离散数学第12章基本的组合计数公式
组合计算的公式
组合计算的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：组合计算是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在组合中，我们关心的是从一个给定的集合中选择一定数量的元素，而不考虑元素的具体顺序。
在组合计算中，最基本的概念就是组合数，它表示从n个元素中选取k个元素的方法数。
组合数的计算公式如下：\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]n表示总共有多少个元素，k表示选择多少个元素，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，k!表示k的阶乘，(n-k)!表示n-k的阶乘。
组合数的计算方法有很多种，其中最常用的就是利用公式直接计算。
我们也可以通过排列组合的思想来理解组合数的计算过程。
我们可以将选取k个元素的过程看作是从n个元素中排列，然后再去除掉顺序不同但元素相同的排列，这样就能得到组合数。
除了求解组合数，组合计算还可以应用在很多实际问题中。
我们可以利用组合数来计算从一副扑克牌中取出一副手牌，或者从一组人员中选取一个团队。
在概率统计中，组合计算也有着重要的应用，比如计算事件发生的可能性等。
组合计算还与二项式定理密切相关。
二项式定理是一个常见的代数公式，可以用来展开一个二项式的幂。
在二项式定理中，系数与组合数有着密切的联系，这也进一步说明了组合计算的重要性。
组合计算是一个非常有趣的数学领域，它不仅有着丰富的理论基础，还有着广泛的应用场景。
通过深入学习组合计算，我们可以更好地理解数学中的各种概念，并且在实际生活中也能够运用它来解决一些问题。
希望大家能够对组合计算有一个更深入的了解，从而在数学领域有更出色的表现。
第二篇示例：组合计算是组合数学中的一项重要内容，它涉及到排列、组合、选择等概念。
在实际生活中，组合数学被广泛应用于统计学、概率论、计算机科学等领域，因此掌握组合计算的公式对于理解和解决许多实际问题非常重要。
组合计算的基本概念是指从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合数用C(n, r)表示，其中n为集合的元素个数，r为要取出的元素个数。
组合数 公式
组合数公式组合数公式什么是组合数？组合数是数学中一个重要的概念，表示从一个元素集合中取出若干元素而不考虑元素的顺序的方式的总数。
组合数经常在概率论、统计学以及组合数学等领域中使用，并有许多相关的公式。
公式一：组合数的定义公式组合数的定义公式如下：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n表示元素集合中的元素个数，k表示从中取出的元素个数，n!表示n的阶乘。
公式二：组合数的递推公式组合数的递推公式可以通过组合数的定义公式化简得到：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)这个公式表示从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n−1个元素中选取k−1个元素的方式数加上从n−1个元素中选取k个元素的方式数。
公式三：组合数的性质公式组合数有以下两个性质公式：1.C(n,k)=C(n,n−k)，即从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n个元素中选取n−k个元素的方式数。
2.C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)，即组合数的递推公式。
例子解释假设有一箱子里有红球和蓝球，其中分别有5个红球和3个蓝球。
现在要从箱子中选取2个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的定义公式，可以计算出结果：C(8,2)=8!2!(8−2)!=8!2!6!=8∗72∗1=28所以，从这个箱子中选取2个球的方式有28种。
再假设箱子里的球数稍有不同，有5个红球和4个蓝球。
现在要从箱子中选取3个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的递推公式，可以将问题化简：C(9,3)=C(8,2)+C(8,3)=8!2!(8−2)!+8!3!(8−3)!=28+56=84所以，从这个箱子中选取3个球的方式有84种。
综上所述，组合数公式能够帮助我们计算从一个元素集合中选取若干元素的不同方式数。
无论是组合问题还是概率问题，组合数公式都具有重要的应用价值。
公式四：组合数的乘法公式组合数有一个重要的乘法公式：C(n,k)=C(n−1,k−1)∗n k这个公式可以通过组合数的定义公式推导得到。
离散数学中的排列组合问题解析
离散数学中的排列组合问题解析离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，排列组合是一个重要的概念和问题，广泛应用于各个领域。
本文将对离散数学中的排列组合问题进行解析，介绍其基本概念、公式和应用。
一、排列的概念和公式排列是从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列中，每个元素只能使用一次，且顺序不同即为不同的排列。
排列的计算公式为：$$P(n,m) = \frac{n!}{(n-m)!}$$其中，n表示元素的总个数，m表示需要取出的元素个数，!表示阶乘运算，即从1到该数的连续乘积。
排列的结果是一个整数，表示所有可能的排列数量。
