平行四边形个性化辅导讲义
平行四边形及其性质讲义讲义
学习必备 欢迎下载辅导讲义平行四边形及其性质1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用.教学内容，基础知识(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示：平行四边形用符号“来表示.如图，在四边形ABCD 中，AB // DC , AD // BC ,那么四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形ABCD 记作“Q ABCD ，读作 平行四边形ABCD .① ••• AB//DC ,AD//BC ，二四边形ABCD 是平行四边形(判定)； ② •••四边形ABCD 是平行四边形••• AB//DC ， AD//BC (性质).注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边， 邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角(3)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为 补角.(4)、平行四边形的对边相等、对角相等证明结论:重点、难点2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算2.教学目标2、能综合考点及考试要求平行四边形性质，有关的论证和计算A已知：如图口ABCD ,求证：AB = CD , CB = AD , / B = / D, / BAD =/ BCD .分析：作口ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ ABC和^CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论.（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.）证明：连接AC,AB // CD, AD // BC ,/ 1 = / 3,/ 2=/4.又AC = CA ,△ ABC CDA (ASA ).AB = CD, CB = AD , / B = / D .又 / 1 + / 4=/ 2+/3,/ BAD = / BCD .由此得到:平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.平行四边形性质2 平行四边形的对角相等.五、例习题分析例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF, 求证：AF=CE .分析：要证AF=CE，需证△ ADF◎△ CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有/ D= / B ,AD=BC , AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF .由“边角边” 可得出所需要的结论.证明:六、随堂练习1. 填空:在口ABCD 中，/ A=50。
人教初中数学八下 18.1.1 平行四边形的性质课件5 【经典初中数学课件汇编】
(3) y= 4x2＋5x－7 (4) S = Лr2
巩固练习
• 填空：
• 1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数
• n（个）与单价 a（元）的关系式为
n 50 a
。
• 其中的变量是 n、a ，常量是 50
。
• 2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，
• 则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是 y=4n 。 其中的变量是 y、n 。常量是 4 。
转化思想：
四边形 问题
转化
三角形 问题
性质1：平行四边形的对边平行
E
H
且相等。
性质2：平行四边形的对角相等。
邻角互补。
平行四边形是中心对称图形
F
G
思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢
例 题
教 在 ABCD中,已知∠A=52 ° ，求其余 学 三个角的度数。
解:
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
１
(1小题）
(2小题）
19.1.1 变量与函数
人教实验版
行星在宇宙中的位置随时间而变化
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
问题一
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程 为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
60 120 180 240 300 说说你是如何得到的：路程 = 速度×时间
52°
且∠A=52°（已知)
B
C
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等） 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
高中物理一对一个性化辅导方案
高中物理学生个性化辅导方案辅导课目高中物理高中物理 总课时数 52课时*2 教学内容教学内容 教学时数教学时数直线运动直线运动 1描述运动的物理量，匀变速直线运动规律及应用2.运动图像及应用，自由落体，抛体运动3.追击及相遇问题追击及相遇问题4.实验研究匀变速直线运动实验研究匀变速直线运动5课时*2 相互作用相互作用 1. 力，重力，弹力，摩擦力力，重力，弹力，摩擦力2. 力的合成与分解力的合成与分解3. 共点力作用下的物体的平衡共点力作用下的物体的平衡4. 实验与单元综合（平行四边形法则）5课时*2 牛顿定律牛顿定律 1. 牛顿三定律牛顿三定律2. 力学单位制及定律应用力学单位制及定律应用3. 超重，失重及连接体问题超重，失重及连接体问题4. 实验及单元综合（牛顿运动定律）实验及单元综合（牛顿运动定律）5课时*2 曲线运动、万有引力万有引力 1. 曲线运动，质点在平面内运动曲线运动，质点在平面内运动2. 抛体运动规律及应用抛体运动规律及应用3. 描述圆周运动的物理量及匀速圆周运动4.匀速圆周运动动力学问题及实例分析 5. 万有引力定律及应用，人造卫星，宇航6. 实验及单元综合（平抛运动规律）实验及单元综合（平抛运动规律）8课时*2 功和能功和能 1. 功，功率，机车启动问题功，功率，机车启动问题2. 动能及动能定律及应用动能及动能定律及应用3. 势能，机械能守恒及应用势能，机械能守恒及应用4. 功能关系，能量守恒，实验，功与速度变化关系及单元综合单元综合5课时*2 静电场静电场 1. 电荷，库仑定律，电场强度，电场线2. 