陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》6平面向量的坐标(1)导学案北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2直线的方程1导学案 北师大版必修2
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2直线的方程（1）导学案 北师大版必修2【学习目标】1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.【重点难点】重点：理解直线的点斜式、斜截式方程.难点：掌握直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.【自主学习】1.直线方程的点斜式：如果一条直线的方程是由直线上的一点)y ,x (P 00和斜率为k （一个方向）所确定，那么这个直线方程称为直线方程的 式.其形式为 . 当直线与x 轴垂直时，斜率k 不存在.且直线经过点)y ,x (P 00，则它的特点是：直线上任一点的横坐标为 ，所以直线的方程为 .2．直线方程的斜截式：特别地，当直线经过点P(0，b),其斜率为k 时，由点斜式可得该直线方程为 .我们称它为直线方程的 式. b 为直线在y 轴上的 .4.求满足下列条件的直线方程：（1）经过点)5,2(A ，斜率是4；（2）斜率是3，在y 轴上的截距是3 ；（3）过点P(1,5)，且与x 轴垂直.【课堂检测】1.过点(1,2)且与x 轴平行的直线方程是_____________.2.过点(1,2)且与x 轴垂直的直线方程是_____________.3.有下列说法：其中正确的序号是_________.①方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(-的所有直线；②方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(的所有直线；③方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(且不垂直与x 轴的所有直线；④方程))(2(R k x k y ∈-=表示过点)0,2(且除去x 轴的所有直线；【课堂小结】。
数学高二-选修2-1陕西省榆林市榆林育才中学 第二章第二节空间向量的数乘运算导学案
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 2.2 空间向量的数乘运算（二）导学案北师大版选修2-1学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？新知：共面向量：同一平面的向量.2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P 与A,B,C共面，则 .※典型例题例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（）①②③④.A. 1B. 2C. 3D. 4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面.变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※动手试试练1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？ABCDFEGH练2. 已知，，若，求实数三、小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A. 有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量.2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,则x＝，y＝，z＝.3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则+ .4. 平行六面体, O为A C与B D的交点,则.5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）.A．0 B.1 C. 2 D. 3课后作业：1. 若，，若，求实数.2.已知两个非零向量不共线,. 求证：共面．。
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》8从力做的功到向量的数量积(1)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》8从力做的功到向量的数量积（1）导学案 北师大版必修4使用说明1.根据学习目标，课前认真阅读课本91～93页的内容，完成预习引导的全部内容.2.学习小组提前预习、探讨课堂探究部分内容，找出自己的疑惑和需要解决的问题. 学习目标1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积运算的含义及几何意义、物理意义.2.理解向量的夹角的概念，体会平面向量的数量积与向量射（投）影的关系.3.理解平面向量数量积运算的重要性质极其运算律.学习重点 平面向量数量积的定义及运算律.学习难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解.一、自主学习1.向量夹角的概念： 已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作a OA =，b OB =，)1800(AOB ≤θ≤θ=∠叫做向量a 与b 的夹角. b ba当 0=θ时，a 与b _______；当 180=θ时a 与b ________；当 90=θ时，a 与b ______，记作_______. 规定：零向量可与任一向量________.2.射影的概念：如下图所示，a OA =，b OB =，过点B 作OA BB 1⊥于点1B ，则θ=cos |b |OB 1.θcos |b |叫作向量b 在a 的方向上的射影（也叫投影）.当θ为锐角时,射影为____值；当θ为钝角时,射影为____值；当θ为直角时，射影为____； 当θ=0︒时,射影为_______；当θ=180︒时射影为______.θ b θ O B A a 1B B A aθ O (1B ) b O BA θ a a AB O 1B b3.数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则θc os |b ||a |叫作向量a 与b 的数量积（或内积）.记作_______. 即 =⋅b a _____________几何意义:物理意义：【自我检测】1.在ABC ∆中，已知 45A =∠, 50B =∠,85C =∠,求下列向量的夹角：（1）AB 与AC （2）AB 与BC （3） AB 与BC2. 判断正误，并简要说明理由:①a ·0 ＝0 ；②0·a ＝0；③0 －AB ＝BA ；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤对任意向量a ，b ，c 都有（a ·b ）c ＝a （b ·c ）；⑥a 与b 是两个单位向量，则a ２＝b ２.二、合作探究1.已知向量5|a |=，4|b |=，且a 与b 的夹角120=θ，求b a ⋅.2. 已知6|a |=,4|b |=,且a 与b 的夹角 60=θ，求)b 3a ()b 2a (-⋅+.三、课堂检测1. 若0b a <⋅，则a 与b 的夹角的取值范围是________ .2.已知向量a 与b 共线，且1|a |=，2|b |=，求b a ⋅.3.已知3|a |=，3|b |=，在 下列条件下分别求b a ⋅.（1）a 与b 的夹角是 60 （2）b a ⊥ （3）b //a四、课堂小结。