例如，从4个元素中取出2个元素进行排列，计算公式为：$$P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$$因此，从4个元素中取出2个元素进行排列，共有12种不同的排列方式。
二、组合的概念和公式组合是从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序进行组合的方式。
在组合中，每个元素只能使用一次，且顺序不同不影响结果。
组合的计算公式为：$$C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$其中，n表示元素的总个数，m表示需要取出的元素个数。
组合的结果是一个整数，表示所有可能的组合数量。
例如，从4个元素中取出2个元素进行组合，计算公式为：$$C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$$因此，从4个元素中取出2个元素进行组合，共有6种不同的组合方式。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 抽奖活动：如果有n个人参加抽奖，每次抽取m个人，那么可以使用组合的方式计算出所有可能的中奖组合数量。
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
离散数学公式范文
离散数学公式范文离散数学是一门关于离散结构及其运算规则的数学课程。
它研究的对象包括离散对象（如集合、图、函数等）和离散运算（如关系、代数运算等），以及这些对象和运算之间的关系和性质。
离散数学具有广泛的应用领域，如计算机科学、信息技术、电子通信等。
本文将介绍一些离散数学中常用的公式及其应用。
一、集合公式1.交集运算：对于集合A和B，它们的交集记作A∩B，定义为A和B 中都包含的元素所组成的集合。
A∩B={x，x∈A且x∈B}2.并集运算：对于集合A和B，它们的并集记作A∪B，定义为A和B 中所有元素所组成的集合。
A∪B={x，x∈A或x∈B}3.差集运算：对于集合A和B，它们的差集记作A-B，定义为属于A 但不属于B的元素所组成的集合。
A-B={x，x∈A且x∉B}4.对称差运算：对于集合A和B，它们的对称差记作A△B，定义为属于A或属于B但不同时属于A和B的元素所组成的集合。
A△B={x，(x∈A且x∉B)或(x∉A且x∈B)}二、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，用于证明一类命题对于所有正整数成立。
它的基本思想是通过证明基本情况成立，然后证明如果对于一些正整数n成立，则对于n+1也成立，从而得出结论对于所有正整数成立。
数学归纳法的三个步骤：1.基础步骤：证明当n取最小值时命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时命题成立，即P(k)成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
三、逻辑公式逻辑公式是描述命题之间关系的数学表达式。
常用的逻辑公式有如下几种：1.否定：对于命题p，它的否定记为¬p，表示p是假的。
2.合取：对于命题p和q，它们的合取记为p∧q，表示p和q同时为真时整个表达式才为真。
3.析取：对于命题p和q，它们的析取记为p∨q，表示p和q至少有一个为真时整个表达式才为真。
4.蕴含：对于命题p和q，它们的蕴含记为p→q，表示如果p为真，则q也为真；如果p为假，则整个表达式为真。
高三数学组合
高三数学组合组合是高中数学中的一个重要概念，它是离散数学中的一个分支，用于解决计数问题。
在高三数学学习中，组合是一个重要的知识点，它涉及到排列、选择等概念。
本文将以高三数学组合为主题，探讨组合的基本概念、性质和应用。
一、组合的基本概念组合是从n个元素中选择r个元素的方式的总数。
在组合中，选择的元素的顺序是不重要的，只关注元素的选择个数。
组合的表示通常用C(n,r)来表示，其中n为总个数，r为选择个数。
组合数的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘。
二、组合的性质1. 互补性：C(n,r) = C(n,n-r)。
这是因为选择r个元素等价于选择剩余的n-r个元素。
2. 加法原理：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
3. 乘法原理：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
4. 递推关系：C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。
选择r个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，另一种是不包含第n个元素。
三、组合的应用组合在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 选课问题某高中有10门选修课，每个学生需要选择其中5门课程。
问有多少种选课方案？这是一个典型的组合问题，可以用C(10,5)来计算出总的选课方案数。
2. 分组问题某社团有12个人，要将他们分成3个小组，每个小组至少有2个人。
问有多少种分组方案？这个问题可以用C(12,2) * C(10,2) * C(8,2)来计算出总的分组方案数。
3. 排队问题某电影院有8个座位，有10个人排队购买电影票。
问有多少种排队购票的方式？这个问题可以用C(10,8)来计算出总的排队方式数。
关于组合数的公式
关于组合数的公式组合数是数学中一个非常有趣且实用的概念。
咱们先来说说组合数到底是啥。