电场能得性质电容器，静电现象电场能得性质电容器，静电现象3. 带点粒子在电场中的运动及单元综合4课时*2 恒定电流恒定电流 1. 电动势，欧姆定律，串并电路，焦耳定律2.电阻定律及闭合电路的欧姆定律电阻定律及闭合电路的欧姆定律 3. 多用电表，逻辑电路及测电池的电动势，内阻4课时*2 磁场磁场 1. 磁现象，磁场，磁场对通电导体的作用2. 磁场对运动电荷的作用，带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动4课时*2 电磁感应电磁感应 1. 电磁感应现象，楞次定律电磁感应现象，楞次定律2.法拉第电磁感应定律及应用法拉第电磁感应定律及应用 3. 自感，互感，涡流自感，互感，涡流4课时*2 交变电流交变电流 1. 交变电流产生及描述，交变电流产生及描述，电感，电容对交变电流的影电感，电容对交变电流的影2课时*2响2. 变压器，电能输送变压器，电能输送气体性质气体性质 1分子热运动，分子的估算，气体内能等2热力学定律，理想气体状态方程及应用 2课时*2机械能和光机械能和光 1机械振动，机械波机械振动，机械波 2光的折射，光的全反射，光的衍射，干射等22课时*2 动量及原子核 1原子模型，光电效应，原子跃迁原子模型，光电效应，原子跃迁2动量守恒，能量守恒及综合应用动量守恒，能量守恒及综合应用 2课时*2。
(完整版)平行四边形专题讲义
平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。
三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。
2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。
3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。
4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。
四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。
2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。
（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。
（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。
【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。
九年级上册第一章特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定一、教学目标1、掌握菱形的定义和性质2、学会判定菱形3、平行四边形和菱形的区别和联系 二、教学重点与难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握2、利用菱形的性质综合解决问题 三、教学过程知识点1菱形的定义 创设情景，引入课题。
1、上图的衣架中有你熟悉的图形吗？ 这种平行四边形特殊在哪里？我们称它们为菱形，你能给菱形下一个定义吗？定义： 叫做菱形。
知识点2菱形的性质菱形性质：1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等；3． 每条对角线平分一组对角；4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
5. 菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=21ab ．（a 、b 是两条对角线的长度）例1、如图，已知菱形的周长为16cm ，∠ABC=120°，求对角线AC 和BD 的长。
例2、菱形的面积为24cm 2，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为____cm ，边长为 cm ，高为_____cm 。
练习：1、菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长是_____，面积是______。
2、菱形的一条对角线与一条边相等，则这个菱形相邻两个内角的度数分别为 .3、菱形两条对角线长分别是16cm 和12cm ，则它的边长是________4、菱形ABCD 的周长是28cm,∠BAD=21∠ABC ，则BD=_________,AC=_______5、菱形两对角线之比为3:4，周长为40cm ，则该菱形的面积是________ ，高为________ 6.如图，在菱形ABCD 中，对角线BD=10，E 点在BD 上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于 ．知识点3.菱形的判定根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 例3. 下列说法正确的是（ ） A ．对角线相等的平行四边形是菱形 B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C ．对角线相互垂直的四边形是菱形 D ．有一个角是直角的平行四边形是菱形例4.如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是______________．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ，试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由。
人教版四年级数学上册《平行四边形的认识》评课稿
–掌握平行四边形的定义；
–了解平行四边形的性质；
–学会用判定方法判断四边形是否为平行四边形。
三、教学方法与手段
3.课前导入：通过提问和复习巩固学生对平行线的概念理解，为后续学习打好基础。
4.演示与讲解：教师以清晰的语言和简单的图示，向学生介绍平行四边形的定义，并详细解释其性质和判定方法。
五、教学过程与设计
9.导入（5分钟）：
–引导学生回忆并复习平行线的概念和性质。
10.新知呈现（10分钟）：
–教师通过示意图和简单的语言，向学生介绍平行四边形的概念和定义，引导学生初步理解平行四边形的特征。
11.讲解与剖析（15分钟）：
–教师详细讲解平行四边形的性质，如四边形对角线的相交性质、对边互补性质等，并与实际图形相结合进行分析和解释。
15.加强综合能力训练：在课后或课外，设计一些综合性题目，将平行四边形与其他知识点相结合，提升学生综合运用数学知识的能力。
16.温故知新：在后续的教学中，适量复习和回顾平行四边形的知识点，以确保学生对该概念的掌握程度和记忆效果。
八、教学效果反馈
待课后对学生进行课后作业和测试，以评估他们对平行四边形的掌握程度和学习效果。根据学生的实际情况，及时调整教学方法和内容，以提高教学效果和学生的学习成绩。
