排列组合之计数原理
计数原理与排列组合
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素 不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)
排列组合常见的九种方法
复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在n 1m 第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不2m n n m 同的方法，那么完成这件事共有：12nN m m m =+++L 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做n 1m 第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那2m n n m 么完成这件事共有：12nN m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同522522480A A A =的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 302、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种47A 方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
计数原理与排列、组合(讲解部分)
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
(完整版)基础排列组合部分知识总结
计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。
第3讲 排列组合
第3讲 排列组合1．分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．如图，从甲地到乙地有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？【教师备案】因为我们在必修3的时候讲过计数原理，所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完两个原理之后就可以让学生做例1.【例1】 两个原理⑴一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同． ① 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？③ 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ ⑵乘积()()()a b c d m n x y z ++++++展开后共有多少项？【解析】 ⑴①任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计数原理，共有549+=种．②各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5420⨯=种.③若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，…，9封信等不同情况．但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．由分类计数原理可知，共有94种不同的放法． ⑵由分步计数原理得一共有42324⨯⨯=项．将三封不同的信投入五个信箱里，共有几种投信方法？【解析】 125种3.1课前回顾经典精讲知识点睛丙乙甲乙甲铁路2铁路1公路3公路2公路1【思路】第一封信可投入5个信箱中任一个，故有5种投法；第二、三封信也可随机地投入5个信箱中的任一个，各有5种投法，依乘法原理，共有35555125⨯⨯==种投法．【错因分析】误区：分步，第一个信箱可以不放信，放1封，放2封，放3封，共有4种不同的放法，所以共有54种投信方法．错误原因是对完成一件事的过程认识模糊，且对象选定不准，若第一步三封信都在第一个信箱里，则事件已完成，不需后续几步；若五步都没有放信，则五步全做完，事件还未完成．【备选】 ⑴ 5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？⑵ 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）? 【解析】 ⑴每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有53种；⑵每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有35种．1．排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）【教师备案】在日常生活中我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？ 问题1：3名同学排成一行照相，有多少种排法？方法1（枚举法）把3名同学用A B C ，，作为代号，于是有以下6种排法：ABC ACB BCA BAC CAB CBA ，，，，， 方法2（分步计数）A B C ，，三人排成一行，可以看作将字母A B C ，，顺次排入图中的方格中.首先排第一个位置：从 A B C ，，中任选1个人，有3种方法；其次排第二个位置：从剩下的2个人中任选1人，有2种方法；最后排第三个位置：只有1种方法.根据乘法原理，3名同学排成一行照相，共有3216⨯⨯=种排法.问题2：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 方法1（枚举法）列出每一个起点和终点情况，如图所示：所以一共有12种机票.方法2（分步计数）我们按照始点、终点站的顺序进行排列：第一步：先确定起始站，起始站有4种选择方法；第二步：再确定终点站，对应于起始站的每一种选择，终点站都有3种选择方法.根据乘法原理，共有4312⨯=种机票.问题3：从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一行作为一种信号，能组成多少种信号：知识点睛3.2排列广州天津广州北京解决这个问题可以分三步进行：第一步：先选第1面旗子，有4种选择方法；第二步：在剩下的3种颜色中，再选第2面旗子，有3种选法；第三步：在剩下的2种颜色中，选最后一面旗子，有2种选法.根据乘法原理，共有43224⨯⨯=种选法，而每种选法对应一种信号，故共能组成24种信号在上面讨论的问题中，问题1是从3个不同元素中取出3个元素的排列，问题2是从4个不同元素中取出2个元素的排列问题，问题3是从4个不同元素中取出3个元素的排列问题.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有排列；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有排列. 【解析】 ⑴ab ac ad bc bd cd ，，，，，，ba ca da cb db dc ，，，，，⑵从排列的直观意义可以看出是从⑴中的每个排列加一个e 就可以了，而e 又可以随便放，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，，bae cae dae cbe dbe dce ，，，，，，aeb aec aed bec bed ced ，，，，，，bea cea dea ceb deb dec ，，，，，，eab eac ead ebc ebd ecd ，，，，，，eba eca eda ecb edb edc ，，，，，2．排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n m n +∈N ≤，，个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．3．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n *∈N ，，并且m n ≤．从形式上看排列数A m n 等于从n 开始的m 个数相乘，比如：39A 987=⨯⨯是从9开始的3个数相乘.【教师备案】在讲排列时我们讲了几个排列问题，那么，对于一般的排列问题如何计算所有排列的个数呢？我们把从n 个不同的元素中任意取出()m m n ≤个元素的排列，看成从n 个不同的球中选出m 个球，放第2步：从剩下的1n -个球中选出一个放入第2个盒子，有1n -种选法；第3步：从剩下的2n -个球中选出一个放入第3个盒子，有2n -种选法；第m 步：从剩下的()1n m --个球中选出一个放入第m 个盒子，有()1n m --种选法.根据乘法原理，一共有()()()121n n n n m ----⎡⎤⎣⎦种放法.4．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．()A 121!n n n n n =⨯-⨯⨯⨯= ()!A (1)(2)(1)!m n n n n n n m n m =---+=-． 【教师备案】我们可以对A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+进行变形：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+()()()()()()()()121121!121!n n n n m n m n m n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅--⋅⋅⋅==-⋅--⋅⋅⋅-【教师备案】老师在讲排列时，建议先讲排列问题，什么是排列，让学生从直观上理解排列，多举几个小例子，具体例子见上边排列问题中的教师备案，然后让学生写排列，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的排列之后，那排列数是多少呢？