小学数学《数列求和》练习题(含答案)
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小学数学《数列求和》练习题(含答案)
【例1】找找下面的数列有多少项?
(1)2、4、6、8、……、86、98、100
(2)3、4、5、6、……、76、77、78
(3)4、7、10、13、……、40、43、46
(4)2、6、10、14、18、……、82、86
分析:(1)我们都知道:1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(95、96)、(97、98)、(99、100),让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。
(2)连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列,它们的项数是:末项—首项+ 1 。
(3)配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组。当然,我们还可以有其他的配组方法。
(4)22项.
对于一个等差数列的求和,在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后,也许稍显麻烦,但它的思路很重要,对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】计算下列各题:
(1)2+4+6+…+96+98+100
(2)2+5+8+…+23+26+29
分析:(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是2,末项是100,项数为50。
所以:2+4+6+…+96+98+100=(2+100)×50÷2=2550
(2)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数是10的等差数列。
所以:2+5+8+…+23+26+29=(2+29)×10÷2=155
其实在这里,我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧!
【例3】你能找出几个等差数列的特征?从你的结果中,你能找到等差数列求项数的公式么?
分析:我们都知道,所谓等差数列就是:从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,那么我们可以得
到:
第2项=首项+公差= 首项+公差×1
第3项=第2项+公差= (首项+公差)+公差=首项+公差×2
第4项=第3项+公差= (首项+公差×2)+公差=首项+公差×3
第5项=第4项+公差= (首项+公差×3)+公差=首项+公差×4
第6项=第5项+公差= (首项+公差×4)+公差=首项+公差×5
……
第n项=首项+公差×(n-1)
……
末项=首项+公差×(项数—1)
末项—首项=公差×(项数—1)
项数=(末项—首项)÷公差+1
通过上面的分析,我们还可以发现:
第4项-第3项=公差×1
第5项-第3项=公差×2
第6项-第3项=公差×3
第6项-第2项=公差×4
第n项-第3项=公差×(n-3)
第n项-第m项=公差×(n-m),(n>m)
由此,我们便得到了,等差数列的求项数公式和其它一些公式关系,大家不要死记硬背,一定要理解运用。
【例4】利用上题得到的结论计算下面结果。
(1)3、5、7、9、11、13、15、……,这个数列有多少项?它的第102项是多少?
(2)0、4、8、12、16、20、……,它的第43项是多少?
(3)已知等差数列2、5、8、11、14 …,问47是其中第几项?
(4)已知等差数列9、13、17、21、25、…,问93是其中第几项?
分析:(1)它是一个无限数列,所以项数有无限多项。
第n项=首项+公差×(n-1),所以,第102项=3+2×(102-1)= 205 ;
(2)第43项=0+4×(43-1)= 168 。
(3)首项=2 ,公差=3 ,我们可以这样看:2、5、8、11、14 …、47 ,
那么这个数列有:n=(47-2)÷3+1=16 ,(熟练后,此步可省略),即47是第16项。
其实求项数公式,也就是求第几项的公式。
(4)n=(93-9)÷4+1=22 。
【例5】(1)如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
(2)如果一等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.
分析:要求第8项,必须知道首项和公差。
第6项-第4项=(6-4)×公差,所以,公差= 6 ;
第4项=首项+3×公差,21=首项+3×6 ,所以,首项=3 ;
第8项=首项+7×公差=45 。
(2)公差=7,首项=2,第6项=37。
【例6】(1)(第二届“迎春杯”刊赛)从401到1000的所有整数中,被8除余数为1的数有_____个?(2)(第五届迎春杯刊赛)1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是____?
分析:在讲解此题之前,教师可先引入【附1】;因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列,最小的是401,最大的是993,于是项数=(993—401)÷8+1=75.
(2)在1至100中,被9整除的数的和是:9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594;
1至100各数之和是:1+2+3+…+100=5050;
所以在1至100的各数中,所有不能被9整除的数的和是:5050—594=4456.
【例7】计算各数列的和:
(1)3+4+5+…+99+100
(2)4+8+12+…+32+36
(3)65+63+61+…+5+3+1
分析:(1)项数:(100-3)÷1+1=98 ;和:(3+100)×98÷2=5047 ;
(2)项数:(36-4)÷4+1=9 ;和:(4+36)×9÷2=20×9=1800 ;
(3)项数:(65-1)÷2+1=33 ;和:(1+65)×33÷2=33×33=1089 。
题目做完以后,我们再来分析一下,(2)题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20×9,(3)题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33×33,其实,这并不是偶然的现象,关于中项有如下定理:
对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首相与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理.