陕西高中数学第二章2.4平面向量及线性运算的坐标表示学案无解答北师大版必修
平面向量及线性运算的坐标表示（一）
班级 姓名 组号
【学习目标】
1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2、会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算。
【学习重点】平面向量的坐标表示。
【学习难点】对平面向量运算坐标表示的理解。
【学习过程】
一、预习自学（自主阅读课本88—90页的内容，完成下列问题） 问题1：向量a r
的坐标(x,y)的含义是什么？
问题2：若1122(,),(,),a x y b x y ==r r 则a b +=r r ；a b -=r r
a λ=r
问题3：若平面直角坐标系中已知两点1122(,),(,),A x y B x y 则向量AB u u u r 的坐标为
二、合作探究（深化理解）
探究一：书第91页习题A 组第4题
x
探究二：已知a r =（3,4），b r =（-1,4），求,,23a b a b a b +--r r r r r r 的坐标。
探究三：已知点A （1,0），B （0,2），C （-1，-2），求平行
四边形ABCD 的顶点D 的坐标。
探究四：若平面直角坐标系中(,)A x y 11，(,)B x y 22，线段AB 中点M （x,y ）试运用向量法证明中点坐标公式：12y +y x=
, y=x y +1122
,
三、达标检测
1、(课本91页练习第2题)
2、(课本91页练习第3题)
3、(课本92页习题第5题)
4、(课本92页习题B组第1题)。
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》12向量应用举例(2)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》12向量应用举例（2）导学案 北师大版必修4使用说明1. 课前根据学习目标，认真阅读课本内容，完成预习引导的全部内容.2.课堂上积极讨论，大胆展示，发挥学习小组的高效作用，完成合作探究部分. 学习目标1. 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 2. 通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯..学习重点 如何用向量表示几何问题中的几何关系和物理问题中各物理量之间的关系，. 学习难点 向量加法的定义的理解. 一、自主学习 【知识链接】1.设点)y ,x (M 00到直线l ：0C By x A =++的距离为d ，=d_______________.2.向量的加法符合三角形法则或平行四边形法则，数乘向量仍然是一个向量，但b a ⋅ 却是一个实数，并且⇔⊥b a 0b a =⋅，这为我们证明垂直问题提供了新思路3. )y ,x (),y ,x (2211==，则)0(//≠的充要条件是0y x y x 1221=-，⇔⊥b a 0y y x x 2121=+【基础自测】1.平行四边形ABCD 的三个顶点分别为），12(A -，）3,1(B -，）4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）A.（2, 1）B.（2，2）C.（1，2）D.（2，3）2.已知向量,,，在ABC ∆的中线AM 上任取一点P ，试用向量,, 表示向量AP .60的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地2.一架飞机从A地向北偏西60，并且A,C两地相距2000km,求飞机从B的南偏西东三、课堂检测3.课后练习第3题：四、收获及疑问【小结】。
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》2从位移的合成到向量的加法(1)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》2从位移的合成到向量的加法（1）导学案 北师大版必修4使用说明1. 课前根据学习目标，认真阅读课本第74页到第76页内容，完成预习引导的全部内容.2. 课堂上（最好在课前完成讨论）发挥学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.学习目标1. 掌握向量加法的定义，并理解其几何意义.2. 掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们进行向量运算.学习重点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.学习难点 向量加法的定义的理解. 一、自主学习 1.如何求a 与b 的和？（2）平行四边形法则3.规定：对于零向量与任一向量a r ，都有______0a =+ρρ. 4.向量加法的运算律：（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：=++c ba (） 【小试身手、轻松过关】1.填空：(1) =++CA BC AB ____；(2) =++++EF DE CD BC AB _____2、在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是（1）+=u u v u u u v u u v AB BC CA （2）+=u u v u u u v u u u v AB AC BC（3）+=u u u v u u v u u v AC BA AD （4）+=u u u v u u v u u u vAC AD DC二、合作探究 探究一：已知梯形ABCD ,B C //AD ,O 为对角线交点，则OA +AB u u u r +BC u u ur =探究二：已知平行四边形ABCD 中，,u u u r r u u u r r AB a AD b ==，试用,r ra b 表示,,,CD CB BD CA u u u r u u u r u u u r u u u r .探究三：在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度为46.3v 1=h /km ，河水流动的速度为0.2v 2=h /km ，试求小船过河实际航行速度的大小和方向.2．已知河水的流速为s /m 2,一艘小船想沿垂直于河岸方向以s /m 01的速度驶向对岸，则小船的净水速度大小为（ ）A.s /m 01B.s /m 262C. s /m 64D. s /m 213.若0CA BC AB =++,那么C ,B ,A 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？四、收获及疑问【小结】1.已知非零向量v v ,a b ，在平面内任取一点A ，作==u u v v u u u v v ,AB a BC b ，则向量_____叫做v a 与v b 的和，记作____，即+v va b =_____=_____这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
榆林育才中学高中数学北师大版选修2-1导学案：2.1空间向量的运算
学习目标1。
