小学四年级奥数尾数和余数

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尾数和余数问题

25×25×…×25- 18×18×…×18的个位数字是几？
2001个
2001个
• 熟能生巧： • 1、2、3、4、5
例5 444……4÷6，当商是整数时，余数是几？
100个4
4÷6＝□……4
100÷3＝33……1
44÷6＝7……2 444÷6＝74……0 4444÷6＝740……4 …… 3个4一个周期
余数是：
4
几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数，所得的余数的和、差、积的余数是相等的。
• 甲数除以11余7，乙数除以11余5 • （1）甲数与乙数的和除以11余几？ • （2）甲数与乙数的差除以11余几？ • （3）甲数与乙数的积除以11余几？
一个自然数的末位数字称为
自然数的尾数，如：
1285的尾数是5， 89747的尾数是7，的尾数是0。
1、一位数的尾数是它本身。例：
0的尾数是0 3的尾数为3， 9的尾数是9。
2、两数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾数.
如84＋95=179，两数和的尾数是9，正好是84和 95的尾数4与5的和，即4＋5=9。
6、★规律：几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。
例1⑴125×125×125×……×125 积的尾数是
几？
100个125
答案：
只要研究个位相乘的情况： 5
不管是多少个5相乘，个位总是5。9 9×9末尾是1 9×9×9末尾是9 9×9×9×9末尾是1 9×9×9×9×9末尾是9 ······ 200÷2=100 200个9相乘积的末尾是1.
3、两个数差的尾数，等于两个数尾数之差，当尾数不够减时被减数的尾数加10再减。如：324-225

小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2

在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。

带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。

五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。

同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。

知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。

解题方法：1）逐步满足法。

列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。

这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。

2）最小公倍数法。

该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。

重点在于转换问题的方法。

某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。

聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。

求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。

(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。

第2讲尾数和余数.(7.4)

第二讲尾余问题专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例1：125×125×125×……×125[100个25] 积的尾数是练习：（1）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是（2）（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是例2 ： 4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是练习：（1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是（2）1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是例3：把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是练习：把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字是例4：写出除213后余3的全部两位数。

练习：写出除109后余4的全部两位数。

例5 ： 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是练习：1444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是第二讲：当堂作业1、24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是2、1×2×3×…×98×99，积的尾数是3、94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是4、5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是5、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

四年级奥数除法与余数

要指的是余数问题中涉及到的些周期问题 & 期问题余数原理等等
余数原理
自若 B 个数的和 ( 差或积 ) 除以个数所得的余数等于这若干个数分别除以这个数所得余数的和 ( 差或积 ) 所得的数除以这个数所得的余数
(2 ) ? 1从î 个数同时除以同个数若得到的余数相同则这两个数的差定能被这个数整除
- 自 2 0 l 伙 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i ' 荧J山四年级第五讲
第五讲除法与余数
知识要点
木讲 1 的除法主要指的是带余除法即带余数的除法两个整数相除时 (除
教不为0 ) 它们的商不是整数可以表示为被除数 + 除数= 商
余数
山日为 j IJ 论占便和统也将两个整数整除时称为余数是 0 而余数我们主
í到7 今人 I 川j 六那么从明天起第 36 5 天是星期几 ? 解析题中所说的第36 5 天不包括今天在内是说从今天之后的第 36 5 天
所以周期排到应该是星期天星期星期二星期三星期四星期五
星期六
365 Ï 7 - 52 ( 星期 )
歹lj ó 彼:s 教除数 1 1 余数的总和是 100 已知商是 12 余数是 5 求被除数与除数 !
解析由题意可知被除数 + 除数 = 100 12 5 - 83 而被除数又是除数的 12 倍还要多5 朴居和倍问题可得

奥数数论：余数问题要点及解题技巧

奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。

二、余数的性质：①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

三、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。

四、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；五、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

四年级奥数竞赛班第六讲巧用余数

根据：被除数=除数×商+余数这个性质来求解。解 A÷B=8…16，所以A=8B+16,因为 A+B+8+16=769,所以8B+16 +B+8+16=769，于是B=81,所以被除数A=8×81+16=664. 答：被除数为664.
例6 小马虎做一道除法题时，把被除数169看成196，结果余数相同,但商比原来多9.求除数是多少？
例9 甲数除以13余7，乙数除以13余9，现将甲乙两数相乘，积除以13应余多少？

分析甲数=13商+7，乙数=13商+9，甲数×乙数=（13商+7）×（13商+9）=169×商×商 +13×9×商+7×13×商+7×9=169商×商+208×商 +63 所以甲与乙的积除以13的余数相当于63除以13的余数，于是余数是11. 解甲×乙÷13的余数相当于63除以13的余数，所以余数是11. 答：余数是11.
例10 某个自然数，被3除余2，被5除余 4，被7除余6，这个自然数最小是多少？

分析这个数加1就能被3、5、7整除.先求能同时被3，5，7同时整除的自然数. 解这个数加1就能被3、5、7整除.能被3、5、 7整除的最小自然数是3×5×7=105，所以这个数应该是105-1=104. 答：这个自然数最小是104.
分析根据：被除数=除数×商+余数这个性质来求解。解这个数=84×商＋70，（84×商＋70） ÷28=84×商÷28+70÷28=3商+70÷28，所以这个数除以28的余数相当于70除以28的余数，于是余数是14. 答：余数是14.

