《四种命题间的相互关系》参考教案
四种命题间的相互关系教案
§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。
【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。
【教学过程设计】””课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题④“A B B =，则A B ⊇”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.08．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。
1.1.3四种命题间的相互关系
《1.1.3 四种命题间的相互关系》教学片段教案【课题】1.1.3 四种命题间的相互关系【教学目标】【知识与技能目标】进一步了解命题的概念，了解四种命题间的相互关系，及真假性的必然联系，并会利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理证明。
【过程与方法目标】通过对大量的例子进行分析和总结，培养学生分析问题的能力和归纳总结的能力，培养学生逻缉思维的能力。
【情感、态度、价值观】通过合作和自主探究活动，激发学生浓厚的学习兴趣。
【教学重点】1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假性之间的关系【教学难点】利用互为逆否命题的两个命题的真假性一致这一结论来间接证明问题【课型】新授课【课时】1课时【授课教师】刘洋教学过程：一、知识回顾1、命题的概念：一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.2、四种命题：原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若¬p，则¬q.逆否命题：若¬q，则¬p.二、新课讲解思考1：观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系。
你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 互为逆否命题(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 互为否命题(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 互为逆命题(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;1练一练：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.(1)若a=0,则ab=0 真逆命题: 若ab=0,则a=0. 假否命题:若a≠0,则ab≠0. 假逆否命题:若ab≠0,则a≠0. 真(2)若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。
四种命题间的相互关系精品教案
四中命题间的互相关系（1）知识方法目标认识命题的观点，教课目的（2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p ，则q”的形式。
教课重难点（1）要点：命题的改写（2）难点：命题观点的理解，命题的条件与结论划分教法与学法1.课题引入（创建情形）2．问题研究（ 1）难点打破（ 2）研究方式教法：教课过程备注阅读以下语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312；（3）312吗？（4）8 是 24 的约数；（5）两条直线订交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子。
1．命题的观点：指引学生概括出①命题：能够判断真假的陈说句叫做命命题的观点，重申题（ proposition）。
判断一个语句是上述 6 个语句中，（1）（ 2）（4）（ 5）（6）不是命题的两个是命题。
要点点：能否切合“是陈说句”和②真命题：判断为真的语句叫做真命题“能够判断真（true proposition）；假”。
（ 3）研究步骤假命题：判断为假的语句叫做假命题（ 4）热潮设计（false proposition ）。
上述 5 个命题中，（ 2）是假命题，其余4个都是真命题。
③例 1：判断以下语句中哪些是命题？是真命题仍是假命题？（1）空集是任何会合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2 小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）2x 15 ；经过例子指引学（ 6）平面内不订交的两条直线必定平生鉴别命题，划分行；命题的条件和结（7）明日下雨。
论。
改写为“若 p ，（学生自练个别回答教师评论）则 q ”的形式，为④研究：学生自我举出一些命题，并判后续的学习打好断它们的真假。
基础。
2．将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例 1 中的（ 2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把此中的p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论。
②试将例 1 中的命题（6）改写成“若p，则 q ”的形式。
③例 2：将以下命题改写成“若p，则q”的形式。
四种命题的相互关系教案
四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1. 熟练掌握四种命题的含义；
2. 理解四种命题的相互关系；
3. 能够根据四种命题的关系进行推理判断。
二、教学重点
四种命题的关系。
三、教学难点
理解四种命题的相互关系，能够根据四种命题的关系进行推理判断。
四、教学准备
1. 教师准备相关课件；
2. 学生准备笔和纸。
五、教学过程
Step 1: Warming-up
1. 老师出示一些实际生活中的例子，让学生进行判断，以激发学生的思维；
2. 让学生了解四种命题的含义，并归纳出它们的关系；
Step 2: Presentation
1. 让学生熟悉四种命题的相互关系，并理解它们之间的联系；
2. 通过实际的例子来让学生理解四种命题的相互关系；
Step 3: Practice
1. 老师出题，让学生根据四种命题的关系进行推理判断；
2. 学生可以小组讨论，共同完成题目；
Step 4: Summary
1. 总结四种命题的相互关系；
2. 引导学生理解四种命题的关系，以及如何根据这种关系进行推理判断。
Step 5: Homework
1. 让学生继续完成相关练习；
2. 要求学生完成一篇关于四种命题的相互关系的文章。
【参考教案】《四种命题间的相互关系》(人教A版)
《四种命题间的相互关系》教材分析本次课程内容在教材中较为简单，需让同学们理解教材中的大致内容，并且在教材内容的基础上进行与之前知识的结合，教材中的例子要熟练掌握，从而理解四种命题间的相互关系。
