中考数学三角函数应用题-(1)

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2022年中考数学专题练习锐角三角函数的应用题

ABCD中考数学专题锐角三角函数的应用【题型1】“影子”问题【例1】（影子“上墙”）数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．【变式1】如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．【例2】（影子“上坡”）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（） A ．9米B ．28米C ．(73)+米D ．(143)+米AB C DE【例3】（影子“下坡”）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m ，则塔高AB 为（） A ．24 mB ．22 mC ．20 mD ．18 m【变式1】如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小明和小华的身高都是1.6m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m ，2m ，那么塔高AB=_________．【对应练习】1.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．D 23°60°C B38°A东港口B D【题型2】一个三角形【例1】如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB ，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C 处折断倒在山坡上，树的顶部D 恰好接触到坡面AE 上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．1.4≈1.7≈2.4）【变式1】已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16 km ，一艘货轮从B 港口以40 km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15 min 后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长．（精确到0.1 km ，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41≈2.24）北东【对应练习】1.如图，在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ，在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15千米的B 处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距千米的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．【题型3】二个三角形【变式1】如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)【变式1】(2015丹东10分)如图，线段AB ，CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是60米．某人站在A 处测得C 点的俯角为37°，D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)【例1】某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且C 、D 、M 三点共线．在楼房的侧面A 处，测得点C 与点D 的仰角分别为45°和37.3°，BM ＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD 的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)【对应练习】1.(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41099.1 米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB （结果保留根号）。

精品中考数学三轮复习资料第2课圆三角函数及方程应用题

第2课圆三角函数及方程应用题[1]例1.某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套. 经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元. （1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元?（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的32，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低?例2.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？例3.某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？[1]怎样避免中考考场发挥失常?避免中考考场发挥失常，还应该在考前做好以下准备：首先，知识上的准备，要充分利用最后一段时间，结合模拟考识的内容查缺补漏、狠抓双基，适当的做一些综合题，使自己在知识上做比较充分的准备；其次要对考试的心理素质要提高，首先要有自信心，自信是成功的前提，无论做什么事情失去了自信心，就为产生巨大的心理障碍，人为的增加难度。

相反竖立自信心，本来较难的自信心可能就会因其自信而化难为易，取得成功。

要调整自己的期望值，给自己正确定位，结合自己的实力，调整期望值，就会轻轻松松进考场，这样才能保证考场不出意外。

要以平常的心态对待中考，中考是对学生掌握知识及解题能力的选拔考试。

命题者对试题的难度和题型对同学们来说都是合适的，也就也就是我们常说的不会超过教学大纲和考试说明的范围。

初三数学利用三角函数解直角三角形含答案

解直角三角形中考要求知识要点模块一解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =；（2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．例题精讲【例2】如图所示，O 的直径4AB =，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为．为O 的切线，tan303=︒的大小没有变化七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．（一）仰角与俯角图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．【答案】作DE AB ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF ∆中30400DCF CD ∠=︒=，米，1sin304002002DF CD =⋅︒=⨯＝(米)cos30400CF CD =⋅︒=米) 在Rt ADE ∆中，60ADE ∠=︒，设DE x =米， ∴tan 60AE x =︒⋅(米)在矩形DEBF 中，200BE DF ==米，在Rt 45ACB ACB ∆∠=︒中，，∴AB BC =， 200x +=，解得200x =，∴200AB AE BE =+=（）米【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）【解析】过点C 作CH AD ⊥于H ，过B 作BE AH ⊥于E ，BF CH ⊥于F ，由题意得604530CBF CAH BAH ∠=︒∠=︒∠=︒，，200CH m =，设BC x =米，在Rt BFC ∆中，由cos BF CBF BC ∠=，sin CFCBF BC∠=1cos sin 2BF BC CBF x CF BC CBF =∠==∠=，，易得 FE D BCADCB AACH ∆是等腰直角三角形，所以200AH CH ==，从而12002002AE AH EH x BE FH =-=-==，，在Rt ABE ∆中，tan30BE AE =︒，由此得12002002x ⎫=-⎪⎝⎭，解得200146.4x =≈，根据题意，电缆的实际长度约为 146.4 1.2175.7⨯≈米【答案】175.7（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．【答案】（1）图形补全如右图所示：O CA（2） ∵1:0.754:3i ==∴:4:3CH EH =在Rt CHE ∆中，5CE = ∴43CH EH ==， ∴437DH DE EH =+=+= 在Rt ODH ∆中，222HO DH OD += 即()()222477r r ++=+，解得83r =．（三）方向角【例8】如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离；（2）求C D ，之间的距离．【解析】（1）如图，由题意得，4530EAD FBD ∠=︒∠=︒，．∴ 451560EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ AE BF CD ∥∥， ∴ 60FBC EAC ∠=∠=︒． ∴ 30DBC ∠=︒．又∵ DBC DAB ADB ∠=∠+∠， ∴ 15ADB ∠=︒．∴ DAB ADB ∠=∠． ∴ 2BD AB ==．即B D ，之间的距离为2km ．（2）过B 作BO DC ⊥，交其延长线于点O 在Rt DBO ∆中，260BD DBO =∠=︒，．∴2sin 6022cos60DO BO =⨯︒===⨯︒ 在Rt CBO ∆中，30tan30CBO CO BO ∠=︒=⋅︒， ∴CD DO CO =-==km ）．即C D ，之间的距离为km 【答案】（1）之间的距离为2km ；（2）之间的距离为km ．332B D ，C D ，332和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA 和平路文化路中山路ABC DEF45°15°30°O【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【答案】⑴ 过A 作AD BC ⊥于D ，∵220AB =，30B ∠=︒， ∴110AD =由题意A 距台风中心不超过(124)20160-⨯=km 时，将会受到台风影响， ∴该城市会受到台风影响．⑵ 在BD 上取点E ，DC 上取点F ，使160AE AF ==，则由题意知：台风中心到达点E 时，该城市即开始受台风影响；台风中心到达点F 时，该城市即结束影响．由勾股定理得，DE∴EF =∵该台风中心以15km/h 的速度移动， ∴=． ⑶ 当台风中心位于D 时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为11012 6.520-=级（四）其它【例9】小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【解析】在Rt ABO ∆中，可求得cos15 1.80.97 1.75AO AB =⋅︒=⨯≈米，在Rt CDO ∆中，可求得sin150.468DO AB =⋅︒≈米 ∴ 1.750.468 1.28AD =-=米【答案】1.28米【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【答案】⑴ Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，60α∠=︒∴30OAB ∠=︒，又4AB =米， ∴122OB AB ==米．sin 604OA AB =⋅==米 ⑵ 设2AC x =，3BD x =，在Rt COD ∆中，2OC x =，23OD x =+，4CD =根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++=∴(213120x x +-=∵0x ≠∴13120x +-，∴x =2AC x == 即梯子顶端A 沿NO米 ⑶ ∵点P 和点P '分别是Rt AOB ∆的斜边AB 与Rt ''A OB ∆的斜边''A B 的中点∴PA PO =，'''P A P O = ∴PAO AOP ∠=∠，P A O A OP ''''∠=∠ ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=︒∵30PAO ∠=︒，∴45P A O ''∠=︒∴cos454A O A B '''=⨯︒==∴AA OA A O ''=-=米【例10】关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如图1图2图3tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．【解析】过点D 作DE AB ⊥于E ，依题意在Rt ADE △中，60ADE α∠=∠=︒，tan 60tan 60AE ED BC =⋅︒=⋅︒=．在Rt ACB △中，75tan75ACB AB BC β∠=∠=︒=⋅︒， ∵tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒+︒︒=︒+︒==-︒⨯︒∴42(284AB =⨯+=+∴8484CD BE AB AE ==-=+（米）【答案】建筑物的高为84米．课堂检测1．（2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示）（1）求调整后楼梯AD 的长； βαDCBAE βαDCBAACB∠=．【解析】过点C作CD PB∥，则6045ACD BCD∠=︒∠=︒，所以6045105ACB∠=︒+︒=︒【答案】105°课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，得矩形HBFC 连接DF∵21CF DF =，2CF =(m) ∴1DF =(m)∴2CF HB ==(m)，15HC BF ==(m) 在Rt AHC ∆中，tan3015tan30AH HC =⋅︒=⨯︒=，∵210.66(m)AB AH HB =+=≈ 12(m)BE BD ED =-=F E人行道DCB AFE人行道30︒H DCBA∴,AB BE∴不需将此人行道封上．【答案】不需将此人行横道封上。

中考数学专题初中三角函数应用题10道-含答案

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(29)锐角三角函数-精练精析(1)及答案解析

图形的变化——锐角三角函数1一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B． C． D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2 B．8 C．2 D．44．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2 B．1 C． D．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=_________ ．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．15．cos60°=_________ ．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=_________ ．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________ ．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）图形的变化——锐角三角函数1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．专题：网格型．分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A． 2 B．8 C．2D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出t an∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A． 2 B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形．分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，∴AB=2CD=8，则sinB===．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．解答：解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．故答案为：点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．解答：解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sin C==．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解答：解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△A BC中，tan∠A=tan30°=，即=，解得：BC=2（+1）．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA===，∴AD=4，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB==，cosB==，∴sinB+cosB=+=．故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．解答：解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△BCD中，tan∠C===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。

