兰州大学运筹学_运输问题课后习题题解

第七章运输问题
7.1 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，
问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。

解：
本问题地块总面积：42+56+44+39+60+59=300亩
计划播种总面积：6+88+96+40=300亩
因此这是一个产销平衡的运输问题。

可以建立下列的运输模型：
代入产销平衡的运输模板可得如下结果：
种植计划方案
7.2 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的
年度 可生产客车数量（辆）
制造成本（万元/辆）
正常上班时间 加班时间 正常上班时间 加班时间
1 20 30 50 55
2 38 24 56 61
3 15 30 60 65 4
42
23
53
58
根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维护费用为4万元。

在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。

问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？
解：这是一个生产储存问题，可以化为运输问题来做。

根据已知条件，我们可以做以下
地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6 计划播种面积（亩） 小麦 6 39 31 76 玉米 29 59 88 水果 2 56 38 96 蔬菜 40 40
地块面积（亩）
42
56
44
39
60
59
300 300
分析，建立运输模型。

1、由于上年末库存20辆车，这些产品在这四年中只计仓储费不计生产费用，所以我们记为0年，第一行；
2、在建立的运输表中，相应单元格填入当年交付产品的所有成本（包括生产和存储成本）；
3、年份从1到4表示当年的正常生产，而1’到4’表示当年加班生产的情况；
4、由于期末（4年底）要有25辆车的库存，即4年末的需求量是40+25=65辆；
5、在表中没有具体成本的单元格中，表示没有生产也没有交货，为了保证这个真实情况的描述，在这些格中填M，使安排的生产量为0。

6、在计算成本时，当年生产当年交货不加存储成本，但对未交付的产品，第二年要付一个年的存储费4万元，依此类推。

根据上面的分析，可得运价表如下。

年度1 年度2 年度3 年度4 库存生产能力（辆）
0 4 8 12 16 20 20
1 50 54 58 6
2 66 20
1’55 59 63 67 71 30
2 56 60 64 68 38
2’61 65 69 74 24
3 60 6
4 68 15
3’65 69 74 30
4 53 57 42
4’58 62 23 合同需求量（辆）40 40 40 40 25
这是一个产大于销的运输模型，代入求解模型可得：
即：生产安排的方案：
第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；
第二季度正常生产38台，不安排加班。

加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；
第三季度正常生产15台，不安排加班。

加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；
第四季度正常生产42台。

加班生产23台。

拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。

剩余25台以后务用。

如下表表示：
7.3 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。

由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：
1、试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供应100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供应100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

解：
1、先求出无条件运输问题的结果：
乙0.030.02-0.050.03-0.040.07300
丙0.020.060.040.040.010.07400
丁-0.010.050.010.01-0.04-0.01100 各地销量200 150 350 100 120 120
这是一个销大于产的产销不平衡运输问题。

代入求解模板，得以下结果：
即，安排方案如下：
A B C D E F 各厂产量吨）
甲50100 30 20200
乙200100 300
丙35050 400
丁100100
各地销量200 150 350 100 120 120
2、这是有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转化为产销平衡的运输问题
A B C D E F 各厂产量吨）
甲0.030.080.030.060.010.010.09200
乙0.030.02-0.050.03-0.04-0.040.07300
丙0.020.060.040.040.010.010.07400
丁-0.010.050.010.01-0.04-0.04-0.01100
-M 40
各地销量200 150 350 100 100 20 120
A B C D E F 各厂产量吨）
甲5010030 20200
乙200100300
丙33070400
丁100100
202040
各地销量200 150 350 100 100 20 120
可获最大利润44元。

A B C D E F 各厂产量吨）
甲0.030.080.030.060.010.010.09200
乙0.030.02-0.050.03-0.04-0.040.07300
丙0.020.060.040.040.010.010.07400
丁-0.010.050.010.01-0.04-0.04-0.01100
-M -M 40
各地销量200 150 350 100 100 20 120
即，安排方案如下：
A B C D E F 各厂产量吨）
甲5010050200
乙180120300
丙35050 400
丁100100
2020 150
各地销量200 150 400 100 100 50 120
可获最大利润43.8元。

注：本问题注意的是对于求最大化的产销不平衡问题，大M就取负值。

7.4 某自行车制造公司设有两个装配厂，且在四个地区有销售公司。

该公司生产和销售的相关数据如下表：
装配厂 A B
产量（辆）1100 1000
装配费用（元/辆）45 55
四个销售公司和需求量
销售公司 1 2 3 4
需求量（辆）500 300 550 650
运输单价
销售公司
1 2 3 4
装配厂A 9 4 7 18
装配厂B 2 17 15 8
各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配，才能保证公司获得最大利润？
解：
运输单价（元/辆）
销售公司装配费用（元/辆）产量（辆）1 2 3 4
装配厂A 9 4 7 18 45 1100
装配厂B 2 17 15 8 55 1000 需求量（辆）500 300 550 650
运输单价（元/辆）公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）
装配厂A 54 49 52 64 1100
装配厂B 57 73 69 61 1000
需求量（辆）500 300 550 650
因生产需求量大于需求量，所以这是一个产大于销的产销不平衡的运输运输问题，代入产大于销的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：生产安排方案如下表：
运输单价（元/辆）公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）
装配厂A 2503005501100
装配厂B 2506501000
需求量（辆）500 300 550 650
即按此方案安排生产，可以使总成本为最低，因此就可以得到最大的利润。