教学目标【知识与能力目标】掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系；会用等价命题判断四种命题原命题、逆命题、否命题、逆否命题、真假命题。
【过程与方法目标】（1）多让学生举命题的例子，并写出并理解四种命题间的相互关系；（2）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；（3）培养学生抽象概括能力和思维能力．【情感态度价值观目标】通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
教学重难点【教学重点】（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．【教学难点】原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．课前准备布置预习的作业，并且能够根据一个命题指出该命题四种命题间的关系教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟） 问题1：请同学们回顾上一节课学习过的内容：1、什么叫原命题？逆命题？否命题？逆否命题？并用“若P ，则q ”形式来表示2、如何判断这四种命题的真假？ 问题2：思考、分析 观察下列四个命题中：（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们已经知道命题（1）与命题（2）、（3）、（4）之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 由命题（2）（3）是互为逆否命题， 命题（2）（4）是互否命题， 命题（3）（4）是互逆命题。
《1.1.3四种命题间的相互关系》教学案3
《四种命题间的相互关系》教学案教学目标:四种命题间的相互关系及四种命题的真假性的判断教学重点:会写四种命题并判断其真假教学难点:利用四种命题间的相互关系判断命题的真假预习提纲:(根据以下提纲，预习教材第 6页〜第8页) 1. 四种命题.请填空格2. 分析下列四种命题之间的关系(1)若f (x 堤正弦函数，贝y f (X 堤周期函数;⑵若f (x 堤周期函数，贝y f (x 堤正弦函数;(1)( 4)互为 逆否命题 ____________ , ( 2)( 3)互为 (3)若f (X 环是正弦函数，则 f (X 怀是周期函数;(4)若f (X )不是周期函数，则 f(x 怀是正弦函数. (1)( 2)互为互逆命题,(1)( 3)互为 互否命题逆否命题通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系: 若P,则q若q，则P?P3.四种命题的真假性(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若P ,则q =若「q，则「P ”，即欲证“若P，则q ”为真，可由假设“非q ”来证明“非P ”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若P，则q “是真命题.【基础练习】1.下了四个命题：①命题“若xy =1，则X, y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等的三角形全等“的否命题；③命题”若m<1，则X2 -2x + m = 0有实根“的逆否命题;④命题”若A^B-B，则A G B “的逆否命题.其中是真命题的是①②③(填上你认为正确的命题序号).2.下列说法中正确的是(D )(A) 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真(B) “ a A b ”与“ a + c A b + c ” 不等价(C) “若a2+ b2 =0 ,则a,b全为0 ”的逆否命题是“若a,b全不为0，则a2+ b2工0”(D) 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3.命题“若m >0，则X2+x - m =0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是(C ).(A)0( B)1 ( C)2( D)44.命题“若=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(C ).(A)原命题、否命题B)原命题、逆命题(C)原命题、逆否命题D)逆命题、否命题【典型例题】例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若a >b，则ac2Abe2;(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形【审题要津】.本题已具备“若p,则q ”的形式，因此可直接写出他们的四种命题解：(〔)逆命题：若ac? > be?，则a〉b，(真命题).否命题：若a <b，则ac2<bc2，(真命题).逆否命题：若ac2<bc2，则a <b，(假命题).(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补, (真命题).否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形, (真命题).逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补, (真命题).【方法总结】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.变式训练1：已知命题甲：“若q，贝U P ”，命题乙：“若「q，则「P ”，则甲与乙两个命题的关系式互否命题例2已知奇函数f(x)是定义在R上增函数，若f(a)+f(b)30，求证a + b>0.【审题要津】当个命题不好证明的时候，可以写出它的逆否命题，只需要证明逆否命题正确就可以.解：其逆否命题为：已知奇函数f(x )是定义在R上增函数，若a+ bcO，则f(a)+f(b)c O.丁a +b c O, a V -b又函数f(X )是定义在R上的增函数,二f (a f (—b )有函数f(x)是奇函数，所以f(-b)=-f(b )，故f (a f (— b A — f(b)所以f(a)+f(b)<0.【方法总结】本题还可以利用反证法来证明变式训练2：已知函数f(x !是定义在R上的增函数，a、b丘R,若a+b>0，求证f(a)+f(b)2f(—a)+f(-b).【审题要津】注意a+b>0可变形为：a>—b或b > —a .解：由于a +b >0可得a > -b或b > -a，又由于函数f(x )是定义在R上的增函数, f(a)3f(—b)f(b)3( —a)故f (a )中 f (b )3 f (—a)+ f(—b )【方法总结】注意式子的变形应用，同时还可以把它看成命题写出它的逆否命题、 逆命 题，然后证明其命题的真假自我检测:2.给出命题：若函数 y = f(x !是冥函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、4.设原命题：若a+b>2，则a,b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假(A)若m 迂M,则n 艺M ( B)若n 艺M ，则m 亡M (C)若m 芒M ，则n^M ( D)若n 忘M ，则m 芒M 6.