向量代数部分解答

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北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题5.1

习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。

向量代数与空间解析几何习题详解

坐标平面所围成；（ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在第一卦限所围成；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章向量代数与空间解析几何
习题 6—3
1、已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
6、设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解：设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为

高等数学第06章向量代数与空间解析几何习题详解

ab AC 2 AM 即 (ab) 2 MA 于是 MA 1 (ab) 2 因为 MC MA 所以

MC 1 (ab) 又因ab BD 2 MD 所以 MD 1 (ba) 2 2
2 2
M1M 3 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6 ，即 M1M 3 M 2 M 3 ，因此结论成立.
11、在 yoz 坐标面上，求与三个点 A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设 yoz 坐标面所求点为 M (0, y, z ) ，依题意有 | MA || MB || MC | ，从而
14 14 ，故所求点为 (0,0, ) . 9 9
13、求使向量 a { ,1,5} 与向量 b {2,10,50} 平行.
2
第六章向量代数与空间解析几何习题详解
解：由 a // b 得

2

1 5 1 得 . 10 50 5
14、求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a = 10 ( j ) 10 j = {0, 10,0} .
7、已知点 A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐
1
第六章向量代数与空间解析几何习题详解
标）. 解：分别为 (a, b,0), (0, b, c), (a,0, c), (a,0,0), (0, b,0), (0,0, c) .
8、过点 P(a, b, c) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： x a, y b,z R ；平行于 xOy 面的平面上的点的坐标为 z c, x, y R . 9、求点 P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离 . 解：到原点的距离为 3 5 ，到 x 轴的距离为 41 ，到 y 轴的距离为 2 5 ,到 z 轴的距离为 29 .

高数AII第6章答案

x1 c a b [abc ] 0 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 0 ． z3
（二）曲面与曲线
1．空间曲面方程 a．一般方程： F ( x, y, z ) 0 ；b．显式方程： z f ( x, y ) ；
x x (u , v ) c．参数方程 y y (u , v ) ，其中 (u , v) D ， D 为 uv 平面上某一区域． z z (u , v )
3
直线的方向向量．直线的上述 3 种方程可互相转化． 2．点、直线、平面之间的关系（1）两条直线之间的关系： x x1 y y1 z z1 x x2 y y 2 z z 2 设直线 l1 : ， l2 : ，且其方向向量分别为 m1 n1 p1 m2 n2 p2 s1 (m1 , n1 , p1 ) 和 s2 (m2 , n2 , p2 ) ，两直线的夹角是指两直线的方向向量 s1 、 s2 之间的夹角（取锐角）记为．则 |s s | | m1 m2 n1 n2 p1 p2 | π （0≤ ≤ ) ． cos 1 2 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s2 | 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 由此可知： a．两直线平行（含重合）： l1 // l2
第六章
向量代数与空间解析几何一、内容提要
（一）向量
1．方向角与方向余弦若 a = ( x, y, z ) ，则有 cos 2．向量的线性运算及其性质（1）加减法运算：向量加法运算遵循平行四边形法则或三角形法则．设 a ( x1 , y1 , z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 ) ，则 a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) ．（2）数乘运算：向量 a 与实数的乘积，记为 a ．设 a ( x, y, z ) ，则 a ( x, y, z ) ，

向量代数的基本概念及运算法则

向量代数的基本概念及运算法则向量代数是数学的一个重要分支,它研究向量空间及其运算。

向量代数为我们认识和描述三维空间中的物理现象提供了有效的工具,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等诸多领域。

下面将详细介绍向量代数的基本概念及其主要运算法则。

向量的概念与表示向量是一个有大小和方向的量,用于描述物体在空间中的位置和运动。

一般用粗体字母如a、b、c等表示向量,也可用箭头符号表示,如a⃗、b⃗、c⃗。

向量的大小称为模或长度,用"|a|"或"‖a‖"表示。

向量的方向用单位向量e⃗表示,其模等于1。

向量的加法和标量乘法向量的加法遵循平行四边形法则:将两个向量的尾端对齐,然后以它们的头端为顶点作平行四边形,对角线就是它们的和向量。

标量乘法是将一个向量乘以一个标量(实数),结果仍是一个向量,其大小发生改变,方向可能发生改变。

向量的点积和叉积两个向量的点积定义为两个向量对应分量的乘积之和,用"·"表示,如a·b = ax*bx + ay*by + az*bz。

点积反映了两个向量之间的夹角余弦。

两个向量的叉积定义为以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积,用"×"表示,如a×b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)。

叉积结果仍是一个向量,垂直于这两个向量。

向量的应用向量代数在物理学中有广泛应用,如描述位移、速度、加速度、力、电磁场等,以及计算功、功率、动量、角动量等量。

在计算几何和计算机图形学中,向量也是一种基本的数据结构,用于表示位置、方向、法线等。

向量还广泛应用于复杂系统的建模和仿真,如流体力学、气动学等。

总之,向量代数是一种强大的数学工具,为我们研究和理解自然界提供了有力支撑。

专升本-向量代数与空间解析几何

第五章向量代数与空间解析几何这一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选择题，一个填空题。

下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下. 一.向量的数量积与向量积首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如：()2...cos ;.;..;....a b a b a a a a b b a a b c a b a c θ===+=+()..sin ;0;.;.a b a b a a a b b a a b c a b a c θ⨯=⨯=⨯=-⨯⨯+=⨯+⨯例 1.设3,232,a i k b i j k =-=-+求a b ⨯.解：013130301389.322223232i j ka b i j k i j k --⨯=-=-+=------例2.设{}{}2,1,,,2,3a m b n ==-，且a ∥b ，求,.m n 解：由于a ∥b ，因此有21,23m n ==-解得3, 4.2m n =-=-，例3.求垂直于{}2,2,1a =与{}4,5,3b =的单位向量.解：由向量积的定义可知，向量c a b =⨯是既垂直于a 又垂直于b 的向量，因此所求单位向量即为1.c c ±c a b =⨯2121222212.534345453i j ki j k i j k ==-+=-+(213,c =+=因此1122,,333c c⎧⎫±=±±⎨⎬⎩⎭为所求单位向量.例4.求以()()()1,2,3,3,4,5,2,4,7A B C 为顶点的ABC ∆的面积. 解：112ABC S AB AC ∆=⨯==其中222462,56124i j kAB AC i j k AB AC ⨯==-+⨯=二.两向量间关系的判定要知道两向量间位置关系的判定方法，即a ⊥.0;b a b ⇔=a ∥0.b a b ⇔⨯=⇔对应分量成比例.例5.判定下列各组向量间的关系（1）{}{}1,2,3,2,4,6.a b =-=-- （2）{}{}1,2,3,3,3,1.a b =-= （3）{}{}1,2,3,1,3,2.a b =-=解：（1）注意两个向量对应分量之间的比例关系可知，a ∥b ;（2）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。

7空间解析几何与向量代数习题与答案

空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。

表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。

高等数学向量代数与空间解析几何题

第五章向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念例1 在平行四边形ABCD 中，设>____AB ＝a ，>____AD ＝b 。

试用a 和b 表示向量>____MA 、>____MB 、>____MC 和>____MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以 a ＋b ＝>____AC ＝2>____AM即－（a ＋b ）＝2>____MA于是 >____MA ＝21-（a ＋b ）。

因为>____MC ＝－>____MA ，所以21____=>MC （a ＋b ）.图5－8又因－a ＋b ＝>____BD ＝2>____MD ，所以>____MD ＝21（b －a ）.由于>____MB ＝－>____MD ，>____MB ＝21（a －b ）.例2 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v 。

