隔项成等差或等比修订稿
隔项成等差或等比
隔项成等差或等比引言在数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将详细讨论隔项成等差或等比数列的特性、求和公式以及一些应用。
等差数列定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
数列中每一项都可以通过前一项加上一个常数得到。
等差数列的公差表示了相邻两项之间的差值。
性质•等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为a，公差为d，那么第n项（记作an）可以表示为an = a +(n-1)d。
•等差数列的前n项和公式：对于等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (n/2)(a + an)来计算。
•等差数列的性质：等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。
隔项成等差数列定义隔项成等差数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等差数列的情况。
数列中每一项都可以通过前一项加上一个固定的常数得到。
性质•隔项成等差数列的公差：如果原数列的公差为d，那么隔项成等差数列的公差为2d。
•隔项成等差数列的通项公式：如果原数列的首项为a，公差为d，那么隔项成等差数列的第n项（记作An）可以表示为An = a + (n-1)2d。
•隔项成等差数列的前n项和公式：对于隔项成等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = n(a + An)/2来计算。
等比数列定义等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
数列中每一项都可以通过前一项乘以一个常数得到。
等比数列的公比表示了相邻两项之间的比值。
性质•等比数列的通项公式：如果等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项（记作an）可以表示为an =ar^(n-1)。
•等比数列的前n项和公式：对于等比数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (a(r^n - 1))/(r - 1)来计算。
•等比数列的性质：等比数列的任意三项可以构成一个等比数列。
隔项成等比数列定义隔项成等比数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等比数列的情况。
等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）
等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。
行测数量关系的常用公式修订稿
行测数量关系的常用公式集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]行测常用数学公式工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 设总工作量为1或最小公倍数1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N 2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。
边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。
4.实心长方阵：总人数=M ×N 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N 2 N 排N 列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。
总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1（1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔； 总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N ×M ＋1）段平均速度＝总路程÷总时间 平均速度型：平均速度＝21212v v v v + （2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。
公务员国考省考行测数字推理题
第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。
注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉）第二步思路A：分析趋势1，增幅（包括减幅）一般做加减。
基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。
例1：-8，15，39，65，94，128，170，（）A．180 B.210 C. 225 D 256解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。
总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心2，增幅较大做乘除例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（）A．32 B. 64 C.128 D.256解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256总结：做商也不会超过三级3，增幅很大考虑幂次数列例3：2，5，28，257，（）A．2006 B。
1342 C。
3503 D。
3126解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。
而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D总结：对幂次数要熟悉第二步思路B：寻找视觉冲击点注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引视觉冲击点1：长数列，项数在6项以上。
隔项跳跃数学题
隔项跳跃数学题隔项跳跃数学题是一类经典的数学题目，在高中数学课程中常常会出现。
这类题目要求学生找出一种规律，通过跳跃的方式计算出特定位置的数值。
在解这类题目的过程中，可以培养学生的逻辑推理能力、数学思维能力以及创新思维能力。
本文将通过多个例子来详细解析隔项跳跃数学题的解题思路和方法。
首先我们来看一个经典的隔项跳跃数学题目：问题：有一个数列，前4项的数值分别为1、3、7、15。
求这个数列的第10项的数值是多少？解析：我们可以观察到，从第2项开始，每一项的数值都是前一项的2倍再加上1。
那么我们可以推断出该数列的递推公式为an = 2 * an-1 + 1。
其中an表示第n项的数值。
接下来，我们可以根据递推公式来计算第10项的数值。
我们先计算第5项的数值，然后通过依次计算第6项、第7项......第10项，最终得出第10项的结果。
根据递推公式an = 2 * an-1 + 1，我们可以依次计算得出第5、6、7、8、9、10项的数值。
第5项：a5 = 2 * a4 + 1 = 2 * 15 + 1 = 31第6项：a6 = 2 * a5 + 1 = 2 * 31 + 1 = 63第7项：a7 = 2 * a6 + 1 = 2 * 63 + 1 = 127第8项：a8 = 2 * a7 + 1 = 2 * 127 + 1 = 255第9项：a9 = 2 * a8 + 1 = 2 * 255 + 1 = 511第10项：a10 = 2 * a9 + 1 = 2 * 511 + 1 = 1023所以，该数列的第10项的数值为1023。
上述例子中，我们通过找到规律和递推公式，成功解决了该隔项跳跃数学题。
接下来，我们将再提供几个不同的例子，帮助读者更好地掌握解这类题目的方法。
例子1：问题：有一个数列，前2项的数值分别为3和9。
求这个数列的第7项的数值是多少？解析：观察前两项，我们可以发现第2项是第1项的3倍。
所以，我们可以推断出该数列的递推公式为an = 3 * an-1。
6.3 等比数列及其前n项和修改
思维启迪
根据等比数列的定义、通项公式及性
质建立首项,公比的方程组.