不可能每次做题时都把所有的排列写出来，然后数一下，这时，我们就需要排列数的公式了，所以老师就可以给学生讲解排列数公式，讲完排列数之后，要让学生熟练的运用排列数公式，这时，就可以做例2.学生理解排列并知道排列数如何计算后，就要从直观理解排列，具体见例3.最后讲数字问题，在讲数字问题时，先以【铺垫】为例，给学生讲一个最简单的排数字问题，然后再讲例4，含有0的排数字问题.【例2】 计算排列数⑴计算310A ，66A ，4288A 2A -，548885892A 7A A A +- ⑵求证：11A A A m m m n n n m -+-=． ⑶解方程322A 100A x x =．【解析】 ⑴310A 1098720=⨯⨯=，66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=，4288A 2A 87652871568-=⨯⨯⨯-⨯⨯=，548885892A 7A 28765478765A A 8765432198765+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯8765(87)18765(249)⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯-. ⑵ 解法一：∵1(1)!!A A (1)!()!m mn n n n n m n m ++-=-+--!11()!1n n n m n m +⎛⎫=⋅- ⎪-+-⎝⎭1!!A ()!(1)(1)!m n n m n m m n m n m n m -=⋅=⋅=-+-+-，∴11A A A m m m n n nm -+-=． 解法二：可以从排列的直观意义解释，1A m n +表示从1n +个元素中取m 个元素的排列个数，其中不含某元素1a 的有A m n 个，故含1a 的排列共有1A A m m n n +-种；含有1a 的可这样进行排列：先排1a ，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出1m -个元素排在剩下的1m -个位置，有1A m n -种排法，故含1a 的排法有1A m n m -种.所以11A A A m m m n n nm -+-=． ⑶ 原方程可化为2(21)(22)100(1)x x x x x --=-∵0x ≠且1x ≠，∴2125x -=解得13x =，经检验13x =是原方程的根．【备选】学生刚接触排列，所以对排列数的计算还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25A =_____，⑵46A =____，⑶48A =____，⑷210A =____，⑸410A =____， ⑹332A =____，⑺55A =____，⑻56A =____，⑼88A =_____，⑽4399A A -=____， ⑾32109A A -=____，⑿32545A 4A +=_____，⒀4288A 4A -=____，⒁12344444A A A A +++=_____，⒂1148A A =_____，⒃1299A A =_____，⒄812712A A =_____，⒅7312512122A A A =_____，⒆37107A A 10!=_____，⒇54101054994A A A A -=-____ 【解析】 ⑴25A 5420=⨯=；⑵46A 6543360=⨯⨯⨯=；⑶48A 87651680=⨯⨯⨯=； ⑷210A 10990=⨯=；⑸410A 109875040=⨯⨯⨯=；⑹332A 232112=⨯⨯⨯=； ⑺55A 54321120=⨯⨯⨯⨯=；⑻56A 65432720=⨯⨯⨯⨯=；⑼88A 8765432140320=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=；⑽4399A A 98769872520-=⨯⨯⨯-⨯⨯=； ⑾32109A A 109898648-=⨯⨯-⨯=；⑿32545A 4A 5543443348+=⨯⨯⨯+⨯⨯=；经典精讲⒀4288A 4A 87654871456-=⨯⨯⨯-⨯⨯=；⒁12344444A A A A 443432432164+++=+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=；⒂1148A A 4832=⨯=； ⒃1299A A 998648=⨯⨯=；⒄812712A 121110987655A 1211109876⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒅7312512122A A 212111098765431A 121110987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⒆37107A A 10987654321110!10987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；⒇54101054994A A 410987610987115A A 98765987612-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯.【铺垫】⑴一家有四口人，每年照一张全家福，他们突然想到一件事情，想让每年这四个人的排列方式都不完全相同.比如今年是ABCD ，明年就可以是ABDC .那么这家人的 “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ ⑵这家人掐指一算，发现很快就不能继续拍了，可能过了某年之后，无论怎么排列都会和往 年重复，于是这家人决定要一个小孩，这样又可以多拍几年，那么假设有了一个孩子之后， “全家福”计划最多可以实行多少年呢？ 【解析】 ⑴若一家有4口人，则能得到每张全家福每个人的位置都不相同的照片，因为4个人全排有44A 24=种情况，也就是24年内可以不重复，以后就会出现重复，所以“全家福”计划最多实行24年.⑵5个人全排有55A 120=种情况，所以“全家福”计划最多实行120年.【例3】从直观上理解排列⑴从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少 种不同的种植方法？⑵在某乒乓球团体赛中，有一方派了4名运动员参赛，采取三局两胜制，前两局单打，最后一局双打，每个运动员只出场一次，则有几种出场顺序？【追问】在2012年的伦敦奥运会中，参加乒乓球团体赛的有3个人，每名运动员出场两次，按照五局三胜制，一、二、四、五场单打，第三场双打，并且比赛顺序是：第一场：A ；第二场：B ；第三场：C A +或B ；第四场：A 或B ；第五场：C ；且如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员需要参加后面的单打比赛.现我们派张继科、王皓、马龙出场，则有多少不同的方法排定他们的出场顺序？【解析】 ⑴将4种不同的蔬菜品种看作4个不同的元素，则本题即为从4个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的种植方法共有34A 43224=⨯⨯=种⑵因为前两局是单打，所以从参赛的4名运动员中取2名运动员去打单打比赛，最后两个人打双打比赛就可以了，所以不同的出场顺序共有24A 4312=⨯=种【追问】由比赛规则和比赛顺序我们可以知道三个人分别打了一场单打比赛，所以有33A 6=种出场顺序；又因为第三场的双打有2种情况，它唯一决定了第四场的情况，所以，一共有332A 12⨯=种出场顺序.提高班学案1【拓1】有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【解析】 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种选法，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列，因此，不同送法的种数是35A 54360=⨯⨯=种尖子班学案1【拓2】在2012的韩国足球联赛中共有15支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？【解析】 由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从15个不同元素中任取2个元素的一个排列.因此总共进行的比赛场次是215A 1514210=⨯=目标班学案1【拓3】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有＿＿＿＿种.（用数字作答） 【解析】 36文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有24A 12=种方法.由分步乘法计数原理，共有31236⨯=种选法.【铺垫】用12345，，，，这五个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的五位数？⑵可以组成多少个数字不允许重复的五位数？ ⑶可以组成多少个数字不允许重复的三位数？