10 第3讲 跨期选择

现值和未来值
• 为简便起见，我们先讨论两个时期，时期1 和时 期2 ，r=10% 是每个时期的利率：
时期1开始 时期2开始
时间轴线
储蓄100元 90.9元
• 现在储蓄100元，按10%的利率，到下一个时期的本息将 达到110元 的价值叫未来值（future value）.下一个时期 的100元，按10%的利率贴现到现在这个时期的90.9元的 价值，叫现值（present value ）。
现值
未来值
110元 100元
跨期选择
• 我们现在来看越期消费需求的决定：
• 给定的已知条件： – m1 和m2 为时期1和2的收入 – c1 和c2 为时期1和2的消费数量 – p1 和p2 为时期1和2的消费品的价格
跨期选择
• 越期选择问题： – 给定两个时期的收入和价格，消费者如何决定 其最优越期消费组合（c1 ，c2 ）？
应用1：利率变化的影响
• 储蓄者（贷款者）：利率上涨=〉仍然是储 蓄者，为什么？ • 根据式（11），若r上涨，则一定有c1降低 且c2增加。
c2
c1
显示偏好解释：利率上涨后，消费者 的初始消费束位于禀赋点的左边，表 明他是一个贷款者（储蓄者），既然 初始消费束右边的点没被选择，说明 这些店不如初始消费束受偏好。而变 陡的预算线上半部分一定在初始消费 束的上边和左边，因而新消费束一定 在禀赋点的左边。
• 回答这个问题，我们需要知道： – 越期预算约束 – 消费者的越期偏好
跨期选择
• 为简化讨论，我们先设：p1 =p2 =1 • 如果不存在借贷，在时期1 消费者可消费：
c1 =m1
• 如果不存在借贷，在时期2 消费者可消费：
c2 =m2
c2 m2
o
m1
c1
跨期选择
• 现在假设消费者在时期1 的消费为零，即c1=0 ，
应用2：通货膨胀的影响
• • • • • • • • 现值：c2=m1-c1+m2/(1+r) （12） 未来值：p2c2=p1(1+r)(m1-c1)+p2m2 （13） p1/p2=1/(1+π)价格指数：p2/p1=1+π （13）两边除以p2得到新预算线： c2=(1+r)/(1+π)· (m1-c1)+m2 (14) 令p1=1p2=1+π 定义一个实际利率指数：1+ρ=(1+r)/(1+π) ρ=[(1+r)-(1+π)]/(1+π)=(r-π)/(1+π) 实际利率：ρ≈r-π
c2
(1+r)m1+m2 储蓄 借贷
m2
O
m1
m1+m2/(1+r)
c1
跨期预算约束
• 如果一个消费者在时期1 消费了c1，那么这消费 者在时期2 的消费为：
或者
c2=(1+r)(m1-c1)+m2 c2=-(1+r) c1+(1+r)m1+m2
(1) (2)
跨期效用
• • • • • 设一个柯布-道格拉斯（CD）效用函数： V=c1c21/1+β (3) 两边取自然对数进行单调变换后可以写成 U=lnc1+lnc2/(1+β) (4) 这里，β是一个主观的贴现系数（时间偏好 参数），可以理解为忍耐力。 • 这是一个我们在教材上常见的理想的无差异 曲线的一种数学描述。
பைடு நூலகம்
应用2：通货膨胀的影响
• 根据新的预算线，即（14）式，可知，通过膨胀时， 预算线斜率的绝对值变得更小，即预算线将沿着禀 赋点变得更平缓：若原来第1期是储蓄者，则有通 货膨胀时将减少储蓄；若原来是借贷者，则将仍是 借贷者
跨期最优选择
• Max U=lnc1+lnc2/(1+β) (5) • s.t. c2=-(1+r) c1+(1+r)m1+m2 (6) • 效用函数是凸性的，因而构造拉格朗日函数并求 解一阶条件即可： • L= lnc1+lnc2/(1+β)+λ[c2+(1+r) c1-(1+r)m1-m2] • ∂L/∂c1=1/c1+(1+r)λ=0 (7) • ∂L/∂c2=1/c2(1+β)+λ=0 (8) • ∂L/∂λ=c2+(1+r) c1-(1+r)m1-m2=0 (9) • 解得：c1=[m1+m2/(1+r)]/[1+1/(1+β)] (10) • c2=[(1+r)m1+m2]/[1+(1+β)] (11)
并将所有收入存入银行，即s1=m1 ，并且 储蓄利率为r 。 c2=(1+r)m1+m2
• 这个消费者在时期2 的消费支出将是：
跨期选择
• 现在假设消费者在时期2的消费为零，即c2=0
• 这个消费者可以从银行借款的最大量：
b1=m2/(1+r)
• 这个消费者在时期1 的消费支出最大将会达到：
c1 = m1 +m2 /(1+r)
第三讲 消费者理论 ——跨期选择
刘东勋 2005-10-26
问题的提出（Motivation）
• 前面我们假设消费者的行为发生在特定的时间、 地点和给定特定的事件，现在我们要放松时间的 假设，将消费选择从同一时间扩展到不同的时间， 比如说，现在和将来，上个时期和下个时期，等 • 我们要回答这样的问题： – 消费者是如何将其总收入分布到每个时期的 （或者说，现在的储蓄是为了以后的消费）？ – 或者，当一个消费者的收入滞后的时候，这个 消费者如何通过借贷来安排现在的消费？