解
a2 = ∴
方法一
设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
a4=a3q=2q，
a3 2 , +2q= q q
20 . ，q2=3. 3 1 3
12分
在解决等差、等比数列的综合题时，重
点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前n项和公式.本题第（1）问就是用基本量 公差、公比求解；第（2）问在作差an+1-an时要注意
n≥2.
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.等比数列的判定方法有以下几种：
an1 (1)定义： =q (q是不为零的常数，n∈N+) an
1 n 5-2n 1 n-1 ∴an·an+1=4·（ ） ·4·（ ） =2 , 2 2 故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=23+21+2-1+2-3+…+25-2n 1 8(1 n ) 4 32 (1 4 n ) 1 3 1 4
题型分类 深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
则公比q的值是
A.2 解析 B.-2 方法一 C.3 依题意，q≠1,
（
） A
D.-3
a1 (1 q 3 ) ∵ =7， 1 q a1 (1 q 6 ) =63. 1 q ②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.
① ②
方法二
∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,
数字推理全方法介绍(绝对经典)
数字推理全方法介绍写在前面的话1、希望能给数字推理比较弱的同学帮助2、做数推，重点不是怎么做，而是：“你怎么会想到这种做法？思路在哪？突破口呢？”3、只要你认真看完这个帖子，你的数字推理一定会有进步4、例子来源于真题5、觉得好一定要顶，让更多的人能来交流言归正传（一）等差、倍数关系介绍要学会观察变化趋势（1）数变化很大，一般和乘法和次方有关。
如：2，5，13， 35，97 （）-------------A*2+1 3 9 27 81=B又如：1，1，3，15，323，（）---------------数跳很大，考虑是次方和乘法。
此题-------------（A+B)^2-1 =c再如：1 ，2 ，3 ，35 （）------------(a*b)^2-1=c0.4 1.6 8 56 560 （）--------4 5 7 10倍，倍数成二级等差A、2240B、3136C、4480D、784009国考真题14 20 54 76 （）A．104 B.116 C.126 D1449+525-549+5…(2)数差（数跳不大，考虑是做差）等差数列我就不说了，很简单下面说下数字变化不大，但是做差没规律怎么办？一般三种可以尝试的办法（1）隔项相加、相减（2）递推数列（3）自残（一般用得很少，真题里我好像没见过？也许是我忘了吧）09真题1，1，3，5，11，（）A．8 B．13 C．21 D．32满足C-A=2 4 8 16-3，7，14，15，19，29，（）A 35B 36C 40D 42------------------------------满足A+C=11 22 33 44 5521，37，42，45，62，（）A 57B 69C 74D 8721+3*7=4237+4*2=4542+4*5=6245+6*2=57（3）倍数问题(二)三位数的数字推理的思路（1）数和数之间的差不是很大的时候考虑做差（2）很多三位数的数字推理题都用“自残法”如：252，261，270，279，297，（）252+2+5+2=261261+2+6+1=270270+2+7+0=27909国考真题153, 179, 227, 321, 533, ( )A.789B.919C.1079D.1229150+3170+9200+27….左边等差，右边等比（三）多项项数的数字推理多项项数的数推”比如：5，24，6，20，（），15，10，（）上面个数列有8项，我习惯把项数多余6项的数列叫做“多项数列”。
2020新课标改编版第2章 2.2 2.2.2 等差数列的性质 _1-5
练习1：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝_1_0_.