理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备复习:平面向量有加减以及数乘向量运算:1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则。
2。
实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量,记作,其长度和方向规定如下：(1)|λa｜＝。
(2）当λ＞0时，λa与A。
；当λ＜0时,λa与A。
；当λ＝0时，λa＝。
3。
向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b）＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律:λ（a＋b）＝λa＋λb二、新课导学※学习探究探究任务一：新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算,例如右图中，OB=，AB=，试试:1。
点C 在线段AB 上,且52AC CB =，则 AC = AB ， BC = AB 。
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗?⑴加法交换律：A 。
+ B. = B. + a ；⑵加法结合律：（A. + b ) + C. =A 。
+ （B. + c ）；⑶数乘分配律：λ（A 。
+ b ) =λA。
+λb ．※ 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -(如图),化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结:空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2 化简下列各式⑴ AB BC CA ++； ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --。
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 用向量讨论垂直与平行导学案概要
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-11. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、等立体几何问题．学习过程一、课前准备复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A,B,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P 的位置向量.⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 . 反思： 1. 一个平面的法向量是唯一的吗？ 2. 平面的法向量可以是零向量吗？ ⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=② l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB 与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C,试求平面ABC的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.※动手试试练1. 设,a b分别是直线12,l l的方向向量，判断直线12,l l的位置关系：⑴()()1,2,2,2,3,2a b=-=-；⑵()()0,0,1,0,0,3 a b==.练2. 设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：⑴()()1,2,2,2,4,4u v=-=--；⑵()()2,3,5,3,1,4 u v=-=--.三、小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.※ 知识拓展：求平面的法向量步骤： ⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 . 2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ） A. 若a α⊂，则n a ⊥ B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥，则//n mD.若,m α⊥，则n m =4.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（ ）A. ()1,2,1B.11,,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,0,0 D. ()2,1,3课后作业中，求证：1DB 是平面1ACD 的一个1. 在正方体1111A B C D A B C D -法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC==，求平面ABC的一个法向量.。
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 2.3 空间向量的数量积导学案 北师大版选修2-1
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 2.3 空间向量的数量积导学案北师大版选修2-1学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习过程一、课前准备复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ 0a ∙= （选0还是0）⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明. ⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明. ⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =， 3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值例 3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,A B A D ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a b -=____.练2. 222,,2a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中：①若0a b ∙=，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c ∙=∙，则b c =③()()a b c a b c ∙∙=∙∙④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙=4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____1. 已知空间四边形ABCD中，，求证：AD BC⊥.2. 已知线段AB、BD在平面α内,BD⊥AB,线段ACα⊥,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D 间的距离.。
陕西省西安市高中数学第二章平面向量的坐标教案北师大版必修4
