(江西版)2013年高考数学总复习 第六章数列单元检测 理 北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第六章数列单元检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

2．若等比数列{a n }的首项为1

9，且a 4＝21

⎰

(2x )d x ，则数列{a n }的公比是( )．

A ．3

B ．13

C ．27

D ．1

27

3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率是( )．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )． A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值

5．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )．

A ．16(1－4－n )

B ．16(1－2－n

) C ．323(1－4－n ) D ．323

(1－2－n )

6．数列{a n }为等比数列，且满足a 2 007＋a 2 010＋a 2 016＝2，a 2 010＋a 2 013＋a 2 019＝6，则a 2 007＋a 2 010＋a 2 013＋a 2 016＋a 2 019等于( )．

A ．9813

B ．375

C ．24231

D ．24041

7．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝

30°，△ABC 的面积为3

2

，那么b 等于( )．

A ．1＋32

B ．1＋ 3

C ．2＋32

D ．2＋ 3

8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知

该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝1

2

n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会

给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )．

A ．5年

B ．6年

C ．7年

D ．8年

9．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )．

A ．n 2－n

B ．n 2

＋n ＋2

C ．n 2＋n

D ．n 2

－n ＋2

10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x －1，x ≤0，

f (x －1)＋1，x >0，

把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的

顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )．

A ．a n ＝n －1

2

(n ∈N ＋) B ．a n ＝n －1(n ∈N ＋)

C ．a n ＝n (n －1)(n ∈N ＋)

D ．a n ＝2n

－2(n ∈N ＋) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．已知数列{a n }为等比数列，a 2 007，a 2 011为方程7x 2

－18x ＋14＝0的两根，则a 2 009＝

__________.

12．若数列{a n }满足关系a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，该数列的通项公式为__________．

13．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n a n ＋3，N ＝a n ＋1a n ＋2，则M 与N 的大小关系是__________．

14．已知两个数列{a n }，{b n }，满足b n ＝3n

a n ，且数列{

b n }的前n 项和为S n ＝3n －2，则数列{a n }的通项公式为__________．

15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(1－3a )x ＋10，x ≤6，

a x －7，x >6，

若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }

是递减数列，则实数a 的取值范围是______．

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16．(12分)设等比数列{a n }的公比q ＜1，其前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．

17．(12分)已知a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋n ，b n ＋1＝a n ＋(－1)n

，n ∈N ＋. (1)求a 3，a 5的值；

(2)求数列{a n }的通项公式．

18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)当n 为何值时，a n 的值最小？

19．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S 2

n ＝a n (S n －1)．

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列；

(2)设b n ＝log 2

S n

S n ＋2

，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 20．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足(4－p )S n ＋3pa n ＝2p ＋4，其中p 为常数，p ＜－2，n ∈N ＋.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }的公比q ＝f (p )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝4

3f (b n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)，求证：

b 12＋

b 22＋…＋

b n

2

＜2n ＋1－2.

21．(14分)已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n

－1(n ∈N ＋，n ≥2)，且a 4＝81. (1)求数列{a n }的前三项；

(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存

在，说明理由；

(3)求数列{a n }的前n 项和S n .