数字视频图像技术 第5章 傅里叶变换 频率域图像增强讲解
数字图像处理(频域增强)
数字图像处理(频域增强)数字图像处理图像频域增强方法的研究姓名：班级:学号：目录一．频域增强的原理二．频域增强的定义及步骤三．高通滤波四． MATLAB程序实现五．程序代码六．小结一．频域增强定义和步骤图像增强技术基本上可分成两大类：频域处理法和空域处理法。
频域处理法[1]的基础是卷积定理，它采用修改图像傅立叶变换的方法实现对图像的增强处理。
在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。
如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。
频域增强是利用图像变换方法将原来的图像空间中的图像以某种形式转换到其它空间中，然后利用该空间的特有性质方便地进行图像处理，最后再转换回原来的图像空间中，从而得到处理后的图像。
频域增强的主要步骤是：(1) 选择变换方法，将输入图像变换到频域空间；(2) 在频域空间中，根据处理目的设计一个转移函数并进行处理；(3) 将所得结果用反变换得到图像增强。
卷积理论是频域技术的基础。
设函数f（x,y）与线性位不变算子h（x,y）的卷积结果是g （x,y），即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)那么根据卷积定理在频域有：G(x,y)=H(u,v)F(u,v)其中G(x,y)、 H(u,v)、F(u,v)分别是g(x,y)、h(x,y)、f(x,y)的傅立叶变换。
（4）技术所需增强图的傅立叶变换。
（5）将其与一个（根据需要设计的）转移函数相乘。
（6）再将结果进行傅立叶反变换以得到增强的图。
（7）将图像从空域转换到频域所需的变换及将图像从频域空间转换回空域所需的变换。
（8）在频域空间对图像进行增强加工操作。
常用的频域增强方法有低通滤波和高通滤波。
以下分别介绍在MATLAB中如何实现。
二．高通滤波图像中的细节部分与其频率的高频分量相对应，所以高通滤波可以对图像进行锐化处理。
高通滤波器与低通滤波器的作用相反，它使高频分量顺利通过，而消弱低频。
频率域增强的步骤
频率域增强的步骤嘿，朋友们！今天咱就来讲讲频率域增强的那些事儿。
你想想看啊，这频率域就像是一个神秘的舞台，图像的信息在上面尽情表演呢！那频率域增强呢，就是让这个舞台上的表演更精彩，更吸引人。
咱先来说说第一步，那就是得把图像从空间域转换到频率域。
这就好比是给图像来了个大变身，从我们熟悉的模样变成了一堆奇怪的数字和图案。
可别小瞧了这个变身，这可是关键的一步呢！就像孙悟空七十二变，变了之后才有更多的本事展现呀。
然后呢，我们要对这些频率域的信息进行分析和处理。
这就像是给表演加调料，让味道更独特。
比如说，我们可以把一些不重要的频率成分削弱或者去掉，就像去掉舞台上那些不太起眼的小配角，让主角更加突出。
或者呢，我们也可以增强一些我们特别关注的频率成分，这就好比给主角加上闪亮的灯光，让他更加耀眼。
接下来这步也很重要哦，就是根据我们的需求和想法来调整这些频率信息。
这就像是导演在指导演员怎么表演，是要更夸张一点呢，还是更内敛一些。
我们可以让图像变得更清晰，更锐利，或者让它有一些特殊的效果，比如模糊一点，更有艺术感。
处理完了之后，可不能就这么完事儿了，还得把它变回到空间域呢。
这就像是表演结束了，孙悟空又变回原来的样子啦。
经过这么一番折腾，图像可就大不一样咯！你说这频率域增强是不是很神奇？就像变魔术一样，能让图像发生奇妙的变化。
你要是还没试过，那可真的太可惜啦！赶紧去试试吧，说不定你就能创造出令人惊叹的图像效果呢！频率域增强就是这么一个有趣又实用的技术，它能让我们的图像变得更加出色，更加符合我们的期望。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开图像世界的奇妙大门，让我们看到更多的精彩和可能。
所以啊，大家可千万别错过这个好东西，好好去研究研究，你一定会爱上它的！。
频率域图像增强
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
8.频率域增强基础图像变换
• 考虑全图像通过系统的效果就是图像上每一 点冲激函数通过系统响应之和，故把响应称 为扩散函数；全幅图像各点的响应也就是各 个响应的累加成为图像经过系统的效果。
• 若图像上每一点通过系统的响应和该点在图 像上的位置无关，则按信号分析的理论称为 位移不变系统。
• 在位移不变系统中只要把某点经过系统的响 应函数h(x,y)和原图像f(x,y)相卷积就可以得 到全幅图像的总效果g(x,y)。
频率域的图像增强
要点：
• 背景 • 傅立叶变换 • 空间域滤波与频率域滤波的关系
2020/9/25
背景
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空间域与频率域
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空间域与频率域
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• 信号与系统的另外一个重要概念就是任何波形可以由 许多基波的加权和合成；反之任何波形可以分解为许 多基波及其加权。
• 根据线性叠加系统的结论，系统对某个波形的影响可 看作是系统对基波影响的累加。这就是图像处理和分 析技术的另外一个重要依据。
• 把一维信号分析的结论扩展为二维，即任何图像多都 可以分解为许多的基图像及其加权值。
• 60年代出现快速傅立叶变换 • 傅立叶变换域也称为频域
