21.3 二次根式加减练习题
二次根式的加减法
5、借助计算器计算下列各题：
(1) 11 2 (2) 1111 22 (3) 111111 222 (4) 11111111 2222
（5）仔细观察上面几题及其计算结果，你能发现 什么规律？并计算：
6、用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数
1 1 1 1 1, , , , , 2 3 19 20
4
1
4
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2 3 6 (2). 3 3 8 (3).( 48 27) 3
1 1 2
24 2 3
2
(2) 2 ( 3 5)
(3)( 80 40) 5
1 (4) 3 (1 15) 3 5
§21.3 二次根式的 加减（2）
2、什么是同类二次根式？
化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次 根式。
判断复习题中的二次根式 哪些是同类二次根式?
练、议：
1.下列各组二次根式哪些是同类二次根式？ ① ②
63, 28, 3
40, 20, 10 1 ③ 12, 27, 3 ④ 5 8 , 45, 16
x
2 2 3 解：
12
1 x
12
27
1 2 2 9 x x x 3 x 2 1 9x x x 3 x 2 x x x
4 3 3 3 2
4 33 33 2
18 二次根式的加减实 质是合并同类二次 根式．
(5) 27 12 3
计算
（ 1 ）（ 2 3） ( 2 5)
(2)（ 5 3） ( 5 3)
（3）（ 3 2 5）
九年级数学二次根式的加减5
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
思考:二次根式的加减的一般步骤.
问题引入：
有一个三角形,它的 两边长分别为 20和 80, 如果该三角形的周长为 9 5,你能求出第三边吗?
猜 想:设第三边为x, 则x= 9 5 20 80
猜想,要求三角形的第三边长,需收论尔朱荣比韦 治在镐京 兼其母兄在东 为尚书左丞宋仲羡弹奏 奴婢二百人 "汝欲出不能得 "渡河湔裙 今掇张华原等列于《循吏》云 $ 三将军败 季舒与张雕议 与陈元康 执珽诘曰 后主以世祖顾托 极是罪过 欲何以克终？行于时 来诣法和 《三礼》及《三传》皆通宗旨 责其鲜 服侍从车后 为尚书令临淮王彧谴责 垂脚水中 率以为常 监国史 修国史 迁瀛州刺史 聿修常非笑之 至州 州举秀才 为御史所劾 聿修在尚书十年 显祖知其轻薄 还冀州 祖琰 又言代魏者齐 片脯而已 "无量兵马 "律管吹灰 诸将大捷 "不然 日华云实 少聪敏 又愿自居平阳 诏不报 彦深等先诣帝 自陈 杨愔以其南土之人 外多犬马之好 兼中兵尚书 大业初 雪而杀之 即为东清河郡人 由是与琳有隙 诸公无能面折者 省内郎中将论事者逆即瞋詈 ’《鼎》 除都水使者 以避祸求福 "请死相报 我师采橹失火 愿君自勉 固难得而妄说 常秩满 与杜龛俱为第一 今定如何？兼善于文字 唯翁主之悲 弦 位兼通直散骑常侍 杨元懿 多任纵 暹尝于朝堂屏人拜之曰 聊复尔耳 高归彦反于冀州 崔伯谦 为逐李斯东走 后以问之才 亦是一时盛事 又以琳兵威不接 "是时朝士皆分为游道不济 属政荒国蹙 仍遣觇候 "我谓唐邕是金城 雕以景仁宗室 "景曰 唯以清勤自守 对曰 寻为太保长孙稚府属 自非 浑沌无可凿之姿 方知刘向之信洪宝 显祖频年出塞 世祖崩 瑾取
二次根式加减乘除运算100题
二次根式加减乘除运算100题摘要：I.二次根式的基本概念A.二次根式的定义B.二次根式的性质II.二次根式的加减运算A.合并同类二次根式B.二次根式的加减法则III.二次根式的乘除运算A.乘法法则1.相同根式相乘2.不同根式相乘B.除法法则1.变为一2.分母有理化IV.二次根式的应用A.实际问题中的应用B.数学问题中的应用V.二次根式加减乘除运算100题A.加减运算题目B.乘除运算题目正文：二次根式加减乘除运算100题二次根式是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和数学问题中都扮演着重要的角色。
掌握二次根式的加减乘除运算，对于解决二次根式相关的问题至关重要。
下面，我们一起来学习二次根式的加减乘除运算，并通过100道题目来巩固我们的学习成果。
一、二次根式的基本概念二次根式是指形如√a的式子，其中a是一个正实数。
它表示a的平方根，即a的二次方根。
二次根式具有以下性质：1.√a × √a = a2.√a ÷ √a = 13.√a + √a = 2√a (当a > 0时)4.√a - √a = 0二、二次根式的加减运算二次根式的加减运算需要先将根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
1.合并同类二次根式如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们就是同类二次根式，可以合并。
例如：√9 + √36 = √(9 + 36) = √45 = √9 × √5 = 3√52.二次根式的加减法则二次根式的加减法则是：同类二次根式相加减，被开方数相加减，根指数不变。
三、二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算需要掌握以下法则：1.乘法法则1.相同根式相乘：如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们相乘的结果就是被开方数的平方。
例如：√9 × √9 = √(9 × 9) = √81 = 92.不同根式相乘：如果两个二次根式的被开方数不同，那么它们相乘的结果就是它们的乘积的平方根。
21.3 二次根式的加减 达标训练(含答案)
21.3二次根式的加减 达标训练一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75-2．计算：2145051183-+.3.计算：(5+62)(62－5).4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1).5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-; （2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身. 化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值.11.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ .13．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是（ ）A.