三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编

三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编1.如图，小李欲测量一棵古树MN的高度．小李在古树前方B点处测得树顶M处的仰角为35∘，他径直走了8m后到达点A处，测得树顶M的仰角为23∘，已知小李的眼睛距离地面的高度BD=AC=1.8m，求古树的高度MN和BN的长（结果取整数）．参考数据：tan35∘≈0.70，tan23∘≈0.42．2.如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB的高度，已知山坡面与水平面的夹角为30∘，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60∘，求雕像AB的高度．3.如图，在港口A的南偏东37∘方向的海面上，有一巡逻艇B，A，B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67∘方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin67∘≈1213，cos67∘≈513，tan67∘≈125）．4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37∘，大厦底部B的俯角为48∘．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数)．参考数据：sin37∘≈0.60，tan37∘≈0.75，sin48∘≈0.70，tan48∘≈1.10．5.小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45∘，∠B=37∘，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2取1.414．6.如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为19∘和41∘，求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC（结果取整数）．（参考数据：tan19∘≈0.34，tan41∘≈0.87）7.如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD=2m，在地面上A处测得广告牌架上端C的仰角为37∘，前进10m到达B处，在B处测得广告牌架下端D的仰角为60∘，求广告牌架下端D到地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan37∘≈0.75，√3取1.73）8.如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM)，在矩形建筑物ABCD的D，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45∘，64.5∘，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG．（精确到1m）（参考数据：sin64.5∘≈0.90，cos64.5∘≈0.43，tan64.5∘≈2.1）9.如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E处测得无人机C的仰角∠CAB= 45∘，在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30∘，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，根据所给数据计算无人机C的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）10.某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC= 89km，∠A=58∘，∠B=37∘．求开通隧道后的路程AB大约是多少km？（结果精确到1km）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin58∘≈0.85，cos58∘≈0.53，tan58∘≈1.60．11.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53∘方向，距离灯塔100n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，√2≈1.41．12.如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量得∠ABD=37∘，∠ACD=45∘，BC=50cm，求竹竿AB和AC的长（结果精确到0.1cm）．参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2≈1.41．13.如图，某同学要测量海河某处的宽度AB，该同学使用无人机在C处测得A，B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机此时离地面的高度CH为1000米，且点A，B，H在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB（结果取整数）．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．14.如图，某学校甲楼的高度AB是18.6m，在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶D处的仰角为40∘，在甲楼楼顶B处测得乙楼楼顶D的仰角为19∘，求乙楼的高度DC及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）．参考数据：cos19∘≈0.95，tan19∘=0.34，cos40∘=0.77，tan40∘=0.84．15.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为49∘，测得底部C处的俯角为58∘，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan49∘≈1.15，tan58∘≈1.60．16.如图，建筑物的高CD为10√3m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60∘，旗杆顶部A的仰角β为20∘，请你计算：(1) 建筑物与旗杆的水平距离BD；(2) 旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cos20∘≈0.940，√3≈1.732，结果精确到0.1米）17.综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60∘，测得2号楼顶部F的俯角为45∘，此时航拍无人机的高度为50米，已知1号楼的高度为20米．且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．18.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45∘方向，点B的北偏东30∘方向上，AB=2km，∠DAC=15∘．(1) 求B，D之间的距离；(2) 求C，D之间的距离．19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150∘，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30∘，试求电线杆的高度（结果保留根号）．20.如图所示，天津电视塔顶部有一桅杆AB，数学兴趣小组的同学在距地面高为 4.2m的平台D处观测电视塔桅杆顶部A的仰角为67.3∘，观测桅杆底部B的仰角为58∘．已知点A，B，C 在同一条直线上，EC=172m．求测得的桅杆部分AB的高度和电视塔AC的高度．（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan67.3∘≈2.39，tan58∘≈1.60）21. 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48∘，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64∘，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin48∘≈710，tan48∘≈1110，sin64∘≈910，tan64∘≈2）22. 如图，利用热气球探测器测量大楼 AB 的高度，从热气球 P 处测得大楼 B 的俯角为 37∘，大楼底部 A 的俯角为 60∘，此时热气球 P 离底面的高度为 120 m ．试求大楼 AB 的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√3≈1.73）23.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE=1500m时，测量人员从C处测得A，B两点处的俯角分别为60∘和45∘，求隧道AB的长（√3≈1.732，结果保留整数）．24.如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45∘，∠B=37∘，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（结果保留小数点后一位．参考数据：√2≈1.41，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80）．(1) 求点D到直线AB的距离；(2) 现在从A地到B地可比原来少走多少路程？25.如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30∘，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48∘，若斜坡FA的坡比i=1:√3，求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin48∘≈0.74，cos48∘≈0.67，tan48∘≈1.11，√3取1.73．26.如图，在一个18米高的楼顶上有一座信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30∘，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60∘，CD⊥AB交AB的延长线于点E，E，B，A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度．（结果保留整数，√3≈1.7，√2≈1.4）27.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着以历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，乘双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45米到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1米，√3≈1.732）28.如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度．甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200m．甲小组测得山顶D的仰角为45∘，山坡B处的仰角为30∘；乙小组测得山顶D的仰角为58∘．求山CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：tan58∘≈1.60，√3≈1.732．供选用．29.已知B港口位于A观测点的东北方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16千米，一艘货轮从B港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC方向航行，15分钟后到达C处，现测得C位于A观测点北偏东75∘方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1千米）（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45）30.天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36∘≈0.73，结果保留整数）．31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．(1) 如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至ACʹ的位置时，ACʹ的长为m；(2) 如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54∘，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73∘，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54∘≈1.4，tan73∘≈3.3，结果保留整数）．32.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37∘，旗杆底部B的俯角为45∘，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）33.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘，已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)34.如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50km，∠CAB=25∘，∠CBA=45∘，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．（sin25∘≈0.42，cos25∘≈0.91，tan25∘≈0.47，√2取1.414）（结果保留小数点后一位）(1) 求改直的公路AB的长；(2) 问公路改直后比原来缩短了多少km？35.如图，我市某中学课外活动小组的同学要测量海河某段流域的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45∘．小英同学在距A处188米远的B处测得∠CBD=33∘．根据这些数据计算出这段流域的河宽和BC的长．（结果精确到1m，sin33∘≈0.54，tan33∘≈0.65，tan57∘≈1.54）．36.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶嵌着历史题材为内容的瓷板釉彩画或青石刻浮雕，登双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB．如图所示，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1m，√3≈1.732）37.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（参考数据：tan36∘≈0.73，结果保留整数）．38.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30∘的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45∘的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．39.如图，某校数学兴趣小组在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42∘，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为31∘．已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数)．参考数据：tan42∘≈0.90，tan48∘≈1.11，tan31∘≈0.60．40.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47∘，观测旗杆底部B的仰角为42∘.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47∘≈1.07，tan42∘≈0.90．答案1. 【答案】如图，延长CD交MN于点E，则EN=BD=AC=1.8，CE=AN，CD=AB=8，DE=BN．设BN=x，在Rt△MDE中，∵∠MDE=35∘，∴ME=x⋅tan35∘．在Rt△MCE中，∵∠MCE=23∘，∴ME=(x+8)⋅tan23∘，∴(x+8)⋅tan23∘=x⋅tan35∘，解得x≈12.0．∴BN≈12．∴MN=ME+EN≈12.0×0.7+1.8=10.2≈10．答：古树的高度MN约为10m，BN的长约为12m．2. 【答案】如图，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G，在Rt△DEG中，∵DE=540，∠D=30∘，=270．∴EG=DE⋅sin∠D=540×12∵BC=285，CF=EG，∴BF=BC−CF=15．，∠BEF=30∘，在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF∴EF=√3BF=15√3．在Rt△AEF中，∠AEF=60∘，设AB=x，，∵tan∠AEF=AFEF∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+15=15√3×√3，∴x=30．答：雕像AB的高度为30米．3. 【答案】过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH=67∘，∠B=37∘，AB=20．在Rt△ABH中，∵sinB=AH，AB∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37∘≈12，∵cosB =BH AB ，∴BH =AB ⋅cos∠B =20×cos37∘≈16，在 Rt △ACH 中，∵tan∠ACH =tan∠ACH =AH CH ， ∴CH =AH tan∠ACH =12tan67∘≈5，∵BC =BH +CH ，∴BC ≈16+5=21．∵21÷25<1，所以，巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处．4. 【答案】设 CD =x ，在 Rt △ACD 中，tan37∘=AD CD ，则 AD =CD ⋅tan37∘，∴ AD ≈0.75x ．在 Rt △BCD 中，tan48∘=BD CD ，则 BD =CD ⋅tan48∘，∴ BD ≈1.10x ．∵ AD +BD =AB ，∴ 0.75x +1.10x =80，解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度约为 43 米．5. 【答案】如图，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足为 D ．在 Rt △ACD 中，tanA =CD AD ，sinA =CD AC ，∠A =45∘，∴AD =CDtan45∘=CD ，AC =CD sin45∘=√2CD ．在 Rt △BCD 中，tanB =CD BD ，sinB =CD CB ，∠B =37∘． ∴BD =CD tan37∘，CB =CD sin37∘．∵AD +BD =AB ，AB =63，∴CD +CD tan37∘=63．解得 CD =63⋅tan37∘1+tan37∘≈63×0.751+0.75=27.00．∴AC ≈1.414×27.00=38.178≈38.2，CB ≈27.000.60=45.0．答：AC的长约等于38.2m，CB的长约等于45.0m．6. 【答案】过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AC=30，AD=EC，由题意得，∠BDE=19∘，∠BAC=41∘，在Rt△ABC中，BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan41∘≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE=DE⋅tan∠BDE=30×tan19∘≈10.2，所以AD=BC−BE=26.1−10.2=15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．7. 【答案】如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H．设DH=x，在Rt△DBH中，∠DBH=60∘，由tan∠DBH=DHBH ，得√3=xBH，∴BH=√33x，在Rt△AHC中，∠A=37∘，由tan∠A=CHAH ，得34=10+√33x，∴x=4−√3≈9.7，答：广告牌架下端D到地面的距离约为9.7米．8. 【答案】如图，延长AD交FG于点E．在Rt△FDE中，∠DEF=90∘，tan45∘=FEDE，∴DE=FE．在Rt△FCG中，∠FGC=90∘，tan64.5∘=FGCG ，∴CG=FG2.1．