陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第三章推理与证明归纳推理学案北师大版选修1-2
高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 3.1.2 类比推理教案 北师大选修1-2-人教版
类比推理学习目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；学习过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个〔两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想，即例3如图，点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，那么1111111=++CC OC BB OB AA OA 〔Ⅰ〕类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论〔Ⅱ〕？并用证明〔Ⅰ〕时类似的方法给出证明。
2020学年高中数学第3章推理与证明11.1归纳推理学案北师大版选修1-2(2021-2022学年)
１。
1 归纳推理1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理． 思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗?[提示］ 不一定正确.因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,其结论还需要证明其正确性．１.下列关于归纳推理的说法错误的是( ） ①归纳推理是由一般到一般的推理过程; ②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理;③归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确； ④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能． A.①② B.②③ Ｃ．①③D ．③④Ａ [归纳推理是由特殊到一般的推理,故①②不正确,易知③④均正确,故选A 。
］ 2.若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ） A ．至多等于3B ．至多等于4ﻬC ．等于５ﻩ D.大于5B [n ＝2时，可以；n =３时,为正三角形,可以；n =4时,为正四面体,可以；n =５时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.]3.由集合｛a 1｝,｛ａ1，a ２｝,{a 1，ａ2,a 3}，……的子集个数归纳出集合{ａ１,a ２，a 3，…，a ｎ｝的子集个数为＿_______．2ｎ[集合｛a 1｝有两个子集∅和{ａ1｝,集合｛a 1，a 2}的子集有∅,{a 1},｛a 2}，{a １,a 2｝共4个子集,集合｛ａ1，a２，ａ3｝有８个子集,由此可归纳出集合{a1，a2，a３，…，a n}的子集个数为2n个.]数式中的归纳推理【例1】(1）观察下列各式:ａ＋b＝1,a2＋b2＝３，a3＋b３=４，a4+ｂ4＝7,a５+b5=１１，……，则ａ1０+b１0=()A.２８ﻩB．７6C.123D.1９9(2)已知f(x)＝错误!未定义书签。
,设f1(x)＝f（x),fｎ(x)=fｎ-１（f n－１（x）)(n〉１，且ｎ∈N＋)，则ｆ3（x）的表达式为_＿＿_＿_＿＿______,猜想f n（x)(n∈Ｎ＋)的表达式为＿______＿．思路点拨:(1）记ａn＋b n=f(n)，观察ｆ(1),f(2),f(3)，ｆ（4)，f(5)之间的关系,再归纳得出结论．（2)写出前几项发现规律,归纳猜想结果.（1)C(2）ｆ3(ｘ)＝＼f（x，1-4x）fｎ(x)=错误!未定义书签。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 走进高考中的“合情推理”拓展资料素材 北师大版选修1-2
走进高考中的“合情推理”法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．惟有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题，考查学生的合情推理能力．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1 （高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)f =________；()f n = _________（答案用n 表示）．解析：(1)1f =，观察上图可知(2)4f =，(3)10f =，(4)20f =，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是(1)2n n +，所以(1)()(1)2n n f n f n +=-+， 所以有2(21)(2)(1)2f f ⨯+-=，3(31)(3)(2)2f f ⨯+-=， 4(41)(4)(3)2f f ⨯+-=，…，(1)()(1)2n n f n f n +--=． 以上各式相加，得2222223344()(1)2n n f n f ++++++++=+… 22222(1234)(1234)2n n +++++++++++=……(1)(21)(1)(1)(2)6226n n n n n n n n ++++++==． 所以应该填：10；(1)(2)6n n n ++． 点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求()f n 的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本知识中的思想或方法来设计题目．2．分析式子，寻找规律例2 （高考湖南卷·理）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2005()f x =（ ）Ａ．sin x Ｂ．sin x - Ｃ．cos x Ｄ．cos x -解析：本题若通过递推关系，将前2020项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sin f x x =，10()()cos f x f x x '==，21()()sin f x f x x '==-，32()()cos f x f x x '==-，43()()sin f x f x x '==，…由此继续求导下去，四个一循环，又200550141=⨯+，所以20051()()cos f x f x x ==．故选（C ）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．１．类比旧知识，推出新结论例3 （高考湖北卷·文）半径为r 的圆的面积2()πS r r =，周长()2πC r r =，若将r 看作(0)+，∞上的变量，则2(π)2πr r '=． ① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0)+，∞上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________________________， ②②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出34()π3V R R =，2()4πS R R =． 所以填：324π4π3R R '⎛⎫= ⎪⎝⎭； 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4 （高考四川卷改编）非空集合G 关于运算?茌满足：（1）对任意的a b G ∈，，都有a b G ⊕∈，（2）存在e G ∈ ，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①Ｇ＝｛非负整数｝，⊕为整数的加法．②Ｇ＝｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③Ｇ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法．④Ｇ＝｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法．其中Ｇ关于运算⊕为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过⊕的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为非负整数集中的０．在②中，要满足a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，显然e G ∉．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为零向量．在④中，此时的0e =，不是二次三项式．故填①③．。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法典例导航课件 北师大版选修1-2
1 证法三：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式 x＋ x ≥2(x>0)使左边向整式型过渡) a b (法一 )∵ ＋ b ＋ ＋ a ≥2 b a a · b＋ 2 b b · a＝2 a a
a b ＋2 b，当且仅当 a＝b 时取等号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
( 法二 ) ∵
1 x1，x2∈0，2且 x1≠x2.
