运筹学研究的特点
管理运筹学教案
本章总结（10分钟）
本章思考题
1什么是资源的影子价格,同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
主要
参考资料
1、韩伯棠.管理运筹学。高等教育出版社P43-p49
备注
教案
第10次课（2学时）
章节
第三章整数规划（1）
教学目的
和要求
1掌握一般整数规划问题概念及模型结构;
2．有人提出，求解整数规划时可先不考虑变量的整数约束,而求解其相应的线性规划问题，然后对求解结果中为非整数的变量凑整。试问这种方法是否可行,为什么?
主要
参考资料
1、韩伯棠.管理运筹学。高等教育出版社P70-p72
备注
教案
第11次课（2学时)
章节
第四章整数规划(2）
教学目的
和要求
1掌握分枝定界法原理
重点
主要
参考资料
熊伟编著.运筹学（第二版）。P11—16
备注
1、学生交作业；
2、复习与预习
3、写出下面几个问题的初始基可行解
教案
第5次课( 2学时)
章节
第一章线性规划（4)
教学目的
和要求
1要能熟练准确地用单纯形表求解线性规划问题。
2能准确地根据单纯形表中的检验数判别所解问题的解的类型；
重点
难点
重点:用单纯形表求解线性规划问题。
本章思考题
1、什么是单纯形法计算的两阶段法，为什么要将计算分两个阶段进行，以及如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需继续进行.
2、简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
3、举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述.
运筹学研究的特点
运筹学研究的特点运筹学是研究如何有效地进行决策和优化资源分配的学科。
它的研究对象包括了生产、运输、库存、供应链、网络、金融等各个领域的问题。
运筹学的特点如下：1. 综合性：运筹学是一门综合性学科，它涉及到数学、计算机科学、经济学、管理学等多个学科的知识。
在解决实际问题时，运筹学需要综合运用各种方法和工具，以找到最优解决方案。
2. 数学建模：运筹学的核心是建立数学模型来描述和分析实际问题。
通过数学模型，可以将实际问题抽象成数学形式，并用数学语言来描述问题的约束条件和目标函数。
数学建模是运筹学研究的基础，也是解决实际问题的关键。
3. 最优化：运筹学的目标是寻找最优解决方案。
最优化是运筹学的核心概念，它要求在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的解。
最优化方法是运筹学研究的重要工具，它包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法。
4. 模拟与优化相结合：在实际问题中，往往存在着不确定性和随机性因素。
为了应对这些问题，运筹学常常使用模拟方法。
模拟是通过构建模型来模拟实际系统的运行过程，从而对系统的性能进行评估和优化。
模拟与优化相结合，可以更加全面地分析和解决实际问题。
5. 多学科交叉应用：运筹学的研究涉及到多个学科的知识和方法。
在实际问题中，需要与其他学科进行交叉应用，例如与工程学、物流学、金融学等学科相结合，以解决复杂的实际问题。
多学科交叉应用使得运筹学具有广泛的应用领域和研究对象。
运筹学是一门综合性的学科，它以数学建模和最优化为核心，运用模拟和多学科交叉应用的方法，旨在解决各个领域的实际问题。
它的研究特点使得它在实践中具有重要的应用价值，能够帮助人们更加有效地进行决策和资源优化。
运筹学的研究不仅可以提高生产效率和资源利用率，还可以优化供应链、降低成本、提高服务质量，对于提升企业竞争力和社会效益具有重要意义。
因此，运筹学的研究具有重要的理论和实践价值。
运筹学研究的特点
运筹学研究的特点运筹学是一门研究如何高效地做出决策和优化资源配置的学科，它的核心目标是通过运用数学、统计学和计算机科学的方法，解决现实生活中的各种问题。
运筹学研究的特点主要体现在以下几个方面。
1. 数学建模：运筹学强调问题的形式化表达和数学建模。
将实际问题抽象为数学模型，利用数学语言和数学方法对问题进行描述和分析，从而使问题可计算、可优化。
通过建立数学模型，运筹学可以将复杂的实际问题简化为数学问题，从而提供了解决问题的方法和工具。
2. 多学科交叉：运筹学是一门综合性学科，涉及数学、统计学、计算机科学、经济学、管理学等多个学科的知识和方法。
它不仅借鉴了各个学科的理论和方法，还将这些理论和方法进行整合和应用，以解决实际问题。
因此，运筹学的研究需要具备跨学科的综合能力。
3. 优化决策：运筹学的核心是优化问题的研究。
优化是指在给定的约束条件下，寻找最优解或最优决策。
运筹学通过建立数学模型，利用数学方法和计算机算法，找到问题的最优解或接近最优解的解决方案。
优化问题是运筹学研究的重点和难点，也是运筹学在实际应用中发挥作用的核心。
4. 系统分析：运筹学注重对问题的系统分析。
它不仅考虑问题的局部优化，还关注问题的整体效益。
通过系统分析，可以深入理解问题的本质和内在联系，找到问题的关键因素和影响因素，从而制定合理的解决方案。
系统分析能够帮助运筹学研究者从宏观和整体的角度把握问题，提高问题解决的效果。
5. 实践应用：运筹学是一门应用性很强的学科，其研究成果主要应用于现实生活中的各种问题。
运筹学可以应用于生产调度、物流配送、资源优化、供应链管理、市场营销等领域，为企业和组织提供决策支持和优化方案。
