固体物理考试 复习

1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢kj i a a a a a a===321)(2/)(2/)(2/321k j i a a k j i a a k j i a a-+=+-=++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2/)(2/)(2/a 321j i a a i k a a k j a2、试证面心立方的倒格子是体心立方证：设与晶轴a 、b 、c 平行的单位矢量分别为i 、j 、k 。

面心立方正格子的原胞基矢可取为)(2),(2),(2321j i a a i k a a k j a a+=+=+= 由倒格子公式得Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=][2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ 可得倒格基矢为： ),(2),(2),(2321k j i ab k j i a b k j i a b -+=+-=++-=πππ3、考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb =++垂直于这个晶面；(b ) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hkl hd G π=；(c ) 对于简单立方晶格有()22222a d h k l =++。

证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321a a a 、　、　上的截距为la k a h a 321、　、　。

作矢量： k a h a m 211-=，l a k a m 322-=，ha l a m 133-= 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且()()()()022232132132121321211=⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅a a a a a la a a a a k a a a a a h k a h ab l b k b h k a h a G m h πππ同理，有02=⋅h G m ，03=⋅h G m 所以，倒格矢()hkl G h ⊥晶面。

（b ）晶面族（hkl ）的面间距为：hkl h a h a d 11===（c ）对于简单立方晶格：()212222lk h a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛=π22222l k h a d ++=4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限。

解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq 。

由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对应两个同样大小的波矢区间dq 。

a /2π对应L/a 个振动模式，单位波矢区间对应有π2/L 个振动模式，dw 围则包含ππdqLdqL dz ==22个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据此定义可得模式密度为：vLdw dq L dw dz w D ππ===)(再利用 a L N dw w D w -=⎰00)(式中N 为原子数，a 为晶格常数，得avw π=0 由公式()2//21)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰Tk w T k w B w B v B B medw w D e T k w k C 得其热熔量为 ()⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=mB B w T k w Tk w B B v e dwe T k w v L k C 02//21π作变量变换T k w x B =得 ()⎰Θ-=Tzxx B v D edxx e vT Lk C /0221 π其中B D k w 0=Θ 在高温时x 是小量，上式被积分函数()112≈-zxx ex e因此，晶格的高温热熔量B B V Nk k aLC ==在低温时V D C T ,/∞→Θ中的被积函数按二项式展开成级数()∑∞=-=-1221n nxzxx nexex e 则积分()3122π=-⎰∞z x x e dxx e 此时期热熔量v T k L C B V 32π=5、模式密度计算模式密度的一般表达式：()()()32qV dSg q ωωπ=∇⎰① 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q 。

即c ω=q代入①式，容易得到：()()23231422VVg c c cωωπωππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （1） 三维情况模式密度 对于三维情况， ω=c 2q ②在q 空间等频率面为球面，半径为：q =在球面上，()22q d q Cq dq ωω∇===是一个常数，且球面积分为：24ds q π=⎰，因此：()()()()()212333232111422222q q Vds V V V g ds q cq cωπωωωππππ====∇∇⎰⎰③ （2）二维情况模式密度对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：q =二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2π)2，（这里A 为二维晶格的面积），而且有：()222q d q Cq dq dL qωωπ∇====⎰所以对于ω=c 2q ，二维情况的模式密度为：222()(2)(2)24()q dn A dL A q Ag d Cq Cq πωωπππω====∇⎰④ （3）一维情况模式密度同理，在一维情况下，q 空间有两个等频点+q 和-q 。

仿上面的方法可以得到：1()2(2)(2)2()q dn L dq L g d Cq q ωωππω===⨯=∇⎰⑤ 总之，色散关系为ω=c 2q 的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率ω的½，0，-½次方成比例。

6、已知一维晶格中电子的能带可写成是式中a ),2cos 81cos 87()(22ka ka ma k E +-=晶格常数，m 是电子的质量，求，能带宽度，电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量。

解：（1）、当ak π±=，E （k ）有最大值，222max2]81)1(87[mama E =+--= 当k=0时，E （k ）有最小值0)81187(2min=+-=ma E 所以：maE E E 2min max 2 =-=∆ （2）、)2sin 41(sin ]2sin 41sin [122ka ka ma ka a ka a ma v -=-⋅= （3）、222*/k E m ∂∂= ，因为222222)2cos 21cos ()]([maka a ka a k E K k E k -=∇∂∂=∂∂ 所以当k=0时，带顶，2)21(|222220*ma a ma m k =-== 当ak π±=，带底，m a a maak m 32)2()(22222*-=--=±= π7、用紧束缚近似求出面心立方及晶格s 态原子能级相对应的能带函数 解 面心立方晶格—— s 态原子能级相对应的能带函数0()()s s ik R ss s R NearestE k J J R e ε-⋅==--∑s 原子态波函数具有球对称性0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==--->⎰01()s s ik R s s R NearestE k J J e ε-⋅==--∑—— 任选取一个格点为原点—— 最近邻格点有12个12个最邻近格点的位置,,022,,022,,022,,022a a a a a a a a⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩0,,220,,220,,220,,22a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩,0,22,0,22,0,22,0,22aaa a a a aa ⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩ 022s a aR i j k =++ 01()s s ik R s s R NearestE k J J e ε-⋅==--∑ ()(0)22()2(cos sin )(cos sin )2222x y z s x y a ai k i k j k k i j k ik R ai k k y y x x e e k a k a k a k aei i -++⋅++-⋅-+==-- —— 类似的表示共有12项—— 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带1()4(cos cos cos cos cos cos )222222s s y y x x z z E k J k a k a k a k a k a k a J ε=--++9、电子在周期场中的势能．2221(),2m b x na ω⎡⎤--⎣⎦ na b x na b -≤≤+当 ()V x = 0 ， x na b ≤≤-当(n-1)a+b其中a ＝4b ，ω是常数．(1) 试画出此势能曲线，求其平均值.(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度． 解：(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以111()()()()a a bL b bV x V x V x dx V x dx L a a --===⎰⎰⎰题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间()0V x =，故只需在[],b b -区间积分．这时，0n =，于是2222232111()()2236b b b b bbb b m m V V x dx b x dx b x x m b a a aωωω----⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数200021()cos ,()cos ()cos 2222b b mm mm m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b bπππ∞=-∞'=+==∑⎰⎰11222102,1()cos2bg g m xE V m E b x dx bbωπ===-⎰第一个禁带宽度以代入上式,利用积分公式()2232cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =+-⎡⎤⎣⎦⎰得 22316m b ωπ=1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式2222()cosbg m xE b x dx bbωπ=-⎰再次利用积分公式有2222m b ωπ=2g E12、能，结合能，体弹性模量计算正格子与倒格子的关系面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

晶体：构成粒子（原子，分子，集团）周期性排列的固体，具有长程有序性，有固定的熔点，具有自限性，各向异性和解理性特点的固体。

布拉伐点阵：晶体的周期性结构可以看作相同的点在空间周期性无限分布所形成的系统，称为布拉伐点阵。

布拉伐格子：在空间点阵用三组不共面平行线连起来的空间网格称为布拉伐格子。