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2
2．等差数列的性质．
(1)an＝am＋( n－m )d. (2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则___a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n___．
(3) 若{an} 是等差数列，且m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_＋__a_n_＝__2_a_k___．
2.2.2 等差数列的性质
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式． 2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用．
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1
1．等差中项． 由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_等__差__中__项__，
a＋b 即 2A＝__a__＋__b__分创建
5
一群蜜蜂飞出来，蚕得大黑熊大叫着，捧着脸，逃到烂泥坑里。
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但是，鹿感觉到他们的阴谋了，跑到一个安全的地方，藏起来观察他们的行动。像我们这样聪明的只有人类了。
一年的时间到了，农夫看到麦子长得那么好，就又到上帝那儿去了，对上帝说：“你瞧，要是再这么过10年，就会有足够的粮食来养活所有的人。那些从蛛上脱身的昆虫，常会 气喘吁吁地躺在捕蝇草上，浮想联翩，回味着劫后余生的幸运。，
答案：d＝ann－－mam
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4
题型1 等差中项的应用 例1：已知a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b 也成等差数列．
证明：∵a，b，c 成等差数列，∴b＝12(a＋c)． ∴(b＋c)＋(a＋b)＝2b＋c＋a＝2×12(a＋c)＋c＋a＝2(c＋a)． ∴b＋c，c＋a，a＋b 也成等差数列．
数字推理
数字推理2011年国考没有数字推理，可能安徽也会跟着中央走，更何况安徽的数字推理是有名的弱智，完全可以随便看看。
所以我这部分也就没整理太多。
数字敏感记熟常用的幂次数3，多次方因数分解法有的数列，必须要把每项拆成2个数字的积，这2个数字分别构成数列。
这种数列，还是有迹可循的。
注意看所给的数字是不是很明显地某个数的倍数。
这是华图弄得数推思维过程，新手可以看看，一般的题基本这么就可以了。
难题其实顶多也就1个，为这1分花大工夫我觉得挺不值的~~真要全对，那就多接触接触各种题目，开阔思路。
1，等差数列及其变式这个是最基本的了，一般数字变化不大的都是此类。
不过现在为了增加难度，一般都是二级，三级，而且最后一级可能不只是等差数列2，等比数列及其变式观察数列各项间有大致的倍数关系，则易解，顶多是多了个修正数列3，平方，立方数列及其变式1，这个要求对基本的平方，立方非常熟悉，然后要有一定的数字敏感性——比如说26，就得想到26=25+1=27-1等等。
2，这种数列一般跳跃较大，而且前后没什么明显关系。
这可能是解题突破口。
3，可以在数列的中后部找到一数字，因为此时未修正数很大，修正数列已经无法掩盖其原貌。
4，一般不会直接考，会加个修正数列（注意修正数列特别大的情况，比如09年国考）或者是前面2项之差的平方等于第三项这类的规律5，有可能会与项数相联系，形成有通项公式的数列。
如：-2,-8,0,64，（250）为n*n*n*（n-5）4，做和数列（同理有可能是积数列，就不单列了）1，这种数列需要两项（甚至三项）做和，得到的和构成一个新数列2，如果数字彼此差距不大，而且不是等差，有的会“高低起伏”，那么可以尝试做和3，这种数列的难点就在于如何想到这是做和数列4，这种数列有的数字都很小，而且参差不齐，这或许可以作为突破口5，有的含有负数，不大6，在最开始的做差如果发现差跳来跳去，那么可以从这方面考虑5，递推和数列及其变式1，前2项和等于第三项，这是最普通的，可能会加个修正数列，如+1，-1。
公考数字推理攻略
公务员数字推理技巧总结精华版数字推理技巧总结备考规律一：等差数列及其变式(后一项与前一项的差d为固定的或是存在一定规律(这种规律包括等差、等比、正负号交叉、正负号隔两项交叉等)(1)后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
如7，11，15，(19)(2）后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，这个规律是一种等差的规律。
如7，11，16，22，(29)(3)后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种等比的规律。
如7，11，13，14，()(4）后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种正负号进行交叉变换的规律。
【例题】7，11，6，12，(5)(5)后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种正负号每“相隔两项”进行交叉变换的规律。
【例题】7，11，16，10，3，11，(20)备考规律二：等比数列及其变式(后一项与除以前一项的倍数q为固定的或是存在一定规律(这种规律包括等差、等比、幂字方等)（1）“后面的数字”除以“前面数字”所得的值等于一个常数。
【例题】4，8，16，32，(64)（2）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数加1。
【例题】4，8，24，96，(480)（3）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数乘2【例题】4，8，32，256，(4096)（4）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数为3的n次方。
【例题】2，6，54，1428，(118098)（5）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，“倍数”之间形成了一个新的等差数列。
【例题】2，-4，-12，48，(240)备考规律三：“平方数”数列及其变式(an=n2+d,其中d为常数或存在一定规律)(1)“平方数”的数列【例题】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196（2）每一个平方数减去或加上一个常数【例题】0，3，8，15，24，（35）【例题变形】2，5，10，17，26，（37）(3)每一个平方数加去一个数值，而这个数值本身就是有一定规律的。
湖南省永州市白水镇第三中学2018-2019学年高三数学文模拟试题含解析
湖南省永州市白水镇第三中学2018-2019学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是( )A．1 20 B．720C．1440 D．5040参考答案：B2. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．参考答案：16本题考查了分层抽样的特点，难度较小。