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• 为了有效地和快速地对图像进行处理 和分析，常常需要将原定义在图像空 间的图像以某种形式转换（正变换） 到另外一些空间，并利用在这些空间 的特有性质方便地进行一定的加工， 最后再转换回图像空间（反变换或逆 变换）以得到所需要的效果。
图像增强讲义
中值滤波
中值滤波是对一个滑动窗口内的诸像素灰度值排序，用 中值代替窗口中心像素的原来灰度值，因此它是一种非线性 的图像平滑法。 例：采用1×3窗口进行中值滤波 原图像为： 2 2 6 2 1 2 4 4 4 2 4 处理后为： 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪 声的同时能有效保护边缘少受模糊。但它对点、线等细节较 多的图像却不太合适。 对中值滤波法来说，正确选择窗口尺寸的大小是很重要 的环节。一般很难事先确定最佳的窗口尺寸，需通过从小窗 口到大窗口的中值滤波试验，再从中选取最佳的。
f (i,j)
②指数变换
指数变换的一般表达式为
g(i, j) b
c f (i , j )a
1
这里参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这种变 换能对图像的高灰度区给予较大的拉伸。 f (i,j)
g (i,j)
对数变换动态范围压缩
直方图修整法
灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其出现频率 间的关系,它能描述该图像的概貌。通过修改直方图的方法 增强图像是一种实用而有效的处理技术。
(c / a ) f ( x, y ) 0 f ( x, y ) a g ( x, y) [(d c) /(b a)][ f ( x, y) a] c a f ( x, y) b [(M d ) /(M b)][ f ( x, y) b] d b f ( x, y) M f f g
下面是一个直方图规定化应用实例。
图(C)、(c)是将图像(A)按图(b)的直方图进行规定化得 到的结果及其直方图。通过对比可以看出图(C)的对比度同 图（B)接近一致，对应的直方图形状差异也不大。这样有利 于影像融合处理，保证融合影像光谱特性变化小。
数字图像处理(冈萨雷斯)课件5-频域增强
滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小 的滤波器模板
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域 使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导
频率域滤波
高斯频率域低通滤波器函数
H u Ae
u 2 / 2 2
对应空间域高斯低通滤波器为 h x 2 Ae 2 x
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
半径是5的理想低通滤 原图 波,滤除8%的总功率， 模糊说明多数尖锐细 节在这8%的功率之内
半径是15的理想低通 滤波,滤除5.4%的总 功率
半径是30的理想低通滤 波,滤除3.6%的总功率
半径是230的理想低通 滤波,滤除0.5%的总功 半径是80的理想低通 滤波,滤除2%的总功率 率，与原图接近说明 边缘信息在0.5%以上 的功率中
2 2
1 2
频率域图像增强
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
频率域图像增强
理想低通滤波器
总图像功率值PT
P T Pu, v
u0 v0
M 1 N 1
Pu, v F u, v Ru, v I u, v
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法
频率域滤波
定义：在(x0,y0)，强度为A的冲激函数表示为
Axx0, y y0 ,定义为
M 1 N 1 x0 y 0
sx, yA x x , y y Asx , y
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
频率域图像增强第二版PPT课件
同理，对于v=0，N – v = N：
当u=0时：
No Image
当u=1时：
No Image
当u=2时：
┆
┆
当u=M/2时：
No Image
No Image
由此可得：
频谱图A区与D区和B区与C区
关于坐标(M/2,N/2)对称。 -
0
N/2 N
v
A
B
M/2 (M/2,N/2) (M/2,N)
MC
D
(M,N/2) (M,N)
频率域图像增强是指在图像的频率域中
对图像进行某种处理的方法。这种方法以傅立 叶变换为基础，也即先通过傅立叶变换把图像 从空间域变换到频率域，然后用频率域方法对 图像进行处理，处理完后再利用傅立叶反变换 把图像变回空间域。
-
1
5.1 二维离散傅里叶变换
-
2
5.1 二维离散傅里叶变换
由于离散傅里叶变换描述了离散信号的时
有：
No Image
(5.22)
再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式(3.42)：
就可得：
No Image
-
(5.23)
25
5.1.3 图像的傅里叶频谱特性分析
1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
No Image
(5.23)
根据(5.23)，对于u=0，M - U = M
当v=0时：
No Image
N
N
expj2[(1uN0v)]
expj2[(1u1v)] expj2[(1u(N1)v)]
N
N
expj2[((N1N)u0v)] expj2[((N1N)u1v)]expj2[((N1)uN(N1)v)]
频率域图像增强PPT课件
