第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数

工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握柯西积分公式；2．熟练掌握高阶导数公式．教学重点及难点：重点： 柯西积分公式；高阶导数公式．难点： 柯西积分公式．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.5 柯西积分公式一、问题的提出0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末()f z z z -在0.z 不解析0() d ,Cf z z z z -⎰所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上0 () ,f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0()d Cf z z z z -⎰00() d .()Cf z z z z δ-⎰将接近于缩小，00()d Cf z z z z -⎰0001()d 2().Cf z z if z z z π==-⎰二、柯西积分公式定理 () , f z D C D 如果函数在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末001()()d .2πCf z f z z iz z =-⎰证 0 () , f z z 因为在连续0,ε∀>则()0,δε∃>0,z z δ-<当时 0()() .f z f z ε-<0 , ():z R R K δ<设以为中心半径为的正向圆周 0 ,z z R C -=全在的内部则()d Cf z z z z -⎰()d Kf z z z z =-⎰000()()()d d KKf z f z f z z z z z z z -=+--⎰⎰000()()2()d Kf z f z if z z z z π-=+-⎰00()()d Kf z f z z z z --⎰00()()d Kf z f z s z z -≤-⎰d 2π.Ks Rεε<=⎰上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式：001()()d 2Cf z f z z iz z π=-⎰关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C 内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2π0001()()d .2πi f z f z R e θθ=+⋅⎰三、典型例题例1 441sin 12 (1)d ;(2)d .213z z z z z izz z π==⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰⎰ 求下列积分 解 41s i n (1)d 2z z z izπ=⎰()s i n f z z =因为在复平面内解析 ()s i n f z z =因为在,复平面内解析由柯西积分公式41sin d 2z z z iz π=⎰12sin 2z i ziππ==⋅⋅0;=412(2)d .13z z z z =⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰ 4412d d 13z z z z z z ===++-⎰⎰2122i i ππ=⋅+⋅6.i π=例2 2d .1zz ez z =-⎰计算积分 解 () , zf z e =因为在复平面内解析12 , z z =<位于内由柯西积分公式12d 21zz z z ez i ez π===⋅-⎰2.e i π=例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分 解21(1)z z =+1()()z z i zi +-1()z z i z i+=-()f z =，1 () , 2f z z i -≤因为在内解析由柯西积分公式2121d (1)z i z z z -=+⎰121()d z i z z i z z i-=+=-⎰12()z ii z z i π==⋅+2122i iπ=⋅.i π=-例4 2223713, ()d , (1)CC x y f z f i zξξξξ++'+==+-⎰设表示正向圆周求解 根据柯西积分公式知, ,z C 当在内时2()2π(371)zf z i ξξξ==⋅++22(371),i z z π=++ ()2(67),f z i z π'=+故 1 , i C +而在内所以(1)2(613).f i i π'+=-+例5 2sin14 d , :(1) 1;12Czz C z z π+=-⎰计算积分其中1(2) 1;2z -=(3) 2.z =解 2112s i n 4(1)d 1z zz z π+=-⎰112s i n 41d 1z zz z z π+=-=+⎰1s i n 421z z i z ππ=-=⋅-;2i =(2)2112sin4d 1z zz z π-=-⎰112sin41d 1z zz z z π-=+=-⎰1sin 421z zi z ππ==⋅+;2i =(3) 由闭路复合定理, 得22sin4d 1z z z z π==-⎰2112sin4d 1z z z z π+=-⎰2112πsin4d 1z zz z -=+-⎰22i i =+.i =课堂练习 23d .(1)zz ez z z =-⎰计算积分 答案 0,1,1z z z ===-有三个奇点 123d (2).(1)zz ez i e ez z π-==+--⎰§3.6 解析函数的高阶导数．一、问题的提出问题: (1) 解析函数是否有高阶导数?(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数.(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 二、主要定理定理 () , f z n 解析函数的导数仍为解析函数它的阶:导数为()01!