2.4平面向量的坐标（2课时）一、教学目标： 1.知识与技能（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.过程与方法教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】（回忆）平面向量的基本定理（基底） a =λ11e +λ22e其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.【探究新知】（一）、平面向量的坐标表示1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量j y i x a +=记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标如：a =−→−OA =j i 22+=(2, 2) b =−→−OB =j i -2=(2, -1) c =−→−OC =j i 5-=(1, -5)i =(1, 0) j =(0, 1) 0=(0, 0) 由以上例子让学生讨论：O BCAx ya b c①向量的坐标与什么点的坐标有关？ ②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等） [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答：思考1．（1）已知a (x1, y1) b (x2, y2) 求a +b ，a -b的坐标(2)已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标解：a +b=(x1i +y1j )+(x2i +y2j )=(x1+ x2)i + (y1+y2)j即：a +b=(x1+ x2,y1+y2) 同理：a -b=(x1-x2, y1-y2) λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy)结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 平面间的夹角导学案 北师大版选修21
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 平面间的夹角导学案 北师大版选修2-1学习目标1 理解平面与平面的夹角的概念；2 了解“几何法”求平面与平面的夹角；3 掌握“向量法”求平面与平面的夹角. 学习过程 一、课前准备 复习1：平面的法向量如何确定？ 复习2：说说空间中两平面的夹角的定义？二、新课导学阅读教材第44—45页及伴读38页，完成下列问题：(1) 二面角定义：从一条直线出发的两个 所成的角叫做 ，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做 .（2）平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π内作直线l l ⊥1，在平面2π内作直线l l ⊥2，则R l l =⋂21.我们把直线 叫作平面1π与2π的夹角.显然平面1π与2π的夹角的范围是(3)已知1π与2π的法向量分别为21,n n ：Ⅰ.当2,021π>≤≤<n n 时，平面1π与2π的夹角等于Ⅱ.当ππ><<<21,2n n 时，平面1π与2π的夹角等于 （4）已知1π与2π的法向量分别为21,n n ；平面1π与2π的夹角为θ,则θcos =试试：1若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的二面角的度数是________．2 已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==u u u r u u u r ，求平面ABC 的一个法向量.※ 典型例题例1在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，1,2AD AA a AB a ===。
求二面角P AE D --的正弦值.例2已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，,90ο=∠DAB ⊥PA 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点.求二面角A-MC-B 的余弦值.※ 动手试试1 已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.2 已知平面1π的法向量为),3,2,1(1=n 平面2π的法向量为),2,0,1(2-=n 求这两个平面夹角的余弦值.3．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝32，BC ＝6，求二面角A －PC －D 的余弦值．三、小结1 理解平面与平面的夹角的概念；2 了解“几何法”求平面与平面的夹角；※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：如图，在空间直角坐标系中，四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，∠ABC= 90，SA=AB=BC=1，AD=12，求平面SAB 与平面SCD 夹角的余弦值。
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《解析几何初步》2直线与圆、圆与圆的位置关系（1）导学案 北师大版必修2使用说明1. 课前认真阅读课本第81页到第82页内容，完成预习引导的内容.2. 课堂上充分发挥学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.学习目标1.理解直线与圆的三种位置关系；2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.学习重点 直线与圆的三种位置关系的判断方法. 学习难点 利用坐标法直线与圆的位置关系.一、自主学习 【预习导引】1.直线与圆的位置关系: 我们已经学习了直线与圆的三种位置关系： ， ， . 不难看出，直线与圆的位置关系是由 的距离与 的大小关系决定.2.直线与圆的位置关系的判断:一般地，已知直线0C By x A =++和圆222r )b y (a x =-+-）（，则圆心)b ,a (C 到直线0C By x A =++的距离=d .当r d >时直线与圆 ； 当r d =时直线与圆 ； 当r d <时直线与圆 .此外，由直线与圆的方程建立方程组⎩⎨⎧=-+-=++222r b y )a x (0C By Ax ）（.根据解的情况来判断此直线与圆的位置关系:当方程组只有一个实数解时，直线与圆 ；当方程组有两个不同的实数解时，直线与圆 ；当方程组没有实数解时，直线与圆 .【基础演练】1.判断下列直线与圆4)1y (1x 22=-+-）（的位置关系： （1）01y x =++； （2）06y 4x 3=+-.2.求直线05y x =--截圆06y 4x 4y x 22=++-+所得的弦长.3.分别求出直线0m y 3x 4=+-与圆100y x 22=+：（1）相交；（2）相切；（3）相离.时的m 的取值范围.4.求过点（2,2）的圆8y x 22=+的切线方程.四.收获及疑问【小结】1.直线与圆的位置关系：2.直线与圆的位置关系的判定：【疑问】。
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1.写出如图所示的向量OA,AB,OC,OD的坐标.
