高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指导
高中数学中的不等式与绝对值解析
高中数学中的不等式与绝对值解析在高中数学的学习中，不等式和绝对值是常见的概念和工具。
它们在解决实际问题、证明数学定理和推导数学公式等方面具有重要的作用。
本文将从不等式和绝对值的基本概念入手，探讨它们在高中数学中的应用和解析方法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种关系，用于表示两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
在解决不等式问题时，我们需要根据不等式的性质和条件，找到满足不等式的数值范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以通过移项和化简的方法求解。
首先，将3移到不等式的右边，得到2x > 4。
然后，将不等式两边都除以2，得到x > 2。
因此，不等式的解集为{x | x > 2}，表示所有大于2的实数。
二、不等式的解析方法在解决不等式问题时，我们可以使用图像法、代数法和数学推理等方法。
其中，图像法是一种直观的方法，通过绘制函数图像或数轴图来确定不等式的解集。
代数法则是一种基于代数运算和性质的方法，通过变形和化简来求解不等式。
数学推理则是一种基于逻辑推理和数学定理的方法，通过推导和证明来求解不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4 > 0，我们可以使用代数法来求解。
首先，将不等式移到左边，得到x^2 - 4 - 0。
然后，将不等式因式分解，得到(x - 2)(x + 2) > 0。
根据因式分解的结果，我们可以得出两个因子的符号，即(x - 2)和(x + 2)的符号相同。
根据乘积的性质，当两个因子的符号相同时，它们的乘积大于0。
因此，不等式的解集为{x | x < -2 或 x > 2}，表示所有小于-2或大于2的实数。
三、绝对值的基本概念绝对值是数学中的一种运算，用于表示一个数到原点的距离。
绝对值的定义是，对于任意实数x，当x ≥ 0时，|x| = x；当x < 0时，|x| = -x。
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
人教版数学高二备课资料绝对值的不等式几种解题思路
绝对值的不等式几种解题思路含有绝对值的不等式问题的求解策略总的来说有两种：即化掉绝对值符号和利用绝对值的性质变形化简，而对于各种典型的题目来说，根据不同的特点又有如下常用的方法，下面通过例题的求解来简述这些方法。
一、利用绝对值的意义，常用的有①|x|≥0 ②|x|=⎩⎨⎧-≥)0()0( x x x x ③若|x|>a (a>0)，则x>a 或x<-a ④若|x|<a (a>0)，则-a<x<a例1 不等式|1+x x |>1+x x 的解集是( ) A.{x|x ≠-1} B.{x|x>-1} C.{x|x<0且x ≠-1} D.{x|-1<x<0} 分析：本题的显著特点是|a|>a ，根据绝对值的性质知1+x x <0，即有-1<x<0，应选D 。
例2 解不等式|x 2-3x-4|>x+1分析：这是|f(x)|>g(x)型，其等价于f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)故有⎩⎨⎧+--≥+143012x x x x 或⎩⎨⎧----≥+143012x x x x 或x+1<0易得不等式的解集为{x|x>5或x<3且x ≠-1}。
二、平方法 利用|a|2=a 2及|a|>|b|与a 2>b 2等价等,使用同时平方的方法化去绝对值符号可获简解.例3 求不等式|x-2|-|2x+1|>1的解集。
解析：原不等式即|x-2|>1+|2x+1|，两边平方得：x 2-4x+4>1+2|2x+1|+4x 2+4x+1,即2|2x+1|＜2-8x-3x 2, 故3x 2+8x-2＜4x+2＜2-8x-3x 2.解得-2＜x ＜0，不等式解集为{x|-2＜x ＜0}。
三、分段讨论，绝对值不等式解题思路之一是化去绝对值符号，变为一般不等式，分段讨论是化去绝对值符号的常用手段之一。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
高中数学绝对值不等式的解法【精选】
22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解
例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解2 ： 法 3 |32x|5 3|2x3|5
32x23x305，或32x3(2x03)5
x
3 2
，
3 x 4
或
x
3 2
，
1 x 0
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
将(1)、(2)、(3)的结果取并,集
2
4
则 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 ,或 x 4 } .