比如说，你有一堆不同颜色的球，红的、蓝的、绿的，然后你想从里面挑出几个来，不考虑顺序，这时候就得用到组合数啦。
组合数的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们算出到底有多少种不同的挑法。
组合数的公式是：C(n, k) = n! / [k!(n - k)!] 。
这里面的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班上的 10 个同学里选出 3 个去参加比赛。
这时候就得用组合数来算算有多少种选法。
咱们用组合数公式来算一下，C(10, 3) = 10! / [3!(10 - 3)!] = 10×9×8 / (3×2×1) = 120 ，哇，居然有 120 种不同的选法呢！那咱们再深入讲讲这个公式。
为啥会是这样的形式呢？其实它背后的原理挺巧妙的。
比如说，从 n 个不同的元素里选 k 个，第一步咱们有 n 种选择，第二步就剩下 n - 1 种选择，一直到第 k 步，就有 n - k +1 种选择。
但是呢，因为组合不考虑顺序，所以咱们这样选出来的结果会有重复。
比如说选出来的是 A、B、C 这三个元素，和先选 B 再选 A 最后选 C ，本质上是一样的。
所以就得除以 k! 来消除这种重复。
咱们再来看个实际例子。
假设超市里有 8 种不同的水果，你想买 4 种，用组合数公式就能算出一共有 C(8, 4) = 70 种不同的买法。
在解题的时候，使用组合数公式可得仔细啦。
要把 n 和 k 的值搞清楚，千万别弄错。
比如说有一道题，要从 15 本书里选 5 本组成一套，那就是 C(15, 5) ，可别弄成 C(5, 15) 啦，这可就完全不对咯。
组合数的公式在很多领域都有应用呢。
像概率统计里，算事件发生的可能性；在排列组合的问题中，帮助咱们快速准确地得出答案。
组合的计算方法
组合的计算方法组合是数学中的一个重要概念，在概率论、统计学和组合数学等领域中有许多重要应用。
组合是指从给定的个数或集合中选择若干个元素的方式。
本文将介绍组合的计算方法，包括排列、组合公式以及应用实例。
一、排列排列是指从给定的一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素进行排列的方式。
在排列中，每个元素只能选取一次，且顺序是重要的。
排列的计算方法如下：假设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，则排列的总数可以用阶乘来表示，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘，即：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
例如，从1、2、3三个元素中选择2个元素进行排列，排列的总数为P(3, 2) = 3! / (3-2)! = 3。
二、组合组合是指从给定的一组元素中选择若干个元素进行组合的方式。
在组合中，每个元素只能选取一次，且顺序不重要。
组合的计算方法如下：假设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，则组合的总数可以用公式表示，即n的阶乘除以r的阶乘再除以(n-r)的阶乘，即：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，C(n, r)表示n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
例如，从1、2、3三个元素中选择2个元素进行组合，组合的总数为C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3。
三、应用实例组合的计算方法在实际问题中有广泛的应用，下面以两个实例来说明。
实例一：假设有8位同学参加一场比赛，要从中选出3位同学获得奖品。
求获奖的不同组合方式。
解：根据组合的计算方法，可以得知从8位同学中选出3位同学进行组合的总数为C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 56。
因此，获奖的不同组合方式有56种。
实例二：某公司有9位员工，其中3位员工要参加一次培训班，问有多少种不同的组合方式？解：根据组合的计算方法，可以得知从9位员工中选出3位员工进行组合的总数为C(9, 3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 84。
离散数学第12章基本组合计数公式
（ 1 ） 根 据 乘 法 法 则 ， 可 能 的 选 法 种 数 为 6×5×4= 120；
（2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
[法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15
(Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶(M) 0.85 (S)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。
解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
毒某解 共 50个非有×磁常5根0盘快×据5上速0M×e，地l5i当转0s+磁发s5a0盘邮病×5占件毒0×满，的5后将扩0+，被散50系转原×统发5理0将的+，会邮5经0死件过+锁临1四甚时次至存转崩储发溃在，。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