【解析】 ⑴由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有553125=个；⑵由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有55A 120=个；⑶由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求 三位数共有35A 60=个.【例4】数字问题用0，1，2，3，4，5这六个数字：⑴可以组成多少个数字允许重复的六位数？ ⑵可以组成多少个数字不允许重复的六位数？ ⑶可以组成多少个数字允许重复的五位数？ ⑷可以组成多少个数字不允许重复的五位数？【解析】 ⑴先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有55638880⨯=个.⑵先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字全排就可以了.因此所求六位数共有555A 600=个.⑶先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其它位 置的数字都有6种选法.因此所求五位数共有4566480⨯=个.⑷先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其它位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了.因此所求五位数共有455A 600=个.提高班学案2 【拓1】用01234，，，，五个数字：⑴可组成多少个无重复数字的五位数？⑵可组成多少个无重复数字的五位奇数？【解析】 ⑴ 方法一：考虑特殊位置“万位”，从1234，，，中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为44A ，故共有444A 96⋅=个.方法二：考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有14A 种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为44A 种，故共有1444A A 96⋅=个；⑵ 考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从13，中选一个填入个位有12A 种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有13A 种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为33A ，故共有113233A A A 36⋅⋅=个.尖子班学案2【拓2】 用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴可以组成多少个数字不允许重复的五位数的偶数？⑵可以组成多少个数字不允许重复且能被5整除的五位数？【解析】 ⑴分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是2或4时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有24432192⨯⨯⨯⨯=个，所以可组成的五位偶数有120192312+=个⑵分两类：个位是0时，有5432120⨯⨯⨯=个；个位是5时，由于万位不能为0，所以万位有4种选法；千位有4种选法；百位有3种选法；十位有2种选法，故共有443296⨯⨯⨯=个，所以组成能被5整除的五位数有12096216+=个目标班学案2【拓3】 用0，1，2，3，4，5这六个数字，⑴组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？ ⑵组成没有重复数字的五位数，由小到大排列，21350是第多少个数？【解析】 ⑴由题意可知，组成没有重复数字的五位数共有600个，又∵排成的五位数中十位大于百位的和十位小于百位的数字一样多．∴共有16003002⨯=个⑵ 万位是1的五位数有45A 120=个；万位是2且千位为0的五位数有34A 24=个；万位是2且千位为1百位为0的五位数有23A 6=个；万位是2且千位为1百位为3十位为0或4的五位数有122A 4⨯=个.因此，在21350的前面共有154个数，所以21350是第155个数1．组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．【教师备案】2000年8月，华研国际搭上《电视大国民》举办储备新人的“宇宙2000实力美少女争霸战”，上千名爱唱歌的小女生站上舞台，接着淘汰，最后脱颖而出了三位音域不一、个性迥异的新秀——任家萱()S 、田馥甄()H 和陈嘉桦()E .后来将这三个人组成了一个组合叫SHE ，在每场演唱会上，她们都会边唱边跳，但是无论她们在台上怎么站，这个组合都叫做SHE ，不会叫HES 或者ESH .所以组合与顺序没有关系.【挑战五分钟】写出：⑴从4个元素a b c d ，，，中任取2个元素的所有组合；⑵从5个元素a b c d e ，，，，中任取3个元素且包含e 的所有组合.【解析】 ⑴先画一个示意图知识点睛3.3组合dcbabdc d由此即可写出所有的组合：ab ac ad bc bd cd ，，，，，⑵从组合的直观意义可以看出是从⑴中的每个组合加一个e 就可以了，所以共有：abe ace ade bce bde cde ，，，，，2．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．3．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，*m n ∈N ，，并且m n ≤． n m ()个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.前面我们已经学习了如何计算排列数，下面，我们看一看能否通过排列数计算组合数.先看一个简单情况：从3个元素a b c ，，中任取2个元素的组合有ab ac bc ，，3种情况，再对每一种组合的2个元素进行排列，这样，就可以得到从3个元素中取2个元素的所有排列（如图）.从上面的分析可以看出，“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”这件事，可以分两步进行：第一步：从3个不同元素中取出2个元素，一共有23C 种取法；第二步：把取出的2个元素进行排列，一共有22A 种排法.根据乘法原理，我们得到“从3个不同的元素中选出2个元素进行排列”一共有2232C A ⋅种排法，即222332A C A =⋅.由此我们可以得出：223322A 32C A 2!⨯==.一般地，考虑C m n 与A mn 的关系：把“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素，一共有C m n 种取法； 第二步：把取出的m 个元素进行排列，一共有A m m 种排法.根据乘法原理，我们得到“从n 个不同的元素中选出m ()m n ≤个元素进行排列”一共有C A m m n m ⋅种排法，即A =C A mm m nnm⋅，由此我们可以得出：()()()121A C =A !mm n nm mn n n n m m ---+=，因为()!A !m n n n m =-，所以上面的组合数公式还可以写成：()!C !!m n n m n m =-4．组合数的两个性质：性质1：C C m n m -=；性质2：1C C C m m m -=+．（规定0C 1n =）2个小题进行讲解：性质1：计算“从10个人中选出6人参加比赛”与“从10个人中选出4人不参加比赛”的方法数. 【解析】每次选出6人相当于剩下4人，所以，选出6人参加比赛和选出4人不参加比赛的方法数是一样的.即641010C C =性质2：从10名战士和1名班长这11人中选出5人参加比武，一共有多少种方案？【解析】一方面，从11人中选出5人参加比武，一共有511C 种方案.另一方面，选出的5人可以分为两类：第一类：含有班长，一共有410C 种方案； 第二类：不含班长，一共有510C 种方案. 依据加法原理，一共有451010C +C 种方案. 由此，我们得到545111010C C +C =.【教师备案】老师在讲组合时，建议先讲组合问题，什么是组合，让学生从直观上理解组合，多举几个小例子，具体例子见上边组合问题中的教师备案，然后让学生写组合，这时就可以让学生做【挑战五分钟】了.学生会写所有的组合之后，那组合数又是多少呢？同样也不可能每次做题时都把所有的组合写出来，然后数一下，这时，我们就需要组合数的公式了，所以老师就可以给学生讲解组合数公式，讲完组合数之后，要让学生熟练的运用组合数公式，这时，就可以做例5.学生理解组合并知道组合数如何计算后，就要从直观理解组合，具体见例6.【例5】 计算组合数⑴计算：43107C C ，；239999C C +．⑵解方程：32111C 24C x x +=.【解析】 ⑴41010987C 2104321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，37765C 35321⨯⨯==⨯⨯，23399991001009998C C C 161700321⨯⨯+===⨯⨯ ⑵原方程可化为!(1)!11243!(3)!2!(1)!x x x x +⨯=⨯-- 整理得211105500x x --= 解得10x =或511x =-（不合题意舍去）．经检验10x =是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）【备选】学生刚接触组合，所以对组合数的计算也还不是很熟悉，要求学生加强训练，老师可以从下面的题中挑选几个让学生练练. 