x1＋x2 1 求证：2[f(x1)＋f(x2)]>f 2 .
x ＋x 1 2 1 证明： 要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ， 2 2 2 1 1 －1 只需证：lgx －1＋lgx －1>2lg 1 2 x1＋x2 1 1 2 2 －1 只需证：x －1x －1> . x ＋ x 1 2 1 2 1 1 2 2 －1 ∵x －1x －1－ 1 2 x1＋x2
a b a a b b ＋ ( a＋ b)＝a＋b＋ ＋ ≥a ＋ b ＋ b a b a
2
a ab b · ＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2，当且仅当 a＝b 时取等 b a
a b 号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数 f(x＋1)与 f(x)的图象 1 关于 y 轴对称．求证：f(x＋ )为偶函数． 2
π 已知 α，β≠kπ＋ (k∈Z)，且 2 ①sin θ＋cos θ＝2sin α，②sin θ· cos θ＝sin2β， 1－tan2α 1－tan2β 求证： 2 ＝ 2 . 1＋tan α 21＋tan β
[证明过程] 由①得(sin θ＋cos θ)2＝4sin2α， 即 1＋2sinθcos θ＝4sin2α 把②代入上式并整理得：4sin2α－2sin2β＝1 ③ 1－tan2α 1－tan2β 另一方面，要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β sin2α sin2β 1－ 2 1－ 2 cos α cos β 只需证 ＝ 2 ， sin2α sin β 1＋ 2 1＋ 2 cos α 2 cos β
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2
设 x1，x2 是(－1，＋∞)上的任意两数，且 x1<x2，则 x1－2 x2－2 f(x1)－f(x2)＝ax1＋ －ax2－ x1＋1 x2＋1 x1－2 x2－2 3x1－x2 ＝ax1－ax2＋ － ＝ax1－ax2＋ . x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1
∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.
用三段论的形式写出下列演绎推理： (1) 矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方 形的对角线相等； (2)0.33是有理数； (3)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以 2100＋1不能被2整除．
[解题过程] (1)每一个矩形的对角线相等． 正方形是矩形． 小前提 正方形的对角线相等． 结论 (2)所有的循环小数是有理数． 0.33是循环小数． 小前提 0.33是有理数． 结论 (3)一切奇数都不能被2整除． 2100＋1是奇数． 小前提 2100＋1不能被2整除． 结论
解析： 于 y 轴对称．
显然 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关
x2＋1 1 当 x>0 时，f(x)＝lg ＝lg x＋ x . x
1 设 g(x)＝x＋ ，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞) x 上是增函数，∴f(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增 函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
推理．
[证明过程]
(1)连结AC.