7.5某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400
箱和500箱。

需要供应给四个地方销售，这四地的产品需求分别为400箱、250箱、550箱和200箱。

三个分厂到四个销售地的单位运价如下表：
（1）应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（2）如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
（3）如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，其它情况都与（1）完全相同，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？
解：
（1）本问题的运输模型：
本问题总产量：1200箱；总销量：1400箱。

所以是一个销大于产的产销不平衡运输问题。

代入销大于产的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：运输安排方案如下表：
销地产地甲乙丙丁
产量
1分厂2405010300
2分厂400400
3分厂500500
销量400 240 550 200
最小的运输费用：19450元。

（2）如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，可得以下的运输模型：
销地产地甲乙丙丁
产量
1分厂21 17 23 25 300
2分厂10 15 30 19 600
3分厂23 21 20 22 500
销量400 250 550 200
此时总产量：1400箱；总销量：1400箱。

所以是一个产销平衡运输问题。

代入产销平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：运输安排方案如下表：
销地产地甲乙丙丁
产量
1分厂100200300
2分厂150450600
3分厂40090500
销量400 250 550 200
最小的运输费用：34140元。

（3）如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，可得以下的运输模型：
销地产地甲乙丙丁
产量
1分厂21 17 23 25 300
2分厂10 15 30 19 400
3分厂23 21 20 22 500
销量500 250 550 200
此时总产量：1200箱；总销量：1500箱。

所以仍是一个销大于产的产销不平衡运输问题。

代入销大于产的产销不平衡运输问题求解模板，可得结果：
即：运输安排方案如下表：
销地产地甲乙丙丁
产量
1分厂50250300
2分厂400400
3分厂500500
销量500 250 550 200
最小的运输费用：19300元。

7.6 甲、乙两个煤矿每年分别生产煤炭500万吨、600万吨，供应A、B、C、D四个发电厂需要，各电厂的用煤量分别为300万吨、200万吨、500万吨、100万吨。

已知煤矿与电厂之间煤炭运输的单价如下表：
A B C D
甲150 200 180 240
乙80 210 60 170
（1）试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。

（2）若两煤矿之间、四个发电厂之间也可以调运煤炭，并知它们之间调运煤炭的单价如下：
甲乙
甲0 100
乙100 0
发电厂间单位运价运价单位：元/吨
A B C D
A 0604080
试确定从煤矿到每个电厂间煤炭的最优调运方案。

（3）若在煤矿与发电厂之间增加两个中转站T1、T2，并知煤矿与中转站间和中转站与发电厂间的煤炭运价如下：
中转站间单位运价运价单位：元/吨
解：
（1）建立运输问题数学模型如下：
代入求解模板可得结果：
即结果：运量单位：吨
A B C D 产量（吨）
甲200 200 0 100 500
乙100 00 500 0 600
销量（吨）300 200 500 100
（2）建立运输问题数学模型如下：
煤矿间、电厂间可以转运的运价表运价单位：元/吨
甲乙 A B C D 产量（吨）甲01001502001802401600乙100080210601701700
A 100001000006040801100
B 100001000060050501100
C 100001000040500851100
D 100001000080508501100
销量（吨）110011001400130016001200代入求解模板可得结果：
即得结果：运量单位：吨甲乙 A B C D 产量（吨）甲11004001001600乙11006001700
A 10001001100
B 11001100
C 10010001100
D 11001100
销量（吨）110011001400130016001200最低费用：129000元。

（4）编制运价表如下：
甲乙T1T2 A B C D
产量（吨）
甲010090 100 1502001802401600乙100080 105 80210601701700 T190 80 0 120 80 85 90 88 1100 T2100 105 120 0 95 100 85 90 1100
A 100001000080 95 06040801100
B 100001000085 100 60050501100
C 100001000090 85 40500851100
D 100001000088 90 80508501100销量
（吨）
110011001100 1100 1400130016001200
代入求解模板可得结果：
甲乙T1T2 A B C D
产量（吨）
甲1100300 2001600乙11001005001700 T11100 200 100 1100 T21100 1100
A 11001100
B 11001100
C 11001100
D 11001100销量
（吨）
110011001100 1100 1400130016001200最低费用：120800元。