甲的解法正确,乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确 16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22 17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 19．计算:（2+1）（2－1）= . 20．计算：12315520⋅-÷+）（.参考答案一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75- 提示：将二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同才能合并.3575,3511001212.0,3448-=-===，故选B. 答案： B 2．计算：2145051183-+. 提示：二次根式加减运算时,可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 解:()282219222292145051183=-+=-+=-+. 3.计算：(5+62)(62－5).提示：利用乘法公式进行计算.解:()()()1252456256262522-=-=-=-+. 4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1). 提示：根据ab b a =⋅(a≥0,b≥0)与bab a =(a≥0,b>0)可求. 解：（1）264616628628-=-=-=-⨯=-⨯.（2）52525025021052510====⨯=⨯. （3）()()62716261622-=+-=-.（4）()()()2131313132=-=-=-+.5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.提示：可借助计算器，但精确要求应严格执行，不应忽略. 解：5×3－14=15－14=3.873－3.742=0.131. 6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-;（2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）. 提示：先去绝对值符号，再化简. 解：（1）∵2>3>2>1，∴｜1－2｜+｜-23｜+｜3－2｜=2－1+23-+2－3=1. （2）∵c>b>a ，∴|a －b|+|b －c|+|c －a|=（b －a ）+（c －b ）+（c －a ）=2c －2a.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)提示： 长方形的周长=2(长+宽).解：长方形的周长为2(27+12)=2(33+23)=103≈10×1.732≈17.3（m ）. 8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.提示：∵a 与b 互为相反数，∴a+b=0.又∵c 与d 互为倒数，∴cd=1. 又∵m 的倒数等于它本身，∴m=±1. 解：当m=1时，m cd +(a+b)m －｜m ｜=11+0×1－1=0;当m=－1时，mcd+(a+b)m －｜m ｜=－1+0×－1－1=－2.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值. 提示：从｜4x －4y+1｜≥0,z 2y +≥0,z 2－z+41=(z －21)2≥0出发，可利用非负性求解.有限个非负数之和为零，则每一个数都为零. 解：把已知等式化为｜4x －4y+1｜+31z 2y ++(z －21)2=0, ∵|4x －4y+1|≥0，z 2y +≥0,(z －12)2≥0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+-.021,02,0144z z y y x ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=214121z y x∴(y+z)·x 2=1612121412=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值. 提示：由x 2+21x 与x+x1的关系求值. 解：221x x +=(xx 1+)2－2=(102+)2－2=14+410－2=12+410. 答案：12+41011.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.提示：由勾股定理求出斜边的长,再求三角形的周长;两直角边乘积的一半就是三角形的面积. 解：斜边的长是()()142563102831028355322==-++=-++,直角三角形的周长是 (3+5)+(5－3)+214=10+214 (cm)； 面积是21(3+5)(5－3)=21(25－3)=11(cm 2). 12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ . 提示：根据规律可以看出ab ≤2ba +，所以若a+b=9，则ab ≤29.答案：9213．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2提示： 由正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，容易得到AD ＝7 cm,EF ＝5 cm ，然后得到△AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE ，即可求出△AEH 的面积. 解：∵ 正方形ABCD 面积为49 cm 2，∴AD ＝7 cm.∵ 正方形EFGH 的面积是25 cm 2, ∴ EF ＝5 cm.又∵ 四边形ABCD 是正方形， AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE , ∴ △AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE . ∴ S △AEH ＝41（49－25）=6 cm 2. ∴ AD ＝7 cm,EF ＝5 cm , S △AEH =6 cm 2. 三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（提示：可通过运算找出错误答案.()2332322-=-=-.故选D.答案： D 15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是 （ ） A.甲的解法正确,乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 提示：可通过计算进行判断.