–解释平行四边形的判定方法，如对边平行定理和同位角定理，通过具体例子让学生理解其应用方法。
12.练习与巩固（25分钟）：
–设计一系列练习题，让学生运用所学知识判断图形是否为平行四边形。可以包括选择题、填空题和解答题，逐渐提高题目的难度，巩固学生的学习成果。
13.总结与展望（5分钟）：
–教师对本节课的学习内容进行总结，并展望下节课的教学内容，引发学生对数学的兴趣和思考。
北师大版九年级上册数学学案-第一章 特殊平行四边形-复习讲义-无答案
平行四边形、矩形、菱形、正方形复习总结【知识要点】【典型例题】一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形正方形图 形定 义两组对边分别平行的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质① 边：对边平行且相等 ② 角：对角相等，邻角 互补 ③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角 ②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有 ①边：四条边相等 ②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形） ①边：四条边相等 ②角：四个角是直角 ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判 定边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形 对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四边都相等的四边形是菱形 对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤有一个角是直角的菱形是正方形 ⑥对角线相等的菱形是正方形面积S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)S=ab(a 为一边长，b 为另一边长) ①S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)；②(b 、c 为两条对角线的长)①(a 为边长)；②(b 为对角线长)对称 性中心对称图形，对称中线是两条对角线的交点既是中心对称图形（两条对角线的交点是对称中心），又是轴对称图形 有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线四边中线连线平行四边形（任何四边形四边中点的连线都是一个平行四边形）菱形 矩形 正方形例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
平行四边形教案(精选14篇)
平行四边形教案（精选14篇）八年级数学教案：《平行四边形》篇一一、教学目标：1.运用生活实例和实践操作认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征。
2.学会用不同方法制作一个平行四边形，通过猜想验证发现平行四边形的特征。
3.在解决实际问题中感受图形与生活的联系，培养学生空间观念和动手实践能力。
教学重点：在制作中发现平行四边形的基本特征。
教学难点：引导学生发现平行四边形的特征。
二、教学过程：(一)创设情境，设疑激趣1.师：同学们每天都要经过校门进入校园，但是你们注意观察我们的校门了吗？从图片中你们能找到一些平面图形吗？生：能师：是什么平面图形，谁能上来指一指。
生：平行四边形根据回答：教师板书：平行四边形（二）引导探究，自主建构师：同学们再看，这里面有没有平行四边形？（出示扩缩尺、升降机图片）生：谁能上来指一指？师：那同学们想一下什么样的图形是平行四边形呢？请看大屏幕(大屏幕出示平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)师：谁能找一下这句话里最重要的几个词，并解释一下？生：四边形师：什么样的图形是四边形？生：由四条边围成的图形师：还有哪几个词？生：两组对边分别平行师：你能上来一边用手指着一边给大家解释一下这句话吗？生：能师：除了两组对边分别平行，两组对边的长度有什么关系呢？拿出刚刚发给你的平行四边形，量一量四条边的长度，你发现了什么？生：两组对边相等师：平行四边形的两组对边平行且相等，那么平行四边形的对角有什么特点呢？继续拿出发给你的平行四边形，把两组对角像老师这样折一折，你发现了什么？生：两组对角相等师：刚才同学们说的都非常好，现在带着你的理解在研究单的方格纸上画一个平行四边形生画图，师巡视指导。
研究单在下面的方格纸上画一个平行四边形师：（选几个学生画的平行四边形粘到黑板上）孩子们，画好了吗？生：画好了师：画好了，请看黑板，思考老师这样一个问题：为什么同学们画的平行四边形都不一样大呢？随意生怎么说，只要表达出底和高的意思就行师：介绍平行四边形的底和高注：这个平行四边形的高学生画注：老师画第二种情况师：请同学们继续拿出研究单，完成研究二。
(完整版)经典特殊的平行四边形讲义+家教专用
学科教师指导讲义教课内容一、知识回首矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线相互垂直，而且每条对角线均分一组对角．③拥有平行四边形全部性质．2．菱形的判断：①对角线相互垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形拥有平行四边形的全部性质．4．矩形的判断：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角．6．正方形的判断：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线相互垂直的矩形是正方形．课前练习 : 1 ．已知平行四边形ABCD的周长是28cm， CD-AD=2cm，那么 AB=______cm， BC=______cm．2．菱形的两条对角线分别是6cm， 8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____3．在菱形ABCD中，∠ ADC=120°，则 BD： AC等于 ________4．已知正方形的边长为a，则正方形内随意一点到四边的距离之和为_____．5．矩形 ABCD 被两条对角线分红的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm，则矩形ABCD 的周长是6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，能够拼出不一样形状的四边形，请写出此中两个不一样的四边形的名称：．7．