第2章关系模型及其数学基础

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数据库基础知识2

厂长
生产副厂长
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经营副厂长
车间主任
处长
部门经理
层次模型具有层次分明、结构清晰的优点。层次模型具有层次分明、结构清晰的优点。但只能反映实体一对多”的联系。间“一对多”的联系。
网状模型用图结构” 网状模型用“图结构”来表示数据之间的联系
网状数据模型反映现实世界较为复杂的事物间的联系。特点是: 网状数据模型反映现实世界较为复杂的事物间的联系。特点是: （1）可以有两个以上的根结点。可以有两个以上的根结点。一个父结点可以有多个子结点, （2 ）一个父结点可以有多个子结点, 一个子结点也可以有多个父结点。结点。专业系
2.1 数据模型概述
2.1.2 数据模型的组成三要素
1、数据结构——用于描述现实世界数据(系统)的静态特性数据结构——用于描述现实世界数据(系统) ——用于描述现实世界数据规定数据的存储和表示方式。规定数据的存储和表示方式。 2、数据操作—用于描述现实世界数据(系统)的动态特性数据操作—用于描述现实世界数据(系统) 是数据库中各种数据的操作集合以及相应的操作规则。是数据库中各种数据的操作集合以及相应的操作规则。如：创建、插入、替换、删除、查询、统计等操作。创建、插入、替换、删除、查询、统计等操作。 3、数据的约束条件—一组完整性规则的集合数据的约束条件— 是给定的数据模型中的数据及其联系所具有的制约和依存关系，用以保证数据的正确、有效、相容。用以保证数据的正确、有效、相容。如：有效性规则，参照完整性，触发器等。有效性规则，参照完整性，触发器等。
层次模型用树结构” 层次模型用“树结构”来表示数据之间的联系
把客观问题抽象为一个严格的自上而下的层次关系。把客观问题抽象为一个严格的自上而下的层次关系。其特点是：(1)只有一个根结点. 其特点是：(1)只有一个根结点. 只有一个根结点 (2) 一个父结点可以有多个子结点 , 但每个子结点只能有一个父结点。结点只能有一个父结点。

关系模型

n
M=
mi
i 1
例如：上述表示教师关系中姓名、性别两个域的笛卡尔积为：
D1×D2={（李力，男），（李力，女），（王平，男），（王平，女），（刘伟，男），（刘伟，女）}
其中：
李力、王平、刘伟、男、女都是分量
（李力，男），（李力，女）等是元组
其基数M=m1×m2=3*2=6 元组的个数为6
例如：“学生关系”中的每个学生的学号是唯一的，“选课关系”中“学号+课程号” 的组合也是唯一的。对于属性集“学号+课程号” 去掉任一属性，都无法唯一标识选课记录。
返回
21
如果一个关系中有多个候选键，可以从中选择一个作为查询、插入或删除元组的操作变量，被选用的候选键称为主关系键(Primary Key)，或简称为主键、主码、关系键、关键字。
如表2.3所示：
姓名
性别
张雪
女
张兰
女
T1和T2是同类关系。
返回
13
4. 数学上关系是笛卡尔积的任意子集，但在实际应用中关系是笛卡尔积中所取的有意义的子集。例如在表2.1 中选取一个子集构成如下关系，显然不符合实际情况
姓名李力李力
性别男女
在关系模型中，关系可进一步定义为：
定义在域D1，D2，……Dn（不要求完全相异）上的关系由关系头（Heading）和关系体（Body）组成。
由定义可以看出，笛卡尔积也是一个集合。
其中：
1. 元素中的每一个 di叫做一个分量 (Component)，来自相应的域（di∈Di）
2. 每一个元素（d1，d2，d3，…，dn）叫做一个n元组（n-tuple），简称元组（Tuple）。但元组不是di的集合，元组的每个分量（di）是按序排列的。如：