运筹学的研究成果可以直接应用于实际问题，对提高效率、降低成本、优化资源配置等方面有重要意义。
运筹学研究的特点包括数学建模、多学科交叉、优化决策、系统分析和实践应用。
这些特点使运筹学成为一门重要的学科，为解决实际问题提供了理论和方法支持，对提高决策效果和资源利用效率有重要意义。
对运筹学的认识1000字
对运筹学的认识1000字一、运筹学的定义与性质运筹学是一门应用科学，它通过数学方法对管理、经济和社会活动中经常遇到的问题进行定量化分析和求解，为决策者提供最优方案。
运筹学的主要特点是以系统观点为指导，采用数学方法对各种系统进行建模和优化，以实现整体最优的效果。
运筹学涉及到数学、计算机科学、工程等多个学科领域，其应用范围非常广泛，如物流运输、生产计划、资源分配、决策分析等。
二、运筹学的主要分支运筹学包括许多分支学科，其中比较常见的有线性规划、整数规划、动态规划、图论、网络优化等。
这些分支学科各有其特点和适用范围，可以根据具体问题选择相应的运筹学方法进行求解。
例如，线性规划是一种常见的优化方法，通过线性不等式约束和目标函数来求解最优解；整数规划则要求所有变量都是整数，适用于一些离散问题；动态规划则是将复杂问题分解为若干个相互联系的子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
三、运筹学在现实生活中的应用运筹学在现实生活中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 物流运输：物流运输是运筹学的一个重要应用领域。
例如，通过线性规划或整数规划的方法对运输路径进行优化，降低运输成本；或者通过模拟和预测技术来提高运输效率和可靠性。
2. 生产计划：在生产制造过程中，需要合理安排生产计划以提高生产效率、降低生产成本。
运筹学可以用来建模和优化生产流程，包括原材料采购、加工、配送等一系列环节。
3. 资源分配：资源分配问题是运筹学中常见的一类问题，如人员调度、物资分配等。
通过建立数学模型和优化算法，可以找到最优的资源分配方案，提高资源利用效率。
4. 决策分析：运筹学可以为决策者提供科学的决策依据和方法。
例如，通过风险评估和概率分析等方法来制定最优的决策方案，提高决策的科学性和准确性。
四、运筹学的发展前景与挑战随着科技的不断发展和社会需求的日益多样化，运筹学的发展前景非常广阔。
一方面，新的算法和数学工具不断涌现，为解决更复杂的问题提供了更多的可能；另一方面，大数据、人工智能等新技术的应用也为运筹学提供了新的应用场景和挑战。
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
运筹学知识点要求
运筹学知识点要求运筹学知识点要求第一部分结论1、运筹学的特点（1）以最优性或合理性为核心。
（2）以数量化、模型化为基本方法。
（3）具有强烈的系统性、交叉性特征。
（4）以计算机为重要的技术支持。
2、运筹学模型求解方法：知道迭代算法的原理步骤。
3、运筹学模型（1）运筹学模型：使用较多的是符号或数学模型，大多数为优化模型。
（2）模型的一般结构（3）模型的三大要素决策变量、目标函数及优化方向、约束条件。
（4）了解模型的分类4、建立优化模型解决实际问题（1）要求能对较简单的实际问题建立优化模型。
主要涉及：一般线性规划模型，整数（特别是0－1规划）规划模型。
5、了解运筹学运用领域。
第二部分线性规划1、线性规划模型的几种表示形式及特点2、线性规划模型的标准形式及如何标准化3、线性规划问题各种解的概念及关系（关系图示）（可行解、非可行解、基本解、基本可行解、最优解，基本可行解的个数小于等于）4、线性问题有关解的基本定理（主要是概念理解）（1）不一定都有最优解（2）若有，一定会在基本可行解上达到（3）基本可行解的个数有限小于等于（4）并非所有最优解都是基本可行解（5）了解凸集与凸组合的概念，理解两个最优解的凸组合都是最优解。
（6）可行解为基本可行解的充要条件5、线性规划单纯形法（1）制作初始单纯表（注意非基变量检验系数的求法，特别注意求有待定系数时的检验系数）（2）各种解的判别条件，对于最大化目标函数问题，包括：唯一最优解：有最优解无穷多最优解存在一个k 有：（或称之为线性规划问题存在可择最优解）无界解，存在k 有：（3）线性规划问题求解结果中解的情况有最优解（唯一最优解、无穷多最优解），无界解，无可行解（4）基变换中入基变量的确定A 、入基变量的必要条件（）B 、最速上升准则的理解，不是使目标函数改进最大，而是使目标函数改进速度最大。
m nC m nC 0<j σ0≤j σ0≤j σ0=j σ0,0'≤>k k p 且σ0≥j σ（5）最小比值确定出基变量的目的：保证基变换后新的基本解是可行的。
运筹学概述
天津外国语大学国际商学院本科生课程论文课程名称：运筹学论文题目：运筹学概述姓名：卢楠学号：1307144036专业：财务管理年级：2013级班级：13711任课教师：张琼2016 年 3月内容摘要运筹学是20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科，它主要研究如何应用数学和计算的理论与方法对社会系统和工程系统做出最优或满意的决策。
本文概述了运筹学的研究对象、特点、定义、主要内容和方法，简述了运筹学的发展历程以及运筹学的应用，展望了运筹学未来发展的方向。
