(完整版)培优专题(一)矩形的性质与判定的综合
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培优专题(一) 矩形的性质与判定的综合
一、矩形的性质 1．[2014·哈尔滨]如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点
P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角 形，则PB的长为___5_或__6___．
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图1
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2．如图2，在矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：∠MAB＝
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8．如图8，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A 点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系？为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理 由．
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(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AOE 和△COF 中，
∠EAO＝∠FCO， ∠AOE＝∠COF， AE＝CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF；
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(2)解：连接 OB， ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF. 由(1)中△AOE≌△COF 得 OA＝OC，即点 O 是矩形对角线的交点． 根据矩形的性质，得 OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO， 又∵∠BEF＝2∠BAC， 且在 Rt△BEO 中，∠BEF＋∠ABO＝90°， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°， 解得∠BAC＝30°.
形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
图7
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
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∵EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形．
图8
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解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E是AD 的中点，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝CD.又∵AF ＝BD，∴BD＝CD. (2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.又 ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边 形AFBD是矩形．
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图4
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证明： (1)在矩形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC. ∵ BE＝ CF， BF＝ BC－ FC， CE＝ BC－ BE， ∴ BF＝ CE.
在△ABF 和△DCE 中，A∠BB＝＝D∠C， C， BF＝CE，
∴ △ABF≌ △ DCE(SAS)； (2)∵△ABF≌ △ DCE， ∴ ∠ BAF＝∠ CDE. ∵ ∠DAF＝ 90° －∠ BAF，∠ EDA＝ 90° －∠ CDE， ∴ ∠DAF＝ ∠EDA， ∴ OA＝ OD， ∴△AOD 是等腰三角形．
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5．[2014·沈阳]如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF. 求证：OE＝OF.
图5
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证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， AC＝BD，OD＝12BD，OC＝12AC， ∴OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ADC－∠ODC ＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO. 又∵DE＝CF，OD＝OC， ∴△ODE≌△OCF，∴OE＝OF.
边
AB， CD
的
中
点
，
∴
AE＝
1 2
AB ，
CF
＝
1 2
CD
，
∴
AE
＝
CF.
又
∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形．
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4．如图4，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连 接AF，DE交于点O. 求证：(1)△ABF≌△DCE； (2)△AOD是等腰三角形．
图3
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证明： (1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝DA，
AB＝CD.又∵E，F 分别是边 AB，CD 的中点，∴BE＝12AB，DF＝
12CD，∴BE＝DF，
∴△BEC≌△DFA(SAS)；
(2)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AE∥CF，AB＝CD.又∵E，F 分别是
∠MBA.
证明： ∵在矩形ABCD中，M是CD的中点，
∴DM＝CM，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADM≌△BCM，
∴MA＝MB，
图2
∴∠MAB＝∠MBA.
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3．如图3，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连 接AF，CE. (1)求证：△BEC≌△DFA； (2)求证：四边形AECF是平行四边形．
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∵BC＝2 3， ∴AC＝2BC＝4 3， ∴AB＝ AC2－BC2＝ （4 3）2－（2 3）2＝6.
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二、矩形的判定
7．已知，如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，求证：四边
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9．如图9，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE 交DC的延长线于点F. (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为 矩形．
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图9
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证明：(1)∵点 E 是 BC 边的中点， ∴BE＝CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE＝∠CFE. 在△ABE 与△FCE 中，
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6．如图6，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，AE＝ CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF， ∠BEF＝2∠BAC. (1)求证：OE＝OF； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
数学Baidu Nhomakorabea
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图6
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一、矩形的性质 1．[2014·哈尔滨]如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点
P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角 形，则PB的长为___5_或__6___．
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2．如图2，在矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：∠MAB＝
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8．如图8，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A 点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系？为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理 由．
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(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AOE 和△COF 中，
∠EAO＝∠FCO， ∠AOE＝∠COF， AE＝CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF；
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(2)解：连接 OB， ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF. 由(1)中△AOE≌△COF 得 OA＝OC，即点 O 是矩形对角线的交点． 根据矩形的性质，得 OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO， 又∵∠BEF＝2∠BAC， 且在 Rt△BEO 中，∠BEF＋∠ABO＝90°， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°， 解得∠BAC＝30°.
形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
图7
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
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∵EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形．
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解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E是AD 的中点，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝CD.又∵AF ＝BD，∴BD＝CD. (2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.又 ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边 形AFBD是矩形．
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证明： (1)在矩形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC. ∵ BE＝ CF， BF＝ BC－ FC， CE＝ BC－ BE， ∴ BF＝ CE.
在△ABF 和△DCE 中，A∠BB＝＝D∠C， C， BF＝CE，
∴ △ABF≌ △ DCE(SAS)； (2)∵△ABF≌ △ DCE， ∴ ∠ BAF＝∠ CDE. ∵ ∠DAF＝ 90° －∠ BAF，∠ EDA＝ 90° －∠ CDE， ∴ ∠DAF＝ ∠EDA， ∴ OA＝ OD， ∴△AOD 是等腰三角形．
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5．[2014·沈阳]如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF. 求证：OE＝OF.
图5
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证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， AC＝BD，OD＝12BD，OC＝12AC， ∴OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ADC－∠ODC ＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO. 又∵DE＝CF，OD＝OC， ∴△ODE≌△OCF，∴OE＝OF.
边
AB， CD
的
中
点
，
∴
AE＝
1 2
AB ，
CF
＝
1 2
CD
，
∴
AE
＝
CF.
又
∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形．
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4．如图4，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连 接AF，DE交于点O. 求证：(1)△ABF≌△DCE； (2)△AOD是等腰三角形．
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证明： (1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝DA，
AB＝CD.又∵E，F 分别是边 AB，CD 的中点，∴BE＝12AB，DF＝
12CD，∴BE＝DF，
∴△BEC≌△DFA(SAS)；
(2)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AE∥CF，AB＝CD.又∵E，F 分别是
∠MBA.
证明： ∵在矩形ABCD中，M是CD的中点，
∴DM＝CM，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADM≌△BCM，
∴MA＝MB，
图2
∴∠MAB＝∠MBA.
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3．如图3，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连 接AF，CE. (1)求证：△BEC≌△DFA； (2)求证：四边形AECF是平行四边形．
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∵BC＝2 3， ∴AC＝2BC＝4 3， ∴AB＝ AC2－BC2＝ （4 3）2－（2 3）2＝6.
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二、矩形的判定
7．已知，如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，求证：四边
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9．如图9，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE 交DC的延长线于点F. (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为 矩形．
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证明：(1)∵点 E 是 BC 边的中点， ∴BE＝CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE＝∠CFE. 在△ABE 与△FCE 中，
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6．如图6，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，AE＝ CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF， ∠BEF＝2∠BAC. (1)求证：OE＝OF； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
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