机械控制工程基础第二章控制系统的数学基础和数学模型

动态模型反映系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性，现时输出还
由受其以前输入的历史的影响，一般以微分方程或差分方程描述。在控制
理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用
动态数学模型。
例:
••
•
系统动态模型：m x(t) c x(t) kx(t) F (t)
•
••
当系统运动很慢时，其 x 0, x 0，上式可简
5.初值定理
若L[f(t)]=F(s)，则
f (0 ) lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
6.终值定理
若L[f(t)]=F(s)，则有
f () lim f (t) lim s F(s)
t
s0
7.延迟定理
若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有
L f (t a) f (t a)estdt eas F (s) 0
ic
1 C
dui dt
R C uo(t)
例5 写出下图电气系统的微分方程
R1 L1
L2
①
u(t)
i1( t ) C
i2 ( t ) uc( t )
R2
解：
u(t)
i1 R1
L1
di1 (t) dt
uc
(t)
(1)
uc (t)
L2
di2 (t) dt
i2 R2
(2)
uc
(t)
1 C
(i1 - i2 )dt
j0
i0
若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统。（m≥n)

第二章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。

I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。

（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。

●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。

—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。

数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。

第二章-1-建模基本概念-电路-传递函数-方块图

2
1 RCs RC 1
电路及组成
例2：电阻电感电容（RLC）串联电路
1 LDi Ri ie CD
uR
L 1 DuR uR e R RCD
d 2uc (t ) duc (t ) T1T2 T2 uc (t ) e 2 dt dt
• 上述方程是线性定常微分方程。由这种方程描述的系统又称为线性时不变（ linear time-invariant, LTI ）系统。由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
的方块图。
U
ei
i
R
U
o
I
1
Cs
e0
1 U0 I , Cs
U
i
Ui Uo I R
I
1 Cs
1 R
U
o
传递函数
U o (s) 1 U i(s) RCs 1
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
考察标号为***的方程（称为一阶微分方程）
de0 T e0 ei dt
控制轨迹
***
19
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
y x
A KA 0.632KA
de0 T e0 ei d dt
***
y (t ) KA(1 e
T1 T2
t
T
)
t 时域响应分析：当 t=0, y(0)=0, 当 t=T, , 当
t
dy dt
t
t 0

KA T dy dt 0
y (T ) KA(1 e 1 ) 0.632 KA
图 2.1
va
LD R LD
vb
16

关系模型_大学计算机基础教程（第2版）_[共3页]