D二（阶u是，有v效）的=[低(u通-P滤/糊2波)2和是+(可v由-接Q受/2于振)2铃]高0之. 频间好成的折分中比。 较弱产生的。频率域锐化就是为了消 用（-1）x+y乘fp(x除，y模)移糊到变，换的突中出心。边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，
这截样止我 频们率就分可别以为进10行,使3傅0里,低6叶0,频变16换0成和4分60削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
主题
图像增强的目的主要包括：①消除噪声，改善图像的视觉 效果；②突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间 域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。
频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
频率域
1.低通滤波 2.高通滤波 3.同态滤波增强
频率域滤波基础
高斯低通滤波器
如之前一样，分别是透视图，图像显示和径向剖面图 与BLPF相比，对于相同的截止频率，平滑效果稍弱。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没 有BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
比较
截止 频率 分别 为 10,3 0,60 ,160 和 460
2阶布特沃斯低通滤波
这由样于我 高们频就成第可分一以包进含幅行有傅大图里量为叶的变边理换缘信想息低，因通此采滤用波该滤器波器变在换去噪函声的数同的时将透会导视致图边缘信息损失而使图像边模糊。 ▽前2面f是(x关,y于第)=图ζ 二-像1[空H幅间(u域图,v增)F为强(u的,图v知)]识像，形下面式介绍显频示率域的增强滤的波方法器。 图像中照射第分三量i（幅x，图y）为通滤常由波慢的器空径间变向化来横表截征，面而反射分量旺旺引发突变。
• 理想低通滤波器 • 布特沃斯低通滤波器 • 高斯低通滤波器 • 梯形滤波器
数字图像处理之频率域图像增强
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
频率域波图像增强
频率域波图像增强本⽂主要包括以下内容频率域图像增强⾼通滤波器和低通滤波器本章的典型案例分析利⽤频域滤波消除周期噪声频域滤波基础频域滤波与空域滤波的关系傅⽴叶变换可以将图像从空域变换到频域，⽽傅⽴叶反变换则可以将图像的频谱逆变换为空域图像，即⼈可以直接识别的图像。
这样⼀来，我们可以利⽤空域图像与频谱之间的对应关系，尝试将空域卷积滤波变换为频域滤波，然后再将频域滤波处理后的图像反变换回空间域，从⽽达到图像增强的⽬的。
这样做的⼀个最主要的吸引⼒在于频域滤波的直观性特点，关于这⼀点稍后将进⾏详细的阐述。
根据著名的卷积定理：两个⼆维连续函数在空间域中的卷积可由其相应的两个傅⽴叶变换乘积的反变换⽽得：反之，在频域中的卷积、可由在空间域中乘积的傅⽴叶变换⽽得，即:频域滤波的基本步骤根据式（6-47）进⾏频域滤波通常应遵循以下步骤。
(1）计算原始图像f(x,y）的DFT，得到F(u, v).(2）将频谱F(u,v）的零频点移动到频谱图的中⼼位置。
(3）计算滤波器函数H(u, v）与F(u,v）的乘积G(u, v).(4）将频谱G(u, v）的零频点移回到频谱图的左上⾓位置。
(5）计算第（4）步计算结果的傅⽴叶反变换g(x,y）。
(6）取g(x,y ）的实部作为最终滤波后的结果图像．由上⾯的叙述易知，滤波能否取得理想结果的关键取决于频域滤波函数H(u,v)。
我们常常称之为滤波器，或滤波器传递函数，因为它在滤波中抑制或滤除了频谱中某些频率的分量，⽽保留其他的⼀些频率不受影响。
本书中我们只关⼼值为实数的滤波器，这样滤波过程中H 的每⼀个实数元素分别乘以F中对应位置的复数元素，从⽽使F中元素的实部和虚部等⽐例变化，不会改变F的相位谱，这种滤波器也因此被称为“零相移” 滤波器。
这样，最终反变换回空域得到的滤波结果图像 g(x,y）理论上也应当为实函数，然⽽由于计算舍⼊误差等原因，可能会带有⾮常⼩的虚部，通常将虚部直接忽略。
第5章傅立叶变换与频域图像增强
1 F (u , v) N
x பைடு நூலகம் y 0
N 1
N 1
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
F(u,v)通常是复数。
7
1 F (u , v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
f ( x, y ) cos(
频谱图像|F(u,v)|特点：
低频部分集中了大部分能量；
F (0,0) N f
高频部分对应边缘和噪声等细节内容。
频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率 不同，因而可获得不同的增强效果。
30
频域增强方法的三个步骤：
1.将图像从图像空间转换到频域空间（如傅里叶变换）；
x 0 y 0
N 1
N 1
ux vy f ( x, y ) exp[ j2( )] N
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
x 0 y 0
N 1
N 1
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) exp j (u, v)
f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为P×Q，
P=2N-1;
Q=2N-1.