22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解 例3 解不等式| x －1 | + | 2x－4 |＞3 + x
绝对值不等式的解法-高中数学知识点讲解
绝对值不等式的解法1．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式是高中数学中常见的一类不等式，它的解法技巧和注意事项如下。
解法技巧：
1. 分析绝对值的取值范围：对于绝对值不等式|f(x)| < a，首先需要确定f(x)的取值范围。
根据绝对值的定义，当f(x)的取值在-a 和a之间时，不等式成立。
2. 分类讨论：根据f(x)的取值范围进行分类讨论，将不等式分为多个情况进行分析。
例如，当f(x) > 0时，|f(x)| = f(x)；当f(x) < 0时，|f(x)| = -f(x)。
根据不同情况，构建等式或不等式进行求解。
3. 利用绝对值性质简化不等式：绝对值有一些基本的性质，如|a+b| ≤ |a| + |b|和|a-b| ≥ ||a| - |b||。
在解决绝对值三角不等式时，可以通过利用这些性质将复杂的不等式简化为更简单的形式。
注意事项：
1. 确定变量的定义域：在解决绝对值三角不等式时，需要考虑变量的取值范围，即定义域。
根据函数的定义域，确定绝对值的取值范围，从而确定不等式的解集。
2. 注意绝对值的符号：绝对值的结果总是非负数，即|a| ≥ 0。
在解决绝对值三角不等式时，需要根据不等式的符号确定绝对值的符号，避免出现不符合实际情况的解。
3. 将不等式化为关于绝对值的形式：有时候，需要将不等式转化为关于绝对值的形式，例如将|x+a| -b。
通过求解这两个不等式得到更精确的解集。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项上述所述，可以帮助我们更好地理解和解决这类不等式问题。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它涉及到绝对值的大小关系。
解绝对值不等式的关键是确定不等式中的变量可能取的范围，并结合绝对值的性质进行推导。
下面将从基本方法、分析方法和图像法等角度给出解绝对值不等式的方法总结。
一、基本方法1.消去绝对值：当绝对值不等式中只有一个绝对值符号时，我们可以通过将绝对值号内的条件进行分类讨论来消去绝对值。
例如，对于不等式，x-2，<3，我们可以将其分类讨论为两种情况：x-2>0时，不等式可转化为x-2<3，即x<5；x-2<0时，不等式可转化为-(x-2)<3，即-x+2<3，即x>-1、因此，原不等式的解集为-1<x<52.分离绝对值：当绝对值不等式中有两个绝对值符号时，我们可以通过分离绝对值的方法将其转化为一个带有正负号的二次不等式。
例如，对于不等式，x-2，>，x+3，由于绝对值的性质，我们有两种情况：x-2>x+3，即-5>0，这个情况显然不成立；x-2<-(x+3)，即-2x-1>0，即x<-1/2、综上所述，原不等式的解集为x<-1/23.基本不等式法：针对绝对值不等式中的特殊形式，f(x)，>c或，f(x)，<c，其中c是正实数，通过化简找到f(x)的取值范围。
例如，对于不等式，2x-3，>5，我们可以将其转化为两个不等式：2x-3>5和2x-3<-5、从第一个不等式中解得x>4，从第二个不等式中解得x<-1、因此，原不等式的解集为x<-1或x>4二、分析方法1. 区间法：对于绝对值不等式，ax+b， < c （或 > c），我们可以通过给定 a、b 和 c 的符号情况来确定 x 的取值范围。
例如，对于不等式，4x+5， < 3，我们可以根据 4x+5 和 -4x-5 的正负号进行分类讨论。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。
本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。
一、绝对值不等式的定义和性质绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。
在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。
绝对值函数的性质如下：1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。
2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。
绝对值函数在a不等于0时取正数。
3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。
二、绝对值不等式的解法思路对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。
2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。
3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。
下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。
例一：|x+2|<5首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：情况一：x+2>0时，即x>-2将不等式转化为：x+2<5，即x<3根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2<x<3例二：|2x-1|≥3同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2情况二：2x-1<0时，即x<1/2将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。
高中数学解含绝对值的不等式有妙招学法指导
解含绝对值的不等式有妙招 X 晓丽 含有绝对值的不等式是不等式中比较特殊的一种类型，它的解法具有特殊性。
常用的方法有直接平方法、零点分段法、数形结合法、等价转化法等，这些方法有的数形兼备，有的简洁明了，都体现着重要的数学思想方法。
下面给以分类例析。
一、直接平方法 例1 解不等式|3x 2||1x 2|+<-。
解：原不等式可化为22)3x 2()1x 2(+<-，即21x ->，故原不等式的解集为}21x |x {->。