小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题

小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

四年级奥数专题之整除与余数

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

奥数数论：余数问题要点及解题技巧.doc

奥数数：余数要点及解技巧一、基本概念：任意自然数a、b、 q、 r，如果使得 a÷b=q⋯⋯ r，且 0 余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。

二、余数的性：①余数小于除数。

②若 a、 b 除以 c 的余数相同，③ a 与 b 的和除以 c 的余数等于c|a-b 或 c|b-a。

a 除以 c 的余数加上 b除以 c 的余数的和除以 c 的余数。

除以④ a 与 b 的除以 c 的余数等于c 的余数的除以 c 的余数。

a 除以 c 的余数与 b三、同余的定：①若两个整数a、b 除以 m 的余数相同，称a、b于模 m 同余。

②已知三个整数 a、 b、m，如果 m|a-b，就称 a、 b 于模 m 同余，作 a≡ b(modm) ，作 a 同余于 b 模 m。

四、同余的性：①自身性： a≡ a(modm)；② 称性：若a≡ b(modm) ， b≡ a(modm) ；③ 性：若a≡ b(modm) ，b≡ c(modm)， a≡c(modm) ；④和差性：若a≡ b(modm) ，c≡ d(modm) ， a+c≡b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm) ；⑤相乘性：若a≡ b(modm) ，c≡d(modm) ，则 a×c≡ b ×d(modm) ；⑥乘方性：若a≡ b(modm) ，则 an≡ bn(modm) ；⑦同倍性 :若 a≡ b(modm) ，整数 c，则 a× c≡ b×c(modm× c)；五、被 3、 9、 11 除后的余数特征：①一个自然数M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和，则M ≡ n(mod9) 或（ mod3）；②一个自然数M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M ≡11-（ X-Y ） (mod11) ；六、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1≡ 1(modp) 。

小学奥数-余数问题-完整版题型训练

数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

奥数专题：《尾数数问题》教案

在学生小组讨论环节，我感到很欣慰，因为大部分同学都能够积极参与，主动发表自己的观点。但我也发现，有些同学在分享成果时，表达不够清楚。为了提高学生的表达能力，我将在以后的课堂中增加一些口语表达训练，鼓励他们大胆地说出自己的想法。
最后，总结回顾环节，我询问了同学们对本节课内容的掌握情况，他们普遍反映良好。但我也意识到，有些同学可能因为害羞或紧张而没有提出自己的疑问。为了解决这个问题，我打算在课后设立一个疑问箱，鼓励同学们将不懂的问题写下来，我会一一解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解尾数的基本概念。尾数是数字的最后一位，它在数学运算中具有一定的性质和规律。尾数的性质可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析尾数的性质和规律，解决一个实际生活中的问题，如计算电话号码的尾数。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了尾数数问题。从同学们的反应来看，我发现他们在理解尾数的性质和规律方面存在一定的难度。在今后的教学中，我需要针对这一点进行改进和调整。
首先，我意识到在导入新课环节，通过提问的方式激发同学们的兴趣和好奇心是有效的。但在这个过程中，我应该更加关注学生的回答，及时给予反馈和引导，让他们更好地将生活实际与尾数问题联系起来。
其次，在新课讲授环节，我发现在讲解尾数性质和规律时，部分同学显得有些困惑。这可能是因为我讲解得不够详细，举例不够贴近生活。在以后的教学中，我会尽量用更生动的例子和简洁的语言来阐述这些概念，帮助学生更好地理解。
此外，实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的过程中，我注意到有的小组在讨论问题时，思路不够清晰。为了提高讨论效果，我应该在学生讨论前给出明确的指导，如提供讨论提纲或思考方向。同时，在实验操作环节，我要加强对学生的引导，确保他们能够正确地掌握尾数运算规律。

尾数和余数

尾数和余数【专题导引】自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

【典型例题】【C】写出除85后余1的数有哪些?【试一试】1、写出除98余2的数有哪些?2、写出除105后余3的数有哪些?[C21 2X 2X 2X 2X 2X 2X 2X 2 积的尾数是几?【试一试】1、5X 5X 5X 5X 5X 5X 5积的尾数是几?2、16X 16X 16X 16X 16X 16 积的尾数是几?【B】写出除213后余3的全部两位数。