G(u, v) H (u, v) F (u, v) g ( x, y) : N N
图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个 周期；
周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函 数进行补零扩展。
第五章频率域图像增强
图像复原技术的应用
天文成像领域:
一方面，对地面上的成像系统来说，由于受到射线及大气的影
响，会造成图像的退化;另一方面，在太空中的成像系统，由于
宇宙飞船的速度远远快于相机快门的速度，从而造成了运动模
糊;
航空成像领域：
无人机、预警机、侦察机的成像侦察；巡航导弹地形识别，侧
视雷达的地形侦察等；
公安领域：
的“平坦”背景图像来研究。结果图像是一个良好的、典型
的系统噪声指示器。
从图像本身出发：从相对恒定灰度值的一小部分估计噪声pdf
的参数。
用子图像计算的高斯、瑞利、均匀噪声直方图
2.噪声模型__周期噪声
一旦 pdf 模型确定了，估计模型参数(均值μ、方差σ2）或
(a,b)。考虑由 S 定义的一个子图像，利用图象带中的数据，
N(u,v) 得到原始图像的估计，这种情况，仅仅属于例外而不是普遍规
律
当仅有加性噪声存在时，可以选择空间滤波方法。在此特殊情况下，
图像增强和复原几乎是不可区别的。
3.只存在噪声退化时的空间滤波复原
均值滤波器 Mean Filters
顺序统计滤波器 Order-statistics Filters
频率域滤波复原（削减周期噪声）
线性位置不变的退化
逆滤波
维纳滤波（最小均方误差滤波）
约束最小二乘方滤波
几何均值滤波
几何变换
主要内容
图象退化/复原过程的模型
噪声模型
空间域滤波复原（唯一退化是噪声）
频率域滤波复原（削减周期噪声）
第五章图像增强课件
其中
5.3.1 直方图基本概念
原始图像
直方图
5.3.1 直方图基本概念
不同图像内容具有相同直方图的实例。
由灰度直方图的定义可知，数字图像的灰度直方图具有以下几个特性：
（1）直方图的位置缺失性。
灰度直方图仅仅反映了数字图像中各灰度级出现频数的分布，但对那些
具有同一灰度值的像素在图像中的空间位置一无所知，即灰度直方图具有位
（1）空间域法。
是指在空间域中，直接对图像进行各种线性或非线性运算，对图像的
像素灰度值作增强处理。
（2）频域法。
是在图像的变换域中，把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维
傅立叶变换的信号增强。
二、图像增强分类
点运算
空域法
模板处理
点运算是作用于单个像素的空间域处理方法，包括图像灰度变换、直
方图修正、伪彩色增强等技术；
当邻域为单个像素，即1×1时，输出仅仅依赖 f在(x,y) 处的像素灰度
值，此时的处理方式通常称为点处理。
5.2.2 线性灰度变换
线性变换的表达式
5.2.2 线性灰度变换
[0-32]范围
[0-128]范围
[0-64]范围
[0-256]范围
5.2.2 线性灰度变换
灰度拉伸的范围越小，像素间的灰度值越相近，图像的表现力越差。
（1）在 0 ≤ ≤ 1
区间内， T[r] 为单值单调递增函数；
（2）对于 0 ≤ ≤ 1 ，对 应有0≤s=T[r]≤1 。
变换函数的求解：
5.3.2 直方图均衡化
对于数字图像，其灰度 k 出现的概率可近似表示：
5.3.2 直方图均衡化
利用直方图均衡进行图像增强的过程可分成以下几个步骤：
数字图像处理 频率域图象增强技术107页PPT
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数字图像处理 频率域图象增强技术
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
数字图像处理方法第五章图像复原和重建
大气
图像
流的
运动
扰动
造成
效应 的模 数字图像处理方法第五章图像复原和重
建
糊
背景知识
几何畸变
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
运动模糊
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
图像复原是试图利用退化过 程的先验知识去除已退化的 图像的退化因素，尽可能恢 复图像本来面目的技术。
g ex ,y fe(m ,n )h e(x m ,y n )ex ,y
m 0 n 0
向量矩阵形式为
gHfn
其中，H为MN×MN的矩阵。
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
图像退化/复原过程的模型
图像复原的关键在于建立图像退化模型, 反映图像退化原因 通常将成像系统作为线性位移不变系统，点扩散函数用h （x，y）表示，获取退化图像为g（x，y），建立系统退
化模型如下：
退化函数 H
复原滤波
F(u) f(x)ej2uxdx
退化
复原
λ为常数系数（拉格朗日系数），γ为1/ λ 指定不同Q，得到不同复原图像
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
能量约束 Q=I
I表示单位矩阵
解得最佳复原解为
fˆ(H'HI)1H'g
物理意义为在约束条件下复原图像能量 | | fˆ | |2 最小
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
5.图像的频域增强及傅里叶变换
5. 图像的频域增强及傅里叶变换傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。
因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。
印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。
连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。
离散情况下，傅里叶变换一定存在。
冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。
比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。
这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。
（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。
第5章频率域图像增强(第二版)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程