如图，有一张面积为 1 的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，ＭＡＤ将 C 点折叠至 MN 上，落在 P 点的地点，折痕为BQ，连接PQ，则PQＱ8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD AD1，B60o，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴， P 为 MN 上一点，那么PC PD 的最小值为ＢＮＣ．9．如图， OBCD是边长为 1 的正方形，∠ BOx=60°，则点 C 的坐标为 ________10．如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向挪动到正方形 A B C D 的地点，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形挪动的距离AA 是A MDD DA A C CB CNB B第 3题图二、例题解说D CO矩形A B例 1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使 C 落在 C’处， BC’边交 AD 于 E， AD=4 ， CD=2（ 1）求 AE 的长（ 2）△ BED 的面积C’A E DB C 稳固练习：1．如图，矩形ABCD中， AD=9， AB=3，将其折叠，使其点 D 与点 B 重合，折痕为EF求 DE和 EF的长。
特殊平行四边形 数学 学科教师辅导讲义
特殊平行四边形数学学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3课题特殊平行四边形教学目的教学内容一、【中考要求】掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，掌握矩形、菱形、正方形的性质，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
二、【三年中考】1．(2008·台州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为()A．16a B．12a C．8a D．4a解析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，又OE平分AB，∴AB＝2OE＝2a，∴菱形ABCD 的周长为8a. 答案：C2．(2009·杭州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°解析：过F作FN∥AB，交PE于点N，则FN⊥EP且FN平分EP，∴FE＝FP，∴∠FEP ＝∠FPE，∴∠FPC＝∠FEB＝55°. 答案：D3．(2010·舟山)如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6解析：设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3. 答案：A 4．(2008·温州)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于________．解析：菱形ABCD中，AB＝AD，又∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD ＝8，∴菱形ABCD的周长是32. 答案：325．(2010·丽水)如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点．在①AE＝CF，②BE∥DF，③∠1＝∠2中，请选择其中一个条件，证明BE＝DF.(1)你选择的条件是________；(只需填写序号)(2)证明．解：(解法一)(1)选__①__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵AE＝CF，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.(解法二)(1)选__②__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AD∥BC.又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴BE＝DF.(解法三)(1)选__③__；(2)证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵∠1＝∠2，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.6．(2008·湖州)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.(1)求证：△BDE≌△CDF.(2)请连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．证明：(1)∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.(2)四边形BECF是平行四边形．由△BDE≌△CDF，得ED＝FD.∵BD＝CD，∴四边形BECF是平行四边形三、【考点知识梳理】（一）矩形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点．3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形．（二）菱形的定义、性质和判定1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（三）正方形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．温馨提示：1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质；2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。
平行四边形的性质说课稿-PPT精选文档
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学 们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 学生充分思考后，老师抽生说理分析。
设计意图：让学生从自己熟悉的生活背景中发现数学、 掌握数学和运用数学，从而体验数学与周围世界的联系。
G
设计意图：让学生熟悉平行四边形的性 质，加强图形语言和几何语言训练。
2、教学例题：已知
ABCD中，
(1)若AB＝８，周长＝24，求其余三边的长 引导学生分析思路： （1）要求三边的长→ 平行四边形对边相等→只求两相邻边→ AB＝８ 只求另一边→周长＝24问题可解。 教师板书解答格式： 解（1）： 在 ABCD中， AB＝CD=8， AD＝BC （平行四边形的对边相等） ∵AB+BC+CD+DA=24， ∴ 2AB+2BC=24. 即：AB+BC=1 ∴BC=4 即CD＝8, AD＝BC＝４.