有下列四个命题:“若b =3,则b 2=9 ”的逆命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若 C <1，贝y X2+2x + c =0有实根”；“若Au B = A ，则A 匸B ”的逆否命题. 其中真命题的个数是(A ).(A)1 ( B)2 ( C) 3 ( D)47.命题X 亡(A n B )的否命题是8.命题“若ab=0，则a,b 中至少有一个为零”的逆否命题是若a,b 都不为零，则9.写出命题“当abc = 0时，a = 0或b = 0或c = 0 ”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断他们的真假.【审题要津】 注意命题之间的转换的时候，一些词语和词语的否定 解：原命题是真命题1.命题“若 x ? <1，则-1 C X c l ” 的逆否命题是(D ). (A)若 X 2>1，则 X >1或 X <—1 ( B)若一1 <^1，贝y X 2d (C)若 X >1或X c —1，则 X 2<1 ( D)若 x>1或X <—1，贝y X 2>1否命题、逆否命题三个命题中, 真命题的个数是 (C ). (A)3 ( B)2(3.若命题P 的逆命题是 C) 1 (D)0q ，否命题是r ,则命题q 是命题r 的(C ). (A)逆命题(B)否命题(C)逆否命题(D)等价命题情况是(A ).(A)原命题真，逆命题假 B)原命题假，逆命题真 (C)原命题与逆命题均为真命题(D)原命题与逆命题均为假命题5.与命题“若m 亡M ,则n 老M ”等价的命题是(D ).逆命题：若a = O或b = O或C = O ,贝y abc = O , 是真命题.否命题：若abc H0，贝U a^O且b^O且CH0，是真命题.逆否命题：若axO且bHO且CH O，贝y abcHO,是真命题.【方法总结】命题的真假性的判断，可以利用命题之间的关系来判断，如原命题与逆否命题的真假性相同，而否命题和否命题的真假性相同10.已知X, y迂R,若X + y > 2，贝U x, y中至少有一个大于1.【审题要津】当一个命题直接证明不好证明的时候，可以写出它的等价命题即逆否命题, 只要证明逆否命题成立就行解：原命题的逆否命题为：若X, y都小于等于1,则X + y < 2 ,X <1, y <1x + y <2即结论成立.【方法总结】这个题也可以用反证法来证明。
四种命题的相互关系教案
四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1.能够认识四种命题的概念；
2.能够掌握四种命题的相互关系；
3.能够掌握判断命题真假的技巧。
二、教学内容
本课的内容主要讲解四种命题的相互关系，具体包括：
1.说明真命题、假命题、可能真命题和可能假命题的概念；
2.讨论四种命题的相互关系，例如：真命题的充要条件，假命题的充要条件，可能真命题和可能假命题的充分条件，以及四种命题的定义；
3.教学如何通过实例进行判断命题真假，例如：当有充分条件时，可以判断出可能真命题，当有充要条件时，可以判断出可能假命题，以及当有必要条件时，可以判断出真命题或者假命题。
三、教学方法
1.讲解法：让学生充分认识四种命题的概念，以及它们之间的关联和互斥；
2.实际操作法：通过实例题目，让学生实际动起来，判断出这些命题的真假，并且归纳掌握问题解决的技巧；
3.讨论法：让学生以小组形式讨论，分享解题技巧，帮助每个人掌握不同的方法。
四、教学步骤
1.让学生先通过讲解，了解四种命题的概念，以及它们的差别；
2.给出实际的题目，让学生实际动起来，判断出它们的真假；
3.让学生讨论，分享。
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。
2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。
二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。
2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。
2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。
四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。
五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。
B：你不是数学系的学生。
C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。
请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。
Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。
2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。
3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。
4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。
5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。
例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。
2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。
例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。
3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。
例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。
Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。