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傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
✓ 功率谱为
Pu,v Fu,v2 Ru,v2 Iu,v2
F(u,v)的原点变换
f x , y 1 x y F u M / 2 , v N / 2
✓ 用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
f x f x0 x x
F(u)的离散表示
F u F u u
x 0,1,2,..., M 1 u 0,1,2,..., M 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F (u , v )
1
M 1 N 1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
M x0
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
Fu F ue ju
✓ 幅度或频率谱为
1
Fu Ru2 Iu2 2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为
u
arctan
I u Ru
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 ✓ 功率谱为
Pu Fu2 Ru2 Iu2
f(x)的离散表示
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F(u)
1
M 1
f
x e j(2ux) / M
M x0
1
M 1
f xcos(2ux) / M
j sin(2ux) / M
M x0
1
M 1
f xcos 2ux / M
j sin 2ux / M
✓ u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
F(0,0)表示
F 0,0
1
M 1 N 1
f x, y
MN x 0 y 0
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
MN x 0 y 0
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
✓ 给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
M 1 N 1
f ( x , y )
F u , v e j 2 ux / M vy / N
u0 v0
x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1
f x, y1xy Fu M / 2,v N / 2 f xM / 2, y N / 2 Fu,v1uv
傅里叶变换 2. 分配律
根据傅里叶变换的定义，可以得到
f1x, y f2 x, y f1x, y f2 x, y
f1x, y• f2 x, y f1x, y• f2 x, y
上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配 律，但对乘法则不满足
傅里叶变换
傅里叶变换 ✓ 傅里叶变换及其反变换 ✓ 傅里叶变换的性质 ✓ 快速傅里叶变换（FFT）
பைடு நூலகம்
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
Fu, v F u, v e ju,v
✓ 幅度或频率谱为
1
Fu,v Ru,v2 I u,v2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为
u,
v
arctan
I u, v Ru, v
傅里叶变换
1. 傅里叶变换对的平移性质
以 表示函数和其傅里叶变换的对应性
f x, y ej2u0x/Mv0y/N F u u0,v v0
(1)
f x x0, y y0 F u,v e j2ux0/Mvy0/N
(2)
✓ 公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
✓ 单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅
里叶变换F(u)定义为
F(u)
1
M 1
f
x e j2ux / M
M
x0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
M 1
f ( x ) F u e j2ux / M u0
f (x) F(u)e j2uxdu
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
✓ 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为
F(u,v) f (x, y)e j2uxvydxdy
✓ 给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f (x, y) F(u,v)e j2uxvydudv
✓ 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
✓ 公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1. 傅里叶变换对的平移性质（续）
当u0=M/2且v0=N/2,
e e 1 j2u0x/Mv0y/ N j(xy)
xy
带入（1）和（2），得到
Fu,v Fu,v
傅里叶变换的频率谱是对称的
Fu,v Fu,v
傅里叶变换
傅里叶变换 ✓ 傅里叶变换及其反变换 ✓ 傅里叶变换的性质 ✓ 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 二维傅里叶变换的性质
1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性
傅里叶变换
3. 尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aF u, v f ax,by 1 F u / a, v / b
✓ 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ✓一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在 空间域进行
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
F(u) f (x)e j2uxdx
其中，j 1 ✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)