组合计数公式
组合计数公式组合计数公式，这可是数学里一个挺有意思的玩意儿！咱先来说说啥是组合计数公式。
简单来讲，它就是帮咱们数数，算算在一堆东西里挑出几个来，能有多少种不同的挑法。
比如说，从 5个苹果里选 2 个，有几种选法？这就得靠组合计数公式来帮忙啦。
组合计数公式里有个很重要的概念叫“组合数”，通常用 C(n, k) 来表示，意思是从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合数。
它的计算公式是：C(n, k) = n! / [k!(n - k)!] 。
这里面的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班上的 20 个同学里选出 5 个参加比赛。
同学们都在那七嘴八舌地讨论到底有多少种选法。
这时候，我就跟他们说，咱们可以用组合计数公式来算算。
然后我就在黑板上写出了 C(20, 5) = 20! / [5!(20 - 5)!] ，算出来一共有 15504 种选法。
同学们都瞪大了眼睛，觉得太神奇了，原来数学能这么厉害，轻轻松松就算出了这么多种可能。
组合计数公式在生活中的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这就是组合问题。
还有安排座位，一排有 10 个座位，选 3 个坐人，有多少种坐法，这也能用组合计数公式来解决。
再比如说，你去买水果，有 8 种水果，你只想买 3 种，那到底有多少种不同的买法？用组合计数公式一算就知道。
还有分东西，把 12 个玩具分给 4 个小朋友，每个小朋友至少一个，这也能通过组合计数公式来思考。
组合计数公式还能帮助咱们理解概率问题。
比如说扔骰子，扔两次，两次点数之和为 7 的概率是多少？这也得先通过组合计数公式算出总的可能性，再算出点数之和为 7 的可能性，最后就能算出概率啦。
在学习组合计数公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的道理。
多做几道题，多想想实际生活中的例子，这样才能真正掌握它。
计算组合数公式
计算组合数公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：计算组合数公式是组合数学中的一个重要内容，它描述了从一组元素中选择若干个元素的方式。
在数学中，通常用符号C(n, k)表示从n 个元素中选择k个元素的组合数。
组合数公式在组合数学、概率论和统计学中具有广泛的应用，它在很多领域都扮演着重要的角色。
组合数公式的计算方法有多种，其中最常用的方法是利用排列组合的知识来推导。
下面将介绍几种常见的计算组合数公式的方法。
1. 递推关系式递推关系式是一种通过已知的组合数来计算新的组合数的方法。
通常情况下，我们可以利用以下的递推关系式来计算组合数：C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
递推关系式可以帮助我们快速计算任意n和k的组合数。
2. 公式法其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1。
利用这个公式，我们可以直接计算任意n和k的组合数。
3. 杨辉三角杨辉三角是一种用于计算组合数的图形表示方法，它具有很好的可视化效果。
在杨辉三角中，每个数字表示相应位置的组合数。
杨辉三角的规律是每个数等于上一行对应位置的两个数之和。
通过查找杨辉三角中相应的数字，我们可以快速计算任意n和k的组合数。
计算组合数公式是组合数学中的一个基础知识，对于很多数学问题都具有重要的应用价值。
通过递推关系式、公式法和杨辉三角等方法，我们可以快速、准确地计算任意n和k的组合数。
希望通过本文的介绍，读者能对计算组合数公式有一个更加深入的了解。
第二篇示例：组合数公式是组合数学中的一种基本概念，用来表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方法数。
组合数公式在数学、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
它不仅可以用于解决实际问题，还可以帮助我们更好地理解抽象问题的规律性。
组合数的计算公式有多种推导方法，其中最常用的是基于二项式定理的组合数公式。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。
离散数学组合公式推导技巧介绍
离散数学组合公式推导技巧介绍离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，组合是一个重要的概念，它涉及到对离散对象进行选取、排列和组合的计数问题。
组合公式是解决这类问题的重要工具，本文将介绍一些常用的组合公式的推导技巧。
一、阶乘公式推导在组合问题中，阶乘是最基本的计算方式之一。
阶乘的推导可以基于递归定义进行，即n的阶乘定义为n乘以(n-1)的阶乘，直到1的阶乘为止。
这种递归定义的推导方法可以用来计算较小的数的阶乘。
例如，我们可以通过递归定义来推导5的阶乘：5! = 5 * 4!= 5 * 4 * 3!= 5 * 4 * 3 * 2!= 5 * 4 * 3 * 2 * 1!根据递归定义，我们可以得出n的阶乘公式：n! = n * (n-1)!二、排列公式推导排列是指从n个元素中选取m个元素，按照一定顺序进行排列。
在组合问题中，排列是一个非常常见的计数方式。
常用的排列公式有一般排列公式和循环排列公式。
1. 一般排列公式：一般排列公式可以表示为P(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方式数。
P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
