离散数学第12章基本的组合计数公式
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离散数学
第12章 基本的组合计数公式
2020年4月6日星期一
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学 分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察 到神龟背上的幻方…...
前言
幻方可以看
作是一个3阶方阵， 4 9 2
其元素是1到9的正 整数，每行、每列
357
以及两条对角线的 和都是15。
816
前言
贾宪
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
例1 在允许移动被切割的物体的情况下， 最少用多少次切割可以将 333 的立方 体切成 27个单位边长的立方体？
中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割 至多产生一个面，至少需要6次切割。存在一种切割方 法恰好用 6 次切割。
例2 100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？ 方法1：50+25+12+6+3+2+1=99 方法2：比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘 汰99人，因此至少需要99场比赛.
12.1加法法则与乘法法则
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
乘法法则
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
内容提要
1 加法法则与乘法法则
2
排列与组合
3 二项式定理与组合恒等式
4
多项式定理
本章学习要求
重点掌握
1
1加法法则和原 理法则 2排列组合的计 算
一般掌握
2
二项式定理与组 合恒等式计算
了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
组合问题的处理技巧
一一对应 数学归纳法 上下界逼近
一一对应与上下界逼近
n1×n2×L×nt
例1 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
例3 解
（1）根据乘法法则，可能的选法种数为6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40； [法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
北宋数学家（约11世纪） 著有《黄帝
九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑（“古算法导
引”）都已失传。杨辉著《详解九章算法》（1261年）
中曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为正整数的
二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”）和“增乘开
方法”（求次幂的正根法）。前者比帕斯卡三角形早
600年，后者比霍纳 （William Geoge Horner，1786—
例3 解(续)
1837）的方法（1819年）早770年。
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用 了组合论（Combinatorics）一词。
前言
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普遍应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞 杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统 一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
加法法则
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
例3
由 Alice 、 Ben 、 Connie 、 Dolph 、 Egbert 和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。 （1）共有多少种选法？ （2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？ （3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？ （4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
毒解非常根快据速Me地l转is发sa邮病件毒，的将扩被散转原发理的，邮经件过临四时次存转储发在， 某共 50个有×磁50盘×上50，×当5磁0+盘50占×满50后×，50系+5统0×将5会0死+ 锁50甚+至1 崩溃。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
例2
在一幅数字图像中，若每个像素点用8位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。 解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。
第12章 基本的组合计数公式
2020年4月6日星期一
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学 分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察 到神龟背上的幻方…...
前言
幻方可以看
作是一个3阶方阵， 4 9 2
其元素是1到9的正 整数，每行、每列
357
以及两条对角线的 和都是15。
816
前言
贾宪
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
例1 在允许移动被切割的物体的情况下， 最少用多少次切割可以将 333 的立方 体切成 27个单位边长的立方体？
中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割 至多产生一个面，至少需要6次切割。存在一种切割方 法恰好用 6 次切割。
例2 100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？ 方法1：50+25+12+6+3+2+1=99 方法2：比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘 汰99人，因此至少需要99场比赛.
12.1加法法则与乘法法则
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
乘法法则
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
内容提要
1 加法法则与乘法法则
2
排列与组合
3 二项式定理与组合恒等式
4
多项式定理
本章学习要求
重点掌握
1
1加法法则和原 理法则 2排列组合的计 算
一般掌握
2
二项式定理与组 合恒等式计算
了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
组合问题的处理技巧
一一对应 数学归纳法 上下界逼近
一一对应与上下界逼近
n1×n2×L×nt
例1 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
例3 解
（1）根据乘法法则，可能的选法种数为6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40； [法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
北宋数学家（约11世纪） 著有《黄帝
九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑（“古算法导
引”）都已失传。杨辉著《详解九章算法》（1261年）
中曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为正整数的
二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”）和“增乘开
方法”（求次幂的正根法）。前者比帕斯卡三角形早
600年，后者比霍纳 （William Geoge Horner，1786—
例3 解(续)
1837）的方法（1819年）早770年。
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用 了组合论（Combinatorics）一词。
前言
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普遍应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞 杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统 一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
加法法则
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
例3
由 Alice 、 Ben 、 Connie 、 Dolph 、 Egbert 和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。 （1）共有多少种选法？ （2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？ （3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？ （4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
毒解非常根快据速Me地l转is发sa邮病件毒，的将扩被散转原发理的，邮经件过临四时次存转储发在， 某共 50个有×磁50盘×上50，×当5磁0+盘50占×满50后×，50系+5统0×将5会0死+ 锁50甚+至1 崩溃。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
例2
在一幅数字图像中，若每个像素点用8位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。 解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。