设计意图：让学生通过阅读自学，认 识平行四边形的文字定义，让学生对平行 四边形有一个初步的认识。
2、教师强调并板书平行四边形的定义 （1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边 形叫做平行四边形。 （2）记作: ABCD （3）读作：平行四边形ABCD 设计意图：教师规范展示平行四边形的文字定义、 读法和符号表示，强化学生对平行四边形概念的认 识。
D O C
设计意图：培养学生几何语言表达能力，推理能力。
四、知识应用，提高能力（约18分钟）
1、活动4：结合图形学生快速抢答 如图：在 EFGH中，对角线EG、 FH相交于点O，则EF= ， FG= ,EO= ，FO= , 若∠FEH=60°，则∠EFG= ， ∠FGH= ，∠EHG= E F
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华东师大版八年级数学(上册) 第16章 第一节
《平行四边形性质》说课稿（通用5篇）
《平行四边形性质》说课稿（通用5篇）《平行四边形性质》说课稿1我的说课内容是《平行四边形的性质》一教学背景分析（一）教材的地位和作用1、平行四边形的性质是学习和掌握了《图形的平移与旋转》、《中心对称和中心对称图形》的基础上编排的。
平行四边形作为中心对称图形的一个典型范例，对它性质的研究有利于加深对中心对称图形的认识。
而用中心对称作为工具，借助图形的旋转变化来研究平行四边形性质，有助于培养学生以动态观点处理静止图形的意识和能力，为以后论证几何的学习打好基础。
且为下节学习四边形的识别提供了良好的认知基础。
2、教学内容的选择和处理本节课所选教学内容是教材中四条性质及例题。
为了遵循学生认知规律的循序渐进性，探究问题的完整性，培养学生的学习能力，发展智力。
我采取把平行四边形所有性质集中在一课时中一起研究。
（二）学情分析学生在小学阶段已对平行四边形有了初步、直观的认识，为平行四边形性质的研究提供了一定的认知基础。
八年级学生正处在试验几何向论证几何的过渡阶段，对于严密的推理论证，从知识结构和知识能力上都有所欠缺。
而利用动手操作来实现探究活动，对学生较适宜，而且有一定吸引力，可进一步调动学生强烈的求知欲。
二教学目标1、知识与技能使学生掌握平行四边形的四条性质，并能运用这些性质进行简单计算。
2、过程与方法让学生体会通过操作，观察，猜想，验证获得数学知识的方法。
注意发展学生的分析，归纳能力，提升数学思维品质。
3、情感态度与价值观注意学生独立探究及合作交流的结合，促进自主学习和合作精神。
三重点，难点1、重点：理解并掌握平行四边形的性质。
2、难点：通过探究得到平行四边形的性质。
四教学方法和教学手段1、教学方法采用引导发现和直观演示相结合的方法，并运用多媒体辅助开展教学。
2、教学手段教学中鼓励学生自主地进行观察、试验、猜测、推理的数学活动，体验平行四边形是中心对称图形，并得出平行四边形性质，使学生在整个过程中形成对数学知识的理解和有效的学习策略。
智慧课堂下小学高年级学生空间观念的培养——以《平行四边形的面积》为例
智慧课堂下小学高年级学生空间观念的培养——以《平行四边形的面积》为例发布时间：2022-08-05T03:56:05.054Z 来源：《教学与研究》2022年第56卷第6期作者：胡雨婵[导读] 针对小学数学几何教学中实践探究活动形式比较单一、数形结合落实不扎实，学生行为难跟踪，教师对学情分析缺乏数据支撑胡雨婵中山市三乡镇平岚小学 528463【摘要】：针对小学数学几何教学中实践探究活动形式比较单一、数形结合落实不扎实，学生行为难跟踪，教师对学情分析缺乏数据支撑，以及课堂教学较难满足不同层次学生的发展需要等问题，笔者挖掘“一起作业APP、希沃白板5、读书郎智慧课堂”等信息技术工具与平台的使用方法，营造信息技术深度融合的智慧课堂环境，激发学生深度思考的能力，精准高效地培养小学生空间观念。
【关键词】：空间观念信息技术智慧课堂深度思考《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出：要促进信息技术与数学课程融合，合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革。
深度融合信息技术的小学数学几何教学，能让学生几何直观、空间观念、推理意识等核心素养得到更好的发展。
一、互动探究，高效灵动的图形转化在常规几何教学中，教师对学生“几何直观”“空间观念”“推理能力”等学科核心素养发展水平的了解更多的取决于经验判断，缺乏科学的数据支撑。
而小学数学课堂上几何教学的探究活动又时常存在课堂组织不易、教师备课繁琐、研究样本不足，不具备一般性等多种教学现象。
导致小学数学几何教学课堂总是看似热闹，实则难点突破捉襟见肘，更缺乏深度思考。
针对这些问题，笔者调整教学策略，在本节课的合作探究中，使用读书郎智慧课堂推送“互动探究”活动，深度融合线上线下教学资源，让学生在多种的操作实践中不断感悟“转化”的数学思想，让信息技术记录学生学习轨迹，辅助老师调整教学。
1、信息技术工具、平台的使用使用工具：读书郎平板、希沃一体机。
八年级数学下册课后补习班辅导平行四边形讲学案苏科版
八年级数学下册课后补习班辅导平行四边形讲学案苏科版【本讲教育信息】一、教学内容：平行四边形[目标]1、以中心对称为主线，研究平行四边形及其性质2、探索四边形是平行四边形的条件的过程3、运用中心对称的性质得三角形全等二、重点、难点：1、探索四边形是平行四边形的条件，分两个层次：通过操作和合情推理发现结论；说明理由。
2、平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活运用。
三、知识要点：1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形注意：①四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。
因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质②比较两种特殊的四边形③把点B 关于O点的对称点记为点D，就得到下图中四边形ABCD。
这个图形中的ΔCDA可以看成是ΔABC绕点O旋转180得到的。
因此，四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示，如图就是平行四边形ABCD ，记作“ABCD3、平行四边形的性质①平行四边形对边相等。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD=BC推论：夹在两条平行线间的平行线段相等注意：必须有两个平行，即夹两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不可，如下图中的几种情况都不可以推出EF=GH②平行四边形的对角相等。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD③平行四边形的对角线互相平分。
因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD总结：平行四边形的性质：①关于边的：对边平行；对边相等②关于角的：对角相等；邻角互补4、平行四边形的判定判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判定4：两组对边分别相等的四边形是平行四边形5、平行四边形相关应用（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题如：求有关角的度数、线段的长度、说明角相等或互补、说明线段相等等（2）判别四边形是平行四边形（3）综合运用平行四边形的性质和判别四边形是平行四边形的条件：①先判别四边形是平行四边形，再运用平行四边形的性质解决某些问题②先运用平行四边形的性质得出一些结论，再运用这些性质判别四边形是平行四边形注意：平行四边形的性质与判别四边形是平行四边形的条件这两者的区别，防止混淆。
八年级数学上册一对一培优讲义(平行四边形)
