向量代数部分解答

第一章 向量代数 习 题 1.1

1.要使下列各式成立，向量αβ,应满足什么条件？

(1) ||||+=-αβαβ; (2) ||||||+=+αβαβ;

(3) ||||||+=-αβαβ; (4) ||||||-=+αβαβ (5) ||||||-=-αβαβ; (6)

||||

αβ

αβ=

. 解：(1) ⊥αβ；(2) α与β同向；(3) α与β反向且≥αβ；

(4) α与β反向,(5) α与β同向且≥

αβ, (6)α与β同向且,≠≠00αβ

2.已知向量方程组235x y x y -=⎧⎨

+=⎩α

β

，求解向量,x y .

解：解关于,x y 的方程组得 531313

121313αβαβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

x y

3.已知四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-

αγαβγ,对角线,AC BD 的中点分

别为,E F ,求EF

.

解：335EF αβγ=+-

.

4.已知平行四边形ABCD 的对角线为,AC BD ==

αβ，求,.

解：设,AB BC ==

x y 则

α

β+=⎧⎨

-=⎩

x y y x 解方程组得 1()2

1()2

αβαβ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y .

5.证明：向量,,n l l m m n ---αββγγα共面.

证明：因为()()()0n l l m m n αββγγα-+-+-=，所以三向量共面.

习 题1.2

1．已知(3,5,4),(6,1,2),(0. 3.4)αβγ==-=--，求234++αβγ 解：()23412,1,2++=--αβγ.

2．已知点(3,5,7)A 和(0,1,1)B -，求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标.

解：()()3,4,8,3,3,9AB C =------

.

3．判断下列向量中哪些是共线的：

1234(1,2,3),(1,2,3),(1,0,2),(3,6,9),αααα==-==--

()()5678123132,0,4,1,2,3,,,,,1,4442

2⎛⎫⎛⎫

==---==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααα

解：167,,ααα共线，2α与4α共线，3α与5α共线. 4．判断下列向量,,αβγ是否共面：

(1) (4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)αβγ==-=-； (2) (1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)αβγ=-==-； (3) (1,1,2),(2,4,5),(3,9,8)αβγ=-==. 解：(1)不共面；(2)、(3)共面.

5．△ABC 中，︒=∠︒=∠30,90B A ，AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系

{;,}

A A

B A

C 的坐标.

解：求点D 对坐标系{;,}A AB AC

的坐标，实际上是要求用AC AB ,来表示AD .

AC AB AD 4

3

41+=

. 6．在四面体OABC 中，M 是△ABC 的重心，F E ,分别是AC AB ,的中点，求

向量MF ME EF ,,在坐标系{;,,}

O OA OB OC 下的坐标.

解：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=61,31,61,31,61,61,21,21,0MF ME EF 7．求向量(1,3,2)=-α的方向余弦. 解：14

2cos ,143cos ,141cos 321-===

θθθ. 8.已知线段AB 被点(2,0,2)C 和(5,2,0)D -三等分，试求这个线段两端点A 与B 的坐标.

解 (1,2,2),(8,4,2)---A B

习 题1.3

１．已知向量α与β互相垂直，向量γ与α及β的夹角都是060，且||2,||3==αβ，

计算：

(1) 2()+αβ； (2) ()()+-αβαβ； (3) (32)(3)--αββγ； (4) 2(2)+-αβγ 解：(1) 5; (2) -3; (3) 7

2

-

; (4) 11. 2．在右手直角坐标系下，计算下列各题：

(1) (3,0,6),(2,4,0)αβ=-=-，求⋅αβ及,<>αβ；

(2) (5,2,5),(2,1,2)αβ==-，求α在β上投影向量及投影向量长. 解：(1) 5

1arccos

,6； (2) ()4,2,4-，6；

3.利用向量的数量积导出三角形的中线公式：

222222

1

a c

b m a -+=

. 解：因为 ()

12

=+

a m

b

c . 所以 ()

()()

()

22222222222

22211122||||cos 444

112||||

22442||||=+=++⋅=++⋅⎛⎫+- ⎪=++⋅=+- ⎪⋅⎝⎭

a m

b

c b c b c b c b c A

b c a b c b c b c a b c

故有 222222

1

a c

b m a -+=

. 4.用向量法证明三角形的重心分原三角形成等积的三个三角形. 证明：证1：如图所示，设M 为ABC ∆之重心，则

()

()

(

)

1,

31,31.

3

AM AB AC BM BC BA CM CA CB =

+=

+=

+

S MBC

=∴∆ A

B

C

D

F

E

M

(第4题)