设n 为垂直于S 的单位向量（图5－11（a ）），计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P （液体得密度为ρ）.（a ）（b ）图5－11解该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v 与n 的夹角θ，所以这柱体的高为| v |cos θ,体积为 A | v |cos θ=A v ·n .从而，单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量为P=ρ A v ·n . 例3 设ABC ∆的三条边分别是a 、b 、c (图5－15)，试用向量运算证明正弦定理CcB b A a sin sin sin ==证明注意到CB =CA +AB ,故有CB ⨯CA =(CA+AB) ⨯CA =CA ⨯CA+AB ⨯CA =AB ⨯CA =AB ⨯(CB+BA) =AB ⨯CB 图5－15于是得到 CB ⨯CA =AB ⨯CA =AB ⨯CB 从而 |CB ⨯CA |=|AB ⨯CA | =|AB ⨯CB | 即 ab sin C ＝cb sin A ＝ca sin B 所以CcB b A a sin sin sin == 5.2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A (4,1,7)、B (-3,5,0)，在y 轴上求一点M ，使得|MA |=|MB |. 解因为点在y 轴上，故设其坐标为)0,,0(y M ，则由两点间的距离公式，有222222)00()5()03()07()1()04(-+-+--=-+-+-y y解得4-=y ，故所求点为)0,4,0(-M例2 求证以)3,2,5()2,1,7()1,3,4(321M M M 、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解因为6)31()23()54(||6)23()12()75(||14)12()31()47(||222213222232222221=-+-+-==-+-+-==-+-+-=M M M M M M 所以||||1332M M M M =，即△321M M M 为等腰三角形.5.2.2 向量运算的坐标表示例3 设有点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M ，求向量21M M 的坐标表示式。

同济高等数学第八章学习指导及习题详解

462第八章向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节数量积向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

向量代数与空间解析几何知识题详解

第六章向量代数与空间解析几何习题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ；（2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=；（5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=；（8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）1+=x y；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；（2）上半球面z 0x y -=的交线为14圆弧；（3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ；（4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z（3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,04522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴,即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3,-1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解：设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, 、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；（2）过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；（4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线；（6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ；（3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.复习题A一、判断正误:1、若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ )解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ．解析平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C)⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z 解析曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ；解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±；解平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20；解直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+.0,1222z y x 解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ，所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解:(1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解：令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3．解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ，又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3：用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos32=≠=，所以0≠B），令CBC'=，则有0='+zCy，由题设得22222212)5(112153cos++'++⨯'+⨯+⨯=πCC，解得3='C或13C'=-，于是所求平面方程为03=+zy或03=-zy．6、一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx且与平面01284=+--zyx垂直，求该平面方程；解法1：直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx在平面上，令x=0，得54-=y，z=4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n=},,{CBA，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为1n={1，5，1}，2n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=1n⨯2n=11151-kji={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅ns={-5，2，-5}•},,{CBA=CBA525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--zyx垂直，则}8,4,1{},,{--⋅CBA=CBA84--=0，解方程组{5250,480,A B CA B C-+=--=⇒2,5,2A CB C=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所求平面方程为0)4()54(25)0(2=-++---zCyCxC，即012254=+-+zyx．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面1:43x zπ-=和2:251x y zπ--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解：设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=，因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形．解：将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。