【试一试】1、写出除109后余4的全部两位数。

2、178除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些?【时112牢125型125车如4驾125积的尾数是几?100个1259咒车綽产47希9积的个位数字是几？23筠23谄个备・"4・・軒^3 X 18鋒18%18%・・4举18积的个位数字是几?2000个23 2001个18【试一试】1、（1（21存6）（（2毕26）%・炊・4（21%26）的积的尾数是几？ 100个（21>?6）2、4空树于皿皿趙4的积的个位数字是几？504【B 】44呛今•/為6,当商是整数时,余数是几？100 个 4【试一试】1、5553455十13,当商是整数时涂数是几？2001个 52、当商是整数是，余数是几?（1） @66琲卽Q 鬲4,小、 50个6（3）4444吏 4 勺741000 个 4 【A 】有一列数，前两个数是的和。

这一列数中第2001个数除以4,余数是多少?【试一试】1、有一串数排成一行，其中第一个数是 3,第二个数是10,从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

在这一串数中，第 1991个数被3除，所得的余数是几？(2) §88申3申鬲7 (4) 11魚 §0个3与4,从第3个数开始，每一个数都是前两个数2、一列数1、2、4、7、11、16、22、29……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1;第三个数比第二个数多 2;第四个数比第三个数多 3,依次类推。

奥数专题之尾数问题1

奥数专题之尾数问题1来源：网络2009-05-05 15:21:43[标签：奥数]例1：n＝2×2×2×…×2（2005个2相乘），所得积的末尾数字是几？分析：n是2005个2的连乘积，可以记为n＝2（2005次）。

首先观察若干个2（从2的较低次幂入手）连乘积的末尾数字的变化规律，从而发现每4个2连乘为一循环，循环的顺序是2、4、8、6，其周期为4。

解：因为2005÷4＝501……1，余数是1，即余下1个2。

所以2005个2连乘，积的末位数字是2。

方法点睛：以2的连乘个数为被除数，用积的数字变化周期数为除数，用除得的余数推断出积的个位数。

奥数专题之尾数问题2来源：网络2009-05-05 15:23:17[标签：奥数]例2：12＋22＋32＋42＋…＋992＋1002的个位数字是多少？（新加坡小学数学奥林匹克竞赛）分析：把尾数相同的放在一组。

每10个数一组，求出10个尾数的和。

12＋112＋212＋312＋...＋912尾数的和为2×10＝20，和的尾数为0。

同理，22＋122＋222＋ (922)和的尾数也是0……解：原式中有100个加数，以尾数相同的10个加数为一组，共有10组。

每组和的个位数字都是0，所以这100个加数和的个位数仍为0。

方法点睛：观察数列后，利用交换律把尾数相同的交换到一起，再利用结合律，把每10个尾数相同的结合成一组。

逐组计算和的尾数，最后再计算总和的尾数。

分析：观察这个式子可知，每个加数的尾数都是2，再看每个加数尾数前的数字，是1、2、3、4……99、100，这说明一共有100个数相加。

解：因为一共有100个尾数是2的数字相加，2×100＝200，所以这100个加数和的个位数字是0。

方法点睛：加法算式中，所有个位数字和的尾数就是该式和的尾数。

奥数专题之尾数问题3来源：网络2009-05-05 15:24:25[标签：奥数]例3：2004（2001）×2009（2001）积的末位数字是几？分析：2004的连乘积的末位数字以4，6循环出现，周期为2；2009的连乘积的末位数字以9，1循环出现，周期也是2。

奥数(周期性问题;尾数和余数)

第一讲：周期性问题1、一串珠子，按4红、3白、2黑的顺序重复排列，第2008个是什么颜色？2、2008年5月12日四川发生“汶川大地震”时刚好是星期一，那么胡锦涛主席的2009年5月12日主持“汶川大地震一周年”纪念日是星期几？3、大雪后的一天，东东和他的爸爸共同步测一个圆形花坛的周长,他们从同一起点出发，向同一方向行走，东东平均每步长54厘米，爸爸平均每步长73厘米。

由于两人的脚印有重合，并且他们各自走完一圈后都回到了起点，这时雪地上共留了60个脚印。

这个花坛的周长是多少米？4、聪聪把自然数按规律排列成如图所示的表格，你知道第一行的第1993个数是多少吗？5、把自然数按下面规律排列，分为ABCDE五类，如：3在C类，10在B类。

则2007排在哪一类?A类B类C类D类E类12348765 910111216151413 17181920………6、如图，自然数从l开始按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第2个弯，在5处拐第三个弯……。