∵DE=CG，∴FE=FG2.1．∴FG−22=FG2.1，解得FG=42(米）．答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG为42米．9. 【答案】如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90∘，∵∠CAB=45∘，∴∠ACH=∠CAH=45∘，则在△AHC中，有AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30∘，则在△BHC中，tan∠CBH=CHBH，∴BH=CHtan∠CBH=√3x，由题意可知，AB=DE=50m，∴AH+BH=50m，∴x+√3x=50．解得x=1+√3≈502.73≈18.3m．∴无人机高度为18.3+1=19.3m．答：无人机C的高度约为19.3m．10. 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90∘，由题意可知∠A=58∘，∠B=37∘，在Rt△CDB中，BD=BC⋅cos37∘≈89×0.80=71.2，CD=BC⋅sin37∘，在Rt△CDA中，tanA=CDAD，∴AD=CDtan58∘≈89×0.601.60，∴AB=AD+DB≈89×0.601.60+71.2≈105．答：路程AB约为105km．11. 【答案】根据题意，得∠A=53∘，∠B=45∘，AP=100n mile．在Rt△APC中，∵sinA=PCAP，∴PC=AP⋅sin53∘≈100×0.80=80(n mile)．在Rt△BPC中，∠B=45∘，∵sinB=PCPB，∴PB=PCsin45∘=√2=80√2≈113(n mile)．答：B处距离灯塔P大约有113n mile．12. 【答案】由题意可得：AD=DC=x，故tan37∘=ADBD =xx+50=0.75，解得：x=150，故AD=CD=150，则AC=150√2≈212.1(cm)，则BD=200cm，故sin37∘=ADAB =150BA=0.60，解得：AB=250.0．答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为212.1cm．13. 【答案】由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45∘，∠B=∠BCD=30∘，在Rt△ACH中，∵∠CAH=45∘，∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB，∴HB=CHtan∠B =1000tan30∘=1000√3（米）．∴AB=HB−HA=1000√3−1000=1000(√3−1)米．14. 【答案】过BE作CD的垂线，与CD交于点E；在Rt△BDE中，tan19∘=EDBE，在Rt△ACD中，tan40∘=CDAC，∵BE=AC，∴0.34AC=DE，0.84AC=CD，∵AB=CE=18米，∴AC=36米，ED=12.24米，∴CD=30.24米；15. 【答案】作DE⊥AB于E，由题意得，∠ADE=49∘，∠ACB=58∘，DE=BC=78，在Rt△ACB中，tan∠ACB=ABBC，则AB=BC⋅tan∠ACB=78×1.60=124.8≈125，在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE，则AE=BC⋅tan∠ADE=78×1.15=89.7，DC=BE=AB−AE=124.8−89.7=35.1≈35，答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为35m．16. 【答案】(1) 由题意四边形CDBE是矩形，∴CE=BD，BE=CD=10√3m，在Rt△BCE中，∠BEC=90∘，tanα=BE，CE=10（m），∴CE=√3√3∴BD=CE=10（m）．，(2) 在Rt△ACE中，∠AEC=90∘，tanβ=AEEC∴AE=10⋅tan20∘，∴AB=AE+BE=10×0.364+10×1.732≈21.0（m）．17. 【答案】过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC=GB=20，HB=FD．∵点B为CD中点，∴EG=CB=BD=HF．由已知得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘，在Rt△AFG中，AG=AB−GB=50−20=30．=10√3．∴EG=AGtan30∘=30×√33在Rt△AHF中，AH=HFtan45∘=10√3．∴FD=HB=AB−AH=50−10√3．答：2号楼的高度为(50−10√3)米．18. 【答案】(1) 由题意得，∠EAD=45∘，∠FBD=30∘，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45∘+15∘=60∘．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60∘．∵∠FBD=30∘，∴∠DBC=∠FBC−∠FBD=30∘．又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∴∠ADB=15∘．∴∠DAB=∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD=AB=2km．即 BD 之间的距离为 2 km ．(2) 如图，过 B 作 BO ⊥DC ，交其延长线于点 O ，在 Rt △DBO 中，BD =2 km ，∠DBO =60∘，∴ DO =2×sin60∘=√3(km )，BO =2×cos60∘=1(km )．在 Rt △CBO 中，∠CBO =30∘，CO =BOtan30∘=√33(km )， ∴ CD =DO −CO =√3−√33=2√33(km )．即 C ，D 之间的距离 2√33km ．19. 【答案】延长 AD 交 BC 的延长线于 E ，作 DF ⊥BE 于 F ，∵∠BCD =150∘， ∴∠DCF =30∘，又 CD =4，∴DF =2，CF =√CD 2−DF 2=2√3，由题意得 ∠E =30∘， ∴EF =DFtanE =2√3，∴BE =BC +CF +EF =6+4√3， ∴AB =BE ×tanE =(6+4√3)×√33=(2√3+4) 米，答：电线杆的高度为 (2√3+4) 米．20. 【答案】如图，作 DF ⊥AC 于点 F ，∵DF ∥EC ，DE ∥CF ，DE ⊥EC ， ∴ 四边形 DECF 是矩形，∴DF =EC =172 m ，DE =CF =4.2 m ，在 Rt △ADF 中，AF =DF ⋅tan67.3∘≈411.1(m )，在 Rt △BDF 中，BF =DF ⋅tan58∘≈275.2(m )，∴AB =AF −BF =411.1−275.2=135.9(m )，AC =AF +CF =411.1+4.2=415.3(m )．答：桅杆部分 AB 的高度为 135.9 m ，电视塔 AC 的高度为 415.3 m ．21. 【答案】如图，根据题意，得 ∠ADB =64∘，∠ACB =48∘，在 Rt △ADB 中，tan64∘=ABBD ，则 BD =ABtan64∘≈12AB ．在 Rt △ACB 中，tan48∘=ABCB ，则 CB =ABtan48∘≈1011AB ．所以 CD =BC −BD ，6=1011AB −12AB ，AB =1329≈14.7（米）所以建筑物的高度约为14.7米．22. 【答案】延长AB，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60∘，∠BPC=37∘，且由题意可知AC=120（米）．在Rt△APC中，由tan∠APC=ACPC ，即tan60∘=120PC，得PC=√3=40√3，在Rt△BPC中，由tan∠BPC=BCPC，得BC=PC⋅tan37∘=40√3×tan37∘，所以AB=AC−BC=120−40√3⋅tan37∘≈120−40×1.73×0.75=68.1≈68.答：大楼AB的高度约为68米．23. 【答案】根据题意，可知∠CBE=45∘，∠CAE=60∘，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE ，即tan60∘=1500AE，∴AE=1500tan60∘=√3=500√3．在Rt△BEC中，tan∠CBE=CEBE ．即tan45∘=1500BE，∴BE=1500tan45∘=1500．∴AB=BE−AE=1500−500√3≈1500−866=634(m),答：隧道AB的长约为634m．24. 【答案】(1) 如图，过点D作DH⊥AB于点H，DG∥CB交AB于点G，则∠CBG=∠DGH=37∘，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG⋅sin37∘≈11×0.60=6.6，∴点D到直线AB的距离是6.6km．(2) 根据（1）得：GH=DG⋅cos37∘≈11×0.80=8.80，在Rt△ADH中，AD=√2DH≈1.41×6.6≈9.31．AH=DH=6.6，∵两条路线路程之差为AD+DG−AG，∴AD+DG−AG=(9.31+11)−(6.6+8.80)≈4.9(km)．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25. 【答案】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DNCM是矩形．∵DA=6，斜坡FA的坡比i=1:√3，∴DN=12AD=3．AN=3√3．设大树BC的高度为x米．在Rt△BAC中，∠BAC=48∘，tan∠BAC=BCAC，∴tan48∘=BCAC =xAC≈1.11．∴AC≈x1.11．∴DM=NC=AN+AC=3√3+x1.11．由题意得∠BDM=30∘，在Rt△BDM中，tan∠BDM=BMDM，∴BM=DMtan30∘=√33DM=√33(3√3+x1.11)．又∵BM=BC−MC=x−3，∴x−3=√33(3√3+x1.11)．∴x≈12.5．答：大树BC的高度约为12.5米．26. 【答案】根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30∘，∠EBC=60∘，在Rt△ADE中，AE=DEtan30∘=√33=18√3，所以BE=AE−AB=18√3−18，在Rt△BCE中，CE=BE⋅tan60∘=(18√3−18)×√3=54−18√3，所以CD=CE−DE=54−18√3−18≈5（米）．27. 【答案】设AB=x米，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C=45∘，∠ADB=60∘，∴CB=x，BD=√33x，又CD=31.45，∴CD=BC−BD=x−√33x=31.45，解得：x≈74.4．答：塔高AB约为74.4米．28. 【答案】过B作BE⊥AC，BF⊥DC，E，F为垂足，根据题意，有∠DAC=45∘，∠BAC=30∘，∠DBF=58∘，AB=200．∵BE⊥AC，BF⊥DC，DC⊥AC，∴四边形BECF是矩形．∴BF=EC，BE=FC．设BF=x，则CE=BF=x．在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB ，cos∠BAE=AEAB，∴BE=ABsin∠BAE=200⋅sin30∘=100，AE=ABcos∠BAE=200⋅cos30∘=100√3≈173.2．在Rt△DBF中，tan∠DBF=DFBF，∴DF=BFtan∠DBF=x⋅tan58∘≈1.60x．在Rt△DAC中，∠DAC=45∘，∴AC=DC，即AE+EC=DF+FC．∴173.2+x=100+1.60x．解得，x=122.0．∴DC=AC≈173.2+122.0=295.2．山高约为295.2m．29. 【答案】BC=48×1560=12（千米），在Rt△ADB中，sin∠DAB=DBAB =√22，∴AB=√22=16√2（千米）．如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC−∠DAB=75∘−45∘=30∘,tan∠BAH=BHAH =√33，∴AH=√3BH，在Rt△ABH中，由勾股定理得BH2+AH2=AB2，∴BH2+(√3BH)2=(16√2)2，∴BH=8√2，∴AH=8√6，在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，∴AC=AH−CH=8√6−4≈15.6（千米）．答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.6千米．30. 【答案】∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45∘，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD−AB=CD−112，∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，∠BCD=90∘−∠CBD=36∘，∴tan36∘=BDCD，∴BD=CD⋅tan36∘，∴CD⋅tan36∘=CD−112，∴CD=1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m)．答：天塔的高度CD约为415m．31. 【答案】(1) 23.5(2) 设PQ=x cm．在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=PQMQ=1.4，∴MQ=x1.4．在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=PQNQ=3.3，∴NQ=x3.3．∵MN=MQ−NQ=40，即x1.4−x3.3=40，解得x≈97．答：解放桥的全长约为97m．【解析】(1) ∵点C是AB的中点，∴ACʹ=12AB=23.5m．32. 【答案】过点C作CD⊥AB于D，则DB=9，在Rt△CBD中，∠BCD=45∘，∴CD=BD=9．在Rt△ACD，∠ACD=37∘，∴AD=CD×tan37∘≈9×0.75=6.75，∴AB=AD+BD=6.75+9=15.75，(15.75−2.25)÷45=0.3（米/秒）．∴国旗以0.3米/秒的速度匀速上升．33. 【答案】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线由题意∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB∥CH∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘∵AB=4×8=32m∴AD=CD=AB⋅sin30∘=16mBD=AB⋅cos30∘=16√3m∴BC=CD+BD=16+16√3m∴BH=BC⋅sin30∘=8+8√3m34. 【答案】(1) 过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵AC=50千米，∠CAB=25∘，∴CD=sin∠CAB⋅AC=sin25∘×50≈0.42×50=21（千米），AD=cos∠CAB⋅AC=cos25∘×50≈0.91×50=45.5（千米），∵∠CBA=45∘，∴BD=CD=21（千米），BC=CDsin∠CBA =21sin45∘≈29.7（千米），∴AB=AD+BD=45.5+21=66.5（千米）．(2) ∵AC=50千米，BC=29.7千米，∴公路改直后该段路程比原来缩短50+29.7−66.5=13.2（千米）．35. 【答案】如图，过点C作CE⊥AB于点E．根据题意，∠CAE=45∘，∠CBE=33∘，AB=188．∴AE=CE．在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEEB，∴CE=(CE+188)⋅tan33∘．CE=188×tan33∘1−tan33∘=188×0.651−0.65≈349.1≈349(m)．在Rt△CBE中，sin∠CBE=CEBC．∴ BC =CE sin33∘=349.10.54≈646(m ) 或 BC =CE sin33∘=188×0.651−0.650.54≈647(m )．答：这段流域的河宽约为 349 m ，BC 的长约为 646 m （或 647 m ）．36. 【答案】根据题意，有 ∠ACB =45∘，∠ADB =60∘，CD =31.45．∵ 在 Rt △ABC 中，∠ACB =∠CAB =45∘，有 AB =CB ．又 CB =CD +DB =31.45+DB ， ∴ AB =31.45+DB ．∵ 在 Rt △ABD 中，tan∠ADB =ABDB ， ∴ tan60∘=ABDB ，得 AB =DB ⋅tan60∘，于是，31.45+DB =DB ⋅tan60∘， ∴ DB =31.45tan60∘−1≈42.96(m )． ∴ AB =CD +DB ≈74.4(m )．答：塔的高度 AB 约为 74.4 m ．37. 【答案】如题图，根据题意，有 ∠CAD =45∘，∠CBD =54∘，AB =112．因为在 Rt △ACD 中，∠ACD =∠CAD =45∘，有 AD =CD ．又 AD =AB +BD ，所以 BD =AD −AB =CD −112．因为在 Rt △BCD 中，tan∠BCD =BDCD ，∠BCD =90∘−∠CBD =36∘，所以 tan36∘=BDCD ，得 BD =CD ⋅tan36∘ , 于是有 CD ⋅tan36∘=CD −112．所以 CD =1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m )．答：天塔的高度 CD 约为 415 m ．38. 【答案】过 A 作 AD ⊥BC 于 D ，则 AD 的长度就是 A 到岸边 BC 的最短距离．在 Rt △ACD 中，∠ACD =45∘，设 AD =x ，则 CD =AD =x ，在 Rt △ABD 中，∠ABD =60∘，由 tan∠ABD =ADBD ，即 tan60∘=xBD ，所以 BD =xtan60∘=√33x ，又 BC =4，即 BD +CD =4，所以 √33x +x =4，解得x=6−2√3．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为(6−2√3)公里．39. 【答案】如图，过C作CE⊥AB，垂足为E．根据题意，∠ACE=42∘，∠CBD=31∘，CD=12．可得四边形CDBE为矩形，∴EB=CD，CE=DB．∵在Rt△CBD中，tan∠CBD=CDDB，∴CE=DB=CDtan31∘．∵在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，∴AE=CE⋅tan42∘．∴AE=CDtan31∘⋅tan42∘≈12×0.900.60=18．∴AB=AE+EB≈12+18=30．答：楼的高约为30m．40. 【答案】根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90∘，∠DEC=90∘．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90∘，∠ADF=47∘，∠BDF=42∘．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=AFDF，∴AF=DF⋅tan47∘≈21×1.07=22.47(m)．在直角△DFB中，tan∠BDF=BFDF，∴BF=DF⋅tan42∘≈21×0.90=18.90(m)，则AB=AF−BF=22.47−18.90=3.57≈3.6(m)．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5(m)．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________．所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ，进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图第9题图第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°，在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )．答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除．答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°，又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ，又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°，在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图第2题图第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图第5题图第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图第8题图第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)．答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==．故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