计算下列各题：⑴25C =_____，⑵47C =____，⑶58C =____，⑷29C =____，⑸510C =____， ⑹315C =____，⑺235C =____，⑻4850C =____，⑼98100C =_____，⑽4399C C -=____， ⑾32109C C -=____，⑿32545C 4C +=_____，⒀4288C 2C -=____，⒁12344444C C C C +++=_____，⒂1148C C =_____，⒃1299C C =_____，⒄812712C C =_____，⒅7312512122C C C =_____，⒆37107C C 10!=_____，⒇54101053994C C C C -=-____ 【解析】 ⑴25C 10=；⑵47C 35=；⑶58C 56=；⑷29C 36=；⑸510C 252=；⑹315C 455=；⑺235C 595=；⑻4850C 1225=；⑼98100C 4950=；⑽4399C C 42-=；⑾32109C C 84-=；⑿32545C 4C 74+=；⒀4288C 2C 14-=；⒁12344444C C C C 15+++=；⒂1148C C 32=；⒃1299C C 324=；⒄812712C 5C 8=；⒅7312512122C C 15840C =；⒆37107C C 110!30240=；⒇54101053994C C 19C C -=-【铺垫】李代沫在中国好声音的文化测试中，需从5个试题中任意选答3题，问：⑴有几种不同的选题方法？经典精讲⑵若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？【解析】 ⑴所求不同的选题方法数，就是从5个不同元素里取出3个元素的组合数，即35C 10=种⑵因为已有一道题必选，所以只要在另外4道题中选2道，不同的选题方法有24C 6=种【例6】从直观上理解组合⑴现有10名学而思高中数学教师，其中男教师6名，女教师4名 ①现要从中选2名去参加非诚勿扰，有多少种不同的选法？ ②现要从中选出男、女教师各2名去参加，有多少种不同的选法？【追问】假定这一期只有学而思派出去的两位男老师，台上24个女士（其中包括学而思派出去的两个女老师），那么学而思的两位男老师去相亲，最终都成功且相亲对象不是学而思女老师的情况有多少种．⑵甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有＿＿＿＿种.（用数字作答）【解析】 ⑴①从10名教师中选2名去参加非诚勿扰的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即210C 45=种 ②从6名男教师中选2名的选法有26C 种，从4名女教师中选2名的选法有24C ，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法2264C C 90=种 【追问】2221462⨯=． ⑵96甲选2门有24C 6=种选法，乙、丙各有34C 4=种选法，由分步乘法计数原理可知，共有64496⨯⨯=种选法.解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：①捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．②插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．【教师备案】排列组合的一些典型题型在本讲只讲捆绑法和插空法，其它的方法我们放到同步再去讲解，所以老师可以先以【铺垫】为例，讲解捆绑和插空，然后让学生做例7，例7⑴是直接就可以看出捆绑和插空的，例7⑵从表面上看不出来是捆绑还是插空，但是仔细分析一下题就知道是插空.【铺垫】2名女生、4名男生排成一排，问：⑴2名女生相邻的不同排法共有多少种？⑵2名女生不相邻的不同排法共有多少种？【解析】⑴因为2名女生必须相邻，所以可以将2名女生看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一 排，不同的排法有55A 种.又因为2名相邻的女生有22A 种排法，因此不同的排法种数是5252A A 1202240=⨯=3.4排列组合的一些典型题型经典精讲知识点睛11⑵2名女生不相邻的排列可分2步完成：第一步：将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步：排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是4245A A 2420480=⨯=【例7】 捆绑、插空⑴求不同的排法种数：①6男2女排成一排，2女相邻； ②6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性別者相邻； ④4男4女排成一排，同性別者不能相邻．⑵一排有九个座位，将六个人依次坐好，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？2727A A 10080=．②是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排，再在7个空位中排2女，即用插空法解决：6267A A 30240=.③是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442442A A A 1152=.④是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： 441442A A A 1152=.【点评】对于④很多学生会写成4445A A ，但是这种写法是错误的，因为当排完男生（或女生）之后，从5个空选4个空的时候有可能两个端点都选，这样中间就会有男生（或女生）相邻了⑵九个座位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有66A 种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有35C 中不同的“插入”方法.根据乘法原理共有6365A C 7200=种不同的坐法.提高班学案3【拓1】分别求出符合下列要求的不同排法的种数①6人排成一排，甲、乙必须相邻； ②6人排成一排，甲、乙不相邻.【解析】 ①将甲乙“捆绑”成“一个元素”与其他4人一起作全排列共有2525A A 240=种排法②甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有4245A A 480=．尖子班学案3【拓2】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲、乙、丙三人一定相邻 ⑵甲、乙、丙三人不能相邻【解析】 ⑴把甲、乙、丙看成一个整体，有33A 种排法；把其余的四个人和甲、乙、丙看成的整体全排，有55A 种排法，共有3535A A 720=种排法⑵把除去甲、乙、丙的四个人全排，有44A 种排法；因为甲、乙、丙不相邻，所以采用插空法，有35A 种排法，共有4345A A 1440=种排法目标班学案3【拓3】4男3女排成一排，在下列条件下分别有多少种不同的排法⑴甲必须站在中间，且乙与丙必须相邻 ⑵甲必须站在中间，且乙与丙不能相邻。
计数原理、排列、组合
计数原理、排列、组合一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)(!)1()2)(1(n m n m n n n n A m n ≤=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上） 即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。
本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。
常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。
1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。
2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。
3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。
它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。
二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。
它包括排列和组合两个不同的概念。
1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。
常见的排列问题有全排列和有限排列。
- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。
- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。
例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。
2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。
公务员考试行测排列组合基本计数原理
公务员考试行测排列组合基本计数原理在各省公务员行测考试中，数量关系是每年都会考察的内容。
这一部分涉及到的内容、题型和知识点都非常繁多，是大家一直比较头痛的部分。
其中，排列组合的相关题目，可能是大家复习当中的难点。