144支持层次数据模型的DBMS称为层次数据库管理系统，在这种系统中建立的数据库是层次数据库。

层次数据模型不能直接表示出多对多的关系。

2．网状模型在现实世界中事物之间的联系更多的是非层次关系的，网状结构可以更直接地去描述现实世界。

用网状结构表示实体之间联系的数据模型称网状模型，它反映着现实世界中实体间更为复杂的联系。

与层次模型相区别，网状模型的主要特征为：允许一个以上的结点无双亲结点；一个结点可以有多于一个的双亲结点，如图5-14所示。

图5-14 网状模型示例下面我们以学生选课为例，一个学生可以选修若干门课程，某一课程可以被多个学生选修，因此学生与课程之间是多对多联系。

为此引进一个学生选课的联结记录，它由3个数据项组成，即学号、课程号、成绩，表示某个学生选修某一门课程及其成绩。

这样，学生选课数据库包括学生、课程和选课，图5-15为学生选课数据库的网状数据库模式。

图5-15网状数据库模式支持网状数据模型的DBMS称为网状数据库管理系统，在这种系统中建立的数据库是网状数据库。

3．关系模型用二维表格结构表示实体及实体之间联系的数据模型称为关系模型。

关系模型有严格的数学基础，是以数学的集合论——关系代数为理论基础的，抽象级别比较高，简单清晰而且便于理解和使用。

支持关系数据模型的DBMS称为关系数据库管理系统，在这种系统中建立的数据库是关系数据库。

下一节将详细介绍关系模型及其数学背景。

5.2.4 关系模型关系模型的用户界面非常简单，一个关系的逻辑结构就是一张二维表。

这种用二维表的形式表示实体和实体间联系的数据模型称为关系数据模型。

关系模型由关系数据结构、关系操作集合及关系完整性约束三部分组成。

第2、3章概念模型和关系模型复习要点

总体要点：实体与联系、E-R图画法、关系模型、E-R图向关系模型的转换、关系模型的数学基础（关系代数）一概念模型: 实体-联系模型。

实体：可以相互区分的事物。

实体集：同类实体的集合。

联系：实体集之间的相互关联。

候选码是在一个实体集（或联系集）中可以用于区分不同实体的单个属性或若干属性的组合。

主码：当一个实体集中有多个候选码，可以选定其中的一个作为主码。

联系—实体集之间的对应关系：一对多联系(1:n) 多对多联系(n:n)一对一联系(1:1) 注意：两个方向结合才能判断一个联系的类型。

二逻辑模型概念模型（实体-联系）只能反映信息世界的抽象表示，还没有反映组织数据和操作数据的方式。

逻辑模型完成此项任务。

逻辑模型要体现三个方面的特征：1）数据结构，描述数据用什么结构组织起来；2）数据操作，描述可以对数据进行哪些操作；3）数据约束，描述数据规则从而保证数据完整。

关系数据模型的特点：用表及表间关联表示数据组织结构；用关系操作表示数据操作；包含一组完整性约束规则。

关系模型的基本概念关系：将一个没有重复行、重复列的二维表看成一个关系。

属性：二维表的每一列在关系中称为属性。

元组（记录）：二维表的每一行在关系中称为关系的一个元组。

关键字：用于区分不同元组的属性或属性组合。

关系中能够作为关键字的属性或属性组合不是唯一的。

凡在关系中能够区分不同元组的属性或属性组合，成为候选关键字，在候选关键字中选择一个作为关键字，成为主关键字或主键。

主键是唯一的。

外部关键字：如果关系中某个属性（或属性组合）是另一个关系的关键字，则称此属性（或属性组合）为本关系的外部关键字。

外部关键字体现联系。

设计关系型数据库中，要明确给出数据库需要哪些关系（表），每个关系有哪些属性，把这些称为数据库的关系模式。

逻辑模型设计阶段的任务就是设计出整个数据库的关系模式。

从概念模型设计的结果——E-R图中，可以导出关系模式，导出方法遵循两点原则：E-R图中的每个实体，都转换成一个关系模式。

02《数据库》第二章关系数据模型 #

• 记为 <条件F>(关系R)={t|t ∈R ∧F(t)=“真”}
• 结果关系的所有属性都是原关系的属性。 • 结果关系的所有元组都是原关系的元组。
• 例如：在学生表中将98管理班同学全部
学号找出姓来名。出生年月性别班级
0001 • 李伟 <班19级80=.1‵2.0938管男理′>(学9生8管表理)
性、参照完整性和用户定义的完整性。 • 实体完整性：主码的任何属性值都不能为空。 • 参照完整性：若A是基本关系R1的外码。它与
基本关系R2的主码K相对应，则R1中每个元组在A上的值必须为以下情况之一。 • 等于R2中某个元组的主码值。 • 取空值（A的每个属性值均为空值）。
• 例如：职工关系（职工号，姓名，…部门编号）和部门关系（部门编号，部门名称，…）。
班级 98管理 98管理 98管理 98管理
学号课程号成绩
0001 01
85
0001 02
70
0003 01
80
0003 02
90
• 自然连接 • （学生表）（成绩表）
学号姓名 0001 李伟 0001 李伟 0003 赵兰 0003 赵兰
出生年月性别 1980.12.03 男 1980.12.03 男 1979.05.26 女 1979.05.26 女
《数据库技术原理与应用》
章、关系数据模型基础理论
TEL: Email:
本章教学内容
一、关系模型的基本概念二、关系代数三、关系演算四、查询优化五、关系系统
一、关系模型的基本概念
1、关系模型的数学定义：关系模型是建立在数学理论基础上的。定义（1）域：域（Domain)是值的集合