九年级数学中考复习第一轮复习基础训练三角函数(一)三角函数与解直角三角形课时作业同步练习含答案解析

微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED = .3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为 . 考点2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°= ; cos 60°= ;tan 45"= ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C = 度. 考点3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为 .7.如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量B ，C 两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为30°,则B,C 两地间的距离为 m .8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为 km.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°B CC A CAB AB 第6题图第7题图第8题图9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. :C BC微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点精练精练1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( A ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED =255. 3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为104.精练2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°=12; cos 60°=12;tan 45"= 1 ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= 32 .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C =105度. 精练3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为165.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°BC CACABAB第6题图第7题图第8题图7.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B，C两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地间的距离为.8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为(30+km.9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.解:设AD=x米,则BDx米.CD=AD=xx-x=100.解得：x=50.答:山高为（50）米.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. 解:(1)30°:(2)过点C作CD⊥AB于点D.则BD=CD=6.AD∴AB=AD-BD一6<8∴文化培PM不需要拆除．C B。

三角函数中考题目集锦

三角函数中考题目集锦一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）D．米A．50米B．100米C．米3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m 4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m 7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是_________米．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为_________cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为_________m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________ m．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=_________米．（结果精确到1米）（参考数据：，）18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为_________m（结果保留根号）．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是_________米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是_________米（精确到0.1米）．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是_________米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）24．（2012•漳州）极具特色的“八卦楼”（又称“威镇阁”）是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22°；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39°（如图是他设计的平面示意图）．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米？（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin39°≈，tan39°≈）25．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）26．（2012•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）27．（2012•盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）28．（2012•梧州）如图，某校为搞好新校区的绿化，需要移植树木．该校九年级数学兴趣小组对某棵树木进行测量，此树木在移植时需要留出根部（即CD）1.3米．他们在距离树木5米的E点观测（即CE=5米），测量仪的高度EF=1.2米，测得树顶A的仰角∠BFA=40°，求此树的整体高度AD．（精确到0.1米）（参考数据：sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391）29．如图，一个氢气球升在广场上空，已知氢气球的直径为4m，在地面上点A测得气球中心的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角（两条视线AB，AC的夹角）∠BAC=60°，AC与圆相切于C，且OC⊥AC，则气球中心O离地面的高度OD为多少米？（≈1.73）30．如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B 处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？2013年1月zhjh的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米考点：解直角三角形的应用．专题：探究型．分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米B．100米C．D．米米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．解答：解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x∴x=米．故选D．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2，EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故选：A．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．解答：解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==，在Rt△ACG中，tan∠ACG=，∴CG==AG．又∵CG﹣FG=30，即AG﹣=30，∴AG=15，∴AB=15+2．答：这幢教学楼的高度AB为（15+2）m．故选D．点评：考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．解答：解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故选：A．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用；切线的性质；弧长的计算．分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解答：解：由题意，从A处观测到地球上的最远点Q，∴AQ是⊙O的切线，切点为Q，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图则在直角△OAQ中有，即AP=．在直角△OAQ中则∠O为：90°﹣α，由弧长公式得PQ为．故选B．点评：本题考查了直角三角形的应用，由题意在直角三角形OAQ中，利用三角函数从而解得．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由已知设塔高为x米，则由已知可得到如下关系，=tan30°，从而求出塔高．解答：解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为x米则得：=tan30°=，解得：x≈42.48，故选：D．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得等腰直角三角形，根据直角三角函数列出方程求解．10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．解答：解：如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；根据勾股定理，得：AB==8米；∴tanθ==；故选A．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．解答：解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．解答：解：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC•tan∠ACB=10×tan60°=10×=10（米）．故答案为：10．点评：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2.7cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用．分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm，∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．故答案为2.7．点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为8.1m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．解答：解：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．点评：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何综合题．分析：此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，则由已知求得CE的长．解答：解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=5•sin45°=5•=5．所以h=5，故答案为：5．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200m．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离．解答：解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200．故答案为：200．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=260米．（结果精确到1米）（参考数据：，）考点：解直角三角形的应用．分析：根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度．解答：解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴假设CD=x，AC=2x，∴AD=x，tanB==，∴=，解得：x=150，∴AD=x=×150≈260米．故答案为：260米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为30m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60×=30（m）．故答案为：30．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）考点：解直角三角形的应用．分析：在Rt△ABC中，已知了直角边BC的长以及∠ACB的度数，可根据∠ACB的正切函数求出AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，∴AB=BC•tan30°=24×=8≈13.9（米）．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是11.1米（精确到0.1米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在Rt△ABC中，已知了铅直高度AC的长以及坡角∠ABC的度数，即可求得水平宽度BC的长．解答：解：Rt△ABC中，∠ABC=15°，AC=3，∴BC=AC÷tan15°≈11.1（米）．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）考点：解直角三角形的应用．分析：当阳光正好射到D处时，阳光刚好不能射入窗户．则在直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°，根据三角函数求解．解答：解：直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°．∵tan∠ABD=，∴AB===（米）．点评：考查把实际问题转化为数学题的能力，正确理解正午时刻阳光刚好不能射入窗户的条件，是解决本题的关键．三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）考点：解直角三角形的应用．分析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD 中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．解答：解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC•cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72=245（m）．答：隧道AB的长为245m．点评：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：探究型．分析：设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故OB=OC•tan30°=x，再根据AB=OA﹣OB=2即可得出结论．解答：解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x，在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB=OC•tan30°=x，∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，∴OC=5米．答：C处到树干DO的距离CO为5米．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先设出OC的长，利用锐角三角函数的定义及直角三。

初三数学三角函数中考题

初三数学三角函数中考题引言：三角函数是初中数学中一个重要的概念，涉及到角度和长度之间的关系。

在初三学习数学时，学生们经常会遇到关于三角函数的考题。

本文将介绍几个常见的初三数学三角函数中的考题。

一、正弦函数1. 已知一个角的正弦值sinα=0.6，求该角的可能大小。

解析：根据正弦函数的定义，正弦值为某个角的对边与斜边之比。

可以利用反正弦函数求解，得到角的大小为sin⁻¹(0.6)≈36.87°。

2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，tanA=0.8，求sinB和cosB的值。

解析：根据tanA的定义，tanA为∠ACB的对边与邻边之比，即tanA=AC/CB=0.8。

根据直角三角形的性质，sinB=AC/CB，cosB=BC/CB。

可以利用已知条件求解，得到sinB=0.8/√(1+0.8²)≈0.707，cosB=√(1-0.707²)≈0.707。

二、余弦函数1. 在平面直角坐标系中，已知点P坐标为(2, 3)，点P表示角A的终边上的一点，求角A的余弦值cosA。

解析：根据余弦函数的定义，余弦值为角A对应的点P在x轴上的横坐标与点P到原点的距离之比。

可以利用已知点P的坐标求解，得到cosA=2/√(2²+3²)≈0.5547。

2. 已知三角形ABC中，角C=45°，边AC=5，边BC=√10，求sinA和cosB的值。

解析：根据三角形的性质，sinA=BC/AC，cosB=AC/BC。

可以利用已知条件求解，得到sinA=√10/5=2/√10，cosB=5/√10=√10/2。

三、正切函数1. 在直角三角形ABC中，∠B=30°，边AC=5，求tanA的值。

解析：根据正切函数的定义，tanA为∠B的对边与邻边之比，即tanA=BC/AC。

可以利用已知条件求解，得到tanA=BC/AC=√3/5。

2. 已知一个角的正切值tanα=1.732，求该角的可能大小。

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

2020中考数学九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)

2020中考数学锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中，即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。

已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的距离大约为2.73米。

三角函数的应用(1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

专题04三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.方向角问题题型2.坡度、坡角问题题型3.方案决策问题题型4.一题多解——求建筑物的高【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题【方法四】成果评定法【学习目标】1.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。

