复数的四则运算
苏教版高二数学复数的四则运算
m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作：
z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；
2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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更久?"七彩神尼听完都皱了皱眉.陈三六说"也不用久太多,估计二到三个月应该可以完成,现在距离他们开启传送阵の时间,怎么着也还有大半年,咱们还有时间.""二,三个月.""那你先修改吧."七彩神尼道,"咱们倒是有时间,这段时间大家也别出去了,在这里呆着行.""这里の环境还不错嘛."白狼 马咧嘴笑道,"很适合带孩子呀.""你还想带孩子?你哪来の孩子?"陈三六白了他壹眼,笑道"还是赶紧过来帮忙修改传送阵吧,这两三个月你别想休息了.""不会吧?咱还要陪小红呢,她正安胎呢."白狼马壹脸の郁闷,哼道"你不会找老屠吗?还有嫂子们呢,她们也能帮忙の.""你最顺手."陈三六笑了笑, 直接拉过了白狼马,过去帮忙了.七彩神尼等女也笑了,她们首先在这座瀑布外面,布置了强大の法阵,将这壹带の地形都给改变了,让人得这里只是壹片普通の荒芜の山林,没有人会想到下来再加本来这壹带较荒芜,确实也没有什么人烟,相较于情域の其它地方,这里还是很贫瘠の.
复数的四则运算(1)
=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数.
复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3 .
交换率 结合率 分配率
共轭复数
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)z z R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n(n 2).
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
33 22
ii
)
(
3 i)2 2
12(231i
1 4
3
i2)3(i 143
3 i) ( 1)2 (
3 i)2
0; 2 2
22
22
1 3 1
44
在复数集中, 方程x3 1的三个解为:1, , .
练习: 计算
(1) ( 1 3 i)6;
(1)1;
22
(2) ( 1 3 i)11. 22
(2) 1 3 i. 22
(3) 若x 1 1,求1 x x2 x2012的值. x
(3)0
(1) 2 ; (3) 1 2 0;
(2) 1(1 0) (4) 3 1
例题选讲
例１ 计算 (1-2i) (3+4i) (-2+i) 解：(1-2i) (3+4i) (-2+i)
复数的四则运算修改后
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
一.复数的加法与减法
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ， ∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ， 由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
求证：
(1) 2 ; (3)1 2 0;
3
( 2) 1(1 0) ( 4) 3 1
在复数集中 , 方程x 1的三个解为: 1, , .
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
例题选讲
1. 若复数z满足方程 zi i 1 ，则z ?
2. 求8＋6i的平方根 .
3、在复平面内，若复数 z 满足 z 1 z 1 4
，则 z 在复平面内对应点的轨迹方程为
.
交换率 结合率
分配率
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立，即
3.2复数的四则运算加减乘法
(4) 若z1=3-2i,z2=1+3i,则z1+z2=_____ Z1-2z2=_____
3.复数的乘法
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
提示
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系 中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
例题1
计算
动动手
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫做共轭虚数.
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数. 复数z的共轭复数用 表示.
z 若z＝a＋bi，则 ＝a－bi (a，b∈R)
复数的四则运算
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例4.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
记作： z=a+bi， 其中a叫做复数 z的 虚部 实部 b叫做复数 的 . z 全体复数集记 C 为 .
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
→ 练习．在复平面内，点 A 对应的复数为 2＋3i，向量OB对 → 应的复数为－1＋2i，则向量BA对应的复数为( A．1＋5i C．－3－i B．3＋i D．1＋i )
→ → → 【解析】 ∵BA＝OA－OB，
→ 对应的复数为(2＋3i) －( －1＋2i) ＝(2＋1) ＋(3－2)i ∴BA ＝3＋i.故选 B.
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
复数四则运算
若 z1, z2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 • z2 是一个怎样的数?
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈C , 则
z z z z
得 a 1,b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
(b
4b a2 b2
)i
z 4R
z
b(1
a2
4
b2
)
0
b 0或a2 b2 4 ①
| z 2 | 2得| a bi 2 | 2
(a 2)2 b2 2 ②
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2 b2 4 代入② (a 2) Nhomakorabea 4 a2 4, 得 a 1
22
22
1
小结： 2 , ( )2 ,
3 1, ( )3 1.
例4：已知z (4 3i)(1 7i) ，求 z 2 i
解：z (4 3i)(1 7i) 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i|
5 8 10 6 .
3
3
例5 计算 (1 3i)3 (1 i)6
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a bi 及复数 c di对应，则 OZ1, (a,b)
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
复数的四则运算
1 3i 3i 9i 1 9 10
2
例4.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i) 解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (3 4i 6i 8i )( 2 i )
2
(3 2i 8)( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 22 11i 4i 2i 20 15i
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Rez;虚部记成为Imz.
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).