关键词：运筹学；概述目录一、引言 (1)二、运筹学的发展 (1)三、运筹学的研究对象、定义和特点 (2)（一）运筹学定义 (2)（二）运筹学研究对象 (3)（三）运筹学特点 (3)四、运筹学的主要内容和研究方法 (3)五、运筹学的应用 (3)六、结语 (4)参考文献： (5)运筹学概述一、引言运筹学是20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科。
它主要研究人类对各种资源的运用及筹划活动，以期通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律，发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标。
从问题的形成开始，到构造模型、提出解案、进行检验、建立控制，直至付诸实施为止的所有环节构成了运筹学研究的全过程。
运筹学研究对象的客观普遍性，以及强调研究过程完整性的重要特点，决定了运筹学应用的广泛性，它的应用范围遍及工农业生产、经济管理、工程技术、国防安全、自然科学等各个方面和领域。
二、运筹学的发展朴素的运筹思想在中国古代历史发展中源远流长。
公元前6世纪的著作《孙子兵法》是我国古代军事运筹思想最早的典籍，研究如何筹划兵力以争取全局胜利。
同一时期，我国创造的轮作制、间作制与绿肥制等先进的耕作技术暗含了现代运筹学中二阶段决策问题的雏形。
总之，统筹、多阶段决策、多目标优化、合理运输、选址问题、都市规划、资源综合利用等运筹思想方法屡见不鲜，但很少有人从数学的角度将这些运筹思想和方法进行提升。
运筹学研究的特点
运筹学研究的特点运筹学是一门研究如何优化决策和资源分配的学科，它的研究特点主要体现在以下几个方面。
1. 多学科交叉。
运筹学是一门综合性的学科，它涉及数学、统计学、经济学、工程学等多个学科的知识。
运筹学的研究内容往往需要利用数学模型来描述问题，然后运用数学方法进行求解。
同时，运筹学还需要考虑现实问题的经济性和可行性，因此需要借助经济学和工程学的理论和方法。
这种多学科交叉的特点使得运筹学的研究内容更加丰富多样。
2. 理论与实践相结合。
运筹学不仅关注理论研究，还强调实践应用。
在运筹学的研究中，理论和实践是相辅相成的。
理论研究提供了运筹学的基本原理和方法，而实践应用则验证和完善了这些理论。
运筹学的研究成果不仅用于解决实际问题，还可以为决策者提供决策支持。
3. 数学模型的建立和求解。
运筹学的研究需要建立适当的数学模型来描述问题，并运用数学方法进行求解。
数学模型是对问题的抽象和简化，它可以将复杂的现实问题转化为数学问题，从而利用数学方法进行求解。
运筹学的研究方法主要包括线性规划、整数规划、网络优化、动态规划等。
这些方法可以帮助决策者在有限的资源条件下做出最优的决策。
4. 面向实际问题。
运筹学的研究是面向实际问题的，它关注如何在有限的资源条件下做出最优的决策。
这些实际问题涉及到生产调度、物流配送、资源配置、项目管理等方面。
通过运筹学的研究，可以优化生产过程，提高资源利用效率，降低成本，增加利润。
5. 系统性和整体性。
运筹学的研究是系统性和整体性的，它考虑问题的各个方面之间的相互关系和影响。
在运筹学的研究中，需要综合考虑各种约束条件和目标函数，使得问题的各个方面达到一个平衡和最优的状态。
这种系统性和整体性的特点使得运筹学的研究更加全面和深入。
运筹学的研究特点主要体现在多学科交叉、理论与实践相结合、数学模型的建立和求解、面向实际问题以及系统性和整体性等方面。
这些特点使得运筹学成为一门重要的学科，为解决实际问题提供了有效的方法和工具。
运筹学研究的特点
运筹学研究的特点运筹学是一门研究如何做出最优决策的学科，它综合了数学、统计学、经济学和工程学等多个学科的理论和方法。
运筹学研究的特点主要体现在以下几个方面。
1. 多学科交叉：运筹学是一门多学科交叉的学科，它将数学、统计学、经济学、工程学等多个学科的理论和方法应用于实际问题的决策分析和优化。
运筹学的研究内容广泛，涉及到生产、物流、供应链、交通、金融等各个领域。
2. 数学建模：运筹学的核心是建立数学模型来描述实际问题，并通过求解模型来得到最优解。
数学建模是运筹学研究的重要方法，它将实际问题抽象成数学问题，通过数学模型来描述问题的各个要素和约束条件，然后利用数学方法求解模型，得出最优解或近似最优解。
3. 最优化：运筹学的目标是寻求最优解决方案，即在满足一定约束条件的前提下，使得某种指标达到最优。
最优化是运筹学研究的核心内容，它包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等多种方法。
最优化方法可以帮助决策者在复杂的环境中做出最佳决策，提高效率和效益。
4. 决策分析：运筹学研究的重要内容之一是决策分析。
决策分析是指在不确定条件下，通过分析决策的风险和效益，选择最优决策方案。
决策分析方法包括决策树、风险分析、模拟等，它们可以帮助决策者在面对不确定性和风险时，做出明智的决策。
5. 系统优化：运筹学的另一个特点是系统优化。
系统优化是指在考虑多个因素和多个目标的情况下，通过优化方法找到最优解决方案。
系统优化方法可以综合考虑多个指标和约束条件，帮助决策者在复杂的环境中做出全局最优的决策。
总的来说，运筹学研究的特点是多学科交叉、数学建模、最优化、决策分析和系统优化。
运筹学的研究方法和技术可以帮助决策者在复杂的环境中做出最佳决策，提高效率和效益。
运筹学的研究成果广泛应用于生产、物流、供应链、交通、金融等各个领域，对推动经济社会发展起到了重要作用。