教学设计5：1.1.3四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系教学目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．教学重点：四种命题之间相互的关系．教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．问题导思观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.一般地，四种命题的关系如下图：上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？【答案】以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：例题解析例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.巩固练习一、选择题1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”【答案】A2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解析】原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．【答案】A3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①③是真命题，②④是假命题．【答案】C4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是() A．p↔r，s↔t B．p↔t，s↔rC．p↔s，r↔t D．p↔r，s↔r【解析】因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r↔t.【答案】C5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b【解析】原命题与其逆否命题为等价命题．【答案】C二、填空题6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．【解析】②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．【答案】②③①③①②7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．【解析】①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．【答案】②8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：甲：小强非第一名，也非第二名；乙：小强非第一名，而是第三名；丙：小强非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．【解析】(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．【答案】一三、解答题9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．解：(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)(2)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)(3)该命题为假命题．当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．(2)逆否命题是：f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真．所以逆否命题为真．11．已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都无实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2＋44a －3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2＋8a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.解得－32＜a ＜－1.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32课时小结1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后 (1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题． 2．四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).。
《四种命题间的相互关系》参考教案
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互1.1.3 四种命题间的相互关系教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力.教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一． 复习引入： 1. 教学四种命题的概念：二．新课教授1.四种命题间的相互关系 课本：思考（ppt ） 下列四个命题中，（1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答）归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系：2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论：①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系：（学生回答）：原命题（1）为真其逆命题（2）为假其否命题（3）为假其逆否命题（4）为真发现有以下规律：②（探究中）以“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，为假其逆命题为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，为真其否命题为：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，为真其逆否命题为：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，为假发现有另外的规律，Array③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：同位角相等，两直线平行，为真其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真发现还存在以下规律：④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
高一数学教案：四种命题之间的相互关系及真假判断
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。
四种命题及相互关系教案
四种命题及相互关系教学目标：1.了解四种命题的内在联系，掌握四种命题之间的转化及相互关系，并能利用等价关系转化。
2.通过学生举例体会四种命题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3用辩证的观点体会等价思想。
教学重点：逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法，四种命题间的相互关系。
教学难点：四种命题间的关系及四种命题的真假性之间的关系。
新课导入：通过课本p4的“思考”导入。
新课探究：1.自主探究：小组活动:(1).阅读教材：p4-7。
(2).各小组写一个命题及其它三个命题并判断真假，讨论，交流，总结写法.(3).各小组展示。
