大学物理上-练习册-第4章《振动》答案

第4章 振动

一、选择题

1(C)，2(B)，3(C)，4(E)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题 (1). 、-

/2分、．

(2). k m /22π、k m 2/2π (3). )2

1cos(04.0π+π=t x

(4). )2

14cos(04.0π-πt

(5). )212/5cos(1022π-⨯=-t x

(6). 0.05 m ，-0.205π（或-36.9°） (7). 3/4，g l /2∆π

(8). 291 Hz 或309 Hz

(9). 4×10-2

m ，12

π

(10). )2

1

2cos(π-t A ω

三、计算题

1. 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B

点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm

求：

(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．

解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，

∴ T = 8 s ， = (1/8) s -1

，

s -1

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A =

t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=

由上二式解得 tg = 1 因为在A 点质点的速度大于零，所以 = -3/4或5/4（如图） 25cos /==φx A cm ∴ 振动方程 )4

34cos(10252π-π⨯=-t x (SI)

(2) 速率 )4

34sin(41025d d 2

π-π⨯π-==-t t x v (SI) 当t = 0 时，质点在A 点

v B

x A B

O t = 0

t = 2 s

t = 4 s

φ

ω

v A v B

A B v x

221093.3)4

3sin(104

25d d --⨯=π-⨯π-=

=t

x v m/s

2．如图1所示，一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．

解：取如图x 坐标，平衡位置为原点O ，向下为正，m 在平衡位置时弹簧已伸长x 0

0kx mg = ①

设m 在x 位置，分析受力, 这时弹簧伸长0x x + )(02x x k T += ②

由牛顿第二定律和转动定律列方程： ma T mg =-1 ③ βJ R T R T =-21 ④ βR a = ⑤ 联立解得

m

R J kx

a +-=

)/(2

由于x 系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为

2

2

2)/(mR J kR m

R J k

+=

+=ω

3.质量m = 10g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)3

18cos(5.0π+π=t x 的规律作自由

振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求

(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ； (4) 平均动能和平均势能．

解：(1) A = 0.5 cm ；

= 8 s -1

；T = 2/

= (1/4) s ； = /3

(2) )3

1

8sin(1042

π+π⨯π-==-t x

v (SI)

)3

18cos(103222π+π⨯π-==-t x

a (SI) (3) 2

222

121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J

(4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02

d 21)/1(v

m T 1

T 2T 1

N

Mg x

x 0

mg

m

图1

⎰π+π⨯π-=-T

t t m T 0

222d )318(sin )104(21)

/1( = 3.95×10-5

J = E 2

1

同理

E E P 2

1== 3.95×10-5

J

4.一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲

度系数k = 25 N ·m -1

． (1) 求振动的周期T 和角频率．

(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相．

(3) 写出振动的数值表达式． 解：(1) 1s 10/-==

m k ω

63.0/2=π=ωT s

(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v

0 < 0 由 2

020)/(ωv +=

x A

得 3.12

02

0-=--=x A ωv m/s π=-=-3

1

)/(tg 001

x ωφv 或 4/3 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=

3

1

φ (3) )3

110cos(10152

π+⨯=-t x (SI)

5.如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，

重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F =

10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运

动方程．

解：设物体的运动方程为 )cos(φω+=t A x ．

恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．

当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：

5.02

12

=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． A 即振幅．

4/2

==m k ω (rad/s)2

= 2 rad/s ． 按题目所述时刻计时，初相为 = ．

∴物体运动方程为 )2cos(204.0π+=t x (SI)．

O

F

x m 图5