运筹学课程教学大纲
教学基本文件模板课程教学大纲：《运筹学》课程教学大纲课程编号：课程名称：运筹学/Operational Research课程总学时/学分：72/4 （其中理论60学时，实验12学时）适用专业：适用本科四年制信息管理与信息系统专业一、课程简介本课程的授课对象是信息管理与信息系统专业本科生，属管理类专业专业基础必修课。
《运筹学》是以定量分析为主来研究经济管理问题，将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。
本课程的主要内容包括线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、动态规划、网络分析等与经济、管理和工程领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。
运用科学的模型化方法来描述、求解和分析问题，从而支持决策。
二、教学目的和任务本课程旨在使同学们正确、全面地掌握各级管理工作中已被广泛应用、发展比较成熟的最优化理论与方法，并能运用所学理论和方法解决管理工作中出现的各种优化问题，为后续课程奠定定量分析基础。
在已学过高等数学、微积分、线性代数等课程基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、上机等教学环节达到上述目的。
学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。
注重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤的掌握，了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。
应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，运用计算机工具求解这三方面训练的有机结合。
三、教学基本要求信息管理与信息系统专业的学生应系统地学习《运筹学》的全部内容。
系统掌握线性规划、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析的理论和方法；能借助Excel、Lingo等电子计算手段，运用所学理论和方法解决实际问题。
通过该课程的学习，进一步培养学生的分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与学时分配绪论（2学时）第一节运筹学的定义与发展简史1、运筹学名称的来历；2、运筹学的发展简史。
谈谈对运筹学的理解
谈谈对运筹学的理解
运筹学是一门应用科学，主要运用数学和逻辑方法，研究各种系统的优化和改进，为决策者提供科学依据和决策支持。
运筹学的主要目标是通过对特定系统的研究和优化，提高系统的效率和效益，实现系统的最佳目标。
运筹学的主要特点是强调应用和实践，它涉及的领域非常广泛，包括工业、交通、军事、金融、医疗等各个领域。
运筹学的研究对象是各种系统，包括自然系统、社会系统、经济系统、工程系统等，通过对这些系统的研究，可以找到更好的解决方案，提高系统的效率和效益。
运筹学的主要研究内容包括以下几个方面：
1. 数学建模：通过对特定系统的观察和分析，建立数学模型，用数学方法描述系统的性能和行为，预测系统的未来发展趋势和趋势。
2. 优化算法：通过研究各种优化算法，寻找更好的解决方案，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
3. 数据分析：通过对数据的分析和处理，提取有价值的信息和知识，为决策提供支持。
4. 仿真模拟：通过对系统的仿真模拟，研究系统的性能和行为，验证方案的可行性和有效性。
5. 决策分析：通过对决策问题的分析和研究，提供科学依据和决策支持，包括风险分析、决策树等。
运筹学在现代化管理和决策中具有重要的作用，它可以提供科学的决策方法和工具，帮助企业和管理者做出更明智的决策。
同时，运筹学也可以促进跨学科的合作和研究，推动科学技术的发展和应用。
然而，运筹学也存在一些挑战和限制，例如数据的可得性和质量、模型的准确性和适用性、优化的复杂性和可解释性等问题。
因此，在实际应用中需要谨慎使用运筹学的方法和技术，同时需要不断发展和完善运筹学的理论和方法，以更好地适应实际需求和挑战。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
运筹学概论
Max Z CB B b (CN CB B N ) X N ( LP) X B B 1b B 1 NX N S .T . XB, X N 0
1 1
单纯形法的矩阵描述 最优基判别定理 设B是(LP)的一个基,若基B满足: (1) B-1b0 (2) CN－CBB-1N 0 则B是(LP)的最优基. 检验数 可证明：CN－CBB-1N 0等价于C－CBB-1A 0
运筹学模型
运筹学研究的模型主要是抽象模型——数学模型。数学模型
的基本特点是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等）来描述 被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环境等）。