2.合作探究：（1）通过学生展示让学生揭示互逆命题，互否命题，互为逆否命题的概念。
（2）通过互逆命题，互否命题，互为逆否命题的概念让学生总结四种命题之间的关系。
（3）通过学生展示的命题的真假性完成表格。
四种命题的真假性（4）通过表格让学生总结四种命题的真假性之间的关系。
1 原命题与逆否命题总是具有的真假性.逆命题与否命题也总是具有的真假性．互为逆否的两个命题的真假性．2 互逆命题或互否命题，它们的真假性．3 真命题与假命题的个数为个（奇数或偶数）.4 互为逆否命题，叫做等价命题。
新知应用：分别写出下列的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假：（1）正方形的四边相等。
（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0。
(3)若xy≠6,则x≠1或y≠6.（4）若x、y都是奇数则x+y是偶数。
要求：学生口答，并总结方法。
新课小结：(1)一个符号（2）二种关系（3）三个概念（4）四种命题。
教学设计2：1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．2．预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒q，那么p是q的_________，q是p 的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．3．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例 2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．例4 已知p：x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．解：∵p：x+y ≠3，q：x ≠1 或y ≠2∴非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y=3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．∴p⇒q且q⇒p，p是q的充分而不必要条件．点评：p、q都是否定性说法，考察命题“若p则q”、“若q则p”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q则非p”、“若非p则非q” 的真假，再利用等价性判断命题“若p则q”、“若q则p”的真假，从而判断条件的充要性．例5 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么，(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．解：据题意(1)s是q的充要条件；(2)r是q的充要条件；(3)p是q的必要条件．点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．例6 已知p ：1123x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由2311≤--x ，得 －2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，∵ 非p 是非q 的充分而不必要条件，∴ B ≠⊂A ．∴ ⎩⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3． ∴ 实数m 的取值范围是(]3,0．点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q ⇒p 且p \⇒q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例．(3)相关的证明问题的处理：①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假． 例7 方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论．解：将x =0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根．(1)方程有一正根和一负根001<⇔<⇔a a； (2)方程有两个负根100102044≤<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆⇔a aa a ． 综合(1)、(2)，方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负根的充要条件是a <0或0<a ≤1．点评：本题运用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合分类讨论思想求解．例8 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一实根x =1的充要条件是a +b +c =0．证明：必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一根x =1，则由根的定义得：0112=+⨯+⨯c b a ，即a+b+c =0；充分性：若a+b+c =0，则由ax 2+bx +c=0，得ax 2+bx －(a+b )=0，∴0)1()1(2=-+-x b x a ，∴0])1()[1(=++-b x a x ，所以方程有一根x =1．综上所述，方程ax 2+bx +c=0有一根x =1的充要条件是a+b+c =0．点评：对于充要条件的证明，一般都分“充分性”和“必要性”两种情况分别加以证明，缺一不可． 证明时不要颠倒充分性和必要性．4．自我检测(1)判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．① 3是12的约数；② 大角所对的边大于小角所对的边；③ π是无理数吗?④ 一个数不是质数就是合数．(2)写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题．① 原命题：若a =0，则ab =0② 原命题：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)① “AB +BC =AC ”是“A 、B 、C 三点共线”的___________条件；② “l ∥AB ”是“A 、B 到l 等距离”的________条件．③ “ab =0”是“a 2+b 2=0”的________条件．④ 若a ≠0，则“x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根”是“a+b+c =0”的_______条件．(4) ① “(1－|x |)(1+x )>0”是“|x |<1”的__________条件；② “a ≠1”是“a 2≠1”的________条件；③ “A ⊇B ”是“(A∩C )⊇(B∩C )”的_________条件 ．三、 课后巩固练习A 组1．若命题m 的逆命题是n ，命题m 的否命题是r ，则n 是r 的_______．