本文是店铺整理的，欢迎阅读。
排列组合基本计数原理排列组合的基本计数原理有两个，加法原理和乘法原理。
下面让我们逐一进行解释：加法原理即分类时采用的计数方法。
也就是说，当完成一件事情，分成几类情况时，把每一类的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有类的情况数相加。
乘法原理即分步时采用的计数方法。
也就是说，当完成一件事情，分成先后几步时，把每一步的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有步的情况数相加乘。
那么，何为分类，何为分步?让我们来举例说明。
如果从北京到上海，那么坐飞机可以，坐高铁可以，坐汽车可以，自驾也行，此时称为分类;如果坐飞机有3个航班合适，坐高铁有4趟高铁合适，坐汽车有2趟都行，自驾游也有1种路线，那么从北京到上海，所有的方法数就是3+4+2+1=10种方法。
如果从北京到上海，上海到广州，广州再回北京，整个的行程按顺序分成了3个步骤，此时即为分步;如果从北京到上海有3种方法，上海到广州到4条路线，广州再回北京也有2种方案，那么整个行程，所有的方法数就是3×4×2=24种方法。
我们发现分类与分步，一定是不同的、有区别的，它们的区别就在于：能否独立完成此事。
第一个例子中，想从北京到上海，飞机、高铁、汽车、自驾，这4类方案，都可以完成这个行程，即分类当中的每一类，都可以独立完成整个事情。
第二个例子中，北京到上海，上海到广州，广州再回北京，这是完成整个行程的3步，单独拿出任何一步来，比如上海到广州，这1步，并不意味着整个行程就完成了，即分步当中的任何一步，都不能独立完成此事。
下面来看一个例题，加深对于分类分步的理解：例题：某人乘车从家直接到艺术中心有3条路线可选;从家到体育场有4条路线可选，从体育场到艺术中心有2条路线可选，则他从家到艺术中心共有几种不同的路线?通过阅读题目，我们可以发现，题目所求的从家到艺术中心，可以分成两类情况：要么直接到;要么从体育场中转换乘间接到。
高考数学知识点解析排列组合的计数原理
高考数学知识点解析排列组合的计数原理高考数学知识点解析：排列组合的计数原理在高考数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。
理解和掌握排列组合的计数原理对于解决相关问题至关重要。
排列组合的计数原理主要包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
分类加法计数原理是指：完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m₁种不同的方法，在第 2 类办法中有 m₂种不同的方法……在第 n 类办法中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，有 3 趟火车，2 趟汽车，1 趟飞机。
那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 种不同的交通方式可以选择。
分步乘法计数原理则是：完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m₁种不同的方法，做第 2 步有 m₂种不同的方法……做第n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
举个例子，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转，从 A 到 B 有3 条路可走，从 B 到 C 有 2 条路可走。
那么从 A 城市到 C 城市一共有3 × 2 ＝ 6 条不同的路线。
理解这两个计数原理的关键在于区分清楚“分类”和“分步”。
分类是指完成一件事情，每一类方法都能独立完成任务，各类方法之间相互独立，用加法计算；分步则是指完成一件事情，需要分多个步骤，每个步骤相互依存，缺一不可，用乘法计算。
在实际解题中，我们常常需要根据具体问题灵活运用这两个原理。
比如，在一个抽奖活动中，一等奖有 5 种奖品可选，二等奖有 8 种奖品可选。
如果一个人只能获得一个奖项，那么他能获得的奖品总数就是 5 ＋ 8 ＝ 13 种，这就是分类加法计数原理的应用。
再比如，一个密码由 6 位数字组成，每位数字可以是 0 到 9 中的任意一个。
计数原理-排列组合
计数原理-排列组合排列组合知识点⼀、排列定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照⼀定顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列；排列数⽤符号m n A 表⽰对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照⼀定顺序。
因此，排列要完成的“⼀件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，⽽排列顺序不相同，都是不同的排列。
⽐如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本⽅法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+---=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，⽤!n 表⽰，即12)2()1(-?-?=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=（主要⽤于化简、证明等）⼆、组合定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成⼀组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合；组合数⽤符号m n C 表⽰对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，⽆序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“⽆序”，是组合问题。
组合数公式：),()!()1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+---==*，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，⽽改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成⽴，我们规定10=n C ，这只是⼀个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型⼀投信问题1、个⼝袋⾥有5封信，另⼀个⼝袋⾥有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个⼝袋⾥各取⼀封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个⼝袋⾥的9封信，分别投⼊4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到⼀个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿⽅法？3、12名旅客在⼀辆⽕车上，共有六个车站，有多少种下车⽅案？4、3个同学在⼀座只有两个楼梯的楼上下楼，有⼏种下楼⽅案？题型⼆染⾊问题1、如图所⽰，将⼀个四棱锥的每⼀个顶点染上⼀种颜⾊，并使同⼀条棱上的两端异⾊，如果只有5种颜⾊可供使⽤，求不同的染⾊⽅法总数.2. 如图所⽰，⽤五种不同的颜⾊分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂⾊，相邻区域必须涂不同颜⾊，若允许同⼀种颜⾊多次使⽤，则不同的涂⾊⽅法共有________种．3.⽤红、黄、蓝三种颜⾊去涂图中标号为1,2，…，9的9个⼩正⽅形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的⼩正⽅形所涂颜⾊都不相同，且标号为1,5,9的⼩正⽅形涂相同的颜⾊，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位⼄不在某位问题有3名男⽣、4名⼥⽣，在下列不同条件下，求不同的排列⽅法总数.（1）选其中5⼈排成⼀排；（2）排成前后两排，前排3⼈，后排4⼈；（3）全体排成⼀排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成⼀排，⼥⽣必须站在⼀起；（5）全体排成⼀排，男⽣互不相邻；（6）全体排成⼀排，甲、⼄两⼈中间恰好有3⼈.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,⼄不站在排尾。
高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理
高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理高中数学知识点总结：排列组合问题的计数原理在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它涉及到一些计数原理和组合技巧。
了解和掌握排列组合的计数原理对于解决各种实际问题以及在数学竞赛中的应用非常有帮助。
本文将对排列组合问题的计数原理进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、排列与组合的概念在开始讨论计数原理之前，我们首先需要了解排列与组合的概念。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式，简单来说就是“有序选择”。