东北大学线性代数_第三章课后答案详解向量组的线性相关性

第三章向量组的线性相关性基本教学要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念.3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法.4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法.一、向量及其运算 1. 向量的概念有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示：12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,n a a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量通常记作a 、或a 、或α，对应的行向量则相应地记作Ta 、或Ta 、或T α.如不特别说明，向量一般常指列向量. 以下讨论主要针对实向量.2. 向量的运算因为向量是矩阵，所以它有许多与矩阵相同的运算及运算规律(P 62)：(1)相等； (2)加法； (3)数乘； (4)转置，但向量没有矩阵形式的“乘法”和“逆”，而有所谓的“向量的乘法”运算——内积.向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算.例3.1(例3.1 P 62)(5)内积(P 63) 设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，令1122[,]n n a b a b a b αβ=+++，称[,]αβ为α与β的内积.例如，内积的性质：①[,][,]αββα=(对称性)；②[,][,][,]αβγαγβγ+=+，[,][,]k k αβαβ=(线性性)； ③[,]0αα≥.当且仅当αο=时，[,]0αα=(正定性).2n a =++为向量α的长度(或范数)，记为α(或α).当1α=时，称α为单位向量.如果αο≠，则1αα是与α同方向的单位向量.对任意非零向量αβ、，称[,],arccosαβαβαβ=⋅，(0,αβπ≤≤)为向量α与β的夹角.如果[,]=0αβ，则称α与β正交.3.应用(1)向量表示线性方程组(P 65) 考虑线性方程组1111221n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1)若设1i 12i 2i mi m a b a ba (i 1,2,,n),b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)式可表示为1122n n x a x a x a b +++=. (2)(2)向量表示矩阵(P 64)111121n 21222n 2m1m2mn m a a a a a a A a a a ⎛⎫α⎛⎫ ⎪ ⎪α ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪α⎝⎭⎝⎭或 ()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪=βββ ⎪⎪⎝⎭，12m ,,,ααα与12n ,,,βββ分别称为矩阵A 的行向量组与列向量组.二、向量组的线性相关性 1. 基本概念由同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.定义3.1 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k β=α+α++α， (3) 则称向量β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，也称β是向量组12s ,,,ααα的一个线性组合. (P 64)例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示.例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合.根据定义3.1，方程组(2)有解可表述为向量b 可由向量组12n a ,a ,,a 线性表示.式(3)可以用分块矩阵的乘积形式表示为(P 64)1212s s k k (,,,)k ⎛⎫ ⎪ ⎪β=ααα ⎪ ⎪⎝⎭；(当12s ,,,,βααα为列向量时)或 1212s s (k ,k ,,k )α⎛⎫ ⎪α ⎪β= ⎪ ⎪α⎝⎭. (当12s ,,,,βααα为行向量时)定义3.2 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组不全为零的数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k α+α++α=ο， (4)则称向量组12s ,,,ααα线性相关；否则，称向量组12s ,,,ααα线性无关.(P 65)定义3.2表明：向量组12s ,,,ααα线性相关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο有非零解. (P 65) 向量组12s ,,,ααα线性无关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο只有零解. (P 65)又根据Cramer 法则，有n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式为0. n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式不为0.例如，311022100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即0723032001321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k .由于只有零解，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.定义3.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. (P 66)例如，n 维标准单位向量组e 1=(1,0,…,0)T , e 2=(0,1,…,0)T , …, e n =(0,0,…,1)T是一个规范正交向量组.2. 有关结论(P 66-68) (1)向量组12s ,,,ααα线性相关⇔12s ,,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示. (定理3.3 P 67)向量组12s ,,,ααα线性无关⇔12s ,,,ααα中任意一个向量不能由其余向量线性表示.(2)一个向量α线性相关⇔α=ο. (P 66) 一个向量α线性无关⇔α≠ο.(3)两个向量,αβ线性相关 k l ⇔α=ββα或＝(几何上，即,αβ共线或平行). (P 66) 两个向量,αβ线性无关 k l ⇔α≠ββ≠α且(几何上，即,αβ不共线或不平行).(4)三个向量,,αβγ线性相关，即,,αβγ共面. (P 66) 三个向量,,αβγ线性无关，即,,αβγ不共面.(5)正交向量组线性无关. (定理3.1 P 66)标准单位向量组是线性无关向量组.(6)若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) (定理3.2 P 67) 线性无关向量组的任一部分组线性无关.(整体无关，部分无关) (推论2 P 67)推论含有零向量的向量组线性相关. (推论1 P 67)(7)设向量组12s ,,,ααα线性无关，12s ,,,,αααβ线性相关，则β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，且表示式唯一.(表示式中的系数称为β关于向量组12s ,,,ααα的坐标) (定理3.4 P 67)(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. (定理3.5 P 68) 证设()Ti 1i 2i mi a ,a ,,a (i 1,2,,s)α==是一组m 维向量，令1122s s k k k α+α++α=ο，即1111221s s 2112222s sm11m22ms s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(5) 不妨去掉最后一个方程(这对应于12s ,,,ααα同时去掉了最后一个分量)，有1111221s s 2112222s sm 111m 122m 1s s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 显然，若方程组(5)有非零解，那么方程组(6)也必然有非零解，即线性相关向量组的缩短向量组线性相关.反之，若方程组(6)只有零解，那么方程组(5)也必然只有零解，即线性无关向量组的加长向量组线性无关.例如，(9)任意n+1个n 维向量线性相关. 证设12n 1,,,+ααα为n+1个n 维向量，那么①若12n ,,,ααα线性相关，则12n 1,,,+ααα线性相关；②若12n ,,,ααα线性无关，则由Cramer 法则知，线性方程组1122n n n 1x x x +α+α++α=α有唯一解,即n 1+α可由12n ,,,ααα线性表示，故12n 1,,,+ααα线性相关.推论任意m 个n(n<m)维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(第三、四节). 三、秩 (一)向量组的秩 1. 向量组的等价设有两个向量组：(Ⅰ)α1,α2,…,αr ；(Ⅱ)β1,β2,…,βs .定义3.4 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出；若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称它们等价. (定义3.10 P 69)向量组等价的性质：1)反身性；2)对称性；3)传递性. (P 69)若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则有s ×r 矩阵C 使(α1,α2,…,αr )=(β1,β2,…,βs )C ，C 为表出矩阵.记A=(α1,α2,…,αr ), B=(β1,β2,…,βs )，上式即为A=BC.实际上，A=BC既表示A的列向量组可由B的列向量组线性表出，也表示A的行向量组可由C的行向量组线性表出.注意：当A、B为同型矩阵，A、B的行(列)向量组等价，必有矩阵A、B等价；反之，矩阵A、B等价，它们的行(列)向量组未必等价. (P70)定理3.1如果向量组α1,α2,…,αm线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm与之等价. (定理3.6P70) 证令β1=α1，β2=α2+k1β1且[β2,β1]=0，得k1=-[α2,β1]/[β1,β1]，所以β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1，βm=αm+k1β1+…+k m-1βm-1且[βm,β1]=0, [βm,β2]=0,…, [βm,βm-1]=0，得k1=-[αm,β1]/[β1,β1], k2=-[αm,β2]/[β2,β2],…, k m-1=-[αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]，所以βm=αm-([αm,β1]/[β1,β1]) β1-…-([αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]) βm-1，则β1,β2,…,βm是正交向量组，且(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βm)[][][][][][]2221m111112m,,,,,,101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝αβαβββββαβββ⎭，故向量组β1,β2,…,βm与向量组α1,α2,…,αm等价.再将向量组β1,β2,…,βm规范化，便得到与α1,α2,…,αm等价的规范正交向量组ε1,ε2,…,εm.例3.2(例3.5 P70)定义3.5 如果实矩阵A满足AA T=E，则称A为正交矩阵. (定义3.11 P71)正交矩阵的性质：(1)A 1=±；(2)实矩阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组(或列向量组)为规范正交向量组.2. 极大线性无关组定义3.6 如果向量组T 中有一部分向量组α1,α2,…,αr 满足： (1)α1,α2,…,αr 线性无关；(2)T 中任一向量β与α1,α2,…,αr 线性相关，则称α1,α2,…,αr 为向量组T 的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组.(定义3.12 P 71)极大无关组的含义：向量组中没有比“极大无关组”“更大的”的线性无关向量组.注意：一个向量组可能有极大无关组，也可能没有极大无关组；可能有一个极大无关组，也可能有多个极大无关组.如：只有零向量的向量组没有极大无关组；线性无关的向量组只有一个极大无关组；102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大无关组.定理3.2 向量组与它的任一极大线性无关组等价. (定理3.7 P 72) 推论1 向量组中的任意两个极大线性无关组等价. (推论 P 72)定理3.3 若列向量组α1,α2,…,αr 线性无关，且(α1,α2,…,αr )A=O ，则A=O . (定理3.8 P 72)定理3.4 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. (定理3.9 P 72) 推论一个向量组的所有极大线性无关组中的向量个数相等. (推论 P 72)定义3.7 一个向量组的极大线性无关组中的向量个数称为向量组的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.13 P 72)规定：不存在极大无关组的向量组的秩为0. 例如，102R ,,2013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.相关结论： (1){}12s R ,,,s ααα≤.(2)对于任意的同维向量组12s ,,,ααα和12t ,,,βββ，总有{}{}{}{}{}{}12s 12t 12s 12t 12s 12t max R ,,,,R ,,,R ,,,,,,,R ,,,R ,,,αααβββ≤αααβββ≤ααα+βββ (3)若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则{}{}12s 12t R ,,,R ,,,ααα≤βββ.(定理3.10 P 73)推论1 等价的向量组的秩相等. (推论1 P 73) 推论2 若向量组12s ,,,ααα线性无关，且可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则s t ≤. (推论2P 73)推论3 若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，且s t >，则12s ,,,ααα线性相关. (推论3 P 73)推论4 任意m 个n(n<m)维向量线性相关. (推论4 P 73)求极大无关组的方法：(1)观察法；(2)基本结论法；(3)初等变换法(第四节).(二)矩阵的秩定义3.8 在一个m n ⨯矩阵A 中任选k 个行与k 个列(1k min{m,n}≤≤)，位于这些行、列交叉处的k 2个元素按原相互位置关系所形成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式. (定义3.14 P 73)定义3.9 若矩阵A 有不等于零的r 阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r 称为矩阵A 的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.15 P 73)定义3.9指出：(1) 矩阵的秩为r ，则矩阵所有r+1及以上阶子式(如果存在的话)都等于零； (2) 矩阵的秩是矩阵不等于零的最高阶子式的阶数； (3) 0≤R(A)≤min{m,n}； (4) R(A T )= R(A)；(5) 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.例3.3(例3.6 P 74) 求矩阵A 和B 的秩，其中1234512302312456,0003421000000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 求矩阵的秩定理3.5初等变换不改变矩阵的秩. (定理3.11 P 74)推论1 若A ～B ，则R(A)= R(B). (推论 P 75) 推论2行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理3.5、推论1和推论2给出了一个求矩阵秩的方法：对矩阵做初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中元素不全为零行的行数即为矩阵的秩.例3.4(类似例3.8 P 75)求矩阵12101210A 10112022-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪-⎝⎭的秩. 解因为2131434123+,221210121012101210000002011011020100002022042000---↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r ，所以R(A)2=.例3.5(例3.7 P 75) 证明：R(AB )≤min{R(A),R(B)}. 