(填逆命题、否命题、逆否命题)2．写出命题 “若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零”的逆命题，否命题，逆否命题．3．以下四个命题的的真假是 _________ ．(1)原命题：若一个自然数的末位数字为5，则这个自然数能被5整除；(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为5；(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为5，则这个自然数不能被5整除；(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为5．4．判断命题“若a ，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题的真假．5．判断命题“若m >0，则x 2+x －m =0有实根”的逆否命题的真假．6．写出命题“若x ≠y ，则x 2≠y 2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．7． 指出下列命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：|x |≤1，q ：|x |<2； (2)p ：x >－1，q ： |x |<1 ．8． 若a 、b 、c 都是实数，试从(A )ab =0；(B )a+b =0；(C )a 2+b 2=0；(D )ab >0；(E )a+b >0；(F )a 2+b 2>0，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a 、b 都为0的充分条件是________________；(2)使a 、b 都不为0的充分条件是______________；(3)使a 、b 中至少有一个为0的充要条件是____________；(4)使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是_______________．9．a 、b ∈R ，条件⎩⎨⎧>>11b a 是条件⎩⎨⎧>>+12ab b a 的_________． 10．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么非A 是非B 的什么条件? 11．⎩⎨⎧>>+44αββα是⎩⎨⎧>>22βα的______条件．12．设P ：{x |0<x <5}，Q ：{x ||x －2|<5}，则P 是Q 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．13．“a ≠0”是“ab ≠0”的______条件．14．“a 2－b 2是偶数”成立的______条件是“a －b =0”．15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么丙是甲的___________条件．16．方程3x 2－10x +k =0有两个异号的实根的充要条件是_____．17．下列四组条件：①甲：b a >； 乙：ba 11< ②甲：0<ab ； 乙：||||b a b a -<+③甲：b a =； 乙：ab b a 2=+④甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ； 乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a 其中甲是乙的充分但不必要条件的是____________(请把正确命题的序号填上)．B 组18．如果否命题为“若x +y ≤0，则x ≤0”，写出相应的原命题，逆命题与逆否命题．19．原命题为“末位数是0的整数，可以被5整除”，写出逆命题，否命题，逆否命题．20．把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．21．有下列命题：(1)“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；(2)“全等三角形是相似三角形”的否命题；(3)“若m >1，则关于x 的不等式mx 2－2(m +1)x －(m －3)>0的解集为R ”的逆命题；(4)“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中，是真命题的是___________ ．22．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_____个，真命题有______个．23．写出命题“若A ⊆B ，则A B =A ”的逆命题，并判断真假．24．设原命题是“当a >0时，若|x |<a ，则－a <x <a ”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．25．下列四个命题：①若a 、b 是无理数，则a +b 是无理数；②若A ∩B =A ，则A =B ；③x ≠2且y ≠3是x+y ≠5的充分不必要条件； ④00≥⇔≥ab ba 其中，假命题是________________(请把序号填上)26．已知直角坐标平面上四点坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，P 是y 轴上任意一点，试判断：P 在y 轴上是∠APD=∠BPC 的什么条件?27．已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么(1)s 是p 的什么条件? (2)r 是q 的什么条件? (3)在p 、q 、s 、r 中，哪几对互为充要条件?28．设条件p ：|43|1x -≤；条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．29．已知条件p ：ax 2+2ax +1>0的解集为R ；条件q ：0<a <1，则p 成立是q 成立的什么条件?30．设n N +∈,则一元二次方程有整数根的充要条件是= ． 31．求证：不等式mx 2+4mx +1>0的解集为(+∞∞-,)的充要条件是0≤m <14． C 组32．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ，b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么，命题Ⅰ、命题Ⅱ是否正确?33．定义在R 上的函数y =f (x －1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f (0) =1；(2)f (1)<1；(3)f (0)<0．5．其中正确的命题是 ．34．给出以下命题：①若04log )4(log 2<≤+a a a a ，则a 的取值范围是(1，∞+)； ②函数2log )(=x f )15(2+-x x 的单调递 减区间为)25,(-∞；③若数列{a n }前n 项之和为S n =3n －2，则数列{a n }的通项公式a n =2×3n －1；④若定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 240x x n -+=n为偶函数．