点评：当不等式两边同为非负数时，可将不等式两边平方。
二、零点分段法例2 解不等式1|3x ||1x 3|<---。
解：令0|1x 3|=-，0|3x |=-，则分别对应3x ,31x ==。
（1）当31x <时，有23x 13x 1x 3->⇒<-++-，即31x 23<<-。
（2）当3x 31<≤时，有45x 13x 1x 3<⇒<-+-，即45x 31<≤。
（3）当3x ≥时，有21x 13x 1x 3-<⇒<+--（舍去）。
综上，原不等式的解集为}45x 23|x {<<-。
点评：解这类含有绝对值的不等式的步骤：①分别令各绝对值式里的式子为零，并求出相应的根。
②把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间。
③按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集。
这种方法适用于许多含有绝对值的不等式的求解。
三、数形结合法例3 解不等式4|3x 2||1x 2|>-++。
解：原不等式可化为2|23x ||21x |>-++，这里|23x ||21x |-++可看成实数x 所对应的数轴上的点到实数23,21-所对应数轴上两点之间的距离之和。
如图，要使得距离之和大于2，则必须23x >或21x -<。
故原不等式的解集为}23x 21x |x {>-<或。
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法高中数学方法总结：不等式与绝对值的解法与不等式组解法不等式是数学中常见的问题，解决不等式问题需要掌握一定的数学方法和技巧。
在高中数学中，不等式与绝对值的解法以及不等式组的解法是常见的题型，下面将对这些内容进行总结。
一、不等式与绝对值的解法1.1 单变量不等式解法对于单变量不等式，可以使用图像法或者代数法来解决。
对于图像法，可通过绘制不等式的图像，观察图像与坐标轴的交点来得到解的范围。
代数法中常用的有加减法、乘除法和开方法。
1.2 绝对值不等式解法绝对值不等式是指带有绝对值符号的不等式。
常见的解法有分类讨论法和代数法。
分类讨论法将绝对值拆解为正负两个部分，分别进行讨论求解。
代数法可以通过构建不等式的条件，将绝对值不等式转化为一元一次不等式或二次不等式。
二、不等式组解法不等式组是由多个不等式组成的问题。
解决不等式组问题一般采取分段讨论法和代数法两种方法。
2.1 分段讨论法分段讨论法适用于不等式组的条件较少且简单的情况。
通过将不等式组的解空间进行分段，然后分别解决每个子不等式，最后将各个子解空间的交集作为问题的解空间。
2.2 代数法代数法适用于不等式组条件复杂的情况。
常见的代数法有代数解法和系数比较法。
代数解法通过将不等式组进行整理和转化，得到等价的简化形式，进而求解。
系数比较法则通过对不等式组条件中的系数进行比较，确定解的范围。
三、不等式与绝对值解法的应用3.1 实际问题的建模与解决不等式与绝对值解法在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
通过把实际问题转化为数学问题，可以使用不等式和绝对值来描述问题的约束条件，然后通过解不等式和绝对值不等式来获得问题的解。
3.2 函数图像与不等式关系不等式与绝对值的解法与函数图像有密切的关系。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解不等式与绝对值的解法，并且能够从图像中获得更多的信息，辅助我们解答问题。
四、不等式与绝对值解法的拓展不等式与绝对值的解法还有很多其他的拓展应用，例如通过变量代换法、基本不等式、奇偶性判断等方法来求解复杂的不等式问题。
高中数学绝对值不等式的解题思路与举例
高中数学绝对值不等式的解题思路与举例数学中，绝对值不等式是高中阶段的重要知识点之一。
在解决数学问题时，我们经常会遇到含有绝对值的不等式，因此掌握解决这类问题的思路和方法是非常重要的。
本文将介绍高中数学绝对值不等式的解题思路，并通过具体的例子进行说明，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。
一、绝对值不等式的基本性质在解决绝对值不等式问题之前，我们首先需要了解绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下性质成立：1. |a| ≥ 0，即绝对值的值始终大于等于0；2. |a| = 0 当且仅当 a = 0；3. |a| > b 当且仅当 a > b 或 a < -b。
这些基本性质为我们解决绝对值不等式提供了重要的依据和思路。
二、绝对值不等式的解题思路对于一般形式的绝对值不等式|f(x)| < g(x)，我们可以采用以下步骤来解决问题：步骤一：将绝对值不等式转化为两个简单的不等式。
我们可以根据绝对值的定义，将 |f(x)| < g(x) 转化为以下两个不等式：1. f(x) < g(x)；2. -f(x) < g(x)。
步骤二：分别解决两个简单的不等式。
对于不等式 f(x) < g(x)，我们可以直接求解得到x的取值范围；对于不等式 -f(x) < g(x)，我们可以将其转化为 f(x) > -g(x)，然后再求解得到x的取值范围。
步骤三：求解两个不等式的交集。
最后，我们需要求解两个不等式的交集，得到绝对值不等式的解集。
三、绝对值不等式的应用举例为了更好地理解和应用绝对值不等式，我们通过具体的例子来说明。
例题一：求解不等式 |2x - 3| < 5。
解题思路：1. 将绝对值不等式转化为两个简单的不等式：2x - 3 < 5 以及 -(2x - 3) < 5；2. 分别解决两个简单的不等式：2x < 8 以及 2x - 3 > -5；3. 求解两个不等式的交集：得到 x < 4 以及 x > -1；综合起来，解集为 -1 < x < 4。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
高二数学解绝对值函数方程与不等式的方法与技巧
高二数学解绝对值函数方程与不等式的方法与技巧高二数学是学生们接触到更加抽象和复杂的数学概念的阶段。
在这个阶段，解绝对值函数方程与不等式是学生们需要掌握的重要内容之一。
本文将介绍解绝对值函数方程和不等式的方法与技巧，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。