证因为()()R AB R AB A ≤，而()()12c c BAB A O A -→，所以()()()R AB R O A R A ≤=.又()()()()()T T T T R AB R (AB)R B A R B R B ==≤=，所以R(AB)min{R(A),R(B)}≤.3. 求向量组的秩与极大无关组定理3.6 矩阵的秩等于矩阵的行向量组的秩(称为矩阵的行秩)，也等于矩阵的列向量组的秩(称为矩阵的列秩). (定理3.12 P 76)证A ～B(对A 作行变换，B 是A 的行最简形矩阵)⇒R(A)=R(B)，A 、B 的行向量组等价又R(B)=R(B 的行向量组)⇒R(A)=R(B 的行向量组)=R(A 的行向量组)又R(A)=R(A T )⇒R(A T )=R(A T 的行向量组)=R(A 的列向量组) ⇒ R(A)=R(A 的列向量组)定理3.6给出了求向量组秩的方法：首先由向量组构成矩阵，然后求矩阵的秩，从而得向量组的秩.例3.6求向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的秩. 解 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242233211212112122325301677124670325535385029111111212112120167701677,00161616001110033300000-+-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r所以R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.定理3.7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例 3.7(例 3.9 P 76) 讨论向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的线性相关性，求极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解 A=(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242123233261121211212232530167712467032553538502911111121211212016770167700161616001110033300000r r r r r r r r r r r r r -+---+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭→312211010100010101101011,011100111000000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故R(α1,α2,α3,α4,α5)=3，说明α1,α2,α3,α4,α5中任意4个向量都线性相关.α1,α2,α3 (α1,α2,α4、α1,α2,α5都)是一个极大无关组，且α4=-α2-α3，α5=α1-α2-α3.定义3.10 若矩阵的秩等于矩阵的行数，则称矩阵是行满秩的；若矩阵的秩等于矩阵的列数，则称矩阵是列满秩的.既是行满秩又是列满秩的矩阵称为满秩矩阵(即可逆矩阵).求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)初等变换法.常识结论：(1)R(AB)min{R(A),R(B)}≤ (2)R(AB)R(A)R(B)A ≥+-的列数(3)max{R(A),R(B)}R(A B)R(A)R(B)≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)R(A B)R(A)R(B)±≤+ 简证：∵12c c (A B B)(A B)±→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)±≤±=≤+四、向量应用实例[实例3-1] 几何应用 [实例3-2] 混凝土配制问题 [实例3-3] 药方配制问题五、习题(P 80-84) 选择题：1-5. AC B C A6. 提示：AB=C ，A=CB -1表明，A 与C 的列向量组可以互相线性表出，故选B.7. 提示：当c 1≠0时，|(α1,α2,α3)|≠0, |(α1,α2,α4)|≠0，故排除选项A,B. |(α1,α3,α4)|≡0，故选C.当c 3+c 4≠0时，|(α2,α3,α4)|≠0，故排除选项D.填空题：1. 提示：方法一α1,α2,α3,α4线性相关⇔|(α1,α2,α3,α4)|=0⇒k=-5/13方法二初等变换法α1,α2,α3,α4线性相关⇔R(α1,α2,α3,α4)<42. 提示：β可由α1,α2线性表示⇔线性方程组(α1,α2)x=β有解⇔(α1,α2,β)～B,R(α1,α2,β)=R(α1,α2)⇒k=-19/23. 提示：设A=(α1,α2,α3,α4)，作初等变换A=(α1,α2,α3,α4)～B (B为A的行最简矩阵)⇒R(A)=R(B)=44.提示：α1,α2,α3线性无关⇔|(α1,α2,α3)|≠0⇒abc≠0三、解答题：1. 略.2. 提示：(1) 能.α2,α3,α4线性无关⇒α2,α3线性无关⇒若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表示(2)不能.因为若α4可由α1,α2,α3线性表示，则α4就可由α2,α3线性表示，这与α2,α3,α4线性无关矛盾.3. 提示：(1)-(3)可用行列式法判断，(3)-(4)可用初等变换法4.提示：设A=(α1T,α2 T,α3 T,α4 T)，然后对A作行初等变换，将A化为行最简矩阵.5.提示：设A=(α1,α2,α3)，则当|(α1,α2,α3)|≠0时，β可由α1,α2,α3唯一线性表示，且表达式唯一.6. 提示：(1)当k1,k2,…,k m全为零时等式自然成立；否则，若k1=0，此时等式为k2α2+…+k mαm=ο，由于α2,…,αm 线性无关，得k2=…=k m=0，所以k1,k2,…,k m或全不为零.(2)由(1)知l1,l2,…,l m全不为零.设a=k1/l1，则两式相减，得(k 1-a l 1)α1+(k 2-a l 2)α2+…+(k m -a l m )αm =ο，因k 1-a l 1=0，由(1)知(k 2-a l 2)=…=(k m -a l m )=0，即k 1/l 1= k 2/l 2=…=k m /l m .8. 提示：令 k 1(a α1-α2)+k 2(b α2-α3)+k 3(c α3-α1)=ο， (1) 即(k 1a-k 3)α1+(k 2b-k 1)α2+(k 3c-k 2)α3=ο.α1,α2,α3线性无关⇒k 1a-k 3=0, k 2b-k 1=0, k 3c-k 2=0 (2)式(2)是关于k 1,k 2,k 3的齐次线性方程组，所以a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关⇔存在不全为零的k 1,k 2,k 3使式(1)成立，即方程组(2)有非零解.⇔a11b00abc 101c--=⇒=-.9. 提示：因为α1,α2,…,αs 线性相关，所以存在不全为零的数k 1,k 2,…,k s 使k 1α1+k 2α2+…+k s αs =ο.设i 是k 1,k 2,…,k s 中不为零的数的最大下标，由α1≠ο可知i>1，于是αi 就可由α1,…,αi-1线性表示.10. 证112223n n 1k ()k ()k ()α+α+α+α++α+α=ο，即 1n 1122n 1n n (k k )(k k )(k k )-+α++α+++α=ο.因12n ,,,ααα线性无关，得1n 1122233n 1n n k k 0k 1001k k 0k 1100k k 0k A 0110001k k 0k ∆-+=⎧⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⇔=κ=ο⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⎪⎝⎭⎩⎝⎭. 而1n A 1(1)+=+-0,2, n n ⎧=⎨⎩为偶数，为奇数.所以，当n 为偶数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性相关；当n 为奇数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性无关.11.提示：n 个n 维向量α1,α2,…,αn 线性相关⇔存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =ο.⇔|(α1,α2,…,αn )|=0. (克拉默法则)12.证因为e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，所以R(e 1, e 2, …, e n )≤R(α1,α2,…,αn ).又因为α1,α2,…,αn 可由e 1, e 2, …, e n 线性表出，所以R(α1,α2,…,αn )≤R(e 1, e 2, …, e n ).因此R(α1,α2,…,αn )=n ，α1,α2,…,αn 线性无关.13. 证充分性因为任一n 维向量都可由α1,α2,…,αn 线性表示，所以标准单位向量组e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，于是由第11题可知，α1,α2,…,αn 线性无关.必要性设α1,α2,…,αn 线性无关，因n+1个n 维向量线性相关，所以任一n 维向量β都可由α1,α2,…,αn 线性表示.14. 提示：先进行schimidt 正交化，然后规范化.15.提示：方法一令A=(α1,α2,α3,α4,β)，则()1234111110112123a 24b 3351a 85⎛⎫ ⎪-⎪ααααβ= ⎪++ ⎪+⎝⎭1111112100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1021001121,10000000021000110100,110010100010a b b a a b a a b a ⎧-⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-→ ⎪⎨+ ⎪⎪++ ⎪⎪ ⎪⎪≠-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩当当所以，(1)当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示. (2)当a≠-1时，β能由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示为1232b a b 1ba 1a 1a 1++β=-α+α+α+++. (3)当a=-1且b=0时，β能由α1,α2,α3,α4线性表示，但表示不唯一.方法二向量β能不能由向量组α1,α2,α3,α4线性表示等同于非齐次线性方程组1234(,,,)x αααα=β是否有解.根据克拉默法则，令|(α1,α2,α3,α4)|=0，得a=-1，否则，a ≠-1. 所以当a ≠-1时，此时β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示；当a=-1时，对矩阵(α1,α2,α3,α4,β)作初等行变换，得()123410210011210000b 00000-⎛⎫⎪- ⎪ααααβ= ⎪⎪⎝⎭，所以当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示.16.解向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价，即α1,α2与β1,β2,β3可以互相线性表出，并且R(α1,α2)=R(β1,β2,β3).4332431323113231110110422211120021111310204222r r r r r r +++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3213231021110000000000r r ↔⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭12312121231012321201121212,,,00000000001101101120,,,0000000000⎧-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⇒βββαα⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭→⎨-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇒ααβββ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可由线性表出可由线性表出17. 提示：根据极大线性无关组的定义.18.(3)解 213123202310231 0343001304710013r r r r----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32r r 02310013,0000 R 2.+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭∴=(4)解 322141r r r 3r r r 17253143172531435375941322013 5475941341002202532483015---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42313132323231r 225r r r r 17r r r r 2r r r r 31r 02531910020011025319100200110000000010028010500110000 R 3.⨯---↔-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴=，19. 提示：x y y x 2y x 2y x 2y A y x y y x y y y x y y x 111111y x y 0x y 0,x 2y 0y y x 00x y 000000y x y y x 0,x 2y 0y y x 0y x x y 111000,x 2y 0x y R(A)1000+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-+≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭⎝⎭→⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛⎫ ⎪+≠=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭→且111010,x 2y 0x y R(A)3001000y x 0,x 2y 0x y R(A)00y x x y 000y x 0,x 2y 0x y R(A)20y x x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+≠≠⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎨⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+==⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪+=≠⇒= ⎪⎪⎪ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎩且且且所以 0,x y 0,1,x y 0,R(A)2,x 2y 0,3,x 2y x y.==⎧⎪=≠⎪=⎨=-≠⎪⎪≠-≠⎩且20. 提示：按阶梯形矩阵构造1030011000000100000100000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或 1030011000000100000100011⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……21. 证∵12c c (A+B B)(A B)-→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)+≤+=≤+22.证∵21c c (B)A O A O E B E O +-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O R EB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥R(A)+R(B) A O R =E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的列数∴R(A)+R(B)≤A 的列数23.证∵A 2-A=(A-E)A=O∴R(A-E)+R(A)≤n (第22题) ∵ E=(E-A)+A∴R(E)=R((E-A)+A)≤R(A-E)+R(A) (第21题) ∴R(A-E)=n-r24. 提示：E-A 2=(E-A)(E+A)=O, 2E=(E+A)+(E-A)25. 证因为A 的秩为r ，所以存在n 阶初等行矩阵P 1,P 2,…,P k 与m 阶初等列矩阵Q 1,Q 2,…,Q l ，使得()rr k2112l r r m n m n rE O E P P P AQ Q Q =E O O O O ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()r 11111112krl 21r m n rE P P PP Q=E O Q Q Q O ------⨯⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则A=PQ，其中()()()()r rr m n r E R P R =R Q R E O r O ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.26.