则以上命题中正确命题的序号为 ．35．判断命题“若ab =0，则a ≠0且b ≠0”的否命题的真假．36．判断命题“若ab ≤15，则a ≤5或b ≤3”的否命题的真假．四、学习心得五、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”．命题A ：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x (a > 0)的图象与y = x 的图象至多有一个交点．”那么，命题A 的真值是_______．解：当a =1和0 < a < 1时，y = a x 与y = x 的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a = 2 ，则x =1时，y = a x = 2>1，(1， 2)在直线y =x 的上方；当x =2时，y = a x =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x = 2 2 < 3，(3， 22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x = 4，(4 ， 4)是两曲线的另一个交点；当x > 4时，(2)x > x ，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x 的图象与y =x 的图象有两个交点，故命题A 是假命题，其真值为0．点评：题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a > 1且a 比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a 较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A 是假命题．。
1.1.四种命题间的相互关系-人教A版选修2-1教案
1.1.四种命题间的相互关系-人教A版选修2-1教案一、命题的定义和三要素1. 命题的定义命题是陈述一个判断性的表达式，可以用真和假表示其真实性。
例如，四是偶数。
2. 命题的三要素命题的三要素是主语、谓语和表语。
在上述例子中，主语是“四”，谓语是“是偶数”，表语是“真”。
二、命题的种类1. 原命题原命题指在逻辑推理过程中，直接陈述判断结果的命题。
例如：今天下雨。
2. 复合命题复合命题是由两个或多个命题组合而成的。
根据组合方式，可以分为以下四类：（1）合取命题合取命题是由“与” 连接两个或多个简单命题而成，表示其中的每个命题都为真时，合取命题才为真。
例如：今天既是星期五又下雨。
（2）析取命题析取命题是由“或” 连接两个或多个简单命题而成，表示其中的至少一个命题为真时，析取命题即为真。
例如：今天既是星期五，或下雨。
（3）否定命题否定命题是由“不是”、“不” 连接一个命题而成，表示所否定的原命题的真假相反。
例如：今天不是星期五。
（4）条件命题条件命题是由“如果……，则……” 连接两个命题而成，其中前一命题叫做前件，后一命题叫做后件。
只有前件为真时，条件命题才有可能为真。
例如：如果今天下雨，我就不去上课。
3. 等价命题等价命题指在任何情况下均具有共同真假值的两个命题。
例如：•今天不下雨，等价于今天没有雨。
4. 充分必要条件充分必要条件是指两个陈述之间具有必要性和充分性的关系。
例如：•一个数是偶数，则它能被2整除。
•一个数能被2整除，那么它是偶数。
三、命题间的相互关系1. 逆命题逆命题是在条件命题中将“前件”和“后件”交换顺序并分别加入否定词所形成的命题。
例如：如果A成立，则B成立。
其逆命题为：如果B不成立，则A不成立。
2. 否命题否命题是在原命题前面加入否定词而形成的命题。
例如：原命题为“今天是晴天”，则否命题为“今天不是晴天”。
3. 反命题反命题是在原命题中将主语和谓语都加入否定词所形成的命题。
例如：原命题为“今天是晴天”，则反命题为“今天不是晴天，或者不是天气好”。
四种命题间的相互关系 学案 (1)
1.1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(难点)3．利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点，易错点)四种命题的概念【问题导思】给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．四种命题的关系1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系四种命题的真假关系【问题导思】1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.(对应学生用书第5页)四种命题的概念把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.四种命题真假的判断写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C．②③D．①【解析】①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程x2＋x－m＝0无实根，∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－14.故m≤0，为真命题．故正确的命题是①，③选B.【答案】 B等价命题的应用若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a ＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a－7＜0，解得a＜74.因此a＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.(对应学生用书第6页)因否定错误致误写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.1．(2013·福州高二检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1【解析】“a＋b＝1”，“a2＋b2≥12”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜12”，故否命题为：“若a＋b≠1，则a2＋b2＜12”．【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】当x2＋x－6≠0时，x≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.【解】(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是()A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p 【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C ．“若x 2＝9，则x ＝3”的否命题D ．