排列问题中，元素的顺序是重要的，即不同的顺序会产生不同的排列结果。
组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，简单来说就是“无序选择”。
组合问题中，元素的顺序不重要，即不同的顺序不会产生不同的组合结果。
二、排列问题的计数原理1. 从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P(n, m)）可以用以下公式求解：P(n, m) = n! / (n - m)!其中"!"表示阶乘，即n的阶乘等于n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。
2. 当元素可重复使用时，从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P'(n, m)）可以用以下公式求解：P'(n, m) = n^m其中"^"表示乘方。
三、组合问题的计数原理从n个元素中选取m个元素的组合数（记为C(n, m)）可以用以下公式求解：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)四、排列组合问题的应用排列组合的计数原理在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 考虑一个班级有n个学生，其中要选出m个学生参加数学竞赛，那么参赛学生的选择方法就是一个排列问题。
2. 在排列问题的基础上，如果要求被选中的学生必须按照特定的顺序进行比赛，那么可以用排列数来计算不同的比赛顺序总数。
高中数学中的排列组合计数原理
高中数学中的排列组合计数原理排列组合计数原理是高中数学中的一个重要概念，用于解决与排列和组合相关的问题。
在这篇文章中，我们将深入研究排列组合计数原理，并探讨它在数学中的应用。
一、概述排列和组合是数学中两个常见的概念。
排列指的是从一组元素中按一定顺序选取若干个元素，而组合则是从一组元素中无序选取若干个元素。
排列组合计数原理正是为了解决这两类问题而产生的。
二、排列计数原理排列计数原理是指从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的个数计算方法。
其中，n表示总元素个数，r表示被选元素的个数。
排列计数原理可以表示为公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘。
举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要按照一定顺序选取其中2个元素，即r=2。
按照排列计数原理，我们可以计算出排列的个数为：P(3,2) = 3! / (3-2)! = 3因此，从A、B、C这3个元素中按照一定顺序选取2个元素的排列个数为3。
三、组合计数原理组合计数原理是指从n个元素中无序选取r个元素的个数计算方法。
组合计数原理可以表示为公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要从中无序选取2个元素，即r=2。
按照组合计数原理，我们可以计算出组合的个数为：C(3,2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3因此，从A、B、C这3个元素中无序选取2个元素的组合个数为3。
四、排列组合计数实例现在，让我们通过一个实例来更好地理解排列组合计数原理的应用。
假设有5个不同的球，要从中选择3个球放入三个不同的盒子中，问有多少种不同的放法。
首先，我们需要明确题目中的条件。
题目中要求从5个不同的球中选择3个球，共有3个盒子，且盒子之间没有顺序要求。
根据题目中的条件，我们可以使用组合计数原理来解决这个问题。
根据组合计数原理计算公式：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10因此，共有10种不同的放球方式。
计数原理和排列组合
计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。
注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。
注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。
3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。
二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。
排列组合
排列组合一、计数原理1.分类加法计数原理类与类之间是独立的。
2.分步乘法计数原理确定分步的步骤，必须是连续做完几部，不重不漏。
二、排列1. 排列数的计算)!(!)1()1(m n n m n n n A m n -=+--= 例1、解方程：3412140x x A A =+2. 捆绑法把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”进行全排列，而后松绑，将特殊元素在这些位置上进行全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”。
例2. 七位同学站成一排，甲乙两同学必须相邻且丙不能站在排头与排尾的排法有多少种？3. 插空对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插空。
例3. 有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ）A.12B.24C.36D.484. 优先排列法某些元素（或位置）的排列受到限制，列式求解时，应优先考虑这些元素，这种方法叫元素分析法，也可优先考虑被优待的位置，这种方法叫位置分析法。
例4. 3名男生，4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数。
（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端。
5. 排除法这种方法经常用来解决某些元素不在某些位置的问题，先总体考虑，后排除不符合条件的。
例5. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数。
（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个不同的偶数？三、组合1. 有关组合数的计算)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n A A C m m m n mn-=+--== （1,10==n n n C C ） m n n m n C C -=; 11-++=m nm n m n C C C 例1. （1）计算：3337410A C C ⋅-； （2）已知m m m C C C 76510711=-，求m C 8； （3）求n n n n C C 321383+-+的值；（4）证明：1-=m 1-n m n nC mC .2. 组合问题的解决方法①分组与分配：平均分组用除法，分配是先分组后排列；②至多至少型：常用直接分类或间接相减法；③图形问题：注意共点，共线和共面等特殊情况，做到不重不漏。
高中理科数学-计数问题(排列组合)
理科数学复习专题统计与概率排列组合一．基本计数原理1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。
例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出几种号码？练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。
（1）活动只需一人参加，有几种选法？（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？题型总结※重排问题（元素可以重复选取）例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?C B AD ※选取问题（优先安排“全能者”）例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。
从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。
总共有几种选取方案？练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。