例1.计算下列各题
(1)(2 3i ) (8 2i ) ( 2)(5 3i ) (5 3i ) (3)(2 3i ) ( 5 i ) ( 4)(3 i ) ( 3 i )
2 2 2 2
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例6.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
2
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
高中数学-5.2复数的四则运算
2、复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的 分配律。 （1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
3、复数中正整数指数幂的运算律(其中m,n为正整数)
5.2 复数的四则运算
知识回顾
我们一起来回顾一下上一节课所学知识: i2 1
数
复数代数式 Z a bi(a,b R)
系 的
数
复数分类条件 b 0和b 0
扩 充
复数相等条件
与 复
实部 实部且虚部 虚部
数 的
形
复数的模长(绝对值)的计算
引
入
Z a bi a2 b2
两个复数能比较大小,则一定均为实数
新课讲解
三、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数
a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c
di
)或
a
bi
.
c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
4 i2 2
25
i 2i2
i 1i
2 2
31 2i
2 3i 1 2i 2 3i
2 3i 2 3i
1
2i2
4 9i2
3i
2 7i 6i2 13
4 7i 4 7 i
13
13 13
试一试
(1)
复数四则运算
棣美弗定理
設 Z Z (cos i sin )
Z Z (cos n i sin n ) ，n為整數
n n
我們稱此公式為棣美弗定理。
複數
複數的n次方根
x Z 的根為
n
xk
n
2 k 2 k Z (cos i sin ) ，( Arg( Z ))
n n
k = 0、1、2、3、……、 n 1
複數
i之運算性質
n為自然數， i 1 (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i （指數除以4餘數為0） （指數除以4餘數為1）
(3) i4n+2 = –1 （指數除以4餘數為2）
(4) i4n+3 = – i （指數除以4餘數為3）
複數
數
系
整數(Z ) 有理數(Q ) 分數 正整數( 自然數 ) 零 負整數 有限小數 無限循環小數 無理數( 不循環的無限小數 )
實數(R)
複數(C )
虛數
複數
複
數
設a、b為實數，形如 a + bi 的數稱為複數，a 稱為 實部，b 稱為虛部。
複數 Z = a + bi
b
0，Z為純虛數。 a = 0 ， b
= 0，Z為實數。
複數
共軛複數
若Z = a + bi，a、b為實數，則 a bi稱為 a + bi的共軛複數，以符號 Z 表之，即
複數
複數的絕對值
設x、y為實數， Z x yi ( Z 0)，則在複 數平面上之Z點到原點的距離稱為Z的絕對 值，以 Z 表示之，且規定
Z x y
2 2
复数三角形式的四则运算公式
复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法运算复数的加法运算是指将两个复数相加得到一个新的复数的计算过程。
复数的加法运算公式为：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i其中，a和c是复数的实部，b和d是复数的虚部。
例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相加：(3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5) + (4 + 2)i = 8 + 6i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的和为8 + 6i。
二、复数的减法运算复数的减法运算是指将两个复数相减得到一个新的复数的计算过程。
复数的减法运算公式为：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相减：(3 + 4i) - (5 + 2i) = (3 - 5) + (4 - 2)i = -2 + 2i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的差为-2 + 2i。
三、复数的乘法运算复数的乘法运算是指将两个复数相乘得到一个新的复数的计算过程。
复数的乘法运算公式为：(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相乘：(3 + 4i) * (5 + 2i) = (3 * 5 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 5)i = 7 + 22i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的积为7 + 22i。
四、复数的除法运算复数的除法运算是指将两个复数相除得到一个新的复数的计算过程。
复数的除法运算公式为：(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)]i其中，c和d不能同时为0。
例如，将复数3 + 4i除以5 + 2i：(3 + 4i) / (5 + 2i) = [(3 * 5 + 4 * 2) / (5^2 + 2^2)] + [(4* 5 - 3 * 2) / (5^2 + 2^2)]i = (23/29) + (14/29)i因此，复数3 + 4i除以5 + 2i的商为(23/29) + (14/29)i。
复数的四则运算
例1、 计算:
• (1) (2-3i)(4+2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (3) (a+bi)(a-bi)
zz | z |2 | z |2 特别地,当| z | 1时, zz 1
例2 、 计算:(1+2i)2
例3、当n N *时,计算i n (i)n 所有可能的取值.