2. 循环排列公式：循环排列是指在一组元素中，元素之间没有顺序要求的排列方式。
对于n个元素的循环排列，可以表示为P(n,n)。
P(n,n) = (n-1)!在循环排列中，元素个数为n的循环排列等价于元素个数为n-1的一般排列。
三、组合公式推导组合是指从n个元素中选取m个元素，不考虑元素的顺序。
组合问题在离散数学中也是一个重要的概念。
常用的组合公式有一般组合公式和循环组合公式。
1. 一般组合公式：一般组合公式可以表示为C(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方式数。
C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘。
2. 循环组合公式：循环组合是指在一组元素中，元素之间没有顺序要求的组合方式。
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。
组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。
在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。
一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。
组合数学的基础知识就是排列组合。
其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。
在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。
根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。
具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。
简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。
抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。
四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。
容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。
具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。
生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。
通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。
在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。
六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。
例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。
基本的组合计数公式
02 基本的组合计数公式
定义
• 排列数公式是指从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n） 进行排列的种数。计算公式阶乘表示法
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
排列数公式
$A_{n}^{m} = frac{n!}{(n-m)!}$
应用
• 排列数公式在组合数学、统计学、概率论等领域 有广泛应用，用于计算排列组合问题。
组合计数的应用场景
01
02
03
04
概率计算
在概率论中，组合计数用于计 算事件发生的可能性，如排列 组合问题、贝叶斯定理等。
统计学
在统计学中，组合计数用于样 本空间大小的计算，以及参数
估计和假设检验等。
计算机科学
在计算机科学中，组合计数用 于算法复杂度分析、数据结构
和算法设计等。
金融学
在金融学中，组合计数用于资 产配置和风险管理等。
基本的组合计数公式
目 录
• 组合计数的定义 • 基本的组合计数公式 • 组合计数公式的推导 • 组合计数公式的证明 • 组合计数公式的应用
01 组合计数的定义
组合计数的概念
组合计数是数学中研究从n个不 同元素中选取r个元素（不放回） 的种数的方法。
组合计数公式通常表示为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)，其中"!"表示 阶乘。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
错排公式的推导
错排公式
$D_n = n!*(1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)$
推导过程
错排公式是用来计算在n个元素中放错位置的排列个数 。首先，考虑所有元素都放错位置的情况，即第一个元 素放在第二个位置，第二个元素放在第三个位置，以此 类推，最后一个元素放在第一个位置。这种情况下的排 列数为$n!/2!$。然后考虑只有一个元素放错位置的情 况，即第一个元素放在第二个位置，第二个元素放在第 一个位置，其他元素都放错位置，这种情况下的排列数 为$n(n-1)!/2!$。以此类推，可以得到错排公式。
离散数学中的组合
推论3
C n 1, r 1 C n 2, r 1 C r 1, r 1 C n, r (1.10)
证明：反复应用Pascal公式容易得到式(1.10).