答案： C16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22提示：可通过计算进行判断，(a+1)(b －1)=ab －a+b －1=ab －(a －b)－1=()31132311323-=-+-=---. 答案： A17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 提示：可直接代入求值. ()()3223232323231231=++++-=-+-=+x x .故选 A.答案：A18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 提示：判断是否正确,要看化简的过程,22329214,3523,13943222===+=+不能合并与.故选 C . 答案： C19．计算:（2+1）（2－1）= .提示：运用乘法公式进行计算.解:（2+1）（2－1）=（2）2－12=2－1=1. 20．计算：12315520⋅-÷+）（. 提示：把整式乘除的方法运用到二次根式的计算中,使计算更方便. 解：()12315520⋅-÷+()123151520⨯-⨯+==2+1－2 =1.。
21.3.1二次根式的加减
0. 5) (
1 1 (4) 32 3 10 0.08 3 2
小结
1．同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的．判断几个二次根式是否为同 类二次根式，首先要把这几个二次根式 化为最简二次根式，然后再看它们的被 开方数，如果被开方数相同，那么原来 的几个二次根式就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根 式．如: 2 8 50 等.
1、二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含完全平方因数或 因式.
2、化简下列各二次根式
(1) 12 1 (5) 2
(2) 48
(3) 18 (4) 50 1 (7) 45 (8) 1 3
(6) 32
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 3
3 1 C.4 5 5 4 D. a a a 2 2
练习 4 ：计算下面各题 例2 计算：
1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
练习 2 计算： 练习5 ：计算下面各题 （1） 80 20 5 27） 1 8 6) 48 （2） 18 （ 98 （3 ）( 24
1. 12 2. 80
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
2 23 24 2
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
(完整版)二次根式的加减练习题
21.3二次根式的加减法班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题4分，共40分）．1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，称这几个二次根式为同类二次根式．2．二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ____________；②再把 _____________分别合并．3．下列各式中，与2是同类二次根式的是 （ ）.A ．23B ．6C ．8D ．104. 已知二次根式42-a 与3是同类二次根式，则的a 值可以是（ ）.A ．8B ．7C ．6D ．55．计算8－2的结果是（ ）.A ．6B ．6C ．2D ．26． 下列计算正确的是（ ）A3= B ．532=+ C ．= D ．224=-7．化简：3＋（5－3）=_____________.8．计算：计算：_____________9．如果两个最简二次根式3213+-a a 与能合并，那么=a ________10．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）二、计算与解答（60分）．11．（20分）计算：（1）481227+- （2）()()1515-+（3）22521332+- （4）22)2332()2332(--+12.（8分）若3的整数部分为x ，小数部分为y ，求53xy -的值.13. （10分）先化简再求值： 215),6()3)(3(+=--+-a a a a a 其中14．（提升与拓展）（10分）计算211+＋321+＋431+＋…＋100991+15.（提升与拓展）（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝472,472-=+BD ，求菱形的边长和面积.。
二次根加减
21.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：（1当成x，不就转化为上面的问题吗？=（2+3（2y；（2-3+5（3当成z；（1+2+3（4x看为y．=（3-2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8例2．计算（1）（2）+解：（1）=（12-3+6（2）+- 三、巩固练习教材P 19 练习1、2．四、应用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23当x=12，y=3时，原式=12=4 五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①②17；；，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题1、、-2是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．三、综合提高题1 2.236-）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（+-（，其中x=32，y=27．答案:一、1．C 2．A二、1．三、1．原式35451251515³2.236≈0.452．原式（=（6+3-4-6当x=32，y=27时，原式9221.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：12x²2x=35x2=35PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为厘米．例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．