高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第四章平面向量

4.1 平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

名称定义备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫

做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为

±

a

|a|平行向量方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共

线向量

相等向量长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能

比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量

运算

定义

法则

(或几何意义)

运算律加法求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c) 减法

求a与b的相反向量－

b的和的运算叫做a与

a－b＝a＋(－b)

b 的差

三角形法则

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的

方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

(1)λ(μa )＝(λμ)a ；

(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

(3)λ(a ＋b )＝

λa ＋λb

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】

1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12

(OA →＋OB →

)．

2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →

＝0⇔P 为△ABC 的重心． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )

(4)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12

(AC →＋AB →

)．( √ )

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②

答案 A

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →

互为相反向量，故③错误．

2．如图所示，向量a －b 等于( )

A ．－4e 1－2e 2

B ．－2e 1－4e 2

C ．e 1－3e 2

D ．3e 1－e 2

答案 C

解析 由题图可得a －b ＝BA →

＝e 1－3e 2.

3．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →

＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

答案 A

解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →

＝－13AB →＋43

AC →.

4．已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →

＝0，p ，q ，

r ∈R ，则p ＋q ＋r 等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．3

答案 B

解析 ∵A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，∴存在实数λ使AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →

)， 即(λ－1)OA →＋OB →－λOC →

＝0.

∵pOA →＋qOB →＋rOC →

＝0，∴p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ， ∴p ＋q ＋r ＝0.

5．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →

＝________，BC →

＝________(用a ，b 表示)．

答案 b －a －a －b

解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →

＝b －a ，

BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →

＝－a －b .

题型一 平面向量的概念

例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →

共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ④

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a

|a |是与a 同方向的单

位向量．

设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，

则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案 D

解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算