3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递减的函数是（）A． B． C． D．参考答案：C略4. “?p是真”是“p∨q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】“?p是真”则p为假．“p∨q为假”则p与q都为假．即可判断出结论．【解答】解：“?p是真”则p为假．“p∨q为假”则p与q都为假．∴“?p是真”是“p∨q为假”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．8 参考答案：C6. 已知则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A略7. 曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A.试题分析：由题意得，，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过点的一条直线，如下图所示，当直线与圆相切时，，∴，故选A.考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．8. 阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为（A）2500 （B）2550 （C）2600 （D）2650参考答案：B9. 已知复数满足（为虚数单位），则 ( )A． B． C．2D．参考答案：D∵，∴，∴，故应选D．10. 已知函数，对于下列命题：①函数是周期函数；②函数是奇函数；③对任意满足④函数的定义域是R，且其图象有对称轴其中真命题是（）A．③④ B．②③ C ．①④ D．①③参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12. 点N是圆（x+5）2+y2=1上的动点，以点A（3，0）为直角顶点的Rt△ABC另外两顶点B、C，在圆x2+y2=25上，且BC的中点为M，则|MN|的最大值为．参考答案：【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出M的轨迹方程，得出圆心距，即可得出结论．【解答】解：由题意，MA=MC，设M（x，y），则x2+y2+（x﹣3）2+y2=25，即（x﹣）2+y2=，表示以D（，0）为圆心，为半径的圆，∵|ND|=5+=，∴|MN|的最大值为+1+=，故答案为．13. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为_______________.参考答案：略14. 设函数，则的值为 .参考答案：10略15. 在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ .参考答案：略16. 设复数，则 _______________.参考答案：是直接对复数进行分母实数化处理，从而得到的形式，利用处理，第二种处理方法可以利用复数除法的性质，即，以此直接求解。
数字推理精华
精华数字推理1.【分享】数字推理基础知识第一部分：数字推理的认识数字推理是公务员考试当中最值得花时间学习的部分，言其理主要是通过认真的学习可以保证不丢分。
在国家公务员考试或者地方公务员考试当中，数字推理一般是5题或10题，其分值大概每题在0.8分左右。
其类型更是千奇百怪，无奇不有。
但通过从2002年～2008年这7年的考试题目分析。
我们最终还是找到一些规律和确定了一些认识。
借此写下这篇文章供大家参考。
数字推理就是给出一组数字，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从4个选项中选出自己认为最合适、合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。
在寻找规律的时候，我们必须遵循规律的固有的性质：规律的普遍性和延续性。
在这几年公务员考试的过程当中，数字推理的题型发生了很大的变化，从最初简单的等比，等差，差值的数字特性规律渐渐发展到了复合运算，隔项运算，移动运算，甚至是数字本身拆项运算这样复杂的规律。
但其规律的基本性质还是必须遵循的，一组数列一般需要满足三项已知的规律状态，从而推导出第四项数字规律。
如：8，10，14，20，（） A24 B28 C32 D36此题是数字之间差值构成等差数列关系。
10－8＝2；14－10＝4；20－14＝6；？－20＝8 ？＝28如果我们把题目改变一下：10，14，20，（）A24 B28 C32 D36是否能够根据14－10＝4；20－14＝6；这2项推导出28－20＝8呢？我想大家都能感觉到这是一种非常牵强的做法。
但就目前公务员考试的题目中来讲这样的情况一般是很少发生的，除非是具备特殊性，这里所谓的特殊性是具有复杂的复合运算构成的规律，可以是两项推导出第三项如：2，3，13，175，（）解：2×2＋(3的2次方)＝133×2＋（13的2次方）＝175推导出：13×2＋（175的2次方）＝30651另外对于非传统常规的规律方法。
2022年高中数学选择性必修第二册第四章 等差数列的性质
2022年高中数学第2课时 等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ①a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， ②a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， ③d ＝a n －a mn －m(m ，n ∈N *，且m ≠n )．其中，①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 知识点二 等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为kd 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)2.下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列； d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．思考 若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 一定成立吗？ 答案 不一定．如常数列{a n },1＋2＝3，而a 1＋a 2＝2a 3.1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，则a 1＋a 7等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14答案 C解析 a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.2．在等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2 B ．20 C ．100 D ．不确定 答案 A解析 ∵a 100－a 90＝10d ， ∴10d ＝20，即d ＝2.3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________. 答案 33解析 由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.4．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析 由等差数列的性质，得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16， 又∵a 4＝1， ∴a 12＝15.一、a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75. 解 方法一 (利用a n ＝a m ＋(n －m )d ) 设数列 {a n }的公差为d ， 则a 60＝a 15＋(60－15)d ＝8＋45d ， 所以d ＝20－845＝1245＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.方法二 (利用隔项成等差数列) 因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列， 设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项， 所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24.反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担．跟踪训练1 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 答案 8解析 方法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8.方法二 由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3×5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8.二、等差数列性质的应用例2 (1)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 9＋a 17＝7，则a 3＋a 15等于( ) A ．7 B ．14 C ．21 D ．