解det(B)1231231231232323123233123123det(,24,39)det(,3,5)det(,3,2)det(,,2)2det(,,) 2.=α+α+αα+α+αα+α+α=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=ααα=ααα=27. 提示：设A=(α1,α2,α3,β1,β2,β3)，则312r r r 101111101111A 013a 23013a 23115135001a 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2131323r 2r r r r r r 1011112102(a 1)00001a 011001+a 100104a 20001a 01----⎧⎛⎫⎪ ⎪→--⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩R(A)=3, R(B )≥2.(1)因为α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表出，所以R(B)<R(A)，故a=1. (2)β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=α3.28. 解因为向量α=(2,4,-3)与向量β=(-1,-2,3/2)平行，所以直线L 1与L 2平行.又直线L 1过点(1,2,3)，且点(1,2,3)也在直线L 2上，所以直线L 1与L 2重合.六、计算实践实践指导：（1）理解向量线性组合、线性相关和线性无关的概念；（2）了解向量线性相关和线性无关的有关理论，掌握判别方法；（3）理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵秩的概念；（4）会求向量组的极大线性无关组及秩，会求矩阵的秩.例3.1设三阶矩阵()T 122A 212,a,1,1304-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，已知Aα与α线性相关，求a.解()TA a,2a 3,3a 4α=++，Aα与α线性相关a 2a 33a 4a 1a 11++⇒==⇒=-. 例3.2 已知()()1231234R ,,R ,,,3,ααα=αααα=()1235R ,,,4αααα=，证明：()12354R ,,,4αααα-α=.解 ()()1231234R ,,R ,,,3ααα=αααα=⇒4112233k k k α=α+α+α12354(,,,)αααα-α()()12351122331212353,,,k k k 100k 010k ,,,001k 0001=αααα-α-α-α-⎛⎫⎪-⎪=αααα ⎪- ⎪⎝⎭()()123541235R ,,,R ,,,4⇒αααα-α≤αααα=()()()()1235112123543123512354 ,,,100k 010k ,,,001k 0001R ,,,R ,,,-⇒αααα-⎛⎫ ⎪-⎪=αααα-α ⎪- ⎪⎝⎭⇒αααα≤αααα-α ⇒()12354R ,,,4αααα-α=例3.3 已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩是2，求t .解1231211A 20t 00452α-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α--⎝⎭⎝⎭1211121104t 220452045200t 30--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()R A 2t 3=⇔=，故t 3=.例3.4设n m m n n A B E ⨯⨯=，则[A ]. (A )n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==； (B)n m m n R(A )n,R(B )m ⨯⨯==； (C)n m m n R(A )m,R(B )n ⨯⨯==； (D)n m m n R(A )R(B )m ⨯⨯==.例3.5若n m m n n A B E (n m)⨯⨯=<，证明：n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==.证明反证法.显然m n R(B )n ⨯≤.若m n R(B )n ⨯<，则n n m m n n R(E )min(R(A ),R(B ))n ⨯⨯=≤<，这是矛盾的结果，所以必有()n m R A n ⨯=.同理，有()m n R B n ⨯=.例3.6n A 0=说明什么? 答：说明n A 不可逆；(第二章)齐次线性方程组n A x =ο有非零解； (第一、四章)()n R A n <；(第三章)n A 的行向量组线性相关; 行秩n <；(第三章) n A 的列向量组线性相关; 列秩n <；(第三章)n A 的标准形为rE O (r n)O O ⎛⎫<⎪⎝⎭；(第二、三章) 0是n A 的特征值. (第五章)例3.7设向量组Ⅰ：α1,α2,…,αr 可由向量组Ⅱ：β1,β2,…,βs 线性表示，下列命题正确的是[A ]. (A )若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤； (B)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >； (C)若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤； (D)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >.例3.8设(β1,β2,…,βs )=(α1,α2,…,αt )A t×s ，且α1,α2,…,αt 线性无关，试判断β1,β2,…,βs 的线性相关性.七、知识扩展1. 设α1,α2,…,αn 为n 维列向量组，A 是m×n 矩阵，下列选项正确的是[A ].（2006 数一） (A) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (B) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关； (C) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (D) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关. 提示：∵12n 12n (A ,A ,,A )A(,,,)ααα=ααα∴12n 12n R(A ,A ,,A )R(A(,,,))ααα=ααα12n min{R(A),R(,,,)}≤ααα若α1,α2,…,αn 线性相关，则12n R(A ,A ,,A )n ααα<. 选A .注意到，若α1,α2,…,αn 线性无关，则R(A α1,A α2,…,A αn )=R(A).2. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组[C ]. （1994 数一）(A) α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关； (B) α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关； (C)α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关； (D) α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关. 提示：观察法3.设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有[A ]. (2004 数一) (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 行向量组线性相关； (D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 提示：方法一()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n()()()()R A 1,R B 1R A n 1,R B n 1≥≥⎧⎪⇒⎨≤-≤-⎪⎩，故选A . 方法二设1212n n A (,,,)O,B O β⎛⎫⎪β⎪=ααα≠=≠ ⎪ ⎪β⎝⎭，i1i2in 1j 2j nj (a ,a ,,a ),(b ,b ,,b )⇒∃≠ο≠οi11i22in n 1j 12j 2nj n a a a ,b b b ,β+β++β=ο⎧⇒⎨α+α++α=ο⎩故选A .4.设n 维列向量组α1,α2,…,αm (m<n)线性无关，n 维列向量组β1,β2,…,βm 线性无关的充要条件为[D ].（2000 数一）(A) 向量组α1,α2,…,αm 可由向量组β1,β2,…,βm 线性表示； (B) 向量组β1,β2,…,βm 可由向量组α1,α2,…,αm 线性表示； (C) 向量组α1,α2,…,αm 与向量组β1,β2,…,βm 等价； (D) 矩阵A=(α1,α2,…,αm )与矩阵B=(β1,β2,…,βm )等价.提示：因为m m E E A ~,B ~A,B O O ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，故选D .(A)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(A).例如，100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭与　1　，0，1.(B)⇒β1,β2,…,βm 线性无关.(C)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(C). **注意向量组等价与矩阵等价的差别5.设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T ,α2=(2,2+a,2,2)T ,α3=(3,3,3+a,3)T ,α4=(4,4,4,4+a)T ，问a 为何值时α1,α2,α3,α4线性相关？当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出.（2006 数一）提示：()12341a23412a 34,,,123a 41234a +⎛⎫ ⎪+ ⎪αααα= ⎪+ ⎪+⎝⎭ i 11i r r c c i 2,3,4i 2,3,41a23410a234a a 000a 00a0a 000a 0a00a 000a -+==++⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒当a=0或a=-10时，α1,α2,α3,α4线性相关.且当a=0时，R (α1,α2,α3,α4)=1，一个极大线性无关组为α1；当a=-10时，R (α1,α2,α3,α4)=3，一个极大线性无关组为α2,α3,α4.6. 设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p +2)T,α4=(-2,-6,10,p)T ，问：(1)p 为何值时，该向量组线性无关? 此时用α1,α2,α3,α4表示向量α=(4,1,6,10)T .(2) p 为何值时，该向量组线性相关? 此时求它的秩和一个极大线性无关组. (1999)(答案：p≠2,p=2) 提示：方法一初等行变换法(1)()12341132413261,,,15110631p 2p 10--⎛⎫⎪--⎪ααααα= ⎪-⎪+⎝⎭()()())p 2113 24021 43001 01000p 21p 10002010021p p 2~0010100011p p 2≠--⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭故p≠2，这时()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--. (2) p=2，秩为3，一个极大线性无关组为α1,α2,α3.（另一个极大线性无关组为α1,α3,α4.）方法二行列式法计算1234,,,αααα113211321326021415110001031p 2p 0p 20p 20p 2---------==-+-≠⇒≠⎧⎨=⇒=⎩当p≠2，令()1234,,,x αααα=α，计算()())()()12341132413261,,,15110631p 2p1010002010021p p 2,0010100011p p 2--⎛⎫⎪-- ⎪ααααα=⎪-⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭得()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--.7.设R(A m×n )=m<n ，则下述结论正确的是[C ]. (A)A m×n 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A m×n 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足BA=O ，则B=O.(D)A m×n 通过初等行变换必可以化为(E m O)的形式. 提示：T T BA OA B O =⇒=T T T R(A)R(B)R(A )R(B )A ⇒+=+≤的列数m =R(B)0B O ⇒=⇒=，故选C .(D)的正确说法是A m×n 通过初等变换必可以化为(E m O)的形式.8.设A 是m×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B=AC 的秩为r 1，则[C ]. (A)r>r 1；(B)r<r 1； (C)r=r 1；(D)r 与r 1的关系依C 而定.(1994 数三)提示：由B=AC 及C 是n 阶可逆矩阵知B ～A ，故选C .9.设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O ，则A 和B 的秩(A)必有一个等于零； (B)都小于n ；(C)一个小于n ，一个等于n ； (D)都等于n.(1994 数四)提示：由A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O⇒()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n⇒()()()()R A 1,R B 1,R A n 1,R B n 1,≥≥⎧⎪⎨≤-≤-⎪⎩故选B .10.设A 是4×3矩阵，且R(A)=2，而102B 020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则R(AB)=2. (1996 数一)提示：B 可逆.11.已知矩阵123Q 24t 369⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及3阶非零矩阵P 满足PQ=O ，则[C ].(A) t=6时，P 的秩必为1； (B) t=6时，P 的秩必为2； (C)t≠6时，P 的秩必为1；(D) t≠6时，P 的秩必为2. (1993 数一)提示：t=6时，R(Q)=1, R(P)≤2；t≠6时，R(Q)=2, R(P)≤1. 又因P ≠O ⇒R(P)≥1，故选C.12.设122A 4t3311-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为3阶非零矩阵，且AB=O ，则t=-3. (1997 数一) 提示：AB OR(A)R(B)A =⇒+≤的列向量数3B O R(B)1≠⇒≥所以R(A)2≤.但显然R(A)2≥，故R(A)2=.于是由A 0t 3=⇒=-.或由21331r r r r 3r 122122122A 4t 30t 1401131107700t 3------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭R(A)2t 30t 3=⇒+=⇒=-.13.设矩阵k1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，且R(A)=3，则k=-3.提示：k 3k 3k 3k 31k 11A ~11k 1111k ++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k 30001k 100~10k 10100k 1+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭()R A 3k 3=⇒=-.14.设n(n ≥3)阶矩阵1a a a a1a a A aa 1a a a a1⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 的秩为n-1，则a 必为 (A)1； (B)11n -； (C) -1； (D)1n 1-. (1998 数三) 提示：()()()n 1a 1n 1a 1n 1a 1a1a A ~a a1⎛-+-+-+⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭11101a 01,a n 1001a ~000a 1a 01,a=n 1a 01a ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪≠-⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎪-⎪-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎩ n 31,a 1,1R(A)n,a 1a ,n 11n 1,a=.n 1≥⎧⎪=⎪⎪⇒=≠≠-⎨-⎪⎪--⎪⎩-且故选B.。