2.能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。

3.能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。

重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:h i tan lα==.知识延伸※1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A ，其正下方水平面上的点记作点)B ，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点)C 出发向右上方（与地面成45︒，点A ，B ，C ，O 在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O 点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，75AOC ∠=︒，（求小李到古塔的水平距离即BC 的长．（结果精确到1m 1.41≈ 1.73)≈【分析】过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，根据题意可得：40AO=米，20OC=米，OE BD=，//OE BD，从而可得45EOC OCD∠=∠=︒，进而可得30AOE∠=︒，然后在Rt OCD∆中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt AOE∆中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，由题意得：8540AO=⨯=（米)，4520OC=⨯=（米)，OE BD=，//OE BD，45EOC OCD∴∠=∠=︒，75AOC∠=︒，30AOE AOC EOC∴∠=∠-∠=︒，在Rt OCD∆中，2cos452022CD OC=⋅︒=⨯=)，在Rt AOE∆中，3cos304032OE AO=⋅︒=⨯=（米)，3OE BD∴==)，310221BC BD CD∴=-=-≈（米)，∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡(D在直线BC上），坡角ADC∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1)m【参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=；sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=】【分析】首先在Rt ABC∆中，求出AC的长，再在Rt ADC∆，由tanACADCCD∠=，即可求出CD的长．【解答】解：在Rt ABC∆中，sinAC ABCAB∠=，sin4320.68 1.36() AC AB m∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC∆中，tanAC ADCCD ∠=，∴1.362.3()tan310.60ACCD m ==≈︒，∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站A，B，C，观测站B在观测站A的东北方向，观测站C在观测站B的正东方向，观测站B，C之间的距离为30海里．某天，观测站A，B，C同时收到一艘轮船在D处发出的求救信号，经分析，D在观测站C的南偏东15︒方向，在观测站B的东南方向，在观测站A的正东方向．（1）求CD的长度．（结果精确到个位）（2）目前只有观测站A与B配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C处，才能再去D处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过点C 作CE BD ⊥于点E ，利用方向角的意义，等腰直角三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质解答即可；（2）过点B 作BF AD ⊥于点F ，利用（1）的结论和等腰直角三角形的判定与性质求得AD 的长度，通过比较两个搜救艇到达D 处所需的时间解答即可．【解答】解：（1）由题意得：//AD BC ，45CBD ∠=︒，9015105BCD ∠=︒+︒=︒，30BC =海里．过点C 作CE BD ⊥于点E ，如图，则CBE ∆为等腰直角三角形，45BCE ∴∠=︒，21522BE CE ===（海里），60DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒，30CDE ∴∠=︒，2242CD CE ∴==≈（海里）；（2）观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．理由：由（1）知：152BE =海里，22156DE CD CE =-=（海里），(152156)BD BE DE ∴=+=海里．过点B 作BF AD ⊥于点F ，由题意得：45NAB BAD ∠=∠=︒，//BF AN ，45ABF ∴∠=︒，45DAF ∠=︒ ，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆为等腰直角三角形，23030382AD BD ∴==+≈（海里）．∴观测站A 的搜救艇到达D 处需要8230 2.73÷=（小时）．观测站B 的搜救艇到达D 处需要：1(3042)300.5 2.4 2.92++÷=+=（小时），∴观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用已知条件恰当的添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.方向角问题1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55︒方向上，则河宽AB 的长为()A ．tan 55a ︒米B ．cos55a ︒米C ．tan 35a ︒米D ．tan 55a ︒米【分析】连接AB ，BC ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：连接AB ，BC ，由题意得，90BAC ∠=︒，55ABC ∠=︒，AC a =米，tan tan 55AC ABC AB ∴∠=︒=，tan 55tan 55AC a AB ∴==︒︒，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•金东区二模）如图，小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A ，北偏东35︒的方向上有一棵大树B ，已知凉亭A 在大树B 的正西方向，若50BC =米，则AB 的长等于()米．A ．5050sin 35cos35-︒︒B ．5050sin 35cos35+︒︒C ．50(cos35sin 35)︒-︒D ．50(cos35sin 35)︒+︒【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，先在Rt BCD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，CD 的长，然后在Rt ADC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt BCD ∆中，35BCD ∠=︒，50BC =米，sin 3550sin 35BD BC ∴=⋅︒≈︒（米)，cos 4550cos 35CD BC =⋅︒=︒（米)，在Rt ADC ∆中，45ACD ∠=︒，tan 4550cos 35AD CD CD ∴=⋅︒==︒（米)，50cos3550sin 3550(cos35sin 35)AB AD BD ∴=+=︒+︒=︒+︒米，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60︒方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．【分析】过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，证PAN ∆是等腰直角三角形，得NA PA x ==米，再由锐角三角函数定义得MA =米，然后由MA NA MN +=，求出250x =-，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，由题意可知，60MPA ∠=︒，45NPA ∠=︒，PAN ∴∆是等腰直角三角形，NA PA x ∴==米，tan tan 60MAMPA PA∠==︒= ，MA ∴==（米)，500MA NA MN +== ，∴500x +=，解得：250x =-，即监测点P 到限速公路MN 的距离是250)-米，故答案为：250)-．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D 、E 均在点C 的正北方向且600CE =米，点B 在点C 的正西方向，且BC =点B 在点A 的南偏东60︒方向且400AB =米，点D 在点A 1.414≈， 1.732≈ 2.449)≈．（1）求道路AD 的长度（精确到个位）；（2）若甲从A 点出发沿A —D —E 的路径去点E ，与此同时乙从点B 出发，沿B —A —E 的路径去点E ，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E ，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）【分析】（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据题意可得：AF CG =，AG CF =，然后在Rt AFB ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AF ，BF 的长，从而求出CF 的长，再在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可求出EG 的长，再在Rt AGE ∆中，利用勾股定理可求出AE 的长，然后在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DG 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，由题意得：AF CG =，AG CF =，在Rt AFB ∆中，60BAF ∠=︒，400AB =米，∴1cos604002002AF AB=⋅︒=⨯=（米)，sin60400BF AB=⋅︒=⨯（米)，200CG AF∴==米，BC=∴CF BF BC=+=+=（米)，∴AG CF==米，在Rt ADG∆中，904545DAG∠=︒-︒=︒，∴980cos45AGAD==︒（米)，∴道路AD的长度约为980米；（2）600CE=米，200CG=米，400EG CE CG∴=-=（米)，在Rt AGE∆中，AG=米，∴800AE=（米)，在Rt ADG∆中，45DAG∠=︒，∴tan45DG AG=⋅︒=)，∴甲的路程400)AD DE AD DG EG=+=+-=米，乙的路程4008001200AB AE=+=+=（米)，乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间12003040==（分钟），∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度42.4=≈（米/分钟），42.440 2.4∴-=（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，五边形ABCDE 是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC ．经勘测，90BAE ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，且在景点B 的南偏东60︒方向的800米处，景点D 在景点C 的正南方向500米处，150AED ∠=︒ 1.414≈ 1.732)≈（1）求景点A 与景点E 的距离；（结果精确到1米）（2）甲、乙两人同时从景点A 出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A ，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A B C D E A →→→→→，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C ？【分析】（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可；（2）利用（1）的结论分别计算出甲，乙两人的走的路程，再计算出到达点C 的时间即可．【解答】解：（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图，由题意得：800BC =米，500CD =米，60ABC ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，45BAC CAG ∴∠=∠=︒．在Rt BFC ∆中，60B ∠=︒ ，30BCF ∴∠=︒，400BF ∴=（米)，CF ==（米)．90AFC ∠=︒ ，45BAC ∠=︒，AF FC ∴==)，AC ∴==)，45CAG ∠=︒ ，90G ∠=︒，2AG GC AC ∴===（米)，500)DG CG CD ∴=-=米，150AED ∠=︒ ，30DEG ∴∠=︒，21000)DE DG ∴==米，(1200EG ∴==-米，1200359AE AG EG ∴=-=-≈（米)．答：景点A 与景点E 的距离359米．（2）乙先到达景点C ，理由：由（1）知：4008001893AB AF BF =+=++≈（米)，35910005001245AE DE CD ++=++=（米)，∴甲到达点C 所有的时间为189310018.93÷=（分)，乙到达点C 所有的时间为12458015.56÷≈（分)，18.9315.56> ，∴乙先到达景点C ．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，方向角，近似数和有效数字，恰当的构造直角三角形是解题的关键．6．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，五边形ABCDE 是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD 是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B 在点A 的正北方935米处，点E 在点A 的正东方，点D 在点B 的北偏东74︒，且在点E 的正北方，90C ∠=︒，800BC =米，600CD =米．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.27︒≈，tan 74 3.55)︒≈（1）求AE 的长度（结果精确到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A 点？请说明理由．【分析】（1）过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，根据垂直定义可得90BFE BFD ∠=∠=︒，再根据题意可得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，从而可得四边形ABFE 是矩形，进而可得AB FE =，AE BF =，//AB EF ，然后利用平行线的性质可得74GBD BDF ∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，利用勾股定理求出BD 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，即可解答；（2）在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 的长，从而求出DE 的长，然后进行计算，比较即可解答，【解答】解：（1）如图：过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，90BFE BFD ∴∠=∠=︒，由题意得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，935AB FE ∴==米，AE BF =，//AB EF ，74GBD BDF ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，800BC =米，600CD =米1000BD ∴===（米)，在Rt BFD ∆中，sin 7410000.96960BF BD =⋅︒≈⨯=（米)，960BF AE ∴==米，AE ∴的长度约为960米；（2）爸爸先到达A 点，理由：在Rt BFD ∆中，74BDF ∠=︒，1000BD =米，cos 7410000.27270DF BD ∴=⋅︒≈⨯=（米)，935EF = 米，9352701205DE DF EF ∴=+=+=（米)，∴小明从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行需要的时间450022.5200200AB BC CD DE AE ++++===（分钟），爸爸从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行需要的时间316521.1150150BD DE EA ++===（分钟），21.1 分钟22.5<分钟，∴爸爸先到达A 点．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明家A 和商店C 都在地铁站D 的正西方向，小亮家B 在地铁站的西北方，且在小明家北偏东15︒方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店C 时，小亮家B 恰在商店C 的北偏西30︒方向． 1.41≈， 2.45)≈（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD 方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：75BAC ∠=︒，60BCA ∠=︒，从而利用三角形内角和定理可得45ABC ∠=︒，然后在Rt AEC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和CE 的长，再在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；（2）过点B 作BF AC ⊥，垂足为F ，在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，从而求出BC 的长，然后在Rt BCF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 和CF 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 和BD 的长，从而求出CD 的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E，由题意得：901575BAC ∠=︒-︒=︒，903060BCA ∠=︒-︒=︒，18045ABC BAC BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt AEC ∆中，4AC =千米，1cos 60422CE AC ∴=⋅︒=⨯=（千米），3sin 60432AE AC =⋅︒=⨯=（千米），在Rt ABE ∆中，2326sin 4522AE AB ===︒，∴小明和小亮家的距离为26千米；（2）小明先到达地铁站，理由：过点B 作BF AC ⊥，垂足为F，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AE =千米，tan 45AE BE ∴==︒，2CE =千米，(2BC BE CE ∴=+=+千米，在Rt BCF ∆中，60BCF ∠=︒，sin 60(2(32BF BC ∴=⋅︒=+⨯=+千米，1cos 60(2(12CF BC =⋅︒=+⨯=千米，在Rt BFD ∆中，904545BDF ∠=︒-︒=︒，(3tan 45BF DF ∴==︒千米，sin 45BF BD ==︒千米，3(12CD DF CF ∴=-=++=（千米），小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，∴小明到达地铁站需要的时间210.2584===（小时），小亮到达地铁站需要的时间0.27=（小时），0.25 小时0.27<小时，∴小明先到达地铁站．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型 2.坡度、坡角问题8．（2023•秦都区校级模拟）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37︒减至30︒，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD 的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73)≈【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，8AB =米，37ABC ∠=︒，则sin 80.60 4.8AC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，cos 80.80 6.40BC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，在Rt ADC ∆中，30ADC ∠=︒，则 4.88.30tan tan 3033AC CD ADC ===≈∠︒（米)，8.30 6.40 1.9BD CD BC ∴=-=-≈（米)，答：BD 的长约为1.9米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型3.方案决策问题9．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1AB m =，0.6BC m =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7AO m =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈3 1.732)≈【分析】（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E '⊥'于点F ，根据题意求出60C B F ∠''=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【解答】解：（1）如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt △AB E '中，1AB AB m '==，27B AD ∠'=︒，sin B E B AE AB '∠'='，sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E '⊥'于点F ，在Rt △AB E '中，27B AD ∠'=︒，则902763AB E ∠'=︒-︒=︒，123AB C ABC ∠'=∠=︒ ，60C B F ∴∠''=︒，0.6B C BC m ''== ，1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=，∴点C '到地面l 的距离为：2.150.3 1.85()m -=，1.85 1.8> ，∴没有碰头的危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．题型4.一题多解——求建筑物的高10．（2023秋•长春期末）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E 、C 、A 在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 270.5︒=，3 1.7=】．【分析】根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC ∆中，利用含30度角的直角三角形的性质得333CE DE m ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设AB h =m ，根据题意得：(33)DF EA h m ==，3DE FA m ==，则(3)BF h m =-，然后在Rt BDF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC ∆中，30DCE ∠=︒，90DEC ∠=︒，3DE m =，∴333CE DE m ==，BA EA ⊥ ，在Rt ABC ∆中，45BCA ∠=︒，AB h =m ，tan 45AB AC h m ∴==︒，∴)AE EC AC h m =+=，过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意得：3DE FA m ==，)DF EA h m ==，AB h = m ，(3)BF AB AF h m ∴=-=-，在Rt BDF ∆中，27BDF ∠=︒，tan 270.5(33)BF DF h m ∴=⋅︒=+，∴3)h h -=，∴611.1h =+=，11.1AB m ∴=，∴塔AB 的高度约为11.1m ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．11．（2023秋•闵行区月考）如图，AB ，CD 表示两栋建筑，小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度，首先他在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知1tan 3α=，1sin 3β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．试求建筑AB 的高度．【分析】延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (210)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，根据1sin 3β=求得2tan 4β=，于是得到210)4BM x =+，列方程解得30235x =+，于是得到1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m =⨯+++=+．【解答】解：延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (220)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，1sin 3β=，22cos 3β∴=，2tan 4β∴=，210)BM x ∴=+，∴12(220)10)34x x +=+，解得：30235x =，1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m ∴=⨯+++=+．答：建筑AB 的高度为(20231.5)m ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误12．（2023秋•诸城市期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度．小亮站立在距离楼底部94米的D 点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 的俯角为30︒，小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45︒（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．求楼AB 的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，3 1.7)≈【分析】过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，根据题意可得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，从而可得58.3EG =米，然后在Rt EGC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出CG 的长，从而求出IE 的长，再在Rt AIE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AI 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，由题意得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，60 1.758.3EG EF FG ∴=-=-=（米)，在Rt EGC ∆中，45ECG ∠=︒，58.3tan 45EG CG ∴==︒（米)，58.3CG DF ∴==米，9458.335.7IE BF BD DF ∴==-=-=（米)，在Rt AIE ∆中，30AEI ∠=︒，tan 3035.7AI IE ∴=⋅︒=⨯（米)，6039.77AB IB IA ∴=-=-≈（米)，∴楼AB 的高度约为39.77米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题1．（2023•淄博）如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625【分析】延长AD 交BF 于点H ，根据余弦的定义求出CH ，进而求出BH ，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，延长AD 交BF 于点H ，在Rt CDH ∆中，8.48CD =米，32DCH ∠=︒，cos CD DCH CH ∠=，8.4810cos 0.848CD CH DCH ∴=≈=∠（米)，10212BH CH BC ∴=+=+=（米)，90CDH ∠=︒ ，32DCH ∠=︒，903258DHC ∴∠=︒-︒=︒，AB BF ⊥ ，905832BAH ∴∠=︒-︒=︒，在Rt ABH ∆中，tan BH BAH AB ∠=，1219.2tan 0.625BH AB BAH ∴=≈=∠（米)，故答案为：19.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，45ACB ∠=︒，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒，则CD 的长度约为()（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．1.59米B ．2.07米C ．3.55米D ．3.66米【分析】由90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，得45ABC ACB ∠=∠=︒，则5AC AB ==米，由90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，得60ABD ∠=︒，则tan 603AD AB =︒=，所以3AD AB =，则3 3.66CD AD AC AB AC =-=-≈米，于是得到问题的答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，5AC AB ∴==米，在Rt ABD ∆中，90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，60ABD ∴∠=︒，∴tan tan 603AD ABD AB=∠=︒=，3AD AB ∴=，3 1.73255 3.66CD AD AC AB AC ∴=-=-≈⨯-≈（米)，CD ∴的长度约为3.66米，故选：D ．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出3AD AB =是解题的关键．3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能(1.025cos )J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能()（参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈A ．58J B ．159J C ．1025J D ．1732J【分析】根据题意可得：他耗能1000(1.025cos30)=⨯-︒，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能1000(1.025cos30)1000(1.025159()J =⨯-︒=⨯-≈，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ，D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30/m min ，登山缆车的速度为60/m min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1)min ．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33)︒≈【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出DE 即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD 的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过点B 作BM AF ⊥于点M ，由题意可知，30A ∠=︒，53DBE ∠=︒，600DF m =，300AB m =，在Rt ABM ∆中，30A ∠=︒，300AB m =，11502BM AB m EF ∴===，600150450()DE DF EF m ∴=-=-=，答：登山缆车上升的高度DE 为450m ；（2）在Rt BDE ∆中，53DBE ∠=︒，450DE m =，sin DE BD DBE∴=∠4500.80≈562.5()m =，∴需要的时间t t t =+步行缆车300562.53060=+19.4()min ≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4分钟．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．5．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268)︒≈【分析】过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：CD BE =，然后分别在Rt ABE ∆和Rt BDP ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 和DP 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，由题意得：CD BE =，在Rt ABE ∆中，15A ∠=︒，400AB =米，sin154000.259103.6BE AB ∴=⋅︒≈⨯=（米)，103.6CD BE ∴==米，在Rt BDP ∆中，30PBD ∠=︒，200BP =米，11002DP BP ∴==（米)，204PC PD DC ∴=+≈（米)，∴垂直高度PC 约为204米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题A ．10tan 40⋅︒米B 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，A ．170m【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点四边形ABED 是矩形，得到可求出答案．【详解】解：如图所示，过点由题意得AB CD AD ∥，∴AB AD ⊥，又∵BE CD ⊥，∴四边形ABED 是矩形，∴10m DE AB AD ==，在Rt EBC 中，tan α=∴105m CE =，∴115m CD DE CE =+=故选D ．4．（2023上·四川资阳则AC的长是（）A．53米B【答案】A【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】∵堤高5BC=米，迎水坡∴:5:1:==BC AC AC解得53AC=（米），故选A．5．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图∠脚AB的长为2米，BA．2tan70︒米B．2sin【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出。