7(n －1) 答案 B解析 因为a 1－a 9＋a 17＝(a 1＋a 17)－a 9＝2a 9－a 9＝a 9＝7， 所以a 3＋a 15＝2a 9＝2×7＝14.(2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37 答案 C解析 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， 所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列．又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0， 所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.反思感悟 等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量． (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .跟踪训练2 (1)数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12答案 C解析 由3＋a n ＝a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝3.所以{a n }是公差为3的等差数列． 又a 2＋a 4＋a 6＝9， 且a 2＋a 6＝2a 4， 所以3a 4＝9， 则a 4＝3，所以a 7＝a 4＋3d ＝3＋3×3＝12， 故log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 6(3a 7)＝log 636＝2.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 答案 35解析 因为数列{a n }，{b n }都是等差数列， 所以数列{a n ＋b n }也构成等差数列， 所以2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)， 所以2×21＝7＋a 5＋b 5， 所以a 5＋b 5＝35.三、等差数列中对称设项法的应用例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1，所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意得2a ＝2且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， 所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d >0， 所以d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 反思感悟 等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程(组)求出a 1和d ，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a －d ，a ，a ＋d ，此时公差为d .若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，此时公差为2d .若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859. 解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.数列问题如何选择运算方法典例 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10. 解 方法一 设数列{a n }的公差为d . 则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d ) ＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40， ∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40， ∴a 10＝10.[素养提升] (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a 1，d ，n )，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ， 所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3.3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则a 1＋a 13的值为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 答案 C解析 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴a 1＋a 13＝2a 7＝40.4．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…，下列说法正确的是( ) A ．新数列不是等差数列 B ．新数列是公差为d 的等差数列 C ．新数列是公差为2d 的等差数列 D ．新数列是公差为3d 的等差数列 答案 C解析 因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， 所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．5．在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 答案 10解析 由5是a 3和a 6的等差中项，可得a 3＋a 6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.1．知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用．(2)等差数列的性质．(3)等差数列中项的设法.2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错．(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为() A．12 B．8 C．6 D．4答案 B解析由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A．7 B．5C．3 D．1答案 D解析由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.3．若等差数列{a n}的首项a1＝5，a m＝3，则a m＋2等于()A．13 B．3－4 m－1C．3－2m－1D．5－2m－1答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝5，a m＝3，所以d ＝a m －a 1m －1＝－2m －1.所以a m ＋2＝a m ＋2d ＝3＋－4m －1＝3－4m －1.4．(多选)若{a n }是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( ) A ．{|a n |}B ．{a n ＋1－a n }C ．{pa n ＋q }(p ，q 为常数)D ．{2a n ＋n }答案 BCD解析 数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A 不成立． 若{a n }是等差数列，利用等差数列的定义， {a n ＋1－a n }为常数列， 故是等差数列，B 成立． 若{a n }的公差为d ，则(pa n ＋1＋q )－(pa n ＋q )＝p (a n ＋1－a n )＝pd 为常数， 故{pa n ＋q }是等差数列，C 成立．(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2(a n ＋1－a n )＋1＝2d ＋1， 故{2a n ＋n }是等差数列，D 成立．5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B ．有两个相等的实根C ．有两个不等的实根D ．