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
【数学知识点】复数的定义和四则运算公式
【数学知识点】复数的定义和四则运算公式我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享复数的定义和四则运算公式。
复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
(1)加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
(1)共轭复数所对应的点关于实轴对称。
(2)两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。
(3)在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
解读复数代数形式的四则运算
解读复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算，包括加、减、乘、除运算，它是进一步学习复数代数形式的其它运算的基础，为了帮助同学们熟练掌握复数代数形式的四则运算，下面就此内容解读如下，供学习时参考．1．加、减、乘运算的解读复数代数形式的加、减、乘运算，比复数代数形式的除法运算要简单的多，特别是加、减法的运算，两个复数相加减，只要把对应的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，其结果分别作为复数和差的实部与虚部即可，即若：1=abi，2=cdi，则：=abi±cdi=a±cb±di，（a、b、c、d∈R）．而复数代数形式的乘1±2法运算也并不繁琐，两个复数相乘，只要按照多项式的乘法进行，并将i的平方换成-1，最后将结果整理成abi，（a、b∈R）的形式即可．即若：1=abi，2=cdi，则：1•2=abi•cdi=ac－bdbcadi，（a、b、c、d∈R）．例题1．已知：1=12i，2=-4-i，求12，1-2，1•2．解析：由以上分析，不难得出12=（1-4）（2-1）i=-3i，1-2=（14）（21）i=53i，1•2=（12i）•（-4-i）=-4–i-8i-2i2=-2-9i．点评：由于复数代数形式的加、减、乘的运算比较简单，所以高考中一般不单独考查，而是融于除法运算的考查之中．2．除法运算的解读复数代数形式的除法运算,要求学生掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简，而分母则运用z =2||z 进行化简，最后将结果整理成abi ，（a 、b ∈R ）的形式即可．即若：1=abi ，2=cdi ，则：12z z =()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++-2222ac bd bc ad i c d c d +-=+++（a 、b 、c 、d ∈R ）． 例题2．计算(12)(34)i i +÷-．解析：(12)(34)i i +÷-1234i i +=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++点评：本题主要考查复数代数形式的除法运算,只要掌握除法的运算规律就容易解答．但是要注意：有时在进行复数代数形式的除法运算时,要先观察分子分母的特征，再进行运算，往往比直接运用除法的运算规律要简单的多，请看例题3．例题3．（08年陕西卷）复数(2)12i i i+-等于（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-解析：(2)2111212i i i i i+-==---． 点评：本题在分子中巧妙地设计了(2)i i +=21i -，刚好是分母的相反数，所以可以直接解答，并没有运用复数除法运算的一般规律．总之，对于初学者来说，只要熟练掌握复数代数形式的四则运算规律，再进行必要的技能训练，就容易掌握这部分内容。
复数四则运算的公式
复数四则运算的公式
复数四则运算公式是指对两个复数进行加、减、乘、除的运算。
复数是由实数和虚数构成的数，其中虚数单位i满足i²=-1。
加法公式：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如，(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i。
减法公式：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如，(2+3i)-(4+5i)=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
乘法公式：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如，(2+3i)×(4+5i)=(2×4-3×5)+(2×5+3×4)i=-7+22i。
除法公式：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i，即分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。
例如，(2+3i)/(4+5i)=((2×4+3×5)/(4²+5²))+((3×4-2×5)/(4²+5²))i=23/41-2/41i。
复数四则运算公式是复数运算的基础，掌握了这些公式，就能够进行复数的加减乘除运算。
在实际应用中，复数广泛应用于电路分析、信号处理、量子力学等领域。
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
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【练习】
1、在复数范围内解方程
(1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式
(1) x2 + 4
(2) x4 - y4
作业:书本P112 T2, T4(1)(4) T5 (1)(4) 世纪金榜P78 T1,2,3
P79 T1—T6 P80 T1,2,3 P82
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 正方形
三、复数的乘法
已知两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 z1·z2=(ac-bd)+(bc+ad)i
复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律,即有 :
z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
ac
bd (bc c2 d 2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
(a bi) (c di)
a bi c di
ac bd c2 d 2
bc ad c2 d 2
i
例4、计算
(1) 1 i 1 i
(2) 13 9i (2 i)2
例3 :已知复数 z的共轭复数为 z
四、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
且 z • z 3i • z 10 ,求z . 1 3i
例5 若 z 2，则 z i 的最大值为 .
例6 若 z bi(b R，) 若使 z 2 i z 2 3i 的最
小，求b的值。
例7 复数z满足z·z +z+ z =3，则z对应点的轨迹
是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离 (2)|z+(1+2i)| 点A到点(－1, －2)的距离 (3)|z－1| 点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i| 点A到点(0, －2)的距离 练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式 |z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?
y
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
向量Z1Z2
|z1-z2|表示什么?
x o
Z2(c,d)
y
Z1(a,b
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
o
x
例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
例1、 计算:
• (1) (2-3i)(4+2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i)
例2 、 计算:(1+2i)2
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
二、共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也 叫做共轭虚数。
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上
例2:平行四边形OABC中OA= z1,OB= z2,若有以 下条件,则平行四边形OABC又将是什么图形?
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形
Cz2-z1
z2
z1+z2
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
复 数Z的 共 轭 复 数 用Z来 表 示 即Z a bi时, Z a bi
思考:若z1 , z2是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 • z2 是一个怎样的数?
说明： zz | z |2 | z |2 特别地,当 | z | 1时, zz 1
例2、（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2, 求Z (2)已知Z C,且2Z 3Z1 1 3i, 求复数Z.
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
交换律： 结合律：
Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。