模型的分类 模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关 系、系统结构。 形象模型：如地球仪 模拟模型：如用温度计模拟温度的改变。 数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。 V=F(xi,yj,uk) G(xi,yj,uk)≥0
则 A=(B,N)，X＝(XB,XN)T，C＝(CB,CN)
目标函数 约束条件
XB Z CX (C B , C N ) X N XB AX ( B, N ) X N
1
1
CB X B C N X N
X B B b B NX N
BX B NX N b
解：将此问题列成图表如下：
桌子 4 木工 （小时） 2 油漆工 椅子 3 1 总工时 （小时） 120 50
50 价格 （元/个）
30
数学模型
max Z=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1,x2 0 线性规划数学模型三要素： 决策变量、约束条件、目标函数
运筹学概述
2.多学科的配合
一个企业的有效管理涉及很多方面，运筹学研究中吸收了来自不同领域、具 有不同经验和技能的专家。由于专家们来自不同的学科领域，具有不同的经历经 验 ,因此增强了集体提出问题和解决问题的能力。这种多学科的协调配合在研究 的初期、在分析和确定问题的主要方面、在选定和探索解决问题的途径时，显得 尤其重要。
（1）运筹学的概念 运筹学( Operations Research )是一门新兴的应用学科。由于它所研究的对象极其 广泛，所以有着许多不同的定义。
英国《运筹学》杂志认为：“运筹学是运用科学方法(特别是数学方法)来解决那 些在工业、商业、政府和国防部门中有关人力、机器、物质、金钱等大型系统的 指挥和管理方面出现的问题的科学，目的是帮助管理者科学地决定其策略和行 动。”
(2)五规划。在一定约束条件下寻求某种目标最大或最小的方法就是规划方法要解 决的问题，包括线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划与动态规划。一个 典型的应用就是企业在一定资源限制下寻求利润最大或成本最小。
(3)五论。在决策过程中，首先要考虑的就是竞争对手的情况，这就需要应用对 策论方法；企业必须维持一定的原料或产品的库存量以满足需求，同时为控制成 本又必须压低库存，这就是库存论要解决的问题：而图论是用图形来描述问题， 图形是由一些点以及一些点之间的连线表示，可用于解决运输设计、信息系统的 设计以及工程时间表的设计；有时也需要解决各种服务系统在排队等待现象中的 概率特性，这就需要排队论，而非常重要的产品、工程的可靠性问题就需要可靠 性模型和决策论来解决。
美国运筹学会(1976年)的定义是:“运筹学是研究用科学方法来决定在资源不充分 的情况下如何最好地设计人机系统，并使之最好地运行的一门学科。”这从侧面 描写了运筹学的特点。 《联邦德国科学辞典》（1978年)上的定义是:“运筹学是从事决策模型的数学解 法的一门科学。”
运筹学(第5版)
变量或剩余变量构造。
迭代过程
02
通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过
程。
最优性检验
03
判断当前基可行解是否是最优解的方法，通常通过比较目标函
数值或检验数进行。
线性规划问题的应用
01
生产计划
确定各种产品的生产 数量，以最大化利润 或最小化成本。
02
资源分配
将有限的资源分配给 不同的项目或任务， 以最大化效益或最小 化浪费。
06
存储论
Chapter
存储论的基本概念
包括固定成本（如租金、设备折 旧等）和变动成本（如保管费、 保险费等）。
根据需求和成本等因素制定的存 储计划和管理方法。
存储 存储成本 缺货成本 存储策略
将物品或资源保存在某个地方， 以备将来使用或销售。
由于存储不足而导致的生产中断 、销售损失等费用。
确定型存储模型
其他领域
除了以上领域，运筹学还在医 疗、教育、环境等领域得到了 广泛应用。
02
线性规划
Chapter
线性规划问题的数学模型
01
02
03
目标函数
表示决策者希望达到的目 标，通常是最大化或最小 化某个线性函数。
约束条件
表示决策变量必须满足的 限制条件，通常是一组线 性不等式或等式。
决策变量
表示决策者可以控制的变 量，通常是连续的或离散 的。
线性规划问题的图解法
可行域
满足所有约束条件的决策 变量的集合，通常表示为 一个多边形区域。
目标函数等值线
表示目标函数值相等的点 的集合，通常是一组平行 线。
最优解
使目标函数达到最优值的 决策变量的取值，通常位 于可行域的某个顶点上。
运筹学(绪论)
五、运筹学在经济管理中应用的主要课题
• 6、人事管理：对人员的需求和使用的预测、 确定人员编制、人力资源开发、人员的合 理利用、人才评价体系、工资标准等。 • 7、设备维修与更新 • 8、可靠性分析 • 9、质量控制 • 10、项目选择、评估 • 11、城市公用事业和服务 • 12、工程优化设计与管理等
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四、运筹学在管理科学中的地位
• 管理科学的学科构架 • 2、技术方法部分： 决策方法、决策支持系统、计划与规划 技术、库存控制、技术经济、预测技术、 管理信息系统、管理系统工程、目标管 理、质量管理与保证、管理数学方法、 项目评估和可行性研究、价值工程、预 算与成本控制、时间-动作研究等。