关系数据库重点

第2章关系数据库教学课时：6课时本章学习目标：1.掌握数据模型的基本概念2.掌握实体-联系模型3.掌握关系模型的概念和性质4.掌握关系的完整性规则5.掌握关系数据库的规范化理论、范式的基本概念和分解方法教学重点：1.关系数据模型2.关系的规范化3.关系完整性教学难点：1.实体—联系模型2.关系模型的三要素3.范式4.实体完整性5.参照完整性教学方法：讲授法、讲解法、演示法、讨论法教学过程及内容：2.1 数据模型2.1.1 数据模型的概念一般地讲，数据模型是严格定义的一组概念的集合。

这些概念精确地描述了系统的静态特性、动态特性和完整性约束条件。

因此，数据模型通常由数据结构、数据操作和数据的完整性约束三部分组成。

1. 数据结构数据结构是所研究的对象类型的集合，这些对象是数据库的组成成分。

2. 数据操作数据操作是指对数据库中各种对象型的实例(如关系模型中的关系的值)所允许执行的操作的集合，包括操作及有关的操作规则。

数据库主要有检索和更新(包括插入、删除、修改)两大类操作。

3. 数据的完整性约束条件数据的完整性约束条件是一组完整性规则的集合。

完整性规则是给定的数据模型中数据及其联系所具有的制约和依存规则，用以限定符合数据模型的数据库状态以及状态的变化，以保证数据的正确、有效、相容。

2.1.2 数据之间的联系数据模型是数据库系统的核心和基础，各种数据库管理系统都是基于某种数据模型的。

而具体的数据库管理系统所支持的数据模型不便于非计算机专业人员理解和应用。

概念模型用于信息世界的建模，是现实世界到信息世界的第一层抽象。

它不是面向机器实现，而是面向现实世界，是按照用户的观点来对数据和信息建模。

图2.1 数据抽象层次现实世界抽象信息世界概念模型转换机器世界DBMS支持的数据模型1. 实体及其属性1) 实体客观存在并可相互区分的事物称为实体。

2) 属性实体所具有的某一特性称为属性。

3) 实体和属性的型与值实体和属性有型与值之分。

《数据库技术与应用》第2章习题答案

第2章数据模型1.试述数据模型的概念、数据模型的作用和数据模型的三个要素。

解：数据模型是数据库中用来对现实世界进行抽象的工具,是数据库中用于提供信息表示和操作手段的形式构架。

一般地讲,数据模型是严格定义的概念的集合。

这些概念精确描述了系统的静态特性、动态特性和完整性约束条件。

因此数据模型通常由数据结构、数据操作和完整性约束三部分组成。

(1)数据结构：是所研究的对象类型的集合,是对系统静态特性的描述。

(2)数据操作：是指对数据库中各种对象(型)的实例(值)允许进行的操作的集合,包括操作及有关的操作规则,是对系统动态特性的描述。

(3)数据的约束条件：是一组完整性规则的集合。

完整性规则是给定的数据模型中数据及其联系所具有的制约和依存规则,用以限定符合数据模型的数据库状态以及状态的变化,以保证数据的正确、有效、相容。

2.模型的作用。

解：模型用于对客观事物及其联系进行有效的描述与刻画。

模型是对现实世界特征的模拟和抽象。

数据模型是现实世界数据特征的抽象，是用来描述数据的一组概念和定义。

不同的数据模型提供给我们模型化数据和信息的不同工具。

3.概念模型中以下术语：实体，实体型，实体集，属性，码，实体联系图(E-R图)解：实体：客观存在并可以相互区分的事物叫实体。

实体型：具有相同属性的实体具有相同的特征和性质,用实体名及其属性名集合来抽象和刻画同类实体,称为实体型。

实体集：同型实体的集合称为实体集。

属性：实体所具有的某一特性,一个实体可由若干个属性来刻画。

码：惟一标识实体的属性集称为码。

实体联系图(E-R 图)：提供了表示实体型、属性和联系的方法：·实体型：用矩形表示,矩形框内写明实体名；·属性：用椭圆形表示,并用无向边将其与相应的实体连接起来；·联系：用菱形表示,菱形框内写明联系名,并用无向边分别与有关实体连接起来,同时在无向边旁标上联系的类型(1:1,1:n 或 m:n)。

不同的联系。

自动控制原理第二章

例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程变换传递函数频率特性

《数据库系统原理》习题-第二章关系数据模型