第06章向量代数与空间解析几何习题详解

14
14
两边平方得 z = ，故所求点为 (0, 0, )
9
9
13、求λ 使向量a = {λ ,1, 5} 与向量 b = {2 1, 0 5, 0} 平行.
2
第六章向量代数与空间解析几何习题详解
a //
λ1 5
1
= = 得λ =
2 10 50
5
14、求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a =10 ⋅ (− j) = −10 j ={0, − 10,0}
标）.
解：分别为 (a , b,0), (0, b, c), (a ,0, c), (a ,0,0), (0, b,0), (0,0, c)
8、过点P( a, b, c) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的平面，问它们上面的点的
坐标各有什么特点？解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： x = a,y = b,z ∈ R；平行于 xOy 面的平面上的
a
± a = ± 1 {1,1, 1}
a
3
5 、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,−1,1) , B(1,1,−1) , C (1,−1,−1) , D( −1,−1,1).
解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.
) x xOy
6 、 M ( x, 关于 x 轴的对称
的投影和在 y 轴上的分向量. 解： a = 2(i + 2 j + 3k )+ 3 (2i + j − 3k )− (3i − 4 j + k ) = 5i + 11 j − 4k .故向量 a 在 x 轴上的

习题解答

高等数学课件与自学复习讲义第七章空间解析几何向量代数§1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系问在yz 平面上的点有什么特点？答：x 坐标为0 二、两点间的距离公式1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离解：22)03())1(2()11(P P 22221=-+--+--=2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)等距解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）得方程z ,5y 18y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(22222222==++=++--+--+-=-+--+-所以此点坐标为（1， 5， 0）§2 曲面曲线的方程一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程（2）y=0: xz 平面（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？解：方程配方得43)21z ()1y ()1x (222-=-+++-无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径解：方程配方得2222)217(417z )21y ()2x (==+++-，所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为2173. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+45=0解：配方得222224)21z ()1y ()2x (==++-++，所以方程球心为（-2, 1, -21），半径为2三、柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形解：此题为抛物柱面，缺z2. 方程14z y 22=+表示什么曲面？（测验题）解：平行于x 轴椭圆柱面3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面4. y 2=1解：y=±1,相互平行的平面5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程1. 问⎩⎨⎧==+az R y x 222表示什么曲线？解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。

北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题52.

习题5.21.(,,),,,,.||,||,2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2xy z xy yz O x y z x y z Oxy Oyz d d d d z d x d x A B C AB BA AC BC AB =======-===--=-写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||20|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,(2,1,2)(3,0,1)(1,1,1),|| 3.3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),132(9,6,6)2AB BA AB AC AC BC BC ===-=--=-=-=--=-==--=-==-==---+a b c a b +c =1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).4.(2,5,1),(1,2,7),,.2,7).(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(k k xy k k k k k k k k k A B x y z x ︒︒---+-=-==-+=-+=+-=+-++==-设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1设两点的坐标分别为和解a b a b ,a b a b a b 22111222121212,,),,.111()((,,)(,,))(,,).2226.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos ,.(1)2366(2)12.(2)1(3)cos y zA B C OC OA OB x y z xy z x x y yz z =+=+=+++=-=-<>⨯-=-求连线中点的坐标设求解解a b a b a i a b a b =a b =a i = .2222,|||7.||1,||3,||2,|/3,?17|()()||||||2()11942(3),23333,cos ||||π<>======+⊥+=+=++=++++==+++⨯+==设求解a b a b |a b a b c a b +c |=a c <a,b >=<b,c >=a b +c |a b +c a b +c a b c a b +b c a c b c b c b c =<b,c >=b c .6π<b,c >=22228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.k k k k k k k k ==⊥--=-=-==±设试求常数使解a b a +b a b.a +b a b a b 9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)(1)(2)(3)()(4)()(5)().(1)121(5,2,1),113(2)253(3,0,2).01121(3)()11323.(4)()5212532=-=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=---⨯-=-⨯-=-⨯⨯---解a b c a b c j a b c a b c a b c ijka b =i j kc j =ijka b c =a b c =(1,13,21).53(5)113(12,9,7),()121(23,19,15).2531297=---⨯-=-⨯⨯=-=-----i jk i j kb c =a b c10.,(2,1,0)(0,1,2),,.(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos ,|ABCD AB AD AC BD AC AB AD BD AD AB AC BD AC BD AC ==-<>=+=+-==-=--=--<>=在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.2||||||||||5,,,.2AC BD BD AC BD AB AD ABCD AC BD ππ==<>===<>=平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),01012A B C ABC AB AC AB AC ABC =---=-=⨯==-=已知三点求三角形的面积三角形的面积解i j k12.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345(,,)1220,,9141613.|1,||5,3,|.344cos ,,sin ,,|||||sin ,15 4.||||555======-⨯-<>==<>=⨯=<>=⨯⨯=证明向量和是共面的因为故和是共面的.已知|求||证解a b c a b c a b c a =b a b =a b a b a b a b a b a b a b a b14.cos ,cos ,cos ,,(1)cos 0,cos 0,cos 0;(2)cos cos 0,cos 0;(3)cos cos cos .(1)(2)115.||,2x z αβγαβγαβγαβγπαβγ=≠≠==≠==-===设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.(3)与三个轴的夹角相等,都是设的三个方向角满足求的坐标解a a .a .a a a aa 22222222cos 21,(2cos 1) 1.1cos ,2(21)1,4211,2(21)0,0,.2cos 0,,(0,0,213cos ,cos ,.(1,1,0).24416.,(75)(3),(4)(72),co x x x x x x x x x αααααπααππααα+=+-==+-=-+=-=========-⊥+-⊥-设为两非零向量且求22解2cos 2cos .a a =ab ,a b a b a b a b 2222222222s ,.(75)(3)0,7||15||16||||cos ,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos ,0.||||1516cos ,7,||||||||830cos ,7.||||716730||1516||83<>-+=-+<--=+-<⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩---=--解a b a b a b a b a b a b >=a b a b a b a b a b >=b b a b >=a a b b a b >=a a b a ||1,1||157871cos ,.15162830==---<==--b a a b >。