[例1] 在一个平面上有42个点，且没有任何三个点在同一条直线上. 通过 这些点可以确定多少条不相同的直线？可以构成多少个位置不相同的三角形？ 解：由于没有三个点在一条线上，故每两个点可确定唯一的一条直线. 故 42! 有
C 42, 2
条不同直线. 42! 又由于任意三点可以构成一个三角形，故有 C 42,3 11480 3!39! 个位置不同的三角形.
2!40!
861
[例2] 数510510能被多少个不同的奇数整数？ 解：由于510510=2·3·5·7·11·13·17，其中除2是偶数外都是奇数. 于是要整除510510的奇数只能是除2以外的奇素数之积，而且在一个积中一个奇 数至多出现一次. 奇素数之积分下面几种情况讨论： 只包含一个奇素数，一共有C 6,1 6 个 包含两个奇素数，一共 C 6, 2 15 个 包含三个奇素数，一共 C 6,3 20 个 包含四个奇素数，一共 C 6, 4 15 个 包含五个奇素数，一共 C 6,5 6 个 包含六个奇素数，一共 C 6,6 1 个 于是，由加法法则知总共有6+15+20+15+6+1=63个. 故510510能被63个不同的奇数整除.
C n, r C n 1, r C n 1, r 1
n 1! n 1! C n 1, r C n 1, r 1 r ! n 1 r ! r 1! n 1 r 1!
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第12章 基本的组合计数公式
2020年4月6日星期一
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学 分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察 到神龟背上的幻方…...
前言
幻方可以看
作是一个3阶方阵， 4 9 2
其元素是1到9的正 整数，每行、每列
357
以及两条对角线的 和都是15。
816
前言
贾宪
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
例1 在允许移动被切割的物体的情况下， 最少用多少次切割可以将 333 的立方 体切成 27个单位边长的立方体？
中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割 至多产生一个面，至少需要6次切割。存在一种切割方 法恰好用 6 次切割。
例2 100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？ 方法1：50+25+12+6+3+2+1=99 方法2：比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘 汰99人，因此至少需要99场比赛.
12.1加法法则与乘法法则
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
乘法法则
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
内容提要
1 加法法则与乘法法则
2
排列与组合
3 二项式定理与组合恒等式
4
多项式定理
本章学习要求
重点掌握
1
1加法法则和原 理法则 2排列组合的计 算
一般掌握
2
二项式定理与组 合恒等式计算
了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
组合问题的处理技巧
一一对应 数学归纳法 上下界逼近
一一对应与上下界逼近
n1×n2×L×nt
例1 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
例3 解
（1）根据乘法法则，可能的选法种数为6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40； [法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
北宋数学家（约11世纪） 著有《黄帝
九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑（“古算法导
引”）都已失传。杨辉著《详解九章算法》（1261年）
中曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为正整数的
二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”）和“增乘开
方法”（求次幂的正根法）。前者比帕斯卡三角形早
600年，后者比霍纳 （William Geoge Horner，1786—
例3 解(续)
1837）的方法（1819年）早770年。
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用 了组合论（Combinatorics）一词。
前言
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普遍应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞 杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统 一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
加法法则
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
例3
由 Alice 、 Ben 、 Connie 、 Dolph 、 Egbert 和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。 （1）共有多少种选法？ （2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？ （3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？ （4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
毒解非常根快据速Me地l转is发sa邮病件毒，的将扩被散转原发理的，邮经件过临四时次存转储发在， 某共 50个有×磁50盘×上50，×当5磁0+盘50占×满50后×，50系+5统0×将5会0死+ 锁50甚+至1 崩溃。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
例2
在一幅数字图像中，若每个像素点用8位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。 解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。