(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相 等的两个三角形全等，这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两 个三角形全等， 大前提
△ABC和△CDA的三边对应相等，
高中北师大版数学选修1-2第三章推理与证明章末整合提升3课件
题型三 ⇨演绎推理
(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？
[思路分析] (1)证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两 个值x1，x2且x1<x2，f(x1)<f(x2)，小前提是函数f(x)＝－x2＋2x，x∈(－∞，1]，结论满足增函数定义．(2) 关键是看[－5，－2]与f(x)的增区间或减区间的关系．
A．1≤ab≤a2＋2 b2
B．ab<1<a2＋2 b2
C．ab<a2＋2 b2<1
D．a2＋2 b2<1<ab
[解析] ab<a＋2 b2<a2＋2 b2(a≠b)．
4．如果
f(x＋y)＝f(x)f(y)，且
f(1)＝1，则ff21＋ff34＋ff65＋…＋ff22
数．
『规律方法』 三段论推理的根据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M 的子集，那么S的所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断叫大前提，第二个判 断叫小前提，它指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系， 从而产生了第三个判断：结论．
2．直接证明
综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找 到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并 不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因为综合法宜于表达、条理清楚．在实际应 用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明 中的综合法为主．
高中数学第三章推理与证明3.3.1综合法与分析法-综合法教案北师大选修1-2(2021年整理)
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3.3。
1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点;2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题.学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤;并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。
事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的.重点：理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时,找出有效的推理“路线”;教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明.若要证明下列问题:已知a,b〉0,求证2222a b c b c a abc+++≥()()4教师活动:给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论,思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0+≥>，b c bc a所以22+≥,a b c abc()2因为222,0c a ac b +≥>， 所以22()2b c a abc +≥。
高中数学第三章推理与证明1.1.1归纳推理教案(含解析)北师大版选修1_2
1．1 归纳推理归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n}的前四项为2,4,6,8，试写出a n.提示：a n＝2n(n∈N＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．数与式的归纳[例1] (1)1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般结论．(2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论．[精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x[一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．1．试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，…，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是( )A ．60B ．62C ．64D ．94解析：选B 这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为30＋25＝62.2．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为( ) A ．1＋122＋132＋142＋152<95B ．1＋122＋132＋142＋152<116C ．1＋122＋132＋142＋152＋162<95D．1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.3．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：选A (1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．4．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)图与形的归纳[例2] 6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36[思路点拨] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[精解详析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案] B[一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为( )A．76 B．77C．65 D．66解析：选B 归纳可得“梯形数”相邻两项的差依次比前面大1，所以前10个“梯形数”依次是：5,9,14,20,27,35,44,54,65,77.6．由花盆摆成如图所示的图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．解析：前3个图形中花盆数依次为1,7,19，由此归纳这列数的特点为相邻两项的差都是6的整数倍，依次是6，12，…，所以第5个图形中花盆的个数应为19＋18＋24＝61.答案：617．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝______________(用含n的数学表达式表示)．解析：如图，画图可知，f(4)＝5，当n>4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1， 由f (n )－f (n －1)＝n －1，f (n －1)－f (n －2)＝n －2，……f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)1．观察和实验是进行归纳推理的最基本的条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．2．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14D ．100解析：选C ∵13×1＋132＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的 数构成的规律，a 所表示的数是( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f(2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f(3)＝13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f(4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.。
高中数学北师大版选修12第三章推理与证明第1课时合情推理精品学案
第1课时合情推理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:观察、比较→联想、类推→猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().====【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().+1【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().B.1【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(2013年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().(x)(x)(x)(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72014的末两位数字为()..43【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵72014=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。
2020学年高中数学第3章推理与证明章末复习课学案北师大版选修1-2(2021-2022学年)
第3章推理与证明归纳推理【例1】(１)观察式子:1+错误!<错误!未定义书签。
，1+错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
〈错误!,1+错误!未定义书签。
＋错误!＋错误!未定义书签。
＜错误!,…，由此可归纳出的式子为( )A．１＋错误!未定义书签。
＋错误!+…+错误!未定义书签。
〈错误!B.1+＼f(1，22）＋错误!＋…＋错误!＜错误!未定义书签。
C.1+错误!未定义书签。
+13２＋…+错误!<错误!D．1＋错误!未定义书签。
＋1３2+…＋错误!未定义书签。
〈错误!(2)两点等分单位圆时,有相应正确关系为ｓｉｎα+sin（π+α)=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为ｓin α+sin错误!+sｉｎ错误!未定义书签。
＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为___＿_＿____.思路点拨：(１）观察各式特点,找准相关点，归纳即得.（2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．（1)C (2）sin α＋sin错误!未定义书签。
＋sin(α+π）+sin错误!＝0［（１)由各式特点,可得1＋错误!＋错误!未定义书签。
＋…＋错误!<错误!.故选C.(２)用两点等分单位圆时,关系为sinα+sin（π＋α）=0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α＝π，用三点等分单位圆时，关系为siｎα＋ｓin错误!未定义书签。
+sin错误!=0,此时三个角的正弦值之和为０,且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等,即有错误!未定义书签。
-错误!未定义书签。
＝错误!－α=错误!未定义书签。
．依此类推，可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角为错误!+α＝错误!+α,第三个角为错误!未定义书签。
+α＋错误!未定义书签。
＝π+α，第四个角为π＋α＋错误!＝错误!+α,即其关系为sｉn α＋sｉn错误!+sin(α＋π)+sin错误!=０。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 类比推理课件 北师大版选修1-2
，
1.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 FB⊥AB时，其离心率为
5-1 ，此类椭圆被称为“黄金椭 2
圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )
(A) 5-1
2 (C) 1 5 2
(B) 1 5
2
(D) 3
【解题提示】进行类比的关键是：BF⊥AB，抓住这一特
c c c
(c≠0)”
【解析】选C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C正
确.