第二章关系数据模型一、选择题1.常见的数据模型是A.层次模型、网状模型、关系模型B.概念模型、实体模型、关系模型C.对象模型、外部模型、内部模型D.逻辑模型、概念模型、关系模型答案：A2. 一个结点可以有多个双亲，结点之间可以有多种联系的模型是A.网状模型B.关系模型C.层次模型D.以上都有答案：A3．层次型、网状型和关系型数据库划分原则是A）记录长度B）文件的大小C）联系的复杂程度D）数据之间的联系答案：D4．层次模型不能直接表示A）1：1关系B）1：m关系C）m：n关系D）1：1和1：m关系答案：C5.层次数据模型的基本数据结构是A.树B.图C.索引D.关系答案：A6.层次模型实现数据之间联系的方法是A.连接B.指针C.公共属性D.关系答案：B7．用二维表结构表示实体以及实体间联系的数据模型称为A．网状模型B．层次模型C．关系模型D．面向对象模型答案：C8.关系数据模型的基本数据结构是A.树B.图C.索引D.关系答案：D9.下面关于关系性质的说法，错误的是A.表中的一行称为一个元组B.行与列交叉点不允许有多个值C.表中的一列称为一个属性D.表中任意两行可能相同答案：D10．下列所述数据模型概念，不正确的是A)不同记录型的集合B)各种记录型及其联系的集合C)E-R图表示的实体联系模型D)数据库的概念模型答案：A11．关系数据模型A）只能表示实体之间1：1联系B）只能表示实体之间1：m联系C）只能表示实体之间m：n联系D）可以表示实体间的任意联系答案：D12.存取路径对用户透明，从而具有更高的数据独立性、更好的安全保密性，简化程序员和数据库开发建立工作的模型是A.网状模型B.关系模型C.层次模型D.以上都有答案：B13．对关系模型叙述错误的是A）在严格的数学理论、集合论和谓词基础之上B）微机DBMS绝大部分采取关系数据模型C）用二维表表示关系模型是其一大特点D）不具有连接操作的DBMS也可以是关系数据库系统答案：D14.关系数据模型是目前最重要的一种数据模型，它的三个要素分别是A.实体完整性、参照完整性、用户自定义完整性B.数据结构、关系操作、完整性约束C.数据增加、数据修改、数据查询D.外模式、模式、内模式答案：B15．实体是信息世界中的术语，与之对应的数据库术语为A）文件B）数据库C）字段D）记录答案：D16．同一个关系模型的任两个元组值A）不能全同B）可全同C）必须全同D）以上都不是答案：A17．在通常情况下，下面关系中不可以作为关系数据库的关系是A）R1（学生号，学生名，性别）B）R2（学生号，学生名，班级号）C）R3（学生号，学生名，宿舍号）D）R4（学生号，学生名，简历）答案：D18．一个关系数据库文件中的各条记录A）前后顺序不能任意颠倒，一定要按照输入的顺序排列B）前后顺序可以任意颠倒，不影响库中的数据关系C）前后顺序可以任意颠倒，但排列顺序不同，统计处理的结果就可能不同 D）前后顺序不能任意颠倒，一定要按照关键字段值的顺序排列答案：B19.下面的选项不是关系数据库基本特征的是A. 不同的列应有不同的数据类型B. 不同的列应有不同的列名C. 与行的次序无关D. 与列的次序无关答案：A20．关系模式的任何属性A）不可再分B）可再分C）命名在该关系模式中可心不惟一D）以上都不对答案：D21．关系中任何一列的属性取值A)可以再分成更小的数据项，并可取自不同域中的数据B)可以再分成更小的数据项，不能取自不同域中的数据C)不可再分的数据项，只能取自同一域中的数据D)不可再分的数据项，可取自大在不同域中数据答案：C22．关系模型中，一个关键字是A）可由多个任意属性组成B）至多由一个属性组成C）可由一个或多个其值能唯一标识该关系模式中任何元组的属性组成D）以上都不是答案：C23．关系数据库中的关键字是指A）能惟一决定关系的字段B）不可改动的专用保留字C）关键的很重要的字段D）能惟一标识元组的属性或属性集合答案：D24.一个关系只有一个A. 候选关键字B.外关键字C.超关键字D.主关键字答案：D25.关系模型中，一个关键字是A. 可以由多个任意属性组成B. 至多由一个属性组成C. 由一个或多个属性组成，其值能够惟一标识关系中一个元组D. 以上都不是答案：C26．有一名为”销售”实体，含有：商品名、客户名、数量等属性，该实体主键A)商品名B)客户名C)商品名+客户名D)商品名+数量答案：C27．有殒为”列车运营”实体，含有：车次、日期、实际发车时间、实际抵达时间、情况摘要等属性，该实体主键是A)车次B)日期C)车次+日期D)车次+情况摘要答案：C28.在订单管理系统中，客户一次购物（一张订单）可以订购多种商品。

