高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)(最新整理)
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【模拟演练】
( )π
1、[2014·江西卷 16] 已知函数 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且 f ＝0， 4
其中 a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求 a，θ 的值；
( ) ( ) ( ) α 2
π
π
(2)若 f ＝－ ，α∈ ，π ，求 sin α＋ 的值．
45
2
3
( )π
又
tan
A
tan
B，A，B
0，
，
角
A
最小，
BC
边为最小边．
由
tan A sin A 1 ，
cos A 4 且
sin2 A cos2 A 1，
A
Hale Waihona Puke Baidu
0，π 2
，得
sin
A
17
．
17
由 AB BC 得： BC ABAsin A 2 ．所以，最小边 BC 2 ．
sin C sin A
（2）由（1）得：
f
x
1 2
sin 4x,
因为
f
4
1 sin 2
2 5
，得 sin
4 5
,
3
又
2
，
，所以
cos
3 5
,
因此 sin
3
sin
cos
3
sin
3
cos
43 10
3 .
2、解：（I）
f
x 的最小正周期为
，
x0
7 6
，
y0
3.
（II）因为 x [ , ] ，所以 2x [ 5 , 0] ，
2 12
66
于是当 2x 0 ，即 x 时， f x 取得最大值 0；
6
12
当 2x ，即 x 时， f x 取得最小值 3 .
62
3
3、解：（1）
f
5 (
)
2 cos
5
(sin
5
cos 5
)
2 cos
( sin
cos
)
2
4
44
4
4
4
4
（2）因为 f (x) 2sin x cos x 2 cos2 x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1. 4
所以T 2 . 2
由 2k 2x 2k , k Z ，得 k 3 x k , k Z ，
2
4
2
8
8
所以 f (x) 的单调递增区间为[k 3 , k ], k Z .
8
8
4、[解] (1)．如图 3， ( 2 ) 2 ,sin sin(2 ) cos 2 ，
【模拟演练参考答案】
1、解：（1）因为 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，而 y1=a+2cos2x 为偶函数，所以
y1= cos 2x
为奇函数，又 0， , 得
. 所以 2
f x = sin 2x（ a 2 cos2 x）.
由 f 0 ，得-（a+1）=0，即 a 1. 4
（1）求角 B 的大小；
（2） 求 2cosA cos C 的最大值。
10、（2016 绥化模拟）在 ABC 中， cos C是方程2x 2 3x 2 的一个根。
（1）求角 C；
（2）当 a+b=10 时，求 ABC 周长的最小值。
11、（2014 年陕西高考）在 ABC 中， 角A，B，C所对的边分别为a, b, c 。 （1）若 a, b, c 成等差数列，证明 sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若 a, b, c 成等比数列，求 cosB 的最小值。
3 0.解得sin
3 或sin
3
．
2
3
0 ,sin 3 , .
2
2
3
4
5、解：（Ⅰ）C π ( A B) ，
tan C
tan( A
B)
13 4 5
1 1 3
1．又 0
C
π
，C
3 4
π
．
45
（Ⅱ）C 3 ， AB 边最大，即 AB 17 ． 4
2
2
2
即 sin cos 2 0 ．
（2）．在 ABC 中，由正弦定理得
DC AC , DC 3DC .sin 3 sin sin sin( ) sin sin
由(1)得 sin cos 2 ，sin 3 cos 2 3(1 2sin2 ),
即 2 3 sin2 sin
问乙船每小时航行多少海里?
8、（ 2013 年 全 国 新 课 标 2） 在 ABC 中 ， 角A，B，C所对的边分别为a, b, c ， 已 知 a b cos C c sin B
（1）求 B；
（2）若 b=2, 求 SABC 的最大值。
2
9、（2016 年北京高考）在 ABC 中， a 2 c 2 b2 2ac
2、[2014·北京卷 16] 函数 f(x)＝3sin 2x＋ 的部分图像如图所示． 6
(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值；
[ ] π π
(2)求 f(x)在区间 － ，－ 上的最大值和最小值． 2 12
3、[2014·福建卷 18] 已知函数 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
1
，
2 AC ABC
2 AC ABC
2
所以 C 60 ．
7、解：如图，连结 A1B2 ， A2B2 10
2
，
A1 A2
20 60
30
2 10
2，
A1A2B2 是等边三角形， B1A1B2 105 60 45 ，
在 A1B2B1 中，由余弦定理得
B1B22 A1B12 A1B22 2 A1B1 A1B2 cos 45 202 (10 2)2 2 2010 2 2 200 ，
4
5
（Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若 △ABC 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
6、（07 浙江）已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C ． （I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数．
6
7、（07 山东）如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120 方向的 B2 处,此时两船相距10 2 海里,
sin C
6、解：（I）由题意及正弦定理，得 AB BC AC 2 1， BC AC 2 AB ，
两式相减，得 AB 1．
（II）由 △ABC 的面积 1 BCAACAsin C 1 sin C ，得 BCAAC 1 ，
2
6
3
由余弦定理，得 cos C
AC 2 BC 2 AB2
( AC BC)2 2ACABC AB2
( )5π
(1)求 f 的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间． 4
4、( 06 湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= . （1）证明 sin cos 2 0 ; （2）若 AC= 3 DC,求 的值.
A
α
β
B
D
C
图
1
5、（07 福建）在 △ABC 中， tan A 1 ， tan B 3 ．
2
B1B2 10 2.
10
因此乙船的速度的大小为
2 60 30
2.
20
答：乙船每小时航行 30 2 海里.
5
8、（I） B （2） 2 1 4
9、（I） B 4
（2）1
2
10、（I）
3
（2）10 5 3
1
11、（I）正弦定理易正 （2）
2
6
( )π
1、[2014·江西卷 16] 已知函数 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且 f ＝0， 4
其中 a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求 a，θ 的值；
( ) ( ) ( ) α 2
π
π
(2)若 f ＝－ ，α∈ ，π ，求 sin α＋ 的值．
45
2
3
( )π
又
tan
A
tan
B，A，B
0，
，
角
A
最小，
BC
边为最小边．
由
tan A sin A 1 ，
cos A 4 且
sin2 A cos2 A 1，
A
Hale Waihona Puke Baidu
0，π 2
，得
sin
A
17
．
17
由 AB BC 得： BC ABAsin A 2 ．所以，最小边 BC 2 ．
sin C sin A
（2）由（1）得：
f
x
1 2
sin 4x,
因为
f
4
1 sin 2
2 5
，得 sin
4 5
,
3
又
2
，
，所以
cos
3 5
,
因此 sin
3
sin
cos
3
sin
3
cos
43 10
3 .
2、解：（I）
f
x 的最小正周期为
，
x0
7 6
，
y0
3.
（II）因为 x [ , ] ，所以 2x [ 5 , 0] ，
2 12
66
于是当 2x 0 ，即 x 时， f x 取得最大值 0；
6
12
当 2x ，即 x 时， f x 取得最小值 3 .
62
3
3、解：（1）
f
5 (
)
2 cos
5
(sin
5
cos 5
)
2 cos
( sin
cos
)
2
4
44
4
4
4
4
（2）因为 f (x) 2sin x cos x 2 cos2 x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1. 4
所以T 2 . 2
由 2k 2x 2k , k Z ，得 k 3 x k , k Z ，
2
4
2
8
8
所以 f (x) 的单调递增区间为[k 3 , k ], k Z .
8
8
4、[解] (1)．如图 3， ( 2 ) 2 ,sin sin(2 ) cos 2 ，
【模拟演练参考答案】
1、解：（1）因为 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，而 y1=a+2cos2x 为偶函数，所以
y1= cos 2x
为奇函数，又 0， , 得
. 所以 2
f x = sin 2x（ a 2 cos2 x）.
由 f 0 ，得-（a+1）=0，即 a 1. 4
（1）求角 B 的大小；
（2） 求 2cosA cos C 的最大值。
10、（2016 绥化模拟）在 ABC 中， cos C是方程2x 2 3x 2 的一个根。
（1）求角 C；
（2）当 a+b=10 时，求 ABC 周长的最小值。
11、（2014 年陕西高考）在 ABC 中， 角A，B，C所对的边分别为a, b, c 。 （1）若 a, b, c 成等差数列，证明 sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若 a, b, c 成等比数列，求 cosB 的最小值。
3 0.解得sin
3 或sin
3
．
2
3
0 ,sin 3 , .
2
2
3
4
5、解：（Ⅰ）C π ( A B) ，
tan C
tan( A
B)
13 4 5
1 1 3
1．又 0
C
π
，C
3 4
π
．
45
（Ⅱ）C 3 ， AB 边最大，即 AB 17 ． 4
2
2
2
即 sin cos 2 0 ．
（2）．在 ABC 中，由正弦定理得
DC AC , DC 3DC .sin 3 sin sin sin( ) sin sin
由(1)得 sin cos 2 ，sin 3 cos 2 3(1 2sin2 ),
即 2 3 sin2 sin
问乙船每小时航行多少海里?
8、（ 2013 年 全 国 新 课 标 2） 在 ABC 中 ， 角A，B，C所对的边分别为a, b, c ， 已 知 a b cos C c sin B
（1）求 B；
（2）若 b=2, 求 SABC 的最大值。
2
9、（2016 年北京高考）在 ABC 中， a 2 c 2 b2 2ac
2、[2014·北京卷 16] 函数 f(x)＝3sin 2x＋ 的部分图像如图所示． 6
(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值；
[ ] π π
(2)求 f(x)在区间 － ，－ 上的最大值和最小值． 2 12
3、[2014·福建卷 18] 已知函数 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
1
，
2 AC ABC
2 AC ABC
2
所以 C 60 ．
7、解：如图，连结 A1B2 ， A2B2 10
2
，
A1 A2
20 60
30
2 10
2，
A1A2B2 是等边三角形， B1A1B2 105 60 45 ，
在 A1B2B1 中，由余弦定理得
B1B22 A1B12 A1B22 2 A1B1 A1B2 cos 45 202 (10 2)2 2 2010 2 2 200 ，
4
5
（Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若 △ABC 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
6、（07 浙江）已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C ． （I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数．
6
7、（07 山东）如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120 方向的 B2 处,此时两船相距10 2 海里,
sin C
6、解：（I）由题意及正弦定理，得 AB BC AC 2 1， BC AC 2 AB ，
两式相减，得 AB 1．
（II）由 △ABC 的面积 1 BCAACAsin C 1 sin C ，得 BCAAC 1 ，
2
6
3
由余弦定理，得 cos C
AC 2 BC 2 AB2
( AC BC)2 2ACABC AB2
( )5π
(1)求 f 的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间． 4
4、( 06 湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= . （1）证明 sin cos 2 0 ; （2）若 AC= 3 DC,求 的值.
A
α
β
B
D
C
图
1
5、（07 福建）在 △ABC 中， tan A 1 ， tan B 3 ．
2
B1B2 10 2.
10
因此乙船的速度的大小为
2 60 30
2.
20
答：乙船每小时航行 30 2 海里.
5
8、（I） B （2） 2 1 4
9、（I） B 4
（2）1
2
10、（I）
3
（2）10 5 3
1
11、（I）正弦定理易正 （2）
2
6