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》6平面向量的坐标(1) 导学
案北师大版必修4
使用说明
1. 认真研究学习目标，仔细阅读课本，提前预习，完成自主学习内容.
2. 课堂积极讨论，大胆展示，小组内完成合作探究部分并总结.
学习目标
1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
2. 会用坐标表示向量的加法、减法以及数乘向量运算，进一步培养学生的运算能力•
3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
学习重点平面向量的坐标运算.
学习难点平面向量坐标运算的理解和运用.
一、自主学习
1.向量的坐标表示：
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底, 标平面内的任意向量，以坐标原点0为起点作OP a.由平面向量基本定理可知，有且只有
以由实数x、y唯一确定.我们把有序实数对x, y叫做向量a的
其中________ 就是点P的_坐标.
(2)平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式:
设a (X1，yJ,b 区风)，R,则
a b ________________ , a b ____________________ , a _________________
即:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___________ .
实数与向量的积的坐标分别等于用这个实数与向量相应坐标的__________ . (3)给定点A (x-yJB (X2』2)，则
0A= _______ , OB = __ __ , AB = ____________ = _____________ ,
即：一个向量的坐标等于其终点相应坐标_________________ 始点的相应坐标.
【预习自测】
a为坐■对实
a都可
数x、y使得OP・ _______________ ,因此a这样，平面内的任一向量
，记作a =
占分别用坐标表示岀下列平面向量；
；二 ___________ , J- __________ , 0= __________
3、己知乩E两点的坐标分别是山23出黑"求向量忑及药的坐标I
二含作探究
h已知表示问量：的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.
⑴a二也-»3 0,0 *;⑵a = '3;1U'5-1'
r r r
2.已知a (3,4), b ( 1,4),求a b, a b, 2a 3b 的坐标.
3.已知A 1, , B 0,2 , C 1, 2，求平行四边形ABCD的顶点D的坐标•
y
三、课堂检测
1.下列说法正确的个数是（）
（1）间量的坐标即此向量终点的坐标
⑵位置不同的向量其坐标可骨財目同
C3）一个向量的坐标尊于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A. 1
B. 2 G 3 D・生
2.&^A'-L5'和向ia = （2,3）,若AB = 3a,则点B 的坐标为（）.
A 门屮 B. i5.4- C. .7,141 D.空⑷
3■已知盘2引，質，CM-卬，^-3,6',若AB = CD, >Px,y的值-
四、收获及疑问
【小结】
1设a （x^yjb区风），R,则
a b _________________ , a b ___________________ , a _________________ ,
即：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___________.
实数与向量的积的坐标分别等于用这个实数与向量相应坐标的___________ .
2. 给定点A （x1, y1）, B （x2,y2），则
OA= OB = AB = =
____________ 5 ___________ ? ______ : ___________ ________________________ ■
即：一个向量的坐标等于其终点相应坐标________________ 始点的相应坐标.
3. 一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？结论：
（1）任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关.（2）当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标
【疑问】。