总共有几种选取方案？※涂色问题例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法练：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是_______二、排列：例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？总结：从n 个元素中选出m 个进行排列，总共有几种选法？1． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n nA n n n n =--⋅=L （叫做n 的阶乘） 题型总结※ 计算排列数计算：42128642A A A A -++※ 用排列解决的计数问题（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．练：3个男生4个女生站成一排（1） 甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边排列问题 综合练习1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ ）A 、333A ⨯B 、333)(3A ⨯ C. 433)(A D. 99A4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ）A 、36种B 、72种C 、108种D 、120种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共有 （ ）A 、12B 、24C 、36D 、486、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（ ）A 、15种B 、24种C 、360种D 、480种7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）A 、6种B 、36种C 、72种D 、120种8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____A ．72 B.96 C.108 D.1449、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）A.12种B.18种C.24种D.96种11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法有__种14、A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，若A 在B 的前面且D 在E 的前面，则有_____种不同的排法.15、安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有________种。
离散数学排列组合计数原理和公式
离散数学排列组合计数原理和公式离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的对象和结构。
在离散数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到计数原理和公式的运用。
本文将介绍离散数学中的排列组合计数原理和公式，并探讨其应用。
一、排列与组合的定义在离散数学中，排列与组合是两种常见的计数方法。
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合。
1. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方法数称为排列数，用P(n, r)表示。
排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
2. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方法数称为组合数，用C(n, r)表示。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)注意，组合数中的元素顺序不影响结果。
二、排列组合计数原理排列组合计数原理是基于乘法原理和加法原理而来。
乘法原理指的是将多个步骤的选择乘起来作为总的选择方式，加法原理指的是将多种不同的选择方式累加起来。
1. 乘法原理：若第一步有m种选择，第二步有n种选择，那么整个过程有m * n种选择方式。
2. 加法原理：若第一种选择方式有m种，第二种选择方式有n种，那么整个过程有m + n种选择方式。
根据乘法原理和加法原理，我们可以得出排列组合计数的基本原理：若某件事有若干步骤完成，第一步有n1种选择，第二步有n2种选择，第r步有nr种选择，那么总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nr。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，下面讨论一些常见的应用场景。
1. 生日问题生日问题是一个经典的排列组合问题，在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有365天且每个人的生日在一年中是等概率的。
排列组合(各种特殊排列组合)
第十一章组合计数一、计数原理1.分类加法计数原理做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有12n N m m m =⋅⋅⋅种不同的方法.二、排列与组合（一）排列1.排列从n 个不同元素中，任取()m m n ≤个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作m n A .比如，从7人中取出4人站成一排，共有排列方法47A 种.特别地，把n 个不同的元素排成一列叫做全排列，共有排法n n A 种.比如，7人站成一排，共有排列方法77A 种.2.可重复排列从n 个不同的元素中有序且可重复地选取m 个元素，叫做从n 个不同元素中取出m 个元188素的一个可重复排列，由分步计数原理知其排列数为mn .可重复排列实例很多，比如，4封信放入3个邮筒，有方法43种.3.不尽相同元素的全排列把n 个元素分成r 组，每组元素相同，组与组之间元素不同，r 组分别有元素123r m m m m ⋅⋅⋅、、、、个，把这些元素排成一列的排法叫不尽相同元素的全排列.公式为312112r r mmmmn n m n m m m C C C C ---⋅⋅⋅或123!!!!!r n m m m m ⋅⋅⋅.特别地，二项式定理的推广：()na b c ++的展开式的通项公式为x y z x y zn n x n x y C C C a b c ---⋅，其展开式系数即不尽相同元素的全排列，为x y zn n x n x y C C C ---，其中,,,n x y z N ∈，n x y z =++.12()n m a a a ++⋅⋅⋅+的展开式的通项公式为3121211212m m m k k k k k k k n n k n k k k m C C C C a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其展开式系数为312112m m k kk k n n k n k k k C C C C ---⋅⋅⋅，其中,(1,2,,)i n k i m N =⋅⋅⋅∈，12m n k k k =++⋅⋅⋅+.不尽相同元素的全排列应用很广，比如，由5个“⨯”和2个“O ”共可组成2272C C （即7!2!5!）种电信号.4.圆排列从n 个不同的元素中不重复地选取m 个元素，排在一个圆周上，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的圆排列，排列数为1mn A m.比如，5个不同的数排在同一个圆上，有排法4！种.又如，10个不同的数中任取5个排在同一个圆上，有排法51015A ⋅种.特别地，n 个不同的元素排成一个圆圈，共有排法(1)!n -种.项链数：把n 个不同的珠子串成一副项链（3n ≥），共有串法1(1)!2n -种.比如，5个不同的珍珠做成一条手链，有做法4!2种.5.定序排列n 个不同的元素进行排列，从中不重复地选取m 个元素，使这m 个元素得排列顺序固定，189叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的定序排列，排列数为n nm mA A .类似地还可推广到一般情形，如有m n k ++个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，且另外k 个元素之间的排列顺序也不变，则共有m n k m n km km kA A A ++++中不同的排法.比如，12人站成一纵队，甲、乙、丙三人从左到右按高矮站，有121233A A 种；甲、乙、丙三人按高矮站，丁在戊前面，有12123232A A A 种.（二）组合1.组合从n 个不同元素中，任取()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作mn C .比如，从7个人中任意选取4个人，共有选法47C 种.2.元素可重复的组合从n 个不同元素取出m 个元素并成一组，可以重复取，这样分组的种数为1m n m C +-.比如，从1、2、3三个数字中任意选取两个数字并成一组，可以重复取，共有方法24C 种.3.多组组合把n 个不同元素分成r 组，使第i 组有i m 个不同元素，称为多组组合.（1）每组元素数目不同的多组组合把n 个不同元素分成r 组，使第i 组有i m 个不同元素，且每组元素数目不同，其组合数为312112rr mmmmn n m n m m m C C C C ---⋅⋅⋅或123!!!!!r n m m m m ⋅⋅⋅，其中,,,n r m i N *∈，n r ≥，12r m m m n ++⋅⋅⋅+=.190注意，它与不尽相同元素的全排列的公式一样，但意义不同.比如，把10个不同的球分成3组，使第1组有2个不同的球，第2组有3个不同的球，第3组有5个不同的球，则共有分法2351085C C C 或10!2!3!5!种.（2）某些组元素数目相同的多组组合把n 个不同元素分成r 组，使第i 组有i m 个不同元素，某些组元素数目相同，设其中1k 个组都有1s 个元素，2k 个组都有2s 个元素，…，j k 个组都有j s 个元素，但12,,,j s s s ⋅⋅⋅互不相等，其组合数为31211212!!!rrm m m m n n m n m m m j C C C C k k k ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅或1212!