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一、运筹学的发展及展望
• 2、运筹学的展望 • 1）运筹学发展过程中面临的一些问题： 抽象化风气日盛、大范围问题、高维问 题、体系厐杂等。 • 2）运筹学发展展望 • 运筹学应该在三个方面都应有所发展： 运筹学的学科体系、运筹学的应用及运 筹学的数学理论。
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二、运筹学的学科体系
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三、运筹学的定义与研究特点
• • 运筹学（Operational Research) 直译为 “运作研究”
运筹学是运用科学的方法（如分析、 试验、量化等）来决定如何最佳地运营和 设计各种系统的一门学科。运筹学对经济 管理系统中的人力、物力、财力等资源进 行统筹安排，为决策者提供有依据的最优 方案，以实现最有效的管理。 • 运筹学有广泛应用
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德州学院数学科学学院运筹学教案
情况介绍
• • 本课程设置的有关问题 教学要求
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目 录
第一章：绪论 第二章：线性规划 第三章：整数线性规划
运筹学
A.最优表中存在常数项为零
B.最优表中非基变量检验数全部非零
C.最优表中存在非基变量的检验数为零
D.可行解集合有界
4、线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是 （B ）
A 正数 B 非负数 C 无约束 D 非零的
5，对于线性规划问题，下列说法正确的是（D)
表6-1
试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用何料方案的线性规划模型.(仅建模不计算)
解设 为第j种饲料的需要量,依题意,则有
s.t.
.某昼夜服务的公交线路每天各时间区段所需司机和乘务人员数如表
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时要上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员，列出这个问题的线性规划模型.
②.特点：考虑系统的整体优化、多学科的配合以及模型方法的应用。
2、运筹学研究的步骤1)分析与表述问题
2)建立模型
3)对问题的求解
4)对模型和由模型导出的解进行检验
5)建立起对解的有效控制
6)方案的实施
3. 什么是运筹学
运筹学是运用数学模型、统计方法和代数理论的数量研究方法与技术为决策提供支持的一门新兴学科。
15、下列说法错误的是（C）
A．标准型的目标函数是求最大值 B．标准型的目标的变量一定要非负
16、当所有的检验数为何值时，对应的基可行解为最优解。（A）
A.检验数小于或等于零
B.检验数大于零
C.检验数小于零
D.检验数大于或等于零
1.线性规划问题图解法的步骤？
2、初始方案的给定最常用的方法是最小元素法和伏格尔法。
3、最优性检验与方案的调整的基本方法是闭回路法和位势法。
运筹学整理
运筹学知识点整理1、运筹学研究的基本特点及步骤?基本特点：多学科交叉、模型化（定量）、最优化 运筹学的工作步骤：1、提出与表达问题。
2、建立模型。
3、求解。
4、解的检验。
5、解的分析。
6、解的实施。
2、线性规划问题的特点?• 目标明确：要解决的问题的目标可以用数值 指标反映。
Z=ƒ(x1 … xn ) 线性式，求Z 极大或极小• 多种方案：对于要实现的目标有多种方案可 选择 • 资源有限：有影响决策的若干约束条件•线性关系：约束条件及目标函数均保持线性关系3、线性规划的数学模型共同特征及标准形式?（1）共同特征：决策变量：向量决策人要考虑和控制的因素非负约束条件：线性等式或不等式目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z 极大或极小 （2）标准形式 A 一般型其中bi >=0 (i=1,2,…,m) B 矩阵型C 向量型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a x c x c x c Z Max4、线性规划问题解的概念：可行解、最优解、基本解、基本可行解?（1）可行解：满足约束条件的变量值（2）最优解：使目标函数取得最优值的可行解（3）基本解：对应于基B，X=为AX=b的一个解。
（4）基本可行解：基B，基本解X=若，称基B为可行基。
5、线性规划问题解的性质？A、课本上（几何意义）（1）凸集（2）凸组合（3）极点B、PPT上（1）若(LP)问题有可行解，则可行解集(可行域)是凸集(可能有界，也可能无界) 。
（2）基本可行解的个数是有限的，对应于极点的个数是有限的。
（3）(LP)问题的基本可行解可行域的极点。
（4）若(LP)问题有最优解，必可以在基本可行解(极点)达到。
6、图解法及线性规划解结果的几种形式?PPT2-3有解：唯一最优解、无穷多解；无解：无有限最优解、无可行解7、单纯形算法的基本思想，单纯形的计算步骤，如何在单纯形表中去判断问题具有唯一的最优解、无穷多最优解、无界解？根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解(顶点)开始，转换到另一个基本可行解(顶点)，并使得每次的转换，目标函数值均有所改善，最终达到最大值时就得到最优解。
