排列组合之计数原理
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P10
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分步乘法计数原理应用方法归纳
(1)利用分步乘法计数原理注意: 事件解决的过程需要合理分步, 而分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步 骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. (2)分步必须满足的两个条件:一是各步骤互相独立,互不干扰; 二是步与步确保连续,逐步完成.
P7
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分类加法计数原理应用方法归纳
(1)分类计数原理运用了分类讨论思想. (2)分类原则:确定合适的分类标准;分类标准要统一;分类须不重复、不遗漏.
(3)分类计数原理中的每一类相互独立,每一类中的任何一种方法都可完成这件事.
P8
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二: 分步乘法计数原理
【题例 1】从-1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f (x )=ax 2+bx +c 的系数,则可 组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答).
[解析] 一个二次函数对应着 a,b,c(a≠0)的一组取值,a 的取法有 3 种,b 的取法 有 3 种,c 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知共有 3×3×2=18 个二次函数. 若二次函数为偶函数,则 b=0,同理可知共有 3× 2=6 个偶函数. [答案] 18 6
高考数学复习专题
排列-组合之计数原理
第 一 部 分
内 容 概 览
两个计数原理: 1.分类加法计数原理; 2.分步乘法计数原理.
P1
Ⅰ. 两个计数原理
1.分类加法计数原理
第 二 部 分
知 识 建 构
完成一件事有 k 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,...,在第 k 类方案 中有 mk 种不同的方法; 那么完成这件事共有 N = m1 m2 ... mk 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要 k 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法,...,做第 k 步有 mk 种不同的方法; 那么完成这件事共有 N = m1 m2 ... mk 种不同的方法. P2
【解析】 法一:按个位数字分类,个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9,共分成 8 类, 在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个, 7 个,8 个,则共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36 个两位数. 法二: 按十位数字分类,十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8,共分成 8 类,在每 一类中满足条件的两位数分别有 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个, 1 个,则共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个两位数. [答案] 36
P9
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二: 分步乘法计数原理
【题例 2】如图,某电子器件由 3 个电阻串联而成,形成回路,其中有 6 个 焊接点 A ,B ,C, D,E ,F ,如果焊接点脱落,整个电路就会不通.现发 现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有________种.
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况, 故电路连接或断开的情况共有:26=64 种情况; 而其中只要有一个焊接点脱落,则电路就不通, 故共有 26-1=63 种可能情况. [答案] 63
这பைடு நூலகம்事情,“步”与“步”之
间具有依赖性和连续性.分步 计数原理可类比电路的“串联”
的“并联”关系.
关系.
P3
计数原理应用问题特征
第 三 部 分
问 题 特 征
分类加法计数原理应用问题特征: (1)完成一件事有 n 类方法,每一类中可有不同的方法. (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事. (3)完成这件事的所有方法数:运用加法原理.
P11
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点三:两个计数原理综合应用
在实际问题的解决过程中,通常非单一的分类或分步,而可能是两个计数 原理的综合应用;即分类时,每类的方法可能要运用分步完成,而分步时,每 步的方法数可能会采取分类的思想求解. 分类的关键: ①分类标准确定且统一; ②分类原则做到“不重复不遗漏”; 分步的关键:①分步的程序设计正确且简捷;②明确分步的顺序与种类; 两个原理综合运用时做到:合理分类,准确分步.
当 m =2 时, n = 3,4,5,6,7,共 5 个; 当 m =3 时, n = 4,5,6,7,共 4 个; 当 m =4 时, n = 5,6,7,共 3 个; 当 m =5 时, n = 6,7,共 2 个. 故共有 6+5+4+3+ 2= 20 个满足条件的椭圆 . 答案:20
P6
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P5
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一: 分类加法计数原理
x 2 y2 【题例 2】若椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈ {1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7}, m n 则这样的椭圆的个数为________.
[解析 ] 当 m =1 时, n =2,3,4,5,6,7,共 6 个;
分步乘法计数原理应用问题特征: (1)完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可. (2)完成每一步可有若干种不同方法. (3)完成这件事的所有方法数:运用分步乘法原理.
P4
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一: 分类加法计数原理
【题例 1】在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有______个.
知识考点一: 分类加法计数原理
【题例 3】 如图, 从 A 到 O 有 ________种不同的走法 (不重复过一点).
[解析] 分 3 类:第一类,直接由 A 到 O,有 1 种走法; 第二类,中间过一个点,有 A →B →O 和 A →C→O 2 种不同的走法; 第三类,中间过两个点,有 A →B →C→O 和 A →C→B →O 2 种不同的走法. 由分类加法计数原理可得共有 1+2+2=5 种不同的走法.[答案] 5
P12
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P13
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P14
两个计数原理的应用问题-类型与探究
两个计数原理的应用问题-类型与探究
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
THANKS
3.两个计数原理的比较
名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 完成一件事分为k类方法,并 且每类方法中的每一种都能独 运用乘法运算 完成一件事分为k个步骤,并且 只有各个步骤都完成才算完成
不同点 立完成这件事情;“类”与 “类”之间具有独立性和并列 性.分类计数原理可类比电路
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分步乘法计数原理应用方法归纳
(1)利用分步乘法计数原理注意: 事件解决的过程需要合理分步, 而分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步 骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. (2)分步必须满足的两个条件:一是各步骤互相独立,互不干扰; 二是步与步确保连续,逐步完成.