一、绝对值函数方程的解法绝对值函数方程的一般形式为|f(x)|=g(x)，其中f(x)为以x为自变量的函数，g(x)为以x为自变量的函数，并且g(x)大于等于0。
1. 分情况讨论法当g(x)大于等于0时，绝对值函数方程可以转化为两个普通的函数方程。
我们可以分别去掉绝对值符号，并将等式拆分为两个方程：f(x) = g(x) 或 f(x) = -g(x)解这两个方程后，得到的解集即为原绝对值函数方程的解集。
2. 代数法对于形式复杂的绝对值函数方程，可以通过代数方法解决。
我们需要引入一个辅助变量来表示绝对值函数中的正负号。
假设辅助变量为y，那么绝对值函数方程可以表示为：f(x) = g(x) 或 f(x) = -g(x)根据y的正负号的不同，我们分别解两个方程。
解出x后，再将x 代入到y的方程中，得到的y即为绝对值函数方程的解集。
二、绝对值函数不等式的解法绝对值函数不等式的一般形式为|f(x)|<g(x)，其中f(x)为以x为自变量的函数，g(x)为以x为自变量的函数，并且g(x)大于0。
1. 分情况讨论法当g(x)大于0时，绝对值函数不等式可以转化为两个普通的函数不等式。
我们可以根据f(x)的正负号分析不等式的解集：当f(x)>0时，得到f(x)<g(x)；当f(x)<0时，得到-f(x)<g(x)；解这两个不等式后，得到的解集即为原绝对值函数不等式的解集。
2. 图像法我们可以通过绘制绝对值函数和右侧函数的图像来确定不等式的解集。
首先，绘制绝对值函数图像，然后在图像上标出g(x)对应的函数值。
然后，观察图像和标注的点，确定函数值小于g(x)对应的自变量范围，得到不等式的解集。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指导
精心整理
绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一.注意绝对值的定义，用公式法
即若a x a ><0，||，则-<<a x a ；若a x a >>0，||，则x a >或x a <-。
例
二.。
例三.例x =-2 于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式⇒
解得x x ><-12或
综上不等式的解为x ∈-∞-⋃+∞()()，，21
四.平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
精心整理 例4.解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+
解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212
0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。
再由定义去绝对值号，有：
（1
（2练一练
1.2.3.2.3.。
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
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高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指
导
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绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符
号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一. 注意绝对值的定义，用公式法
即若a x a ><0，||，则-<<a x a ；若a x a >>0，||，则x a >或x a <-。
例1. 解不等式||2331x x -<+
解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x
二. 注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到
||x x 22=。
例2. 解不等式||||x x +<+123
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式⇔+<+⇔+<+⇔+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243
或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243
或 三. 注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3. 解不等式||||x x ++->213
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、
于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式⇒
解得x x ><-12或
综上不等式的解为x ∈-∞-⋃+∞()()，，21
四. 平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+
解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212
0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。
再由定义去绝对值号，有：
（1）log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01
012； （2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830
302。
综上知-<<31log a x
故当a >1时，解为a x a -<<3；当01<<a 时，解为a x a <<-3
练一练
1. 已知a >0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。
2. 解不等式||||||x x x +--<+112
1 3. 解不等式||||31932x x -+->
答案：1. 01<<x
2. 解集为(,)(,)-⋃+∞2523
2 3. 解集为{|log }x x x <>023或。