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练含答案

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练1.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)2.如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A,B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A,B,D在同一条水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）.3.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，√2＝1.414）4.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)5.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）6.茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米.求塔的高度CD .（结果精确到1米，参考数据：sin200≈0.34,cos200≈0.94,tan200≈0.36）7.如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）8. 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√2≈1.414).9.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.≈0.94，cos70.≈0.34，tan70.≈2.75，√2≈1.4110.如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果保留整数)11.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1cm,参考数据: √3≈1.732)12.北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图，图2是从图1中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED 与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，√3≈ 1.7）13.为了解决楼房之间的采光问题，有关部门规定两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方20m处建一幢新楼.已知新昌冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为36∘，问新楼房最高可建多少米？(结果精确到0.1m，tan36∘≈0.727)．14.随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长. （结果精确到0.1cm，参考值√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449）.15.为了增强体质，小明计划晚间骑自行车训练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．(参考数据：sin10°≈17100，tan10°≈950，sin14°≈625，tan14°≈14)．16.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）17.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN 上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN.测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）18.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，√3≈1.73）19.如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）20.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）答案1. 解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：则四边形DHCE 是矩形，DH=EC ，DE=HC=5，设建筑物BC 的高度为xm ，则BH=（x ﹣5）m ，在Rt △DHB 中，∠BDH=30°， ∴DH= √3 （x ﹣5），AC=EC ﹣EA= √3 （x ﹣5）﹣30，在Rt △ACB 中，∠BAC=50°，tan ∠BAC= BCAC ， ∴ √3(x−5)−30 = √3 解得：x= 15+30√32，答：建筑物BC 的高为 15+30√32m ．2. 解：如图，∵CE//DB ，∴∠CAD =∠ACE =45∘, ∠CBD =∠BCE =30∘ 在 RtΔACD 中， ∵∠CAD =45∘,∴AD =CD =1200 米，在 RtΔDCB 中， ∵tan ∠CBD =CDBD , ∴BD =CDtan ∠CBD =√33=1200√3 （米）∴AB =BD −AD =1200√3−1200 =1200(√3−1) 米故这条江的宽度 AB 长为 1200(√3−1) 米. 3. 解：由题意得：∠ACB ＝∠BFD ＝90°，EF ＝BC ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos α＝ BCAB ， ∴BC ＝AB •cos75°＝80×0.259＝207.2. ∴EF ＝BC ＝207.2，在Rt △BDF 中，∠BFD ＝90°，sin β＝ DF BD ， ∴DF ＝BD •sin45°＝800× √22 ＝400×1.414＝565.6.∴DE ＝DF+EF ＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）. ∴山高DE 约为773米.4. 解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x，则PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan ∠PQM＝PMQM＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan ∠DQN＝DNQN，∴x+8.8x+20≈0.84，解得x≈50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．5. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin A=BCAB .∴BC=AB×sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04 . BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米6. 解：由题意可知CE⊥AE，又∵∠CBE= 45°，∴CE=BE，设塔高CD高为x，∴CE=BE=x+37.69，又∵AB=20，∴AE=57.69+x，在直角三角形AED中tan∠A=DEAE，即37.69x+57.69=0.36，解得x=47米，答：塔高为47米.7. 解：作BF⊥AE于点F.则BF＝DE.在直角△ABF中，sin∠BAF＝BFAB ，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×12＝5（m）.在直角△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）. 则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）.答：大楼CE的高度是26m.8. 解：如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，tan67°= AHHE，∴125=x+28.540−x，解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m.9. 解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N.由题意可知：MN=0.3，当CN=0.9时，CM=0.6.≈0.94，BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638- 0.4=0.238 ≈RtΔBCM中，∠ABE=70°，sin∠ABE=sin70°= CMCB0.24（m）=24（cm）.答：CE的长为24cm.10.解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F.在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝20 √3 m设MN＝x m，则AN＝xm.FC＝√3 xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋20 √3∵∠MCF＝30°∴FC＝√3 MF，即x＋20 √3＝√3 ( x－20)解得：x＝√3√3−1＝60＋20 √3≈95m答：电视塔MN的高度约为95m.11. 解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.=15在Rt ΔBCF中，∠CBF=30°,∴CF=BC⋅sin30°,=30×12=20√3在Rt ΔABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB⋅sin60°,=40×√32∴CE=CF+FD+DE=15+20√3+2=17+20√3≈51.64≈51.6cm 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少51.6cm.12. 解：设CD=x，∵∠EDC=60°，∴CE= √3 x，∴AC=AE+CE=90+ √3 x，BC=CD+BD=300+x，∵tan26°= AC，BC，∴0.5= 90+√3x300+x解得：x≈48.70，∴AH=BG+AC=1.8+90+ √3×48.70≈176.1513. 解：如图，过点B作BC⊥AD与点C，在Rt△ABC中，∠ABC=36∘，DE=BC=20m，则AC=tan36∘⋅BC≈0.727×20=14.54(m)，而EB=DC=1m，∴AD=AC+CD=14.54+1≈15.5(m)，答：新楼房最高可建15.5米．14. 解：由题意可得：OE＝OD，在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，OE，∴OC＝12在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，∴OB＝√220D=√22OE，∵BC＝OB﹣OC，即√220E−120E=30，解得：OE＝60 (√2+1)，∴EC＝√3×30(√2+1)=30√6+30√3≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm.15. 解：设NC=x，则BN=CN+CB=x+149在Rt△ANB中，∠ABN=10°，∴AN=BN·tan∠ABN=BN·tan10°=950(x+149)在Rt△ANC中，∠ACN=14°，∴AN=CN·tan∠ACN=CN·tan14°=14x∴950(x+149)=14x解之：x=4∴AN=14××4=1答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m。

解答题三角函数应用(针对河南中考18题)

像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，
他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4 m，在A
处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结
果精确到0.1 m.参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77）.
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，

＝
.
tan34° tan34°
∴EH＝
∵EF＝15，∴EH－FH＝15，

－x＝15.
tan34°
即
解得x≈30.5.
∴DC≈30.5＋1.5＝32.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
方法总结
解锐角三角函数实际应用题的一般步骤
1.正确画出平面图或截面示意图，并通过图形找出已知量和未知量.
端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同
一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1 m.参考数据：sin 34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan 34°≈0.67）.
解：延长EF交DC于点H，由题意知，EH⊥DC.
设DH＝x m，在Rt△DHF中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x.
∴BC＝
≈25，
sin53°
∴x＝
∴B船到达C船处约需时间：25÷25＝1（小时）.
在Rt△ADC中，AC＝ 2x≈1.41×20＝28.2，
∴A船到达C船处约需时间：28.2÷30＝0.94（小时），
而0.94＜1，所以C船至少要等待0.9ห้องสมุดไป่ตู้小时才能得到救援.