2.三角形的面积为S= 1 (a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边
2
长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面 体的体积为(r为四面体内切球的半径)(
1 (A)V= 3 abc
)
(B)V= 1 (S1+S2+S3+S4)·r
【解析】选D.由等比数列中的积类比于等差数列中的和，等比 数列中的幂类比于等差数列中的积可得答案为 D.
3.(5分)边长为x的正方形的面积S(x)=x2,周长L(x)=4x,若将x
看作(0,+∞)上的变量，则L(x)=2S′(x)①,即4x=2(x2)′,
2 (C)V= 1 (S1+S2+S3+S4)·r 3 (D)V= 1 (ab+bc+ac)·r 3
【解析】选C.此题应从两方面进行类比：一方面由平面几何类 比到空间几何时，边长应类比面积，另一方面，从方法上进行 类比，三角形的面积是将内切圆圆心与三角形顶点相连，将三 角形分割为三个三角形，求其面积之和，类似的，将内切球球 心与四面体四个顶点相连，则原四面体被分割为四个四面体， 求其体积之和.
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 例析反正法的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2
例析反正法的应用我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。
现以例说明。
一 否定型命题当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。
也就是说原题的结论出现“不可能……”、“不能表示为……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某种性质”等否定形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。
例1分析：要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。
12=≤<=，可设p q =（p 、q 为互质的正整数，且1q >），两边平方，得222q p =①，表明，2p 是2的倍数，因为p 是正整数，故当p 是奇数时，令21p k =+（p N ∈），则22(21)p k =+224412(22)1k k k k =++=++，即2p 是奇数，与2p 是2的倍数矛盾。
当p 是偶数，又可设2p l =（*p N ∈），代入①式，整理后得222q l =②，②式表明，2q 是2的倍数。
这样p 与q 都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定p 、q 为互质的正整数相矛盾。
点评：在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。
本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾二 存在性命题当命题的结论是以存在性的形式出现时，宜用反证法。
也就是说，解决存在性探索命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确。
例2、直线1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ，⑴求实数k 的范围；⑵是否存在实数k 使得以线段AB 为直经的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在求出的值；若不存在，说明理由。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 高考中的合情推理拓展资料素材 北师大版选修1-2
高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。
一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。
解：f （1）＝1，观察图象可知f （2）＝4，f （3）＝10，f （4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(+n n ，所以f （n ）＝f （n －1）＋2)1(+n n ， 所以有：f （2）－f （1）＝2)12(2+⨯ f （3）－f （2）＝2)13(3+⨯ f （4）－f （3）＝2)14(4+⨯ ……………………………………f （n ）－f （n －1）＝2)1(+n n 以上各式相加得：f （n ）＝f （1）＋24433222222n n ++++++++ ＝2)4321()4321(22222n n +++++++++++ ＝22)1(6)12)(1(++++n n n n n＝6)2)(1(++n n n 所以应该填：10；6)2)(1(++n n n 点评：求f （n ）的通项公式时运用累差法思想求解。
可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。
解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
二、 类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看 作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2
3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法教案(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1
3综合法与分析法综合法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝222＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1] 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] 法一：∵a ，b 为正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二：∵a ，b 为正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三：∵a ，b 为正数，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． [一点通] 综合法的解题步骤1．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .2．已知点P 是直角三角形ABC 所在平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA ＝PB ＝PC .求证：PO ⊥平面ABC . 证明：连接OC ，如图所示，∵AB 是Rt △ABC 的斜边，O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ＝OC . 又∵PA ＝PB ＝PC ，∴PO ⊥AB ，且△POA ≌△POC ， ∴∠POA ＝∠POC . ∴∠POC ＝90°，即PO ⊥AB ，PO ⊥OC ，且AB ∩OC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .分析法的应用[例2] 当a ＋b >0时，求证： a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路点拨] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． [一点通] 分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立， 即证18<20成立．由于18<20成立，故3＋6<4＋ 5.4.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )．只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ， 只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )， 由SA ⊥平面ABC 可知，BC ⊥SA 成立． ∴AF ⊥SC .综合法和分析法的应用[例3] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[思路点拨] 综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证． [精解详析] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证明c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.(*)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴∠B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. ∴b 2＝c 2＋a 2－ac .代入(*)式，等式成立． ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故命题得证．[一点通] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．5．设x ，y ∈(0，＋∞)，求证：12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .证明：原不等式等价于2(x ＋y )2＋x ＋y ≥4x y ＋4y x ，即证(x ＋y )[2(x ＋y )＋1]≥2xy (2x ＋2y )．∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy >0.∴只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y . ∵x ＋14≥x ，y ＋14≥y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y 成立． ∴12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x . 6．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数． 证明：∵x 2＋1>|x |， ∴x 2＋1＋x >0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ， ∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数， 只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0， 只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0， ∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1， 而log 21＝0.∴上式成立．故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ∵OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→， ∴OA ―→－OB ―→＝OD ―→－OC ―→.