运筹学是一应用数学和形式科学的跨领域研究
运筹学是一应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。
而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。
因此运筹学与应用数学,工业工程,计算机科学,等专业密切相关。
运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。
当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。
运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。
运筹学的特点是：1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2.运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。
对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。
运筹学的研究方法有：1.从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模型，因而可寻求一个跟决策者的目标有关的解；2.探索求解的结构并导出系统的求解过程；3.从可行方案中寻求系统的最优解法。
运筹学正朝着3个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学。
现代运筹学面临的新对象是经济、技术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统，因此必须注意大系统、注意与系统分析相结合，与未来学相结合，引入一些非数学的方法和理论，采用软系统的思考方法。
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运筹学
班级信息0901 姓名王伟伟学号200901010108
1、运筹学研究的特点？
答；运筹学的研究方法有：1.从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模型，因而可寻求一个跟决策者的目标有关的解；2.探索求解的结构并导出系统的求解过程；3.从可行方案中寻求系统的最优解法。
特点是：1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2.运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。
对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。
2、运筹学解决问题的过程？
答：应用运筹学处理问题的步骤可以概括如下：
①提出和形成问题。
提出需要解决的问题，确定目标；分析问题所处的环境和约束条件。
②建立模型。
把问题中的决策变量、参数与目标函数和约束条件之间的关系用一定的模型表示出来。
模型是研究者经过研究后用文字、图表、符号、关系式以及实体模样描述所认识到的客观对象，成功的模型对问题的解决有关键作用。
③最优化。
确定与模型有关的各种参数，选择求解方法，求出最优解。
④解的评价。
通过灵敏度分析等方法，对所求解进行分析和评价，并据此提出修正方案。
⑤决策。
向决策者提出决策所需的数据、信息和方案，帮助决策者决定处理问题的方案。
运筹学正朝着3个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学。
现代运筹学面临的新对象是经济、技术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统，因此必须注意大系统、注意与系统分析相结合，与未来学相结合，引入一些非数学的方法和理论，采用软系统的思考方法。
3、运筹学就你自己所知的分支并举例说明分支在哪些方面的应用？
答：运筹学是一门多分支的应用学科，随着新的系统问题的不断出现，运筹学的有关分支也在不断的发展，内容在不断充实和扩大。
其主要分支有：规划理论（线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、目标规划），图与网络理论，排队论，存储论，决策论，对策论，冲突分析，搜索论，可靠性理论，计划协调技术，图解协调啊技术等。
货物运输排班优化：
举例：
某港口拖车公司，自己购买了约100部大型集装箱拖车，每天公司大约有500个不同的运输订单需要完成，而其运输订单又会包括：A、进口货物运输，B、出口货物运输
其拖车作业分为很多段：拖头去拉相应的车架，之后去码头拉空箱（或重箱）；将箱运至客户处，拆箱（或装箱）；将空箱或（重箱）运输至目的地；
资源是有限的（拖头，车架），这些成为约束条件，次要的约束条件包括：码头的作业时间，船期，司机的工作时间，司机的营业额的平衡系数，等等；
在未采用运筹学进行优化调度作业之前，其拖头的利用效率（每天实际作业时间与可利用作业时间的对比为35％，单车的营业额约为3.5万元/月；）
而采用了优化调度系统之后，其车头的利用效率提升了100％，单车的营业额可以上升至5.2万元/月；
