高中数学三维设计必修4：阶段质量检测(三) 三角恒等变换

阶段质量检测（三） 三角恒等变换

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知α是第二象限角，且cos α＝－3

5，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.2

10

B ．－

210

C.7210

D ．－7210

解析：选A 由题意，sin α＝4

5

，

所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]

D.⎣⎡

⎦

⎤

－

32，

32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫cos x cos π6－sin x sin π

6 ＝sin x －32cos x ＋1

2

sin x ＝3

⎝⎛⎭

⎫32sin x －12cos x

＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π

6∈R ，

∴f (x )∈[]－3，3. 3．设a ＝2

2

(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )

A ．c

B ．b

C ．a

D ．b

解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17° ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，

b ＝cos 26°＝sin 64°，

c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin(37°＋23°) ＝sin 60°， 故c

4．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )

A ．±5

5

B ．±255

C ．－

55

D ．－255

解析：选A 由已知，得sin [(α－β)－α]＝sin(－β)＝4

5，

故sin β＝－4

5

.

∵β在第三象限，∴cos β＝－3

5.

∴cos β2

＝±

1＋cos β

2

＝±15＝±55

. 5．化简：tan ⎝⎛⎭⎫π

4＋α·cos 2α

2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－1

D ．1

解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·

cos 2α2cos 2⎝⎛⎭

⎫π4－α

＝sin ⎝⎛⎭⎫π

4＋α·cos 2α2sin 2

⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭

⎫π4＋α

＝

cos 2α

2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭

⎫α＋π4

＝

cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭

⎫π2＋2α＝cos 2α

cos 2α＝1. 6．在△ABC 中，已知tan A ＋B

2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )

A ．正三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B

2

，∴2cos 2

A ＋

B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π

2

，即△ABC 为直角三角形． 7．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π

2，则tan α＋β

2

的值为( )

A ．－2 B.12 C.43

D.1

2

或－2 解析：选A 根据题意得tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a －3a ＝4

3

.

又∵a >1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0， ∴tan α<0，tan β<0.

又∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π

2，0， ∴－π2<α＋β

2<0，∴tan α＋β2<0，

由tan(α＋β)＝2tan

α＋β

2

1－tan 2α＋β2得

2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，

∴tan α＋β2＝－2⎝⎛⎭

⎫tan α＋β2＝12舍去. 8．已知0<β<α<π

2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝33

14

，则角β＝( ) A.π12 B.π6 C.π4

D.π3

解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7，