高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指导
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高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指
导
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符
号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一. 注意绝对值的定义，用公式法
即若a x a ><0，||，则-<>0，||，则x a >或x a <-。
例1. 解不等式||2331x x -<+
解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x
二. 注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到
||x x 22=。
例2. 解不等式||||x x +<+123
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式⇔+<+⇔+<+⇔+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243
或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243
或 三. 注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、
于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式⇒
解得x x ><-12或
综上不等式的解为x ∈-∞-⋃+∞()()，，21
四. 平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+
解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212
0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。
再由定义去绝对值号，有：
（1）log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01
012； （2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830
302。 综上知-<<31log a x
故当a >1时，解为a x a -<<3；当01< 练一练 1. 已知a >0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。 2. 解不等式||||||x x x +--<+112 1 3. 解不等式||||31932x x -+-> 答案：1. 01< 2. 解集为(,)(,)-⋃+∞2523 2 3. 解集为{|log }x x x <>023或