∴BA ―→＝CD ―→. ∴四边形ABCD 为平行四边形．3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.4．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝1解析：选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2，即证|a ＋1|＝|b ＋2|， 即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：47．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为L ，则圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，正方形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，则本题即证π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.要证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，只需证πL 24π2>L 216，只需证1π>14，即证4>π.因为4>π显然成立，所以π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.故原命题成立．8．求证：x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7.证明：因为x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0，所以要证x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7，只需证x 2－3x ＋4≤7(x 2＋3x ＋4)， 只需证x 2＋4x ＋4≥0.因为x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0成立，所以x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7成立．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称．求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的对称轴为x ＝0. 只需证－b 2a －12＝0.只需证a ＝－b .∵函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a关于y 轴对称．∴－b 2a －1＝－－b2a，∴a ＝－b .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．。
高中数学 第三章 推理与证明章末分层突破学案 北师大版选修1-2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修1-2[自我校对]①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.【答案】 (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0[再练一题]1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx (n ∈N ＋)的值域是__________．【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )＝sin 4x －sin 2x cos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x )＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1]．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b求证．【规范解答】 法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立． [再练一题]2．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数． 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c )． (2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin2α－βsin α＝sin βsin α.【解】 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc ≥2ab 2c ，bc ＋ac ≥2abc 2，ab ＋ac ≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac >abc (a ＋b ＋c )， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c )． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【规范解答】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． [再练一题]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．【解】 (1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a是f (x )＝0的一个根．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a≠c ，∴1a>c .数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．已知正数数列{a n }(n ∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，所以n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N＋都有a n＝n－n－1.4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n a n ＋12(n ∈N ＋)，a 2＝2.(1)求{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)猜想{a n }的通项公式，并证明． 【解】 (1)由S n ＝n a n ＋12，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n .证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝k ＋1a k ＋1＋12－k a k ＋12 ＝k ＋1a k ＋1＋12－k k ＋12.所以a k ＋1＝k 2k －1－1k －1＝k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ＝n .转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．【精彩点拨】 假设方程f (x )＝0有整数根k ，结合f (0)，f (1)均为奇数推出矛盾． 【规范解答】 假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数，与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知，方程f (x )＝0无整数根．5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除．【证明】设n＝2m－1，m∈N＋，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，原命题成立．1．(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.7830秒跳绳(单位：次)63a756063学生序号678910立定跳远(单位：米) 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳(单位：次)7270a－1b65在这秒跳绳决赛的有6人，则( )A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；(3)当a ＝61时，a －1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号； (4)当a ＝62或63时，相应的a －1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(5)当a ≥64时，此时a －1≥63，不符合题意． 综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛． 【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】 根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】 1和33．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N ＋)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】 因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 54．(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： 【导学号：67720022】(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．1 a ＋1b＝a＋bab，a>0，b>0，得ab＝1.【证明】由a＋b＝(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．5．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0,1]．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34<f (x )≤32.【证明】 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－x41－－x＝1－x 41＋x， 由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝x －12x ＋12x ＋1＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.单元综合测评(三) 推理与证明 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】 逐项分析可知，A 项属于类比推理，B 项和D 项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的序号顺序为( ) A ．①②③ B ．③①② C ．①③②D ．②③①【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】 由归纳推理的特点知，选B. 【答案】 B4．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0 C ．