不能确定有无实根 答案 A解析 因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9， 所以a 5＝3，则方程为x 2＋6x ＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，则a 15 ＝________，若a k ＝15，则k ＝________. 答案 11 21解析 ∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77， ∴a 9＝7.故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23.∴a 15＝a 9＋(15－9)d ＝7＋6×23＝11，∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝15， ∴15－7＝(k －9)×23，∴k ＝21.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 9．在等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d . 解 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， 得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， 得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.又四个数成递减等差数列，所以d <0， 所以d ＝－32，故所求的四个数为11,8,5,2.11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0答案 D 解析 由数列{}12na a 为递减数列，得11122,nn a a a a <－再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0. 12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 C解析 设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120， ∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.13．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51答案 C解析 由等差数列的性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51， 由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0.14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0， 则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ， 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556， ∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b k }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 解 由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)， 两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得， 所以n ＝43k －1.而n ∈N *，k ∈N *，所以设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1. 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，且r ∈N *，可得1≤r ≤25.所以共有25个相同数值的项.。
隔项等差等比数列
隔项等差、等比数列1. （隔项等差、等比数列求和）秋末冬初，流感盛行，我市某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{}n a ，1221,2,1(1)n n n a a a a +==-=+-且 (n ∈N )，该医院30天入院治疗流感的人数有（ ） A.253 B. 254 C. 255 D.256解析 因为1221,2,1(1)n n n a a a a +==-=+-且所以n 为奇数时2n n a a +=；n 为偶数时2-=2n n a a +；即奇数项为常数列，偶数项为2为首项，2为公差的等差数列，所以总和为255. 2. （隔项等差、等比数列求和）已知数列{}n a 中12-22,3,=+3n n a a a a ==且（n 3≥） (1)求数列{}n a 的通项公式n a （2）求数列{}n a 的前n 项和n S解析 （1）由-2=+3n n a a （n 3≥）得-2-=3n n a a （n 3≥）即{}n a 从第3项起，每一项与它的前2项的差都等于3，所以它是公差为3的隔两项的等差数列，从而有n 是奇数时1n 131=+22n n a a ++⨯（-1）3=； n 是偶数时2n 3=+22n na a ⨯（-1）3= 所以 3n 1 n 23n2=n n a +⎧⎨⎩是奇数是偶数 （2）n 是偶数时 n 1231n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++=（131n a a a -++⋅⋅⋅+）+（24n a a a ++⋅⋅⋅+） =1n 3(1)113123=n(34)2222224n n n n -+⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ n 是奇数时 n 1231n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++=n-1+a n S =[]13113(1)4=(n+1)(31)424n n n +-+++（n-1） 1n(3n+4) n 41(n+1)(3n+1) n 4=n S ⎧⎨⎩ 是偶数是奇数3. （隔项等差、等比数列求和）已知数列{}n a 中1224,5,=(-)2n n n a a a a +==且，求数列{}n a 的通项公式n a解析 由2题可以总结得到，隔两项等比数列的通项公式为12112222 a q n a q =n n nn a --⎧⎨⎩是奇数是偶数因为2=(-1)2nn n a a +，所以n 是奇数时2n n a a +=-2； n 是偶数时2n naa +=2所以()12224-2 n 52 =n n n n a --⨯⨯⎧⎨⎩是奇数是偶数4、数列{}221221,2,(1cos)sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，解 (Ⅰ)因为22123111,2,(1cos)sin 12,22a a a a a ππ===++=+=所以2222(1cos )sin 2 4.n a a a ππ=++==一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos ]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时，22222(1cos2.2k k k a a π+=+= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =故数列{}n a 的通项公式为*2*21,21(N ,22,2(N .n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a nb a -== 23123,2222n n nS =++++ ① 2241112322222n n nS +=++++ ② ①-②得，23111111.222222n n n nS +=++++-21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=---所以11222.222n n n nn n S -+=--=- 要证明当6n ≥时，12n S n -=成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n =6时，66(62)48312644⨯+==<成立.(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<，即当n ≥6时，12.nS n-< 证法二令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<。