八年级数学一对一个性化辅导教案学生学校年级次数第次科目数学教师日期时段课题平行四边形教学重点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学难点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学目标1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、对学生上节课的错题回顾讲解2、回顾上节课的知识点3、对本堂课要讲的教学内容进行说明二、教学内容1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解3、教学辅助练习（或探究训练）4、知识总结5、知识的延伸和拓展布置作业：课后作业（详见讲义）管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结本堂课通过对平行四边形及相关的方法讲解，使学生对这些内容掌握更好。
学生签字：日期：年月日平行四边形要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF，求证：∠AEC＝∠AFC．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，求AB，BC的长及ABCD的面积．举一反三：【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求该平行四边形的面积.类型四、三角形的中位线4、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【巩固练习】1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．2 C．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．37. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．cm．8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，ABCD的面积为____29．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13. 已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.。
著名机构初中数学培优讲义特殊的平行四边形.第07讲(B级).教师版
知识点 基本要求 略高要求较高要求菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 正方形 会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质及判定解决简单问题会用正方形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．知识点睛中考要求特殊的平行四边形中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．6．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：① 边的性质：对边平行，四条边都相等．② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形7．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．板块一、菱形的性质及判定【例1】如图，在菱形ABCD中，60A∠=︒，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF=，则菱形ABCD 的边长是______．【解析】省略【答案】4E FD BCA例题精讲【例2】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【解析】省略【答案】连接BD 、AF 、EB∵菱形ABCD 中BD AC ⊥，EF AC ⊥，∴BD ∥EF ∵AD ∥FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ED FB = ∵AE ED =，∴AE FB =又∵AE FB ∥，∴四边形AFBE 是平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分【例3】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【解析】∵AE AB = ∴B AEB ∠=∠同理D AFD ∠=∠ ∵四边形ABCD 是菱形∴AD BC B D BAD C ∠=∠∠=∠∥，，，∴AEB AFD ∠=∠∵B D ∠=∠ ∴BAE DAF ∠=∠∵DE EF AF ==，∴AEF △是等边三角形，∴60EAF ∠=︒ 设BAE x ∠=，则602BAD x ∠=︒+∵180ABE ABE BAE ∠+∠+∠=︒，∴902x ABE ∠=︒- ∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=︒，∴906021802xx ︒-+︒+=︒ ∴20x =︒ ∴602100C BAD x ∠=∠=︒+=︒【答案】100︒【例4】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．【答案】18︒ABCDEF【例5】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【解析】省略【答案】∵EF 垂直平分AC ，∴,EF AC AO CO ⊥=.∴90AOE COF ∠=∠=o . 又∵ABCD 平行四边形， ∴EAO FCO ∠=∠. ∴AOE ∆≌COF ∆. ∴OE OF =.∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF ⊥可知，四边形AECF 是菱形.【例6】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分EPFDCB A【解析】省略【答案】连结BD AF EB ，，，因为菱形ABCD 中BD AC ⊥，又因为EF AC ⊥，所以BD EF ∥，因为AD FC ∥，所以四边形BDEF 是平行四边形，可得ED FB =，因为AE ED =，所以AE FB =，从而AE FB ∥，AE FB =，因此四边形AFBE 是平行四边形，所以AB 与EF 互相平分A BCDFPE【例7】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【解析】省略【答案】∵CH AB ⊥，∴90HAF AFH ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒∵AD 平分CAB ∠，∴CAD HAF ∠=∠，∴AFH CDF ∠=∠ ∵AFH CFD ∠=∠，∴CDF CFD ∠=∠，∴CF CD = ∵AD 平分CAB ∠，DC AC ⊥，DE AB ⊥ ∴CD DE =，∴CF DE = 又∵CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CF ∥DE ，故四边形ABCD 是平行四边形 ∵CD DE =，∴四边形ABCD 是菱形【例8】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．G F E DCBA【解析】省略 【答案】当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒ ∴30BAE ∠=︒∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB =∴12EF AB =∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．