假设a ，b ，c 中都不大于0 D ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于0【解析】 用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a ，b ，c 中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a ，b 为实数，若a 2＋b 2＝0则a ＝b ＝0；类比推出：z 1，z 2为复数，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；②若数列{a n }是等差数列，b n ＝1n(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c ＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是( )A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．故选B.【答案】B7．(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有( )A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝( )图1A．2 018×2 014B．2 018×2 013C．1 010×2 012D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个． ∴a n －5＝n －1n ＋62，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】甲 乙 丙 丁 甲获奖 × × × × 乙获奖 √ √ × √ 丙获奖 √ × √ × 丁获奖×√××由上表可知：获奖歌手是丙．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝114．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×1＋12,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×2＋12＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×3＋12＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n n ＋12.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12nn ＋1215．(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4， 当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a－b )·(a n＋an －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n n －32＝n n ＋12.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n n －32·(n －2)＝n n －1n －22.【答案】n n ＋1212n n －1n －22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. 【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lga ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 19．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于SBCC 1B 1＝PN ·CC 1，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1·cos α.20．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线PA ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA . 又因为P A ⃘平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝n －1a nn －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即a k ＝13k－2.那么当n ＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：a k＋1＝k－1a kk－a k＝k－1×13k－2k－13k－2＝k－13k2－2k－1＝k－13k＋1k－1＝13k＋1＝13k＋1－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，a n＝13n－2成立．(2)证明：b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3 .22．(本小题满分12分)(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝x cos x－sin x＋1(x>0). 【导学号：67720022】(1)求f(x)的单调区间；(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1 x2n <23 .【解】(1)f′(x)＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2. 当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23； 当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23； 当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1n －12 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1n －2n －1＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
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3.1.1 归纳推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用
学习过程
一、课前准备
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2 ）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是____________________________________________________ 的思维过程.
二、新课导学
探学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜想：________________ . _______
问题2:由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 __________________ . ____________
新知：归纳推理就是由某些事物的________ ,推出该类事物的_______________ 的推理，或者由_________________________ 的推理.简言之，归纳推理是由_________________________ 的推理.
探典型例题
例1观察下列等式：1+3=4=22,
2
1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52,你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1
1+8=9,
1+8+27=36 1+8+27+64=100
你能猜想到一个怎样的结论?
*
—（n N ）,试猜想这个数列的通项公式
2 a n
三、总结提升 探学习小结 1. 归纳推理的定义•
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质 中推出一个明确表述的一般性命题（猜想） 探知识拓展
1. 费马猜想：法国业余数学家之王一费马（ 1601-
例2已知数列a n 的第一项a i
1，且a n i
a n (n a n
1,2,3...），试归纳出这个数列的通项
公式• 变式：在数列｛ a n ｝中，a n
1
2(a n
丄）（n 2），试猜想这个数列的通项公式 a n
练1.应用归纳推理猜测
■ 111L 1一222「2 的结果.
练2.在数列｛ a n ｝中，a 1 1，a . 1
1665 ）在1640年通过对F。
22 1 3 ,
21222324
果都是素数，提出猜想：对所有的自然数
n ，任何形如 巴22 1的数都是素数.后来瑞士
25
数学家欧拉发现 F 5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417不是素数，推翻费马猜想 .
2.
四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯
.格思里来到一家科研单位搞地图着
色工作时，发现了一种有趣的现象：
“每幅地图都可以用四种颜色着色， 使得有共同边界的
国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题 .1976年，美国数学家阿佩 尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200个小时，作了 100亿逻
辑判断，完成证明. 学习评价
探自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1. 下列关于归纳推理的说法错误的是( )
A. 归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B. 归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C. 归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D. 归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2. 若f(n) n 2 n 41,n N ，下列说法中正确的是(
猜测当n 2时，有 ______________________________ 5.从1 1,2 343,3 45675中得出的一般性结论是猜想S n 的表达式F 1 2 1 5, F 2 2 1 17 , F a 2 1 257 , F 4 2 1 65 537 的观察，发现其结 课
后作业
、 , 2 1.对于任意正整数 n ,猜想(2n 1)与(n 1)的大小关系
A. 1 ：(n)可以为偶数
B.
f (n) —定为奇数
攵
C. f( n)
D.
f (n)必为合数
定为质数
3.已知f(x
1) 2f (x) -,f(1) 1 (x N *)， 猜想
f(x) 2
A. 1
：(x)
4
B
2 f (x)
x
2
2
x 1
C. 1
：(x) 1 D.
f(x) 2
x 1
2x 1
4. f(n) 1 1 1 1 -(n N)，经计算得
f(2) 3
, f (4)
2, f(8) 5,f(佝 3, f (32)-
2 2 2
f (x)的表达式为(
)
2 3 n。