P7
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分类加法计数原理应用方法归纳
(1)分类计数原理运用了分类讨论思想. (2)分类原则:确定合适的分类标准;分类标准要统一;分类须不重复、不遗漏.
(3)分类计数原理中的每一类相互独立,每一类中的任何一种方法都可完成这件事.
P8
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二: 分步乘法计数原理
【题例 1】从-1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f (x )=ax 2+bx +c 的系数,则可 组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答).
[解析] 一个二次函数对应着 a,b,c(a≠0)的一组取值,a 的取法有 3 种,b 的取法 有 3 种,c 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知共有 3×3×2=18 个二次函数. 若二次函数为偶函数,则 b=0,同理可知共有 3× 2=6 个偶函数. [答案] 18 6
高考数学复习专题
排列-组合之计数原理
第 一 部 分
内 容 概 览
两个计数原理: 1.分类加法计数原理; 2.分步乘法计数原理.
P1
Ⅰ. 两个计数原理
1.分类加法计数原理
第 二 部 分
知 识 建 构
完成一件事有 k 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,...,在第 k 类方案 中有 mk 种不同的方法; 那么完成这件事共有 N = m1 m2 ... mk 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要 k 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法,...,做第 k 步有 mk 种不同的方法; 那么完成这件事共有 N = m1 m2 ... mk 种不同的方法. P2
【解析】 法一:按个位数字分类,个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9,共分成 8 类, 在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个, 7 个,8 个,则共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36 个两位数. 法二: 按十位数字分类,十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8,共分成 8 类,在每 一类中满足条件的两位数分别有 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个, 1 个,则共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个两位数. [答案] 36
P9
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二: 分步乘法计数原理
【题例 2】如图,某电子器件由 3 个电阻串联而成,形成回路,其中有 6 个 焊接点 A ,B ,C, D,E ,F ,如果焊接点脱落,整个电路就会不通.现发 现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有________种.
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况, 故电路连接或断开的情况共有:26=64 种情况; 而其中只要有一个焊接点脱落,则电路就不通, 故共有 26-1=63 种可能情况. [答案] 63
这பைடு நூலகம்事情,“步”与“步”之
间具有依赖性和连续性.分步 计数原理可类比电路的“串联”
的“并联”关系.
关系.
P3
计数原理应用问题特征
第 三 部 分
问 题 特 征
分类加法计数原理应用问题特征: (1)完成一件事有 n 类方法,每一类中可有不同的方法. (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事. (3)完成这件事的所有方法数:运用加法原理.
P11
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点三:两个计数原理综合应用
在实际问题的解决过程中,通常非单一的分类或分步,而可能是两个计数 原理的综合应用;即分类时,每类的方法可能要运用分步完成,而分步时,每 步的方法数可能会采取分类的思想求解. 分类的关键: ①分类标准确定且统一; ②分类原则做到“不重复不遗漏”; 分步的关键:①分步的程序设计正确且简捷;②明确分步的顺序与种类; 两个原理综合运用时做到:合理分类,准确分步.
当 m =2 时, n = 3,4,5,6,7,共 5 个; 当 m =3 时, n = 4,5,6,7,共 4 个; 当 m =4 时, n = 5,6,7,共 3 个; 当 m =5 时, n = 6,7,共 2 个. 故共有 6+5+4+3+ 2= 20 个满足条件的椭圆 . 答案:20
P6
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P5
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一: 分类加法计数原理
x 2 y2 【题例 2】若椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈ {1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7}, m n 则这样的椭圆的个数为________.
[解析 ] 当 m =1 时, n =2,3,4,5,6,7,共 6 个;
分步乘法计数原理应用问题特征: (1)完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可. (2)完成每一步可有若干种不同方法. (3)完成这件事的所有方法数:运用分步乘法原理.
P4
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一: 分类加法计数原理
【题例 1】在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有______个.
知识考点一: 分类加法计数原理
【题例 3】 如图, 从 A 到 O 有 ________种不同的走法 (不重复过一点).
[解析] 分 3 类:第一类,直接由 A 到 O,有 1 种走法; 第二类,中间过一个点,有 A →B →O 和 A →C→O 2 种不同的走法; 第三类,中间过两个点,有 A →B →C→O 和 A →C→B →O 2 种不同的走法. 由分类加法计数原理可得共有 1+2+2=5 种不同的走法.[答案] 5
P12
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P13
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P14
两个计数原理的应用问题-类型与探究
两个计数原理的应用问题-类型与探究
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
THANKS
3.两个计数原理的比较
名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 完成一件事分为k类方法,并 且每类方法中的每一种都能独 运用乘法运算 完成一件事分为k个步骤,并且 只有各个步骤都完成才算完成
不同点 立完成这件事情;“类”与 “类”之间具有独立性和并列 性.分类计数原理可类比电路