 2-x 解析:令x ≥0,则-x ≤0, f (-x )=x 2+x .因为f (x )是奇函数,所以f (x ) =- f (-x )=-x 2-x . 13.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫0,12,13 解析:根据题意,可知:A ={-2,-3}.由A ∪B =A ,得B ⊆A ,故分B ={-2}或{-3}或∅三种情况讨论,解得m =⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫0,12,13. 14.①②③④ 解析:不等式ax 2+bx +c >0的解集为⎝⎛⎭ ⎫-13,2,a <0; ∵-13 ,2是方程ax 2+bx +c =0的两根, ∴-13+2=-b a >0,∴b >0.f (0)=c >0,f (-1)=a -b +c <0,f (1)=a +b +c >0. 故正确答案为 ①②③④. 15.解:∵A ∩B ={x |3≤x <6}, ∴∁R (A ∩B )={x |x <3或x ≥6}. ∵∁R B ={x |x ≤2或x ≥9}, ∴(∁R B )∪A ={x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}. 16.证明:设a ∵g (x )在(a ,b )上是增函数, ∴g (x 1) 又∵f (x )在(a ,b )上是增函数, ∴f [g (x 1)] ∴f [g (x )]在(a ,b )上也是增函数. 17.解:(1)如图D34.