()()d (1,2,)2π()n n Cn f z fz z n i z z+==-⎰0 () C f z D z 其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简, 单闭曲线D 而且它的内部全含于证 0 ,z D 设为内任一点根据导数的定义, 0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆从柯西积分公式得 001()()d ,2Cf z f z z iz z π=-⎰ 001()()d ,2Cf z f z z z iz z zπ+∆=--∆⎰ 00()()f z z f z z+∆-∆001()()d d ,2C Cf z f z z z zi z z zz z π⎡⎤=-⎢⎥∆--∆-⎣⎦⎰⎰001()d 2()()Cf z z i z z z z z π=---∆⎰220001()1()d d 2()2()()CCf z zf z z z iz z iz z z z z ππ∆=+----∆⎰⎰2001()d 2()()Czf z I z z z z z z π∆=---∆⎰20()1d 2Cz f z s z z z z zπ∆≤---∆⎰() , f z C 因为在上解析,C 所以在上连续 () , f z C 故在上有界 0,M ∃>于是(),f z M ≤使得0 ,d z C 设为从到曲线上各点的最短距离 ,z ∆并取适当地小1 , 2z d ∆<满足0 ,z z d -≥则011 , z z d≤-00z z z z z z --∆≥--∆，012,z z zd≤--∆3,M LI zdπ<∆3,M LI zdπ<∆ .L C 这里为的长度 0,z ∆→如果0,I →那末0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆201()d ,2()Cf z z iz z π=-⎰再利用以上方法求极限 000()()lim z f z z f z z∆→''+∆-∆可得0302!()()d .2()Cf z f z z iz z π''=-⎰至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证()010!()()d .2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰ [证毕]高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.三、典型例题例1 , : 1. C z r =>计算下列积分其中为正向圆周522cos (1)d ;(2)d .(1)(1)zCCz ez z z z π-+⎰⎰解 5c o s (1) 1 ,(1)zC z z π=-函数在内处不解析 c o s z C π但在内处处解析 ()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式5cos d (1)Cz z z π-⎰(4)12(cos )(51)!z i z ππ==-5;12i π=-22(2),(1)zeC z i z =±+函数在内的处不解析 C i 在内以为中心作一个1 ,C 正向圆周2 ,i C -以为中心作一个正向圆周1222,,(1)zeC C C z +则函数在由根据复合闭路定理22d (1)zCez z +⎰122222d d (1)(1)zzC C eez z z z =+++⎰⎰122d (1)zC ez z +⎰122()d ()zC ez i z z i +=-⎰22(21)!()z z iie z i π='⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(1),2ii e π-=同理可得 222d (1)zC ez z +⎰ (1),2ii e π--+=于是22d (1)zCez z +⎰(1)2ii e π-=(1)2ii eπ--++(1)()2i ii e ie π-=--2(1)(cos1sin 1)2i π=--1.4i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭例2 342211cos (1)d ;(2)d (1)zz z z ez z z z z-==++⎰⎰求积分解 3(1) 1 ,z +函数在复平面内解析01 2 ,z z =-≤在内3,n =()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式3421d (1)z z z z =++⎰312[1]3!z i z π=-'''=+2;i π=21cos (2)d zz ez z z-=⎰cos ,zez -函数在复平面内解析00 1 ,z z =≤在内1,n =21cos d zz ez z z-=⎰2(cos )1!zz i ez π-='=2[cos sin ]zzz i ez ez π--==--2.i π=-∙例3 1d .( )z nz e z n z=⎰求积分为整数 解 (1)0,n ≤1 , z n ez z ≤在上解析由柯西－古萨基本定理得1d 0;zn z e z z ==⎰ (2)1,n =由柯西积分公式得1d z nz e z z==⎰2()zz i e π=⋅2;i π=(3)1,n >()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式1d z nz e z z=⎰(1)2()(1)!z n z i e n π-==-2.(1)!i n π=-例4 231 d .(2)Cz z z-⎰求积分:(1)32;(2)13.C z z -=-=其中 解 2312 0,(2)z z z z==-函数有两个奇点和(1)32,z -= 2, z =仅包含奇点31 (),f z z=取231d (2)C z z z -⎰ 321d (2)Cz z z =-⎰ 32211!z i z π='⎛⎫= ⎪⎝⎭3;8i π=-(2)13z -= 2 0 ,z z C ==两个奇点和都含在内12 0 2,C C 作简单闭曲线和分别包含和12 ,C C 和互不包含且互不相交根据复合闭路定理和高阶导数公式,231d (2)Cz z z-⎰ 12232311d d (2)(2)C C z z z zz z=+--⎰⎰12233211(2) d d (2)C Cz zz z zz -=+-⎰⎰ 2322121 2!(2)1!z z i i z z ππ=="'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3388i i ππ=-0.=作业和思考题：第三章习题 82),4) ,6)；92),4) ,5)．课后小结：（1）柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:001()()d .2Cf z f z z iz z π=-⎰（2）高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式()010!()()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰。