中考中档题难题练习.
九年级数学中考复习中档题训练含答案解析 专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型
专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型典例精讲基本模型1垂线段最短【例1】如图,等边△ABC 的边长为3,F 为BC 上的动点,DF ⊥AB 于点D ,EF ⊥AC 于点E ,则DE 的长的最小值为 .基本模型2定弦定角【例2】如图, ⊙O 的半径为2,AB 是弦,△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°,∠BAC =30°,连接OC .则OC 的最大值为 .基本模型3 直径是圆中最长的弦【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC 周长的最大值为 .基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC 面积的最大值为CB D基本模型5隐切线【例5】已知半圆⊙O的直径AB长为12,点P是半圆上的一动点,点Q是弦AP上的一点,且AQ=2PQ, 连接BQ并延长交⊙0于点M,则AM长度的最大值为2π微专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型典例精讲基本模型1垂线段最短【例1】如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE的长的最小值为94.【解析】过A,D，F ,E作⊙О,取AF的中点О,则OA=OD=OF=OE，∴A,D,F,E在以AF为直径的⊙О上,作直径DM,连接EM, 则∠M=60°，∴DE=2,DM=2AF,∴AF⊥BC时,AF最小,此时AF=2,故DE有最小值94.基本模型2定弦定角【例2】如图,⊙O的半径为2,AB是弦,△ABC为直角三角形，∠ACB=90°,∠BAC=30°,连接OC.则OC的最大值为1 .1C【解析】设直线BC 与⊙О交于点D ，∠ACB =90°, ∠BAC =30°,则╱B =60°，∴AD 为定弦﹐连接ОA,OD, 易得AD,∵∠ACB =90°,取AD 中点Q ， 则点C 在以AD 为直径的⊙Q 上,作射线OQ 交⊙Q 于点E ， 则OC 的最大值为OE=OQ+QE基本模型3 直径是圆中最长的弦【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC2 【解析】延长AC 至点D ,使CD=CB ,连接DB,则∠ADB =60° ∴点D 在以AB 为弦，其所对的圆周角为60°的弧上运动 ∴当AD 为直径时,其长度最大,即AC+CB 最大. ∵当AD 为直径时﹐∠ABD =90°， ∴AD=2sin 3AB ADB ==∠ ∴△ABC的周长最大值为23+. 基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC面积的最大值为9 [解析]如图，作△ABC 的外接圆⊙O ,当点C 运动至ACB 的中点C ′处时,AB 边上的高最大，即△ABC 的面积最大. 易证C ′O ⊥AB 于点D , 连接OA.OB .则∠AOB =90°， ∴AO=BO=C ′O=2AB=OD =12AB =3,∴C ′D=+3 ∴△ABC 面积的最大值为12AB ⋅CD=()16392⨯⨯基本模型5隐切线【例5】已知半圆⊙O 的直径AB 长为12,点P 是半圆上的一动点,点Q 是弦AP 上的一点,且AQ =2PQ, 连接BQ 并延长交⊙0于点M ,则AM 长度的最大值为2π[解析]连接OP ,在AB 上取一点1O ,使A 1O =23AO =4.连接1O Q, 则123AO AQ AP AO ==,∴△AO 1Q ∽△AOP ,∴O 1Q =23OP =4,B DC'∴点Q 在以4为半径的⊙01上，∴当BM 与⊙01相切时, ∠ABM 最大,AM 最长，设切点为Q 1.则01Q 1⊥BM ,∵01Q 1=4，01B =8. ∴∠01BQ 1= 30°，∴AM 的长度最大时所对的圆心角为60°,最大值为：606=2180ππ⨯⨯1。
中考数学 中档题突破 专项训练七 网格作图和尺规作图
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD 于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标 明字母)； 解：(1)如图．
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∠AEO＝∠CFO. ∵EF为AC的垂直平分线，∴OA＝OC， ∴△AEO≌△CFO ，∴AE＝CF.
3．(2022·无锡)如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D ，使 ∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，点D为所求点．
(2)在(1)的条件下，若∠B＝60°，AB＝2, BC＝3，则四边形ABCD的面 积为________．(如需画草图，请使用试卷中的图②) 过点A作AE⊥BC，垂足为点E， ∵∠B＝60°，∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°－60°＝30°， ∵AB＝2，
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图， 作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP.
(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC，求证：PD∥AB. 证明：如答图， ∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC， ∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB.
1 ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为2， ∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝122＝14.
3．(2022·柳州城中区模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的 三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．
数学中考中档题 精品
中考中档题练习（一）1．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 2．已知一次函数y ＝kx +b ,当0≤x ≤2时,对应的函数值y 的取值范围是-2≤y ≤4,则kb 的值为（ ）A. 12B. －6C. －6或－12D. 6或123．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ） A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）（第4题） 4．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3B ．2∶3C 2D 35．如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则∠BEC 的度数为（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．如图，直线l 和双曲线ky x=（0k >）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积为1S 、△BOD 的面积为2S 、△POE 的面积为3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ． 123S S S =>D ． 123S S S =<（第6题）7．如图，将边长为33+的等边△ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC 于点M 、N ，DF ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝1，则重叠部分的面积为 .8．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则Bn 的坐标是_________． xy12 43 0 -1-2 -3 1 2 3A B (第3题) (第5题)DNEF MCBA （第7题）x9．现有一个种植总面积为540m 2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、（1）若设草莓共种植了垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？ （2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？10．已知关于x 的方程 有两个实数根 ，关于y 的方程 有两个实数根 ，且 ，当 时，求m 的取值范围。
初三复习中档题和难题
图8 1．如图8所示电路，电源两端电压不变。
灯L l 标有“3V 3W ”字样，灯L 2标有“9V 4.5W ”字样，灯丝电阻不变。
当开关S 闭合后，两灯都有电流通过，且两灯中只有一盏灯正常发光。
则两灯消耗的总电功率为________W 。
2．三个定值电阻串联后接在电压恒定的电路两端，其阻值R 1=7Ω， R 3=18Ω。
某同学将一只电流表接在R 2的两端，如图13所示，发现其示数为0.8A 。
若将电流表的位置改接一只电压表，其示数为15V 。
则R 2的电阻为Ω。
3．图7所示电路中，电源两端电压保持U =9V 不变，L 为标有“6V 3.6W ”的小灯泡（灯丝电阻不随温度变化），R 为保护电阻。
电压表量程为0~3V ，滑动变阻器的最大阻值为10Ω。
闭合开关S 后，滑动变阻器滑片移至最左端时，小灯泡恰好正常发光。
在保证电表安全的条件下，保护电阻R 消耗电能的最小功率为______W 。
4．如图所示，电源两端电压不变，电阻R 1的阻值为2Ω。
闭合开关S ，当滑动变阻器的滑片P 位于A 点时，电压表V 1的示数为4V ，电压表V 2的示数为10V 。
当滑动变阻器的滑片P 位于B 点时，电压表V 1的示数为8V ，电压表V 2的示数为11V 。
则电阻R 2的阻值是Ω。
图13图75．如图19所示，电源两端电压U保持不变。
当开关S1闭合、S2断开，滑动变阻器接入电路中的电阻为R A时，电压表的示数为U1，电流表的示数为I1，电阻R1的电功率为P1，电阻R A的电功率为P A；当开关S1、S2都闭合，滑动变阻器接入电路中的电阻为R B时，电压表的示数U2为2V，电流表的示数为I2，电阻R B的电功率为P B；当开关S1闭合、S2断开，滑动变阻器滑片P位于最右端时，电阻R2的电功率为8W。
已知：R1:R2=2:1，P1:P B=1:10，U1:U2=3:2。
求：（1）电源两端的电压U；（3）电阻R A的电功率P A。
初三数学中档题试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中，正确的是：A. a<0，b<0，c<0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a>0，b<0，c>02. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，且AD=6cm，AB=8cm，则BC的长度为：A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm3. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，-3）和（-1，5），则下列选项中，正确的是：A. k=2，b=-1B. k=2，b=1C. k=-2，b=-1D. k=-2，b=14. 若a，b，c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，则b的值为：A. 6B. 7C. 8D. 95. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为Q，则Q的坐标为：A. （3，2）B. （2，3）C. （-3，-2）D. （-2，-3）6. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则前n项和Sn为：A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)7. 若x^2+px+q=0的判别式Δ=0，则方程的根的情况是：A. 两个实数根B. 两个相等的实数根C. 两个虚数根D. 无解8. 在平面直角坐标系中，点A（-1，2），B（3，-4），则线段AB的中点坐标为：A. （1，-1）B. （1，2）C. （-1，-1）D. （-1，2）9. 若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为：A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=2x-3，若x=4，则y=______。
中考数学 中档题突破 专项训练一 网格作图题 类型三：平移、对称在网格中的作图
1.(2022·蚌埠模拟)如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网 格中，点 A，B，C 均是格点(网格线的交点)．
(1)在图中将△ABC 平移得到△A′B′C′，使得点 B 的对应点为点 C，作 出平移后的图形△A′B′C′； (2)用无刻度直尺在图中的线段 AB 上找一点 P，使∠ACP＝∠APC. 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(3)求出△A2B2C2 的面积．
解：(3)△A2B2C2 的面积为
1
1
1
3×4－2×1×4－2×1×3＝－2×2×3＝5.5.
(2)如图，点 P 即为所求．
2．(2022·福田区模拟)线段 AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．
(1)将线段 AB 向左平移 6 个单位长度，作出平移后的线段 A1B1； (2)再将线段 AB 绕点(2，0)顺时针旋转 180°后得到线段 A2B2； 解：(1)如图，线段 A1B1 为所求． (2)如图，线段 A2B2 为所求．
4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， △ABC 的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC 向下平移 3 个单位长度得到的△A1B1C1； (2)在网格中画出△ABC 关于直线 m 对称的△A2B2C2； 解：(1)如图，△A1B1C1 即为所求．
(2)如图，△A2B2C2 即为所求．
(3)观察线段 A1B1 和线段 A2B2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请 写出对称)．
3．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12×12 网格中，给 出了以格点(网格线的交点)为端点的线段 AB.
中考中档题专题训练2
中考中档题专题训练2
满分48分 得分 17
．计算：
)0220113
2(1)--+-+. 18．解不等式2
52
234x x ++-<，并把解集在数轴上表示出来
.
19．如图，在A B C ∆与ABD ∆中，B C B D =，ABC ABD ∠=∠.点E 为B C 中点，点F 为B D 中点，连接A E ，A F
求证：ABE ∆与ABF ∆全等.
21．先化简，再求值：2222(1)121
x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪--+⎝⎭.其中x 是一元二次方程24410
x x -+=的根
22．如图，若直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点5
(,0)2A ， 与双曲线(0)m
y m x =≠在第二象限交于点B ，且O A O B =，
O A B ∆的面积为5
2
（1）求直线A B 的解析式及双曲线的解析式；
（2）求tan A B O ∠的值.
23．交警队“餐饮一条街”旁的一个路口在某一段时间内来往车辆的车速情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求这些车辆行驶速度的平均数和中位数，并将该条统计图补充完整；
（2）该路口限速60千米/时.经交警逐一排查，在超速的车辆中，车速为80千米/时的车辆中有2位驾驶员饮酒，车速为70千米/时的车辆中有1位驾驶员饮酒. 若交警不是逐一排查，而是分别在车速为80千米/时和70千米/时的车辆中各随机拦下一位驾驶员询问，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两辆车的驾驶员均饮酒的概率。
中考数学 中档题突破 专项训练三 解直角三角形的实际应用 类型一：仰角、俯角问题
0.81)
( B)
A．16.8 m
B．28.8 m
C．40.8 m
D．64.2 m
2．如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达 点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角 为30°，3 s后，火箭直线上升到达点B处，此时 地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D 在同一直线上，已知C，D两处相距460 m，求火箭从A处到B处的平均 速度．(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
专项训练三 解直角三角 形的实际应用
类型一：仰角、俯角问题 1．★如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52 m，
坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60 m的点D处向上爬 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m到达观景 台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度
AB约为(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈
解：由题意，得AD＝4 000 m，∠ADO＝30°， CD＝460 m，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4 000 m， ∠ADO＝30°，∴OA＝12AD＝2 000 m，OD＝ 23AD＝2 000 3 m， 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝OD－CD＝(2 000 3－460) m，∴AB＝OB－OA≈1 004(m)， ∴火箭的速度为1 004÷3≈335(m/s)． 答：火箭从A处到B处的速度约为335 m/s.
中考数学 中档题突破 专项训练二 图形的设计与计算
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． (3)如图③中，△ABC 即为所求．
2．(2022·江西)如图是 4×4 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要 求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中作∠ABC 的平分线； 解：(1)如图①中，射线 BP 即为所求．
(2)在图②中过点 C 作一条直线 l，使点 A，B 到直线 l 的距离相等． (2)如图②中，直线 l 或直线 l′即为所求．
3．(2021·武汉)如图是由小正方形组成的 5×7 网格，每个小正方形的 顶点叫做格点，矩形 ABCD 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给 定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图①中，先在边 AB 上画点 E，使 AE＝2BE，再过点 E 画直线 EF，使 EF 平分矩形 ABCD 的面积；
类型二：无刻度直尺的网格作图
1．(2020·安顺)如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做 格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； 解：(1)如图①中，△ABC 即为所求．
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长 是无理数； (2)如图②中，△ABC 即为所求．
解：空地的总面积为 12×4x＝48x(m2 )； ∵空白部分的面积和为 2x×6＋12πx2＝12x＋12πx2m2， ∴绿地的面积为 48x－ 12x＋21πx2＝36x－21πx2m2 故答案为 48x；36x－21πx2.
(2)若 x＝2 m 时，试问小明的设计方案是否合乎要求﹖请说明理由(其中 π取 3)． 小明的设计方案合乎要求， 理由：若 x＝2 m 时， 36x－12πx2＝36×2－12×3×4＝66(m2 )， ∵48×2×58＝60(m2)，66>60， ∴小明的设计方案合乎要求﹒
中考复习中档题
中考复习中档题1.如图1，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE.设AP=x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是A．PD B．PB C．PE D．PC2．在平面直角坐标系x O y，直线y=x-1与y轴交于点A，与双曲线=kyx交于点B（m，2）.（1）求点B的坐标及k的值;（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式.3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB=∠EBC；（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=35，求AC的长．D图1 图2F ECBA4．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2-(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2+ k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.5. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE的中点，连接DB ， DF ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，求DE 的长．6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边的中线，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AD 的平行线，两线交于点E . （1）求证：四边形ADBE 是矩形; （2）连接DE ,交AB 于点O ,若BC =8，AO =25， 求cos ∠AED 的值.7．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，连接DE并延长，交BC 的延长线于点F ． (1) 求证：△BDF 是等边三角形；(2) 连接AF 、DC ，若BC =3，求四边形AFCD 的面积．x9．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D .（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：BD =12（BC + BF ）； （2）点E 在AB 边上，连接CE .若BD =12（BC + BE ），在图2中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论。
中考数学训练题(中档题)
中考数学训练题（中档题）一、选择题7.已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=4，弦AB 经过点P ，若弦AB 的长为整数，则这样弦AB 的条数为（ ）A 、5B 、7C 、8D 、108.我们知道，一元二次方程x 2 = -1没有实数根，若我们规定一 个新数i,使其满足:i 2=-1，即方程x 2 = -1有一个根为i ，并且进一步规定， 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是由i 1= i ，i 2= -1，i 3= -i ，i 4= 1，从而对于任意正数n ，我们可得到： i 4n+1=i 4n ×i=(i 4)n ×i=1×i=i ,同理可得：i 4n+2= -1，i 4n+3= -i ，i 4n+4= 1，那么， i+i 2 +i 3+i 4+... +i 2018+i 2019的值为（ ）A.0B.1C. -1D.-i9.已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且图象过A （x 1，m ）、B （x 1+n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ）A ．m=n B ．m=n C ．m=n 2 D ．m=n 210.如图，△ACD 内接于⊙O ，CB 垂直于过点D 的切线，垂足为B ．已知⊙O 的半径为38，BC ＝3，那么sin ∠A ＝（ ）A ．91 B ．43 C ．98 D ．53二、填空题13.已知 x √x −3 =0，则x=_________.14. 如图，扇形AOB 的半径为5，∠AOB=90°, P 是半径0B 上一点，Q 是弧AB 上的一点，将扇形A 0B 沿PQ 对折，使折叠后的弧Q B'恰好与半径0A 相切于C 点，若0P=3,则0C 的长为_________.15.如图，已知直线343+=x y 与双曲线y=k x相交于A 、B 两点，与x 轴，y 轴分别相交于D 、C 两点，若CD=3，则k=_______.16.已知: E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、CD 上一点, 且DF ＝CF, ∠DEF ＝2∠CBF, 若AB ＝4, BC ＝6, 则AE ＝ .xyDCBA O三、解答题20.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出线段AB 绕点E 顺时针旋转90°得到线段AP ，点E 在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD 为对角线的矩形CMDN （C 、M 、D 、N 按顺时针排列），且面积为10，点M 、N 均在小正方形的顶点上；（3）连接PM 交CN 于点O ，直接写出OC ：ON 的值为___________.21.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE=∠ADF ．（1）判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若PF ：PC=1：2，AF=5，求CP 的长．22.为迎接军运会，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，某体育器材公司有,A B 两种型号的健身器可供选择.（1）体育器材公司2017年每套A 型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.6 万元，求每套A 型健身器年平均下降率n ；（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司,A B 两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，不少于110万元。
中考数学 中档题突破 专项训练一 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m的值为 A．2或6
（ A）
B．2或8
C．2
D．6
5．(2022·襄州区模拟)如果关于x的一元二次方程kx2－ 2k＋1 x＋1＝0
有两个不等的实数根，那么k的取值范围是
（ D）
1 A．k＜2
1 B．k＜2且k≠0
11
11
C．－2≤k＜2 D．－2≤k＜2且k≠0
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2.
程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为1100.
13．关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，则此方程
的根为x1x＝1＝x2x2＝＝1 1.
14．(2020·黄石)已知：关于x的一元二次方程x2＋ m x－2＝0有两个实 数根． (1)求m的取值范围； 解：(1)由题意，得 Δ＝( m)2－4×1×(－2)＝m＋8≥0，且m≥0， 解得m≥0.
A．2 B．－1
1 C．－2 D．－2
3．(2019·荆州)若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x
的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是
（ A）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．(2022·仙桃)若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个
C．k≤54且k≠0
D．k≥54
（ C）
7．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的
一个根，则该菱形ABCD的周长为
（ B）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
8．关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程
中考复习专题：中档题专项训练
中档题专项训练1.如图，Rt △ABC 的斜边AB =16，Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转后得到Rt △A ′B ′C ′，则Rt △A ′B ′C ′的斜边A ′B ′上的中线C ′D 的长度为 ．2.如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =3，△A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan△EFG 的值为 ．3.如图，在△ABC 中△A =60°，BM △AC 于点M ，CN △AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：△PM =PN ；△ACAN AB AM =；△△PMN 为等边三角形；△当△ABC =45°时，PC BN 2=．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A 、B 、C 、D ，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D 等的人数为 人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．5.某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB△BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）6.如图，在△O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB 上，且AE=CE，过点B作△O的切线交EC的延长线于点P．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设△O的半径为4，N为OC的中点，点Q在△O上，求线段PQ的最小值．7.如图，⊙O 的圆心在Rt ⊙ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ⊙E D ，作弦EF ⊙AC 于G ，连接DF ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，sin △DFE =，求EF 的长．8.如图，△O 为正方形ABCD 的外接圆，E 为弧BC 上一点，AF △DE 于F ，连OF 、OD ．（1）求证：AF =EF ；（2）若42 EF OF ，求sin △DOF 的值．9.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A ，B 型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件．已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．10.湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．△分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；△设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）。
中考中档题型专题训练篇(一)
（x2－1）－（x2－2x） （x＋1）2
解：原式＝
·
x（x＋1）
x（2x－1）
2x－1
（x＋1）2
＝
·
x（x＋1） x（2x－1）
x＋1
＝ 2 .
x
∵x 2－x－1＝0，∴x 2＝x＋1
x＋1
∴原式＝
＝1.
x＋1
x2－1
x＋1
3
解：原式＝(
－
)·
x＋1 x＋1 （x＋2）2
（a ＋2）2
＝
·
a＋2
（a＋2）（a－2）
＝a－2.
当 a＝2＋ 3时，原式＝2＋ 3－2＝ 3.
x2－4
x2－x
x－4
解：原式＝[
－
]÷
x（x－2） x（x－2） （x－2）2
x－4
（x－2）2
＝
·
x（x－2）
x－4
x－2
＝
.
x
解不等式 3x＋7＞1， 得 x＞－2，
∵x 为负整数， ∴x ＝－ 1.
2、计算：|﹣2 |+（4﹣π）0﹣ +（ − ）− ．
3、计算：|﹣2 |﹣ ﹣2﹣1+（
参考
答案
﹣2）
1、原式= ； 2、原式=2 ；
3、原式=
x2－4
x2＋4
3. 先化简，再求值：(
－4)÷ 2
，其中 x＝－1.
x
x ＋2x
（x－2）
x2＋4－4x （x＋2）
解：原式＝
÷
x
x（x＋2）
x（x＋ 2）
（x－2）2
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26．(本题8分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，使点B落在线段AC上，得矩形CEFG，边CD与EF交于点H，连接DG．
(1)CH= ▲．
(2)求DG的长．
27．(本题9分)如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为(6，8)，OA=OB．动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x轴的平行线，分别交OA、AB于E、F，连结PE、PF．设动点P、Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，它们运动的时间为t秒(t≥0)．
(1)点E的坐标为▲，F的坐标为▲；(均用t来表示)
(2)当t为何值时，四边形OPFE是平行四边形；
(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形?若存在，
请求出此时刻t的值：若不存在，请说明理由．
16．如图，△ABC 中，如果AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么S △GDM ：S △GAB 的值为___________．
17.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转
，则这两个正方形重叠部分的面积是
．
18．如图，A 是反比例函数y ＝k
x 图像上一点，C 是线段OA 上一点，且OC ：OA ＝1：3
作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，延长DC 交反比例函数图像于点B ，S △ABC ＝8，则k 的___________．
24．(本题满分8分) 如图，直线21+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点),1(a C 、
)2,(-b D 是直线与双曲线x
m
y =
2的两个交点，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，且△BCE 的面积为1.
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）观察图象，写出当21y y >时x 的取值范围；
（3）若在y 轴上有一动点F ，使得以点F 、A 、B 为顶点的三角形与△BCE 相似，求点F 的坐标.
45°A
D
C B
（第17题）
E
A B
D
C
M
G （第16题） A
B
O
D
C x
y
（第18题）
25．(本题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)．动点P从原点O出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P运动的时间为t(0<t<4)秒．
(1) 求点B、C的坐标；(用含t的代数式表示)
(2) 当t＝1时，在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行
四边形，直接写出此时点D的坐标．
(3) 当∠QPC＝90°＋∠α(其中α为△PBC的一个内角)时，求t的值；
A
Q
O P C
B x
y
26．(本题满分8分) 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A (1，0)，B (0，2)，将点B 沿
x 轴正方向平移3个单位长度得到对应点B ′，点B ′恰在反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图像
上．
(1) 求k 的值；
(2) 如图2，将△AOB (点O 为坐标原点)沿AB 翻折得到△ACB ，求同一平面内点C 的坐
标；
(3) 在同一平面内，是否存在这样的点P ，以P 为位似中心，将△AOB 放大为原来的两
倍后得到△DEF (即△DEF ∽△AOB ，且相似比为2)，使得点D 、F 恰好在反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图像上？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
（图2）
A
O
B
y
x
C
（备用图）
A
O B
y
x
（图1）
A
O B
y
x
B′
16. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB =5，AD =12，则四
边形ABOM 的周长为 ．
17．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数k y x =
的图像交于A 、B 两点，则0<k
x
<kx b +的解集是 .
18．如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…,A n B n C n C n －1按所示的方式放置．点
A 1，A 2，A 3，…，A n 和点C 1，C 2，C 3，…，C n 分别在直线y kx b =+ (k ＞0)和x 轴上，已知点
B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则点B 2015的坐标是 .
y
x
O C 1
B 2
A 2 C 3
B 1
A 3
B 3
A 1 C 2
（第16题）
（第17题）
27.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且
∠AOB=60°，反比例函数
k
y
x
（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F.（1）
若OA=10，求反比例函数的解析式；
（2）若F为BC的中点，且S△AOF＝243，求OA长及点C坐标；
（3）在（2）的条件下，过点F作EF∥OB交OA于点E（如图2），若点P是直线EF 上一个动点，连结，P A，PO，问是否存在点P，使得以P，A，O三点构成的三角形是直角三角形？若存在，请指出这样的P点有几个，并直接写出其中二个P点坐标；若不存在，请说明了理由．
17．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线l ：1--=x t ，双曲线x
y 1
=。
在l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。
记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，a 2015= ▲ ．
18．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，点E 为CD 上一动点，AE 交BD 于点F ，过点F 作FH ⊥AE ，交BC 于H ，过H 作GH ⊥BD 于点G ，下列结论：①AF =FH ， ②∠HAE =45°， ③BD =
2
3
FG ，④△CEH 的周长为定值．其中正确的是 ▲ (写正确结论的序号)。
17．直线kx y =)0(>k 与双曲线x
y 2
=
交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则122174y x y x -的值是 ▲ .
18．图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2
将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为8+4，则图3中线段AB 的长为 ▲ ．
（1）如图1，E 、F 是正方形ABCD 的边AB 及DC 延长线上的点，且CF BE =，则BG 与BC 的数量关系是 ▲ .
（2）如图2，D 、E 是等腰ABC ∆的边AB 及AC 延长线上的点，且CE BD =，连接DE 交BC 于点F ，BC DG ⊥交BC 于点G ，试判断GF 与BC 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知矩形ABCD 的一条边4=AD ，将矩形ABCD 沿过A 的直线折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处。
动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且PM BN =，连接MN 交PB 于点F ，作PB
ME ⊥于点E ，且5=
EF ，试根据上题的结论求出矩形ABCD 的面积
图1 图2 图3
E
阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2()a b ≥0， ∴2a ab b -≥0，
∴a b +≥2ab a ＝b 时，等号成立．
结论：在a b +≥2ab a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a +b ≥2p ，只
有当a=b 时，a +b 有最小值2p ．
根据上述内容，填空：若m ＞0，只有当m ＝ 时，m
m 4
+有最小值，最小值为 ．
探索应用：如图，已知)0,2(-A ，)3,0(-B ，P 为双曲线
x
y 6
=
（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ， PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明 此时四边形ABCD 的形状．
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共490元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．．最低？最低平均每千米的运输成本是多少元？。