第二章系统的数学模型

2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出的一种系统描述方法

第第二章控制系统的数学模型

1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]

土地信息系统知识点汇总

土地信息系统知识点汇总第一章1 .信息与数据信息是一个抽象的概念，是客观世界事物的特征及诸事物之间相互关系的一种抽象反应。

数据（data）是为了满足处理，传播的需要，通过文字、数字、符号、图形、图像和声音等多种可以识别的符号或介质表示或者记录事件、事物、现象等的内容、数量或特征的信息载体。

2 .土地信息特征空间特征：土地属于空间信息，其空间位置的识别是和数据联系在一起的，这是土地信息区别与其他类型信息的最显著的标志。

多维特征：在二维空间的基础上，土地信息还具有多维的属性特征，对应的土地数据有时又称为非空间数据，是描述特定空间目标的自然、经济或社会特征的定性或定量指标。

时变特征：地球自身和人类活动使得土地系统一直处于动态变化之中，因此土地信息时序变化的特征如周期性变化，波动性变化十分明显。

3 .土地信息系统的基本构成土地信息系统的基本构成要素包括硬件设备、计算集软件设备、数据和用户。

4 .土地信息系统的主要功能与其他应用软件一样，土地信息系统一般包括数据输入，预处理，数据库管理，数据处理，产品输出，以及用户接口等等。

土地信息系统采集、管理土地数据，分析和输出土地数据的主要功能如下：1）数据采集、检验与编辑。

2）数据格式化、转换、概化。

3）数据存储与组织。

4）查询、统计与计算。

5）空间决策分析。

6）信息显示与输出。

第二章1地球椭球体大地水准面是一个假想的与处于流体静力平衡状态的海洋面重合，并延申扩展到大陆内部形成的不规则的闭合曲面。

大地水准面是一个重力等位面。

测量上把与大地水准面符合的最理想的旋转椭球体叫地球椭球体。

2 .参考椭球体参考椭球体是一个数学定义上的地球表面，就是一种具有几何参数的地球椭球，通常以参考椭球体的长半轴a、短半轴b和扁率阿尔法来表示地球的形状和大小。

我国在1952年以前采用的是还福特椭球体，从1953年起改用克拉索夫斯基（北京1954坐标系），1978年决定采用1975年第十六届国际大地测量以及地球物理联合会推荐的新球体，称为GRS （1975）,并以此建立了我国独立的大地坐标系（西安1980坐标系）。