100台拖车规模的公司，采用优化调度系统之后，大概只需要3－6个月就可以收回IT方面
的投资。
电脑自动调度，减少调度人员数名，并且各个司机的营业额差别都不是很大，司机的满意度也大大提高；
在优化排班方面，国际上有一个非常权威的优化引擎产品，ILOG，它可以说是运筹学的精髓。
航空公司的飞机排班，也会利用到运筹学的理论；另外，机票的折扣价格确定，也可以用到运筹学。
还有，货物的装载优化方案，采用运筹学理论之后，装载的效率一般都可以提高10％－15％。
在管理方面的应用
经济管理是运筹学的源头，运筹学也对经济管理的进行起着很重要的作用，并且这种作用越来越明显。
本文通过浅析运筹学在管理中的应用，介绍运筹学与经济管理源头的关系、运筹学的应用在管理中所涉及的方面以及相关实际案例，说明运筹学在管理中不可或缺的作用，说明学习运筹学的必要性。
运筹学在管理领域的应用涉及到以下几方面：
1、生产计划。
使用运筹学方法从总体上确定适应需求的生产。
贮存和劳动力安排等计划，以谋求最大的利润或最小的成本。
主要用线性规划、整数规划以及模拟方法来解决此类问题。
此外还有运筹学在生产作业计划、Et程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。
2、库存管理。
存贮论应用于多种物资库存量的管理，确定某些设备的合理的能力或容量以及适当的库存方式和库存量。
3、运输问题。
用运筹学中运输问题的方法，可以确定最小成本的运输的线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。
4、人事管理。
可以用运筹学方法对人员的需求和获得情况进行预测；确定适合需要的人员编制；用指派问题对人员合理分配；用层次分析法等方法来确定一个人才评价体系等。
5、市场营销。
可把运筹学方法用于广告预算和媒介的选择，竞争性的定价、新产品的开发、销售计划的指定等方面。
6、财务和会计。
使用较多的运筹学方法为：统计分析、数学规划、决策分析等。
另外，运筹学还成功地应用于设备维修、更新和可靠性、项目的选择与评价；工程优化设计；信息系统的设计与管理以及各种城市紧急服务系统的设计与管理上。
实例分析
（1）运筹学在财务管理中的应用
运筹学如何应用到财务管理中去，通过剖析相关经济案例，可以得到相应模式，具体叙述有以下三点：
§1 用网络法，缩短投资回收期
从财务管理上看，时间就是金钱，时间就是效益。
中外财务管理和经济学等方面的著作，在论述时间价值这个问题时，无不写到；“即使在没有风险和通货膨胀的情况下，今天一元钱的价值大于一年后一元钱的价值．”时间价值定义为：“货币持有者推迟了当前的消费，而将货币投入流通，从而在一定时期内所带来的报酬。
”货币的时间价值与投资的时间长度和收益率成正比。
企业在投资建设高低压成套电器设备生产线时，科学地应用网络法，取得明显效果。
在网络圈中，用破圈法技术很快能找出关键路线，从而全力以赴解决之，加速生产线竣工投产，使投资回收期大为缩短。
同理，企业财务管理中的各项投资均可照此办理。
结果会使整个企业的投资回收期缩短，有利于生产建设。
§2 用决策树法，降低产品成本
企业的产品成本，历来被许多企业家乃至企业每个员工所重视，因为它是一笔十分可观的数
字。
因此如何降低产品成本，把有限的财力用于刀刃上，是每个员工必须认真思考的大问题。
每当有多种可供选择方案的时候，采取哪一种方案费用最低，如何迅速决策呢？类似这样的问题采用决策树法，能行之有效解决问题。
按照问题面临的自然状态出现的概率无法知道，抑或可以通过调研统计得到，常用决策方法划分为不确定性决策方法与风险决策方法。
不确定性决策方法(自然状态出现的概率不知道) 其常用方法有：大中取大法或乐观法，小中取大法或保守法，最小后悔值原则等方法。
§3 用概率分析法，预测期望利润
企业为了正确地进行产品决策和总体规划，必须对每一种产品的获得利润的能力及其发展前景进行科学的预测，并尽可能获得最大利润，为企业赢得最佳效益。
采用何种方法呢?用概率分析法，就可以预测最大期望利润。
概率分析法，首先，对产品可能出现的每种售价、单位变动成本和固定成本的概率分别做出估计；其次，对其可能出现的各种组合分别计算联合概率；最后，预测出最大期望利润。
（2）运筹学在生产中解决人力资源配置的应用
以人数稍微多些的天津中油渤星工程科技股份有限公司固井车间为例，在生产量大，粉体料、液体料都需要生产的情况下，车间需24小时连续工作，假设所需的工人数和班次时间如表所示：
工人分别在各时间段开始工作，并连续工作8小时，由于时间段不同，工作量和所需的工人数也不同，白天需要的多些，晚上少些。
那么如何安排工人既能满足工作需要，又可使工人的数量最少呢？运用运筹学的方法来解决：
设Xi为第i班次时开始上班的工人数，这样在第i班次上班的工人数应该包括第i-1班次上班的人数。
要求六个班次上班的工人数最少，可建立模型：
Min F(x) =X1+X2+X3+X4+X5+X6
约束条件：X1+X2≥9
X2+X3≥8
X3+X4≥6
X4+X5≥4
X5+X6≥5
X6+X1≥6
Xl+X2+X3+X4+X5+X6≥0
可以求得此问题的最优解：每个班次需要的最少人数为
X1=5，X2=4，X3=6，X4=0，X5=4，X6=l
最少需要工人数是20人。
也就是说没有紧急情况发生20个人轮流工作就可以完成24小时生产任务。
可以看出利用运筹学方法可以使人力资源得到最优配置，既减少人工成本又减少管理成本。