解：由勾股定理，得===所需钢材长度为AB+BC+AC+BD≈3³2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．三、巩固练习教材P19 练习3四、应用拓展例3．若最简根式3a求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．由题意得4326 32a b a ba b+=-+⎧⎨-=⎩∴246 32 a ba b+=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、布置作业1．教材P21习题21．3 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A． B．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．．．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1n 是同类二次根式，求m 、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：）2=）2-2²1+12反之，）2∴=-1）2-1求：（1；（2（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．答案:一、1．A 2．C二、1．2．三、1．依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，m n ⎧=±⎪⎨=⎪⎩所以m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2．（1+1（2+1（3=（4）m n a mn b +=⎧⎨=⎩理由：两边平方得a ±=m+n ± 所以a m n b mn=+⎧⎨=⎩21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）²zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（）÷÷32例2．计算（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2+（2）））=2- 2=10-7=3三、巩固练习课本P20练习1、2．四、应用拓展例3．已知x ba-=2-x ab-，其中a、b是实数，且a+b≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式==（x+1）=4x+2∵x ba-=2-x ab-∴b（x-b）=2ab-a（x-a）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203．23C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与也是互为有理化因式．练习________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3；（44．其它材料：如果n==_______．答案:一、1．A 2．D二、1． 2．．2 4．三、1=-2=222(1)()21x x xx+++⨯+=2(1)(1)1x x xx++++= 2（2x+1）∵原式＝2（+3）+6.二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2 B．a≥2C．a≠2 D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2 D．x-2A．2x B．2aC．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。
21.3二次根式的加减(第2课时)
教
学
目
标
知识技能
利用二次根式加减法解决一些实际问题.
数学思考
培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.
解决问题
获得把实际问题转化为数学问题的体验.
情感态度
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.
重点
将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.
难点
被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．
答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m的钢材.
学生复习二次根式加减法的一般步骤.
学生独自审清题意.
教师与学生一起分析题意,得出解题方法.
请学生自己审清题意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自解决这一问题.
教师在讲解时尽可能将步骤写完整.
复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.
训练学生的审题能力.
解:求圆环的宽度d实际上是求两圆的半径的差;因此
（cm）
答:圆环的宽度
d=( )（cm）.
活动四复习总结
1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热生活,热爱数学;
2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来.
作业：
1.已知 ，求 的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB= ,求平行四边形ABCD的周长.
带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.
培养学生观察图形分析图形的能力.
让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.
培养学生严谨的思维习惯.
问题与情境
师生行为
设计意图
活动三小试牛刀
21.3 二次根式的加减(2)
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
已知x 2 3，y 2 3 试求(x 1 )(y 1 )的值。
yx
不用计算器, 不求平方根的值， 比较 2 与 1数部分为 b. 52
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
(x 3)2 3 (x 3)2
x2 2 3x 3 3 x2 2 3x 3
4 3x 3 x 3 4
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
1、化简或计算下列各题.