第二章关系模型及关系运算(简略)

18
2.3关系运算

8）除法运算：关系R（X，Y），关系S（Y， Z），其中X，Y，Z为属性组，R的Y和S的Y属性名可以不同，但必须出自相同的域集，则 R/S=关系P（X）。 9）外连接运算：连接运算中如果把舍弃的元组也保存在结果中，无值的属性上填空值（NULL）。左外连接和右外连接。注意：与乘积运算的区别。 10）外部并运算：关系R和S不相容，外部并是由R或S的所有属性组成，没有具体值的属性为NULL。
7
2.1 关系的定义和性质
现实世界两个实体型间
1:1 信息世界 ER模型关系模型两个实体型间 1:N(1:1) 两个实体型间 1:N(1:1) 无联系表，主外键 M:N 建立联系表 M:N 1:N M:N 同一实体型内 1:N 同一实体型内 1:N 增加标识属性 M:N 建立联系表 M:N 多个实体型间 M:N:S 多个实体型间 M:N:S 建立一个联系表
1
2.1 关系的定义和性质

2.1.1关系的定义域(Domain)：是一组具有相同数据类型的值的集合。笛卡尔积(Cartesian Product)：属性A1, A2,…, An，对应域D1, D2,…, Dn，笛卡尔积D= D1,xD2x…x Dn= {(d1,d2,…,dn)| di∈Di, i= 1,2,…,n}，其中每一个元素 (d1,d2,…,dn)叫做一个元组，元素中每一个值di叫做一个分量(Component)。笛卡尔积可列成一张二维表。关系R：D的子集D’叫做在域D1, D2,…, Dn上的关系。 --值
4
2.1 关系的定义和性质
2.1.2关系具有的性质： 1）列是同质的，来自同一个域； 2）不同的列可出自同一个域，但每一个列（属性）要有不同的属性名； 3）数据项的原子性，每一个分量都必须不可分； 4）任意两个元组的候选码不能相同，没有完全相同的记录； 5）列（属性）排列次序、行（记录）排列次序可任意交换；关系模式稳定，而关系（实例）在变化。

第2章系统的数学模型(拉普拉斯变换)

t
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系。一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,

t 0 t 0
0

dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2

s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2

《控制工程基础》课件-第二章

4/21/2023
27
第二章数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
4/21/2023
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
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20
第二章数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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12
第二章数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2

第2章关系代数与关系数据库理论

22
01 传统的集合运算（举例）
R和S ➢ 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） ➢ 相应的属性取自同一个域
23
01 传统的集合运算（举例）
24
关系代数及其运算
关系的数学定义关系代数概述传统的集合运算专门的关系运算
01
PART ONE
01 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。为了叙述上的方便，先引入几个记号： (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R， t∈R 表示t是R的一个元组，t[Ai]表示元组t中相应于属性Ai 上的一个分量。 (2)若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1， A2，…，An中的一部分，则A称为字段名或域列。 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组 t 在字段名 A 上诸分量的集合。 Aഥ 表示{A1，A2，…，An)中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
10
01 关系的数学定义
➢ 基数（Cardinal number） • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为 mi（i＝1，2，…，n} • 则D1×D2×…×Dn的基数M为：
➢ 笛卡尔积的表示方法 • 笛卡尔积可表示为一个二维表。 • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域。
11
例1：查询学生的学号和姓名。 ➢πSno，Sname(Student)或π1，2(Student) ➢ 查询结果：
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01 专门的关系运算
连接（Join） ➢ 连接也称为θ连接 ➢ 连接运算的含义： • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组 • A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 • θ：比较运算符 ➢ 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。