归纳等差数列与等比数列中二级结论
归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列｛外｝是等差数列的方法（1）定义法：％L%=d是常数（〃亡/）数列｛%｝是等差数列：<2）通项公式法：%=kn+b（k,b是常数）V二〉数列｛%｝是等差数列；（3）前n项和法：数列（%）的前n项和S…=An2+Bn（A.B是常数,A2+fl2^0）=>数列（丹｝是等差数列：（4）等差中项法：《+%.2 =2。
心（，羔？0数列（“”｝是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：=a ni +（n—m）d（n.ni e N*）=>d=—~~（n,m e N*,n。
m）:n—m3、若A是a与b的等差中项。
2人=。
+人4、列｛%｝,也｝都是等差数列且项数相同，则｛炊｝，｛劣+如｝,｛外一如｝,｛P4+死,｝都是等差数列：5、数列（外｝中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、数列｛《｝中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列：7、若数列｛%｝是等差数列，且项数m.n.p.qtm.n,p.q e N*）满足m+n=p+q.则“〃,十%=%+%，反之也成立：当p=g时，+a n=2a p,即.，是c妇和《，的等差中项:8、若数列｛%｝是等差数列的充要条件是前n项和公式=f（n）,是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即\=A/r+Bn（A.B是常数,A2+B2^0）；9、若数列｛%｝的前n项和s.=A/+伽+C（A.B是常数,C。
），则数列｛%｝从第二项起是等差数列：€10、若数列｛%｝是等差数列,前n项和为S"则｛工｝也是等差数列，其首项和｛遮｝的n首项相同，公差是｛《｝公差的!：11、若数列｛%｝,｛如｝都是等差数列，其前n项和分别为S0n，则M=如T2n-l12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x—dg+d；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为:13、等差数列的前n项和为S”，且……分别为数列｛%｝的前m 项、2m项,3m项.4m项,……的和，则S,n,S2m-Sm.S3w-S2m,……成等差数列（等差数列的片段和性质）：14等差数列｛%｝中.若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S奇,S倪，则^-=—;若项数n为偶数，室==_；S偶〃T S仰％+1215、在等差数列｛外｝中，若公差d>0,则等差数列（外｝为递增数列；若公差，<0・则等差数列｛《｝为递减数列：若公差d=0，则等差数列｛%｝为常数列：16.有关等差数列｛%｝的前n项和为S”的最值问题；（1）何时存在最大值和最小值① 若％>O,〃vO,则前n项和为S”存在最大值② 若％v0,d>0,则前n项和为S”存在最小值（2）如何求最值a >0① 方法一：（任何数列都通用）通过〈"解出n可求前n项和为&的最大值；通过｛、八解出n可求前n项和为金的最小值：② 方法二：利用等差数列前n项和5『的表达式为关于n的二次函数且常数项为0 （若为一次函数.数列为常数列.则前n项和&不存在最值〉，利用二次函数求最值的方法进行求解：有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴：若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即 不是正整数.又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值.则n就取靠近对称轴的那个正整数：17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于如〃这五个虽，知任 意三个可以求出其它的两个，叩“知三求二”二、【等比数列】中的一级结论1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始.每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不为0<4）符号语言的描述：若数列｛外｝中满足—=q（不为。
隔项成等差或等比
1、 已知nn n a a 21=⋅+，则 ,,,,12531-n a a a a 是以2为公比的等比数列，若要推出 ,,,,12531-n a a a a 是以3为公差的等差数列，则与满足的关系式应该是 13n n a a n ++= 出处：（1） 已知数列{}n a 成等差数列，则数列{}n n a a ++1成等差数列；逆命题成立吗？ {}{}n n a ,a -212各自成等差数列，且公差相同；（2）18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）（A ）{}n a 是等比数列.（B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列. （D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同. （3）已知数列n n a ,a +1是方程n n x b x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2103的两根，求无穷数列{}n b 的各项和 （4）已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n )（n ∈N ）顺次为一次函数12141+=x y 图像上的点，点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n ∈N ）顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1），对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成一个顶角的顶点为B n 的等腰三角形。
⑴求数列{y n }的通项公式，并证明{y n }是等差数列；⑵证明x n+2-x n 为常数，并求出数列{x n }的通项公式；⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a 值；若不存在，请说明理由。
例说隔项等差_等比数列
n
an =
an =
已知数列 { an } 中, a 1 = 4 , a2 = 5, 因为 an+ 2 = (- 2 ) an, 所以当 n 是奇
n
an+ 2 = ( - 2) an. 求 {an } 的通项公式 an. an+ 2 an+ 2 数时, = - 2; 当 n 是偶数时, = 2, 从而 an an 有数列 { an } 的通项公式为 an = 评析 4 ∀ ( - 2)
足 a1 = 1, a2 = 2, an+ 2 = s in
2
n 2
an +
所以 Sn = 2 -
-
n n+ 2 = 2. n n 2 2 1 成立, n
n , n = 1, 2, 3, ∃ 2 ( 1 ) 求 a3, a4 并求数列 { an } 的通项公式; ( 2 ) 设 bn = a2n- 1 , S = b1 + b2 + ∃ + bn, a2n n
2
2k - 1 a2k - 1 + s in = 2
2
a2k- 1 + 1 , 即 a2k+ 1 - a2k- 1 = 1. 所以数列 {a2k- 1 } 是首项为 1、 公差为 1 的 等差数列, 因此 a2k - 1 = k. 当 n = 1 + cos
2
2k( k & a2k + s in
2
N ) 时, a2k + 2 2k 2
, 2 2 3 7 (C) , 4 4 5. 已知 sin ! =
零的 数 列 { ak } 的 前 k 项 和 为 S k, 且 Sk = 1 * a a ( k & N ), 其中 a1 = 1. 2 k k+ 1 ( 1 ) 求数列 { ak } 的通项公式; ( 2 ) 对任意给定的正整数 n (n ! 2), 数列 { bk } 满足 bk+ 1 k- n = ( k = 1, 2, ∃, n - 1), b1 ak + 1 bk
数字推理
数字推理2011年国考没有数字推理，可能安徽也会跟着中央走，更何况安徽的数字推理是有名的弱智，完全可以随便看看。