拐第二十个弯的地方是哪个数?7、奶奶告诉聪聪“2006年共有53个星期日”。

你知道：2007年元旦是星期几吗?8、学校在100米长的跑道两侧每隔2米站立一名同学，这些同学从一端开始，按先两名女生,再一名男生的规律站立着,问这些同学中共有多少名女生?第二讲：尾数和余数1、）个（）（）（）（2621100262126212621⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的积的尾数是几?2、200820072006543++的尾数是几？3、数学小博士组的学生在研究1991个1991相乘所得的积,请你猜想：积的末两位数字是几？4、2222100321++++ 的和除以7的余数。

5、n n n n n 55-44332211+++=A ，在99以内，有多少个n 使得A 不能被5整除？6、 288612288615288828882888288628862886个个⨯⨯⨯+⨯⨯⨯的和的尾数是多少？7、34×37×41×43的积除以13所得的余数是多少？8、求2222123456789321++++ 的个位数。

小学奥数知识点总结：余数、同余与周期

以下是为⼤家整理的关于⼩学奥数知识点总结：余数、同余与周期的⽂章，希望⼤家能够喜欢！
余数、同余与周期
⼀、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。

⼆、同余的性质：
①⾃⾝性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘⽅性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘⽅的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①⼀个⾃然数M，n表⽰M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②⼀个⾃然数M，X表⽰M的各个奇数位上数字的和，Y表⽰M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马⼩定理：
如果p是质数（素数），a是⾃然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

小学奥数-巧算尾数和余数

小学奥数-巧算尾数和余数自然数的尾数：就是自然数末位的数字。

余数：就是在做除法算式中，用被除数减去商与除数的积余下来的数。

自然数尾数的性质：1.一位数的尾数就是它本身。

2.两个数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾数。

3.两个数差的尾数，等于两个数尾数之差，当尾数不够减时，被减数的尾数加10再减。

4.一个自然数的10倍的尾数是0。

5.两数积的尾数，等于两个因数尾数的积的尾数。

6.几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。

余数的性质：1.如果a、b除以c的余数相同，那么a和b的差能被c整除。

比如：17和11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

2.余数要一定小于除数。

3.被除数=除数×商+余数。

解答这类问题，在计算中，我们可以运用如下方法：1.根据题目中各数的特点，找出数字出现的规律，并确定周期，根据周期求问题。

2.循环小数的问题，要通过计算得出商，找出循环节是由哪几个数字组成的，周期就是几。

3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，看前多少位能被这个数整除，还余多少，把这个余下来的数除以某数，就直接求出余数了。

精讲1：写出除215后余5的全部两位数。

分析：因为215=210+5，把210分解质因数:210=2×3×5×7，所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，2×5×7=70。

一共有8个两位数10、14、15、21、35、30、42、70。

答：除215后余5的两位数有10、14、15、21、35、30、42、70。

精讲2：解：（1）因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个56相乘，个位还是6；（2）每个括号里31乘25积的个位是5，我们只要分析100个5相乘，积的尾数是几就行了。

四年级奥数整除与余数

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：整除：1.能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

2.能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

3.能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

4.能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

5.能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

6.能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

7.能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

有余数的除法：1.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

2.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

3.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

4.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

所以这个6位数是141525或146520【巩固练习】1.已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。

奥数尾数的规律

求1993×1993×...×1993的个位数︷1993个1993四年级上期第五讲尾数的规律一.自然数的尾数例如：试一试：3的尾数是3 0的尾数是01949的尾数是9 1976的尾数是62000的尾数是0 2008的尾数是8二.自然数的尾数的规律1、求57＋48的和的尾数57＋48=105 和的尾数是5想：5 ？ 7+8=1557＋48的和的尾数，就是7＋8的和的尾数试一试：求13＋18的和的尾数13＋18的和的尾数，就是3＋8的和的尾数3＋8=11 和的尾数就是1几个自然数的和的尾数等于这几个数的个位数的和的尾数。

2、求87-45的差的尾数87-45=42 差的尾数是2想：2 ？ 7-5=287-45的差的尾数，就是7-5 的尾数试一试：求58-19的差的尾数58-19的差的尾数，就是18-9 的尾数18-9=9 差的尾数是9几个自然数的差的尾数等于这几个数的个位数的差的尾数。

3、求16×43的积的尾数16×43=688积的尾数是8想：8 ？6×3=8试一试：求18×13的尾数18×13的积的尾数，就是8×3的尾数8×3=24积的尾数是4几个自然数的积的尾数等于这几个数的个位数的积的尾数规律1：几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个数的各位数的和、差、积的尾数。

例1、求1783＋2136＋578＋2199的和的尾数解：3＋6＋8＋9=26，尾数是6。

所以原式和的尾数是6例2、求1991×1992×1993×1994×1995×1996的积的尾数解：1×2×3×4×5×6=720尾数是0所以原式积的尾数是0想：0 ？5×2=105×4=205×6=30例3、计算下面各式，想一想相邻两个自然数的乘积的尾数有什么规律。