【例9】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．板块二、与菱形相关的几何综合题【例10】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABDE【解析】省略【答案】⑴∵PM AC EF AB ∥，∥∴四边形AEPM 为平行四边形 ∵AB AC =，AD 平分CAB ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD BC BAD EPA ⊥∠=∠， ∴CAD EPA ∠=∠ ∵EA EP =∴四边形AEPM 为菱形⑵当P 为EF 中点时，12EFBM AEPM S S =四边形菱形∵四边形AEPM 为菱形，∴AD EM ⊥∵AD BC ⊥ ∴EM BC ∥ 又EF AB ∥ ∴四边形EFBM 为平行四边形板块三、中位线与平行四边形【例11】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【解析】连接PN ,NQ ,MQ ,PM ．证明PNQM 为菱形． 【答案】见解析【例12】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠CDEFG BA【解析】省略【答案】连结BD ，取BD 中点P ，连结PE PF ，，由条件易得PE PF ，分别是BDC DBA ∆∆，的中位线，所以PE DC PF BA ∥，∥，且1122PE DC PF BA ==，，因为AB CD =，所以PE PF =，所以PEF PFE ∠=∠，由PE DC ∥可得：PEF CHE ∠=∠，同理可得PFE BGE ∠=∠，所以BGE CHE ∠=∠PABG H FDC【例13】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【解析】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN = 再由三角形中位线可得MN BC ∥．【答案】见解析【例14】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【解析】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===.QEP NMD CBA【答案】见解析板块四、正方形的性质及判定【例15】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【解析】省略 【答案】12【例16】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = OFE DC BA【解析】省略 【答案】5【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【解析】省略【答案】设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE == 所以，在直角BEG ∆中， 30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以 1315∠=∠=︒．从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠，DE DF =．【例18】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【解析】省略【答案】⑴∵四边形ABCD 是正方形，ABCDEF E 'G∴BC CD =，90BCD ∠=︒． ∵180BCD DCE ∠+∠=︒， ∴90BCD DCE ∠=∠=︒． 又∵CG CE =，∴BCG DCE ∆∆≌． ⑵∵DCE ∆绕D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆， ∴CE AE '=． ∵CE CG =， ∴CG AE '=．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE DG '∥，AB CD =． ∴AB AE CD CG '-==， 即BE DG '=．∴四边形DE BG '是平行四边形．【例19】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【解析】省略【答案】MN BM DN =+，延长CD 至'M ，使'M D BM =，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒【例20】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDFBA【解析】省略【答案】当且仅当GHD ∆为直角三角形时，GD 的中线AH AD =．由已知证明GHD ∆为直角三角形并不困难．因为ABCD 为正方形，所以AB BC =．由于EF AC ∥，所以AE FC =．又AG AD DC ==，90GAE DCF ∠=∠=︒所以AGE DCF ∆≌． 从而G CDF ∠=∠．因为CD GA ⊥，所以FD GE ⊥（即GH ），90DHG ∠=︒．故DHG ∆为直角三角形，且AH 为斜边DG 的中线，从而12AH GD AD ===正方形的边长．【例21】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【解析】省略【答案】当P 运动到BC 中点时，四边形PFME 为正方形∵AMB △是等腰直角三角形 ∴45ABM ∠=︒又∵90ABC ∠=︒∴45PBF ABC ABM ∠=∠-∠=︒ 同理可得：45PCE ∠=︒ ∴45PBF PCE ∠=∠=︒ ∴90BMC ∠=︒ ∴四边形FMEP 为矩形在PBF △和PCE △中，90PBF PCE BFP CEP PB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴PBF PCE △≌△ ∴PF PE =∴四边形PEMF 为正方形．【例22】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【解析】省略【答案】⑴ 证明：在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥∴BAD DAC ∠=∠∵AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线 ∴MAE CAE ∠=∠∴1180902DAE DAC CAE ∠=∠+∠=⨯︒=︒ 又∵AD BC ⊥，CE AN ⊥ ∴90ADC CEA ∠=∠=︒ ∴四边形ADCE 为矩形． ⑵ 例如，当12AD BC =时，四边形ADCE 是正方形 证明：∵AB AC =，AD BC ⊥于D∴12DC BC =又12AD BC =，DC AD =由⑴四边形ADCE 为矩形 ∴矩形ADCE 是正方形．【习题1】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A 【答案】A【习题2】如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【解析】省略【答案】∵EF 是BD 的中垂线∴BE DE BF DF ==，，∴DBE BDE ∠=∠ ∵EBD DBF ∠=∠∴DBF EDB ∠=∠，所以BC DE ∥ 同理AB DF ∥所以四边形BEDF 是菱形【习题3】四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得12EF AR =与点P 无关． 课后作业【答案】C【习题4】如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形F OG E DC BA【解析】省略【答案】连结DE ，由等腰梯形对角线相等，且60AOD ∠=︒，可证AOD ∆是等边三角形，因为E 是OA 中点，所以DE AC ⊥，在Rt DCE ∆中，G 是DC 中点，所以12EG DC =，同理可证12FG DC =，因为E F ，分别是OA OB ，的中点，所以12EF AB =，因为AB DC =，所以EG FG EF ==，即EFG ∆是等边三角形A BC DEG O F【习题5】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．G FEDC BA【解析】省略【答案】3【习题6】如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA【解析】100︒【习题7】如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【解析】连结PC ，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒ 【答案】45︒。