解析几何第一章习题及解答

第一章向量代数习题1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量成立,,a b c ()().a b c a b c ++=++证明：作向量（如下图），,,AB a BC b CD c ===则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2.设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件,,a b c 是0.a b c ++=证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形，,,a b c ABC∆则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+==充分性，作向量，由于,,AB a BC b CD c ===所以点与重合，即三向量0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=A D 的终点与始点相连构成一个三角形。

,,a b c3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记ABC ∆,,AB BC CA ,,D E F，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是,,a ABb BCc CA ===111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=-所以，故由上题结论得三角形111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=的三中线可以构成一个三角形。

,,CD AE BF 4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形两腰中点分别为，记向量ABCD ,BC AD ,E F ，,AB a FA b ==则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现,DF b = DC AB 0,λ>. DC AB λ=在由于是的中点，所以, FB b a =+,FC b a λ=-+E BC 且1111()()(1)(1).2222 FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

向量代数与空间解析几何(4)

例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(a b).
例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b, 试问: (1) k为何值时, A B;
(2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形的面积为6.
例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段
(3) 直线与平面的夹角
设
L：x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
1: A1x+B1y+C1z+D1=0,
Am Bn Cp
sin
2021/4/22
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
6
（三）结论补充
1.非零向量a, b互相垂直的充要条件是a b=0, 互相平行的充要条件是a b=0.
答案：3 2
3.
通过曲面
x2
y2
z2
8,
作一柱面,
使其母线垂直
x yz0
于xoy平面, 则的方程为
答案：x2 y2 xy 4
4. 点A(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+3=0的投影为
答案：-2,0,1
2021/4/22
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(二)、选择题（4分3=12分）
1. 非零向量a, b 的数量积a b为[ ].
其模为a b =a b sin(a b) 其方向服从右手法则
3.混合积：[abc]= (a b) c
2021/4/22
1
（二）主要结论
1.设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则

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第一章向量代数习题 1.11.要使下列各式成立，向量αβ,应满足什么条件？(1) ||||+=-αβαβ; (2) ||||||+=+αβαβ;(3) ||||||+=-αβαβ; (4) ||||||-=+αβαβ (5) ||||||-=-αβαβ; (6)||||αβαβ=. 解：(1) ⊥αβ；(2) α与β同向；(3) α与β反向且≥αβ；(4) α与β反向,(5) α与β同向且≥αβ, (6)α与β同向且,≠≠00αβ2.已知向量方程组235x y x y -=⎧⎨+=⎩αβ，求解向量,x y .解：解关于,x y 的方程组得 531313121313αβαβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y3.已知四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-αγαβγ,对角线,AC BD 的中点分别为,E F ,求EF.解：335EF αβγ=+-.4.已知平行四边形ABCD 的对角线为,AC BD ==αβ，求,.解：设,AB BC ==x y 则αβ+=⎧⎨-=⎩x y y x 解方程组得 1()21()2αβαβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y .5.证明：向量,,n l l m m n ---αββγγα共面.证明：因为()()()0n l l m m n αββγγα-+-+-=，所以三向量共面.习题1.21．已知(3,5,4),(6,1,2),(0. 3.4)αβγ==-=--，求234++αβγ 解：()23412,1,2++=--αβγ.2．已知点(3,5,7)A 和(0,1,1)B -，求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标.解：()()3,4,8,3,3,9AB C =------.3．判断下列向量中哪些是共线的：1234(1,2,3),(1,2,3),(1,0,2),(3,6,9),αααα==-==--()()5678123132,0,4,1,2,3,,,,,1,44422⎛⎫⎛⎫==---==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααα解：167,,ααα共线，2α与4α共线，3α与5α共线. 4．判断下列向量,,αβγ是否共面：(1) (4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)αβγ==-=-； (2) (1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)αβγ=-==-； (3) (1,1,2),(2,4,5),(3,9,8)αβγ=-==. 解：(1)不共面；(2)、(3)共面.5．△ABC 中，︒=∠︒=∠30,90B A ，AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系{;,}A AB AC 的坐标.解：求点D 对坐标系{;,}A AB AC的坐标，实际上是要求用AC AB ,来表示AD .AC AB AD 4341+=. 6．在四面体OABC 中，M 是△ABC 的重心，F E ,分别是AC AB ,的中点，求向量MF ME EF ,,在坐标系{;,,}O OA OB OC 下的坐标.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=61,31,61,31,61,61,21,21,0MF ME EF 7．求向量(1,3,2)=-α的方向余弦. 解：142cos ,143cos ,141cos 321-===θθθ. 8.已知线段AB 被点(2,0,2)C 和(5,2,0)D -三等分，试求这个线段两端点A 与B 的坐标.解 (1,2,2),(8,4,2)---A B习题1.3１．已知向量α与β互相垂直，向量γ与α及β的夹角都是060，且||2,||3==αβ，计算：(1) 2()+αβ； (2) ()()+-αβαβ； (3) (32)(3)--αββγ； (4) 2(2)+-αβγ 解：(1) 5; (2) -3; (3) 72-; (4) 11. 2．在右手直角坐标系下，计算下列各题：(1) (3,0,6),(2,4,0)αβ=-=-，求⋅αβ及,<>αβ；(2) (5,2,5),(2,1,2)αβ==-，求α在β上投影向量及投影向量长. 解：(1) 51arccos,6； (2) ()4,2,4-，6；3.利用向量的数量积导出三角形的中线公式：2222221a cb m a -+=. 解：因为 ()12=+a mbc . 所以 ()()()()2222222222222211122||||cos 444112||||22442||||=+=++⋅=++⋅⎛⎫+- ⎪=++⋅=+- ⎪⋅⎝⎭a mbc b c b c b c b c Ab c a b c b c b c a b c故有 2222221a cb m a -+=. 4.用向量法证明三角形的重心分原三角形成等积的三个三角形. 证明：证1：如图所示，设M 为ABC ∆之重心，则()()()1,31,31.3AM AB AC BM BC BA CM CA CB =+=+=+S MBC=∴∆ ABCDFEM(第4题)+⨯+=；同理，CA CA BC BC S S MABMCA +⨯+==∴∆∆；MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.证2：MCA MBC S S ∆∆====221. 仿此可证：MAB MCA S S ∆∆=MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.证3：()()ABC MBC S BC BA BC BA S ∆∆=⨯=+==3121313121. 仿此可证：ABC MAB MCA S S S ∆∆∆==31；MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.5.已知向量123i j k =++a a a α，求α在各坐标轴上的投影. 答：分别为123,,a a a .6.已知向量223i j k,i j k =++=++αβ，试把α分解成k β与⊥β之和.解：(1k αββ⊥=+=+-7.用向量法证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点的距离相等.证明:设AB 的中垂线FG 与AC 的中垂线EG 相交于点G ，连接点G 与BC 的中点D ，只需要证明||||||GB GA GC ==和GD BC ⊥ 即可。