2022年人教版中考数学考点必刷题《三角函数类应用题》

2022中考考点必杀500题专练12（三角函数类应用题）（30道）1．（2021·江西九年级其他模拟）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，四边形BEFC 是底座．已知//BC EF ，30∠=∠=︒BEF CFE ，且BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知52cm =CD ，8cm BC =，20cm EF =，12cm DH =，16cm =GH ．（1）求BE 的长；（精确到0.1cm 1.73≈）（2）当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面EF 的距离．（精确到0.1cm ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）2．（2021·江西赣州市·九年级一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B ，E ，D 均为可转动点．现测得14cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点B ，E 所在直线垂直径过CD 的中点F 时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm ，为防止台灯刺眼，点A 离桌面的距离应不超过30cm ，求台灯平稳放置时ABE ∠的最大值．（结果精确到0.01︒ 1.732≈，sin16.070.2768︒≈，cos73.930.2768︒≈，tan15.470.2768︒≈）3．（2021·江西九年级一模）如图1是一款升降电脑桌，它的升降范围是0~40cm ，图2是它的示意图，已知//EF MN ，点A 、B 在MN 上滑动，点D 、C 在EF 上滑动，AC 、BD 相交于点O ，30cm OA OB OC OD ====．（结果精确到0.1）（1）已知电脑桌从O 开始升到如图2.当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌升高了多少cm ？（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离．1.73≈，sin 42.10.67︒≈，sin 47.90.74︒≈，cos47.90.67︒≈）4．（2021·江西九年级二模）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD 是矩形，点E 在AB 上，,EF AB OP ⊥可绕着点O 旋转，且1cm,5cm,28cm,150AD EF OP OF OFE ====∠=︒．（结果保留根号）（1）当OP 与桌面平行时，求点P 到桌面的距离．（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP ，使得90O ∠=︒，求此时点P 到桌面的距离．5．（2021·江西九年级一模）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm ，图2是它的示意图．已知EF ∥MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30cm ．（1）如图2，当∥OAB ＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∥OAB 的大小及点A 滑动的距离．（结果精确到0.1≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）6．（2021·江西九年级其他模拟）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜7°（∥BAB ′＝7°）后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图），测得∥ADC ＝37°，AD ＝5米．（1）填空：∥ACD 的度数为．（2）求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.73）7．（2021·江西赣州市·九年级一模）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，,AB AC 为等长的支架，BC 为水平地面，已知4412040OA cm OD cm BD cm ===，，，75ABC ∠=︒．(结果精确到1cm ．参考数据：750.97750.2675 3.73 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈≈，，)（1）求支架顶点A 到地面BC 的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15,︒求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．8．（2021·江西吉安市·九年级一模）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B ，C ，D 始终在一直线上，延长DE 交MN 于点F .已知20AC DE cm ==，10AE CD cm ==，40BD cm =.（1）窗扇完全打开，张角85CAB ∠=，求此时窗扇与窗框的夹角DFB ∠的度数. （2）窗扇部分打开，张角60CAB ∠=，求此时点A ，B 之间的距离（精确到0.1cm ）.1.732≈2.449≈）9．（2021·江西上饶市·九年级期末）如图1是一辆在平地上滑行的滑板车，如图2是其示意图．车杆BC 固定，车杆AB 可伸缩，车杆BC 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70BCD ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ．（1）求固定车杆BC 的上端B 离地面的高度（结果保留小数点后一位）（2）小明站在滑板车上，双手放在把手A 处最舒适，此时把手A 离地面的高度为120cm ，求伸缩杆AB 的长度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈）10．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A ，B ，D ，E 四点共线，A ，J ，H ，G 四点共线，C ，B ，J ，I 四点共线，C ，D ，F ，G 四点共线，E ，F ，H ，I 四点共线，且//CI MN ，36∠=∠=∠=∠=∠=︒A C DEF FGH I ，且五个角的两边（如=AB AJ ）都是1m 长，36∠=∠=︒FEG FGE ．（1）求BJ 的长；（2）求标志的高度，即点A 到地面MN 的距离．（参考数据：sin360.59,cos360.81,sin180.31,cos180.95︒≈︒≈︒≈︒≈，结果保留两位小数．）11．（2021·江西九年级专题练习）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．30CE cm =，20DE cm =，25AD cm =，DE AC ⊥于点E ，座杆CF 的长为15cm ，点,,,A E C F 在同一直线上，且75CAB ∠=︒，公共自行车车轮的半径约为30cm ，且AB 与地面平行．（1）求车架中AE 的长；（2）求车座点F 到地面的距离．（结果精确到1cm ．参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈）．12．（2021·江西抚州市·九年级期末）为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线--“共享单车”. 图（1）所示的是一辆共享单车的实物图. 图（2）是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC 长为40cm ，座杆CE 的长为18cm. 点A 、C 、E 在同一条直线上，且∥CAB =60°，∥ACB =75°（1）求车座点E 到车架档AB 的距离；（2）求车架档AB 的长．13．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂AB 长为28,cm 灯翠BC 长为15cm ,底座AD 厚度为3,cm 根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60，(1)当BC 转动到与桌面平行时,求点C 到桌面的距离；(2)在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度(参考数据250.4, 250.9, 250. 5sin cos tan ≈≈≈，结果精确到个位).14．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD 为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F 为AD 的中点，EF ∥CD ．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D 靠在墙上，O 为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度30AD cm =，宽度50AB cm =．（1）图②中，EC =_________cm ，当点D 与点O 重合时，AO 的长为_________cm ；（2）若53CDO ∠=︒，求AO 的长（结果取整数值，参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）15．（2020·江西新余市·九年级一模）如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB ．点B 可在AD 上滑动，AC ＝25cm ．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）（1）在图2中，当BC ∥AC 时，测得∥BAC ＝45°，求支撑臂CB 的长；（2）在图3中，当BC 与AC 不垂直时，测得∥BAC ＝22°，求此时AB 的长；（3）从图2到图3过程中，求点C 在此运动过程中的路径长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）16．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂12AB cm =，中臂8BC cm =，底座4.CD cm =（1）若上臂AB 与水平面平行，60ABC ︒∠=．计算点A 到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135︒夹角，上臂与中臂夹角为105︒，如图2，计算这时点A 到地面的距离．与图1状态相比，这时点A 向前伸长了多少?17．（2020·江西）如图1，是一种卡通创意台灯的实物图，忽略其部件的厚度，将它简化为平面图2，测得灯架10OB cm =，20OE cm =，灯管20OA cm =，支撑架CD 垂直于灯架OE 于点F ，OA 平行于桌面DE ，130AOB ∠=︒，120AOE ∠=︒．（1）若12OF cm =，求D ，E 两点之间的距离；（2）求台灯的高（点B 到桌面DE 的距离）．（参考数据：sin500.76︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈ 1.73≈，结果精确到1cm ）图1 图218．（2020·江西宜春市·九年级二模）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH 是拖把把手，F 是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA ，PB 上，骨架的端点P 只能在线段FH 上移动，当海绵完全张开时，PA ，PB 分别与HMHN 重合；当海绵闭合时，PA ，PB 与FH 重合．已知直杆EH=120cm ，FH=20cm ．(1)若∥APB=90°，求EP 的长(结果保留根号)(2)若∥APB=26°，求MA 的长(结果保留小数点后一位)(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA 的中点Q 运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)19．（2020·江西萍乡市·九年级二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形.若显示屏AO 与键盘BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，且PD∥AO （此时点P 为最佳视角），点C 在OB 的延长线上，PC∥BC ，BC ＝12cm.（1）当PA ＝45cm 时，求PC 的长；（2）当∥AOC ＝115°时，线段PC 的长比（1）中线段PC 的长是增大还是减小？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）.20．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知,DE DC 在初始位置，60DE DC cm ==, 点B C G 、、在同一直线上，4695AB BG A DCG ︒︒⊥∠=∠=，，．（1）当,DE DC 在初始位置时，求点D 到AC 的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点,E D 分别从初始位置运动到点','E D ，假设''E D C 、、三点共线，求此时点E 上升的竖直高度． ( 结果精确到个位) (参考数据:410.66,sin ︒≈410.75,410.87,cos tan ︒︒≈≈440.72,440.69440.97cos sin tan ︒︒︒≈≈≈，)21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动.C 点固定，5cm OC CD DE ===，点D ，E 可在槽中滑动，（1）求证：3BDE BOE ∠=∠.（2）若8cm OD =，①求BDE ∠的度数；②求点D 到OA 的距离.（参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75︒≈，sin660.92︒≈，cos660.40︒≈，tan66 2.24︒≈）22．（2020·江西九年级二模）图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机ABCD （为矩形）与其下方套管EF 连接于点E ，E 为BC 的中点，26cm EF =，支架脚13cm FG FH ==，BC 与地面GH 平行，EF BC ⊥．（1）当120GFH ∠=︒时，求点E 到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使40FGH ∠=︒，若16cm BC =，求点G 到直线AB 与GF 交点的距离．（参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 40 1.73︒≈︒≈︒≈≈，结果精确到0.1cm ）23．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图()1是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图()2所示，已知每个菱形的边长均为20cm ，且AB CD CP DM 20cm ====．()1当点P 向下滑至点N 处时，测得DCE 60∠=时①求滑槽MN 的长度；②此时点A 到直线DP 的距离是多少？()2当点P 向上滑至点M 处时，点A 在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？(结果精确到001cm ． 1.414 1.732)≈≈24．（2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模）图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE 分别固定在平板电脑AD 背面中点B 处，桌面E 处，EB 可以绕点E 转动，当点D 在线段EF 上滑动时，可调节平板电脑AD 的倾斜角ADC ∠，经测量，24cm CE =，9cm CF =，支架110.5cm 2BE AD ==．（1）连接AE ，求证：AE CE ⊥；（2）当120ADC =∠︒时，求A ，E 两点间的距离；（3）当点D 滑到距离F 点1cm 处时，视觉效果最好，求此时倾斜角ADC ∠的度数．1.73≈，sin 48.190.75︒≈，cos48.190.67︒≈，tan 48.19 1.12︒≈，结果保留一位小数）25．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）把长为2、宽为1的矩形如图依次摆放，恰使一个矩形的宽在另一个矩形的长的对称轴上，点A 是格点（矩形的顶点为格点）．请在网格中完成下列画图（要求：①仅用无刻度的直尺：②保留必要的画图痕迹）．（1）在图1中，画出Rt ABC ∆，使90A ∠=︒，点B 、C 在格点上；（2）在图2中，画出BAC ∠使1tan 2BAC ∠=，点B 、C 在格点上．26．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图．点A ，B 是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD 与两个活动环AD ，BC 相连，现测得 2.6cm AD BC ==，17cm AB =，如图2，当A ，D ，C 三点共线时，恰好AC BC ⊥．（1）请求把手CD 的长；（2）如图3，当//CD AB 时，求ADC ∠的度数．（参考数据：sin57.50.843︒=，cos57.50.538︒=，tan57.5 1.570︒=）27．（2020·江西）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC 是一段圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30cm ，CD 为水平地面，∥ADC ＝75°，∥DAB ＝60°，BD ∥CD ．（1）求BD 的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）；（2）如图③，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 的延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长（结果保留根号）．28．（2020·江西）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA∥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．（1）求∥BAB'的度数；（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，精确到0.1）．29．（2020·江西赣州市·九年级月考）如图1所示的是一种折叠门，已知门框的宽度AD=2米，两扇门的大小相同(即AB=CD)，且AB+CD=AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2）．（1）求点C到AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3），问α为多少时，点B，C之间的距离最短？（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）30．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD 的长16cm AB =，宽12cm AD =，圆弧盖板侧面DC 所在圆的圆心O 是矩形ABCD 的中心，绕点D 旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．（1）求DC 所在O 的半径长及DC 所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC 从起始位置DC 绕点D 旋转90︒时，求DC 在这个旋转过程中扫过的的面积．参考数据：tan36.870.75︒≈，tan53.06 1.33︒≈，π取3.14．。