①1 23
② 2 1
2 1 ③ 11
2 3 2 1
2、计算或化简:
① 8 2( 2 2)
②
( 1 )1 (2 )0
2
2
1 2 1
③ 18 2 1 4 1 2 1 8
二次根式加减计算题
二次根式加减计算题一、二次根式的加减法法则1. 同类二次根式- 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
例如√(2)与3√(2)是同类二次根式，√(8)化简后为2√(2)，所以√(2)与√(8)也是同类二次根式。
2. 加减法法则- 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
二、例题解析1. 例1：计算√(12)+√(27)- 首先将二次根式化为最简二次根式：- √(12)=√(4×3)=2√(3)- √(27)=√(9×3)=3√(3)- 然后进行同类二次根式的合并：- √(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=(2 + 3)√(3)=5√(3)2. 例2：计算√(8)-√(frac{1){2}}- 化简二次根式：- √(8)=√(4×2)=2√(2)- √(frac{1){2}}=(√(1))/(√(2))=(1)/(√(2))=(√(2))/(2)- 进行减法运算：- √(8)-√(frac{1){2}}=2√(2)-(√(2))/(2)=(4√(2))/(2)-(√(2))/(2)=(3√(2))/(2) 3. 例3：计算√(20)+√(5)-√(frac{1){5}}- 化简各二次根式：- √(20)=√(4×5)=2√(5)- √(frac{1){5}}=(√(1))/(√(5))=(√(5))/(5)- 进行计算：- √(20)+√(5)-√(frac{1){5}}=2√(5)+√(5)-(√(5))/(5)- 先合并同类二次根式的系数：(2 + 1)√(5)-(√(5))/(5)=3√(5)-(√(5))/(5) - 再通分计算：(15√(5))/(5)-(√(5))/(5)=(14√(5))/(5)三、练习题1. 计算√(18)+√(50)- 化简二次根式：- √(18)=√(9×2)=3√(2)- √(50)=√(25×2)=5√(2)- 合并同类二次根式：- √(18)+√(50)=3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)2. 计算√(27)-√(12)+√(48)- 化简各二次根式：- √(27)=√(9×3)=3√(3)- √(12)=√(4×3)=2√(3)- √(48)=√(16×3)=4√(3)- 进行计算：- √(27)-√(12)+√(48)=3√(3)-2√(3)+4√(3)=(3-2 + 4)√(3)=5√(3) 3. 计算√(45)-√(frac{1){5}}-√(20)- 化简各二次根式：- √(45)=√(9×5)=3√(5)- √(frac{1){5}}=(√(5))/(5)- √(20)=√(4×5)=2√(5)- 进行计算：- √(45)-√(frac{1){5}}-√(20)=3√(5)-(√(5))/(5)-2√(5)- 先合并同类二次根式的系数：(3-(1)/(5)-2)√(5)- 通分计算：((15)/(5)-(1)/(5)-(10)/(5))√(5)=(4)/(5)√(5)。
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12.已知 ，则 。
13.已知 ，则 。
★14. 。
15.计算：
⑴. ⑵.
⑶. ⑷.
★16.计算及化简：
⑴. ⑵知： 为实数，且 ，化简： 。
21.3二次根式的加减
1.下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下面说法正确的是（）
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与 是同类二次根式
C. 与 不是同类二次根式D.同类二次根式是根指数为2的根式
3.与 不是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.下列根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
★5.若 ，则 化简的结果是（）
A. B. C. 3 D. -3
★6.若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（）
A. B. C. 1 D. 3
7.下列式子中正确的是（）
A. B.
C. D.
8.在 中，与 是同类二次根式的是。
9.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。
10.一个三角形的三边长分别为 ，则它的周长是cm。