“对顶角相等”的逆命题【解析】 A 中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B 中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C 中命题的否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”为真命题；D 中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D 二、填空题6．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________． 【答案】 若A ∪B ≠B ，则A B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题： ①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解． ②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题． 其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ① 三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.。
《四种命题间的相互关系》 学历案
《四种命题间的相互关系》学历案一、学习目标1、理解四种命题的概念，掌握四种命题的形式。
2、了解四种命题之间的相互关系，能通过推理判断命题的真假。
3、体会逻辑推理在数学中的重要性，提高思维的严谨性和逻辑性。
二、学习重难点1、重点（1）四种命题的形式及相互关系。
（2）利用四种命题的关系判断命题的真假。
2、难点（1）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题。
（2）理解互为逆否命题的两个命题真假性相同。
三、知识链接1、命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。
2、命题的结构：命题通常由条件和结论两部分组成，可以写成“若p，则q”的形式，其中 p 是条件，q 是结论。
四、学习过程（一）四种命题的概念1、原命题：若 p，则 q。
例如：若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角相等。
2、逆命题：若 q，则 p。
对于上述例子，逆命题为：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等。
3、否命题：若¬p，则¬q。
原命题的否命题为：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角不相等。
4、逆否命题：若¬q，则¬p。
例子的逆否命题为：若一个三角形两条边所对的角不相等，则这两条边不相等。
（二）四种命题之间的相互关系通过观察和分析可以发现，四种命题之间存在着一定的相互关系。
原命题与逆命题：它们的条件和结论相互交换。
原命题与否命题：它们的条件和结论都被否定。
原命题与逆否命题：它们的条件和结论既相互交换，又都被否定。
（三）四种命题的真假关系1、原命题为真，其逆命题不一定为真。
例如：原命题“若 a ＞ 0，则 a^2 ＞0”为真，但逆命题“若 a^2 ＞ 0，则 a ＞0”为假。
2、原命题为真，其否命题不一定为真。
比如：原命题“若一个数是偶数，则它能被 2 整除”为真，否命题“若一个数不是偶数，则它不能被 2 整除”为假。
3、原命题为真，其逆否命题一定为真。
这是因为原命题与其逆否命题的真假性是相同的。
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原命题
若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否
互逆否
互为逆否
互
互逆
否
互1.1.3 四种命题间的相互关系
教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题
真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力.
教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一． 复习引入： 1. 教学四种命题的概念：
二．新课教授
1.四种命题间的相互关系 课本：思考（ppt ） 下列四个命题中，
（1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；
命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答）
归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系：
2.四种命题真假性之间的关系
（1）讨论：
①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系：
（学生回答）：原命题（1）为真
其逆命题（2）为假
其否命题（3）为假
其逆否命题（4）为真
发现有以下规律：
②（探究中）以“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，为假
其逆命题为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，为真
其否命题为：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，为真
其逆否命题为：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，为假
发现有另外的规律，Array
③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：同位角相等，两直线平行，为真
其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真
其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真
其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真
发现还存在以下规律：
④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：同位角不相等，两直线平行，为假 其逆命题为：两直线平行，同位角不相等，为假 其否命题为：同位角相等，两直线不平行，为假 其逆否命题为：两直线不平行，同位角相等，为假 发现：
（2）归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。
（让学生课下举例子验证）
并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。
3.例题分析：证明：若222p q +=，则2p q +≤.（教师引导→学生板书→教师点评）
三．小结：
四种命题的相互关系，以及它们之间的真假性关系，如何利用真假性关系进行推理证明。
四．作业：
1. 作业：教材P8页第2（2）题第3（1）题
板书：。