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平行四边形
一、选择题
1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 ．
G
F
E
D
C
B
A
1题图 2题图 3题图
2、如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④
3、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，
BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
4、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12
D ．
15
4题图 5题图 6题图
5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB CD =
B ．AD B
C = C ．AB BC =
D ．AC BD =
6、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确．．．
的是 A .S △ADF =2S △EBF B .BF=
2
1
DF C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ∠AEC=∠ADC 7、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②A B C D =；③//BC AD ；④B C A D =．从
这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）
（A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种
8、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能
构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 9、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.
A
B C
D
A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；
B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
10、如图2，在□ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝10cm ，BD ＝6cm ，则AD 的长为( )
A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．
8cm
二、填空题
1．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝14，BD ＝8，AB ＝10，则△OAB 的周长为_______．
2．如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．
1题图 2题图 3题图
3、如图2，四边形ABCD 中，AB//CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则可添加的条件
为 .（填一个即可）.
4、如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是 ．（只要填一个）
4题图 5题图 6题图
5、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=130°，在AD 上取DE=DC ， 则∠ECB 的度数是 .
6、如图，在ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等 于 ㎝.
7过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB =4，AE =6，则DF 的长是 .
8、如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10，F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，且
的面积
的面积
则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= ，BF=
.
D
B
C
A
A
B E
F
D C
F
A E B
C
D
4
3
2
1图3
F E
D C
B
A 8题图 9题图
9、如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=14，BD=8，AB=x ，那么x 的取值范围是
10 如图4，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、
B 2、
C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个.
三、解答题
1、已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中， 点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ． 求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．
A D
C
B
M
N
2、如图所示，已知□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。
3、已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD•相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB 、
CD 相交于点E 、F ，又知G 、H 分别为OA 、OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．
(3)
(2)
(1)
C 3B 3
A 3
A 2
C 1B 1
A 1
C
B
A
C 2
B 2
B 2
C 2
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A 2
C 1
B 1
A 1
C
B
A
…
4、已知：如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD•的延长线于点E，F，求证：AE=CF．
5、已知：如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形，
（1）求证：四边形ADEF•是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？。