(!!!)(!!!)r jn m m m k k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中,,,,,n m r i j k N *∈，n r ≥，121122r j j n m m m k s k s k s =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，12j r k k k =++⋅⋅⋅+.比如，23人分成5、5、3、3、3、2、2的7组，有5533322231813107422!3!2!C C C C C C C 种.4.不定方程12m x x x n ++⋅⋅⋅+=的正整数解不定方程12m x x x n ++⋅⋅⋅+=的正整数解为11m n C --；不定方程12m x x x n ++⋅⋅⋅+=的非负整数解为11m n m C -+-.三、容斥原理我们用一个简单的例子说明容斥原理的思想：如图，两个圆形纸片部分重叠，求阴影部分的面积.显然有“阴影部分的面积=圆1O 的面积+圆2O的面积-重叠部分的面积”.解决这个问题所用的思维方法就是两个集合的容斥原理方法.从集合的角度看，就是()()()()card A B card A card B card A B =+- .其文氏图为191。
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
x 2 y2 【题例 2】若椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 y 轴上，且 m∈ {1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}， m n 则这样的椭圆的个数为________．
[解析 ] 当 m ＝1 时， n ＝2,3,4,5,6,7，共 6 个；
P11
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点三：两个计数原理综合应用
在实际问题的解决过程中，通常非单一的分类或分步，而可能是两个计数 原理的综合应用；即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每 步的方法数可能会采取分类的思想求解． 分类的关键： ①分类标准确定且统一； ②分类原则做到“不重复不遗漏”； 分步的关键：①分步的程序设计正确且简捷；②明确分步的顺序与种类； 两个原理综合运用时做到：合理分类，准确分步．
当 m ＝2 时， n ＝ 3,4,5,6,7，共 5 个； 当 m ＝3 时， n ＝ 4,5,6,7，共 4 个； 当 m ＝4 时， n ＝ 5,6,7，共 3 个； 当 m ＝5 时， n ＝ 6,7，共 2 个． 故共有 6＋5＋4＋3＋ 2＝ 20 个满足条件的椭圆 . 答案:20
P6
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P10
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分步乘法计数原理应用方法归纳
(1)利用分步乘法计数原理注意： 事件解决的过程需要合理分步， 而分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步 骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰； 二是步与步确保连续，逐步完成．
P9
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
【题例 2】如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个 焊接点 A ，B ，C， D，E ，F ，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发 现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况， 故电路连接或断开的情况共有：26＝64 种情况； 而其中只要有一个焊接点脱落，则电路就不通， 故共有 26－1＝63 种可能情况． [答案] 63
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 3】 如图， 从 A 到 O 有 ________种不同的走法 (不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A →B →O 和 A →C→O 2 种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A →B →C→O 和 A →C→B →O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法．[答案] 5
分步乘法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步可有若干种不同方法． (3)完成这件事的所有方法数：运用分步乘法原理．
P4
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有______个．
【解析】 法一：按个位数字分类，个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类， 在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个， 7 个，8 个，则共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数． 法二： 按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8 类，在每 一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个， 1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个两位数． [答案] 36
P12
两个计问题-类型与探究
P14
两个计数原理的应用问题-类型与探究
两个计数原理的应用问题-类型与探究
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
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高考数学复习专题
排列-组合之计数原理
第 一 部 分
内 容 概 览
两个计数原理: 1.分类加法计数原理； 2.分步乘法计数原理.
P1
Ⅰ. 两个计数原理
1．分类加法计数原理
第 二 部 分
知 识 建 构
完成一件事有 k 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，...，在第 k 类方案 中有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要 k 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2 步有 m2 种不同的方法，...，做第 k 步有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． P2
【题例 1】从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则可 组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析] 一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法 有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数． 若二次函数为偶函数，则 b＝0，同理可知共有 3× 2＝6 个偶函数． [答案] 18 6
这件事情，“步”与“步”之
间具有依赖性和连续性．分步 计数原理可类比电路的“串联”
的“并联”关系.
关系.
P3
计数原理应用问题特征
第 三 部 分
问 题 特 征
分类加法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事有 n 类方法，每一类中可有不同的方法． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)完成这件事的所有方法数：运用加法原理．
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
分类加法计数原理应用方法归纳
(1)分类计数原理运用了分类讨论思想. (2)分类原则：确定合适的分类标准；分类标准要统一；分类须不重复、不遗漏．
(3)分类计数原理中的每一类相互独立，每一类中的任何一种方法都可完成这件事．
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
3．两个计数原理的比较
名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 完成一件事分为k类方法，并 且每类方法中的每一种都能独 运用乘法运算 完成一件事分为k个步骤，并且 只有各个步骤都完成才算完成
不同点 立完成这件事情；“类”与 “类”之间具有独立性和并列 性．分类计数原理可类比电路