中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题

3 3精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。

（参考数据：＝1.41421…，＝1.73205…）分析：此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ，再利用 CE ＝BD ＝80 米，解 Rt △AEC 求出 AE ，最后求出 CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在 Rt △ABD 中，BD ＝80 米，∠BAD ＝600 A∴AB ＝ BD tan 6080 138.56 （米）450C在 Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80 米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝ 80 80 58.56 （米）EBD F例 1 图答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。

【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO ＝450 米，且 A 、B 、 O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为300 ， 450 ，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据：＝1.41，＝1.73）分析：要求 AB ，只须求出 OA 即可。

可通过解 Rt △POA 达到目的。

解：在 Rt △PAO 中，∠PAO ＝300∴OA ＝ PO cot PAO450 cot 300450 （米）在 Rt △PBO 中，∠PBO ＝ ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝ 450 450450 P329 （米）答：这座大桥的长度约为 329 米。

OBA例 2 图评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例 3】一艘渔船正以 30 海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB ）的距离，再与 10 海里进行比较得出结论。

中考数学专题训练第11讲勾股定理与锐角三角函数1(解析版)

勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1.有一张矩形纸条ABCD .边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >.E 为CD 上一点.1CE =．（1）连接AE .BE .试说明90AEB =︒∠．（2）如图2.M 为边AB 上一个动点.将四边形BCEM 沿ME 折叠.使点B .C 分别落在点B ′.C '上.边MB '与边CD 交于点N ．①如图3.当点M 与点A 重合时.求N 到ME 的距离．②在点M 从点A 运动到点B 的过程中.求点N 相应运动的路径长（路程）．【答案】（1）见解析.（2）①52.②352-【详解】解：（1）证明：如图1.解方程27100x x -+=得5x =或2x =.5AB ∴=.2BC =.四边形ABCD 是矩形.90C D ∴∠=∠=︒.2AD BC ==.5CD AB ==.514DE CD CE ∴=-=-=.222222420AE AD DE ∴=+=+=.22222215BE BC CE =+=+=.222AE BE AB ∴+=.ABE ∴∆是直角三角形.90AEB =︒∠.（2）解：①四边形ABCD 是矩形.//AB CD ∴.NEM BAE ∴∠=∠.由折叠的性质得：BAE B AE '∠=∠.NEA B AE '∴∠=∠.AN EN ∴=.设AN EN x ==.则4DN DE EN x =-=-.在Rt ADN ∆中.由勾股定理得：222AD DN AN +=. 即2222(4)x x +-=. 解得：52x =. 52EN ∴=. 在Rt ADE ∆中.由勾股定理得：22222425AE AD DE =+=+=. 设N 到ME 的距离为h . 则1122ANE S AE h EN AD ∆=⋅=⨯.5252225EN AD h AE ⨯⨯∴===. 即N 到ME 的距离为52.②当M 与点A 重合时.如图3所示：此时52EN =. 当MB AB '⊥时.如图4所示.此时2EN AD ==.当B '在CD 上.N 与B '重合.如图5所示：此时2222125EN C E B C ''=+=+=.∴点N 相应运动的路径长为：53(1)(52)522-+-=-．2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图.在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4.AD 是BC 边上的高.点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点.且∠EDF ＝90°．（1）（图1）求DE ：DF 的值.（2）（图2）连结EF .射线DF 与射线BA 相交于点G .当△EFG 是等腰三角形时.求CF 的长度.（3）（图3）连结EF .设点B 与点E 间的距离为x .△DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式.并写出x 的取值范围．【答案】（1）34.（2）165.（3）()2236540332525y x x x =-+≤≤【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4. ∴225BC AB AC =+=. ∵AD 是BC 边上的高.∴11=22ABC S AB AC AD BC ⋅=⋅△.∠ADC =∠ADB =90°.∴125AB AC AD BC ⋅==. ∴22165CD AC AD =-. ∵∠EDF =∠ADC =90°.∴∠EDF -∠ADF =∠ADC -∠ADF 即∠ADE =∠CDF . ∵∠B +∠C =180°-∠BAC =90°.∠B +∠EAD =180°-∠ADB =90°.∴∠EAD =∠C . ∴△EAD ∽△FCD .∴12351645DE AD DF CD ===. （2）如图所示.∵∠EFG =∠FDE +∠FED ＞90°. ∴当△EFG 是等腰三角形的时候.只存在EF =GF 这种情况. ∵EF =GF .F A ⊥EG . ∴A 为EG 的中点.∵在直角三角形EDG 中.A 为EG 的中点.∴11225AE AD AG EG ====.∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD CF CD ==. ∴41635CF AE ==.（3）∵BE x =.AB =3. ∴3AE AB BE x =-=-. ∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD DE CF CD DF ===. ∴()44333CF AE x ==-.34DE DF =. ∴()444333AF AC CF x x =-=--=.在直角三角形AEF 中.222EF AE AF =+.∴()222242536939EF x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭在直角三角形DEF 中.222EF DE DF =+.∴22234EF DF DF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴45DF EF =. ∴35DE EF =.∴()2216236540322532525DEF S DE DF EF x x x =⋅==-+≤≤△．∴()2236540332525y x x x =-+≤≤3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系xoy 中.⊙O 的半径为1.给出如下定义：记线段AB 的中点为M .当点M 不在⊙O 上时.平移线段AB .使点M 落在⊙O 上.得到线段''A B （''A B 分别为点,A B 的对应点）．线段'A A 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）已知点A 的坐标为（－1.0）.点B 在x 轴上．①若点B 与原点O 重合.则线段AB 到⊙O 的“平移距离”为________. ②若线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2.则点B 的坐标为________.（2）若点,A B 都在直线334y x =-+上.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d .求1d 的最小值.（3）若点A 的坐标为（－4.－2）.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d .直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）①12.②(-5.0)或(7.0).（2）75.（3）225225d -≤≤ 【详解】（1）①当B 与原点O 重合时.AB 中点为1(,0)2-.移动最小距离为向左平移12到⊙O 上．故答案为：12．②当“平移距离”为2时.如图：有12,M M 两种情况：①当1M 为3,0时.12AM =.AB =4.B ∴ 为()5,0-．②当2M 为3,0时.24AM =.AB =8.B 为()7,0．故答案为：()5,0- 或()7,0．（2）如图：直线334y x =-+如图l .当l 平移到m 位置时.1d 最小.即平移到直线m 与⊙O 相切时.1d 最小．过点O 作OE l ⊥于E . 则1d OE R =-，设直线OE 为y =kx.OE l ⊥.∴413k ⨯=-.即43k =. ∴43y x =．联立方程组33434y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 解得：3648,2525x y ==. ∴E 为3648(,)2525. ∴125OE =. ∴1127155d =-=．（3）∵2AB =. ∴AM =1.即M 点在以A 为圆心.半径为1的圆上.如图所示：连接OA 交⊙A 于E 、F .可知：当M 在点F 时.2d 最小.在点E 时.2d 最大．当M 在F 时.222(4)(2)11252d OA AF R =--=-+---=-.当M 在E 时.222(4)(2)11251125d OE R OA AE R =-=+-=-+-+-=+-=. ∴225225d -≤≤．4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC 中.AB ＝BC ＝5.AD ⊥BC 于D .AD ＝4．动点P 从点B 出发.沿折线BA →AC 运动（点P 不与B 、C 重合）.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.在边AC 上的运动速度为52个单位长度.过P 作PQ ⊥BC 于点Q .以PQ 为边向右作矩形PQFE .使PQ ＝2PE .点F 在线段BC 上.设点P 运动的时间为t ．（1）点P 在BA 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（2）点P 在AC 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（3）连结DE .当△DEF 与△ADC 相似时.求t 的值．（4）设矩形PQFE 的对角线相交于点O .当点O 在△ACD 边上时.直接写出t 的取值范围．【答案】（1）2t .（2）6﹣t .（3）67或613或2或5.（4）t ＝32或2≤t ＜6 【详解】解：（1）点P 在BA 上时.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.BP =2.5t , ∵四边形PQFE 是矩形. ∴PQ ⊥QF .∵点F 在线段BC 上. ∴PQ ⊥BC . ∵AD ⊥BC . ∴PQ ∥AD . ∴∠BPQ ＝∠BAD . ∵∠B ＝∠B . ∴△BPQ ∽△BAD . ∴BP PQAB AD=. ∵BP ＝2.5t .AB ＝5.AD ＝4. ∴2.554t PQ=. ∴PQ ＝2t . 故答案为：2t .（2）如图2.点P 在AC 5个单位长度.由题意得：AP 5（t ﹣2）.∵AD ⊥BC .AB ＝5.AD ＝4. ∴BD 2222543AB AD -=-. ∴CD ＝BC ﹣BD ＝5﹣3＝2.∴AC 22224225AD CD +=+∴CP ＝AC ﹣AP ＝)555235t -=. ∵PQ ∥AD .∴∠QPC =∠DAC .∠PQC =∠ADC .∴△CPQ∽△CAD.∴PQ CPAD AC=.即5352425tPQ-=.∴PQ＝6﹣t.故答案为：6﹣t.（3）分两种情况：①如图3.当点P在边BA上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝2t.在Rt△BPQ中.BQ＝BP•cos∠B＝BP×32.5 1.55BDt t AB=⨯=.∴DF＝3﹣2.5t.当△EFD∽△ADC时.DF CD EF DA=∴3 2.52 24tt-=.∴t＝6 7 .经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时. DF AD EF CD=.∴3 2.54 22tt-=.∴t＝6 13.经检验符合题意.②如图4.当点P在边AC上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝6﹣t.∴DF＝DC＝2.当△EFD∽△ADC时.则DF DC EF AD=.即22 64t=-.∴