所以我这部分也就没整理太多。
数字敏感记熟常用的幂次数3，多次方因数分解法有的数列，必须要把每项拆成2个数字的积，这2个数字分别构成数列。
这种数列，还是有迹可循的。
注意看所给的数字是不是很明显地某个数的倍数。
这是华图弄得数推思维过程，新手可以看看，一般的题基本这么就可以了。
难题其实顶多也就1个，为这1分花大工夫我觉得挺不值的~~真要全对，那就多接触接触各种题目，开阔思路。
一，等差数列及其变式这个是最基本的了，一般数字变化不大的都是此类。
不过现在为了增加难度，一般都是二级，三级，而且最后一级可能不只是等差数列二，等比数列及其变式观察数列各项间有大致的倍数关系，则易解，顶多是多了个修正数列三，平方，立方数列及其变式1，这个要求对基本的平方，立方非常熟悉，然后要有一定的数字敏感性——比如说26，就得想到26=25+1=27-1等等。
2，这种数列一般跳跃较大，而且前后没什么明显关系。
这可能是解题突破口。
3，可以在数列的中后部找到一数字，因为此时未修正数很大，修正数列已经无法掩盖其原貌。
4，一般不会直接考，会加个修正数列（注意修正数列特别大的情况，比如09年国考）或者是前面2项之差的平方等于第三项这类的规律5，有可能会与项数相联系，形成有通项公式的数列。
如：-2,-8,0,64，（250）为n*n*n*（n-5）四，做和数列（同理有可能是积数列，就不单列了）1，这种数列需要两项（甚至三项）做和，得到的和构成一个新数列2，如果数字彼此差距不大，而且不是等差，有的会“高低起伏”，那么可以尝试做和3，这种数列的难点就在于如何想到这是做和数列4，这种数列有的数字都很小，而且参差不齐，这或许可以作为突破口5，有的含有负数，不大6，在最开始的做差如果发现差跳来跳去，那么可以从这方面考虑五，递推和数列及其变式1，前2项和等于第三项，这是最普通的，可能会加个修正数列，如+1，-1。
隔项成等差问题的处理方法之欧阳文创编
隔项成等差问题的处理方法已知数列{an}满足a1=1，a n+1+a n =4n-3，求a n 。
方法一：解：a n+1+a n =4n-3，a n+2+a n+1=4n+1 两式相减，得a n+2—a n =4易知，奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列；偶数项是以0为首项，4为公差的等差数列。
故，n 为奇数时，a n =4)121n 1⨯-++（=2n-1N为偶数时，a n =0+(12n -)×4=2n-4即a n =()⎩⎨⎧为偶数）（为奇数n 4-n 2n 1-n 2或a n =2n-3+(-1)n+1方法二：解：设a n+1+k （n+1）+t=-(a n +kn+t) 展开，得a n+1+a n =-2kn-k-2t对比原式，得：⎩⎨⎧==3-2t -k -4k 2-即⎪⎩⎪⎨⎧==25t 2-k 因此）（）（25n 2-a -251n 2-a n 1n +=+++所以{25n 2-a n +}为以23为首项，-1为公比的等比数列易得：25n 2-a n +=23（-1）n-1，即a n =2n-25+23（-1）n-1。
方法三：等式两边同乘以（-1）n+1，得（-1）n+1a n+1-（-1）na n =（4n-3）（-1）n+1。
记b n =（-1）na n ，得：b n+1=b n +（4n-3）（-1）n+1故：b n =（b n -b n-1）+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1由此易得：a n =2n-25+23（-1）n-1三种方法各有千秋，第一个方法最常规，转化为隔项成等差数列问题，学生易于掌握；第二个方法构造新等比，具有一定的技巧性；第三个方法把问题转化为可以累加求通项的问题，相对有点复杂。
（b1=1，bnbn+1=3n ，求bn 。
类似问题：b 1=1，b n b n+1=3n ，求b n 。
隔项成等比，处理方法与方法一相同。
数学人教A版选择性必修第二册第四章(数列)4.2.1(等差数列的概念) 第2课时等差数列的判定与性质
知识梳理
注意点： (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝ a2＋an－1＝….
例2 (1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
跟踪训练2 (1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝__8___.
方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则 d＝b1100－－b33＝12－7－2＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 方法二 由b88－－b33＝b1100－－b33＝d， 得 b8＝b1100－－b33×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
方法一 (利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d＝20， 所以 d＝204－5 8＝1425＝145， 所以 a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×145＝24.
方法二 (利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24.
(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d 即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然 后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m， n，p，q，r∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
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隔项成等差或等比集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
1、已知n n n a a 21=⋅+，则 ,,,,12531-n a a a a 是以2为公比的等比数列，若要推出 ,,,,12531-n a a a a 是以3为公差的等差数列，则与满足的关系式应该是 13n n a a n ++=
出处：
（1） 已知数列{}n a 成等差数列，则数列{}n n a a ++1成等差数列；逆命题成立吗？
（2）
{}{}n n a ,a -212各自成等差数列，且公差相同；
（2）18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）
（A ）{}n a 是等比数列.
（B ）1321,,
,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,
,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列. （D ）1321,,,,n a a a -和242,,
,,n a a a 均是等比数列，且公比相同. （3）已知数列n n a ,a +1是方程n n x b x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
2103的两根，求无穷数列{}n b 的各项和 （4）已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n )（n ∈N ）顺次为一次函数
12141
+=x y 图像上的点，点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n ∈N ）顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1），对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成一个顶角的顶点为B n 的等腰三角形。
⑴求数列{y n }的通项公式，并证明{y n }是等差数列；
⑵证明x n+2-x n 为常数，并求出数列{x n }的通项公式；
⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a 值；若
不存在，请说明理由。
隔项成等差数列或等比数列，是否需要求前n 项和（分类讨论，注意项数）。