因为12()()0GA GB GA GB GF BA +-== ，所以22GA GB = ，所以||||GA GB = .同理可得||||GA GC = ，故||||||.GA GB GC ==又因为221122()()()0,GC GB GC GB GC GB +-=-= 即0GD BC = ,所以GD BC ⊥ . 8．用向量法证明空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等.证明：设四边形ABCD 各边所成向量依次为,,,,AB a BC b CD c DA d ====又因为0a b c d +++= ⇔()d a b c =-++ ⇔22()d a b c =++ ⇔22222()()2d a b c b c a b AC BD -+-=++= 0=.习题1.41.计算(1) (1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ，求⨯αβ，⨯αγ，()⨯+αβγ，()⨯⨯αβγ，()⨯⨯αβγ；解：()()()()()1,2,1,5,4,3,0,1,0,2,0,2,2,1,2-------(2) 直角坐标系内求以(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)---A B C 为顶点的△ABC 的面积及AC 边上的高.解：5.12，5.(3) 已知(2,3,1),(1,2,3)αβ=-=-，求与,αβ都垂直的单位向量. 解：)1,5,7(351(4) 已知||2,||5,3αβαβ==⋅=，求||αβ⨯与2[()()]αβαβ+⨯- 解：91，3642.设,,αβγ为两两不共线的三向量，试证明等式⨯=⨯=⨯βγγααβ成立的充要条件为0++=αβγ.3. 利用向量积证明三角形面积的海伦(Heron)公式：2()()()∆=---p p a p b p c ，式中c b a ,,为三角形三条边的边长，()c b a p ++=21，∆为三角形的面积.解：在ABC ∆中，设===,,c b a ===.那么ABC ∆的面积为=∆.所以()2241⨯=∆，又()()2222-=⨯，故 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆222241.因为=++.从而-=+，()22=+.所以()2222222121b a c b a c b a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.故()()()()()b ac b a c c b a c b a b a c b a +--+-+++==⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∆16141412222222 ()()()a p b p c p p 2222222161---⋅=化简得：()()()c p b p a p p ---=∆2.习题1.51.已知四面体ABCD 的顶点坐标(0,0,0),(6,0,6),(4,3,0),(2,1,3)A B C D -，求它的体积,并求从顶点D 所引出的高的长度. 解：1；34612.在直角坐标系内判断向量,,αβγ是否共面，若不共面，求出以它们为三邻边构成的平行六面体体积.(1) (3,4,5),(1,2,2),(9,14,16)===αβγ； (2) (3,0,1),(2,4,3),(1,2,2)=-=-=--αβγ 解：(1）共面；（2）不共面，23．如0⨯+⨯+⨯=αββγγα，证明：,,αβγ共面.证明：对等式0⨯+⨯+⨯=αββγγα的两边与γ作数量积，可以得到(),,0=αβγ，故,,αβγ共面.4．如,⨯=⨯⨯=⨯αβγδαγβδ，证明：-αδ与-βγ共线. 解：因为()()-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-⨯+⨯-⨯=0αδβγαβαγδβδγαβαγβδδγ所以-αδ与-βγ共线.5. 在直角坐标系内已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ求()⨯⨯αβγ和()⨯⨯αβγ.解：)5,4,3(-；)1,2,1(--6. 证明：()()()0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=αβγβγαγαβ 证明：αγββγαγβα)()()(⋅-⋅⋅=⨯⨯ βαγγαβαγβ)()()(⋅-⋅=⨯⨯ γβααβγβαγ)()()(⋅-⋅=⨯⨯上述三式相加可得：()()()0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=αβγβγαγαβ.7．证明：()()(,,)⨯⨯⨯=αβαδαβδα证明：αδβααδαββδααδαβα),,()]([)]([)()(=⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯.复习题一1．已知3,3i k j k =+=+OA OB ,求OAB ∆的面积.解：.|)1,3,3(|||2192121=--=⨯=∆OB OA S ABC2．已知四面体的体积5=V ，它的三个顶点为()()()3,1,2,1,0,3,1,1,2--C B A ，又知道它的第四个顶点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从顶点D 所引出的高的长h . 解：)14,0,1(-；53=h3．试用向量法证明：平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直. 证明：如图：因为向量c a =，d b =，所以.,a d BD b a AC -=+=则⊥当且仅当0=⋅ 当且仅当0))((=-+ 当且仅当||||=.4．设{2,3,1}a =- ,{1,2,3}b =- ,{1,2,7}c =- ,已知向量d 垂直于a 和b 且10d c ⋅= ,求 d .解：(7,5,1).5．设向量α与1(3,0,2)M 、2(5,2,1)M 和3(0,1,3)M -所在的平面垂直,求α,并求以1M 、2M 和3M 为顶点的三角形的面积.解：(1,1,4)α=6．试用向量法证明：内接于半圆,并以直径为一边的三角形为直角三角形.证明：设内接于半径为r 的半圆的ABC ∆的一边AC 是过圆O 的直径，另一顶点在半圆上为点B .则()()AB CB AO OB CO OB =++ 22220AO AO OB OB AO OB r r =-+-+=-+=所以AB CB ⊥，即ABC ∆是直角三角形.7.设一四边形各边之长是d c b a 、、、，对角线互相垂直，求证：各边之长也是d c b a 、、、的任意一个四边形的两条对角线也必互相垂直.证明：同习题1.3第8题.8.梅耐劳斯(Menelaus)定理：在ABC ∆的三边AB CA BC ,,或其延长线上分别取N M L ,, 三点，它们的分割比是：NBAN MA CM LC BL ===νμλ,,，则N M L ,,三点共线的充要条件是1-=λμν.证明：任取点O ，（1）必要性：根据定比分点的向量分解表示式，111,,OC OA OB OC OA OB OL OM ON μλνλμν++++++===若,,L M N 三点共线，则有111()()()0OC OA OB OC OA OB l m n μλνλμν++++++++=其中,,l m n 不全为零.此即111111()()()0m n nv l l mv OA OB OC μλμνλλμ+++++++++++=所以111111000m n nv lvl m μμνλλλμ++++++⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，又因为方程组有非零解，故其系数行列式等于零 11111111000v vμμνλλλμ++++++=，展开解得1λμν=-.（2）充分性：这个推理过程是可逆的，故若1λμν=-，则,,L M N 三点共线.9.塞瓦(Cewa)定理：在ABC ∆中的三边AB CA BC ,,或C(第8题图)BCLNM(第9题图)AC(第8题图)其延长线上分别取N M L ,,三点，其分割比依次是：,,BL CM AN LC MA NBλμν===，于是CN BM AL ,,三线共点的充要条件是1=λμν.证明：（1）必要性：设,,AL BM CN 共点于p ，以p 为始点，则,,pL x pA pM y pB pN z pC === ，因为,,pA pB pC三个向量共面，必有不全为零的常数,,l m n 存在，使得0l pA mpB npC ++=.所以0lxpA mpB npC ++=，又因为,,B L C 三点共线，所以0lx m n ++=，即l m nx +=，lm n pL pA += ，由此推知n mBL LCλ==同理可得：l n CM MA μ==，mlANNBν==因此λμν=n m ln m l=1. （2）充分性：设1=λμν，且,AL BM 交于点p ，由（1）知m pB n pC lm n m n pL pA +++==故有nl m pN pC +=，由此得知,,p N C 三点共线，于是CN BM AL ,,共点于p .10.试用向量法证明三阶行列式的阿达玛(Hadmard)定理：证明：2123222222222123123123123123()()()≤++++++a a a b b b a a a b b b c c c c c c .证明：令123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c ===2123222222222222222123123123123123(,,)||()()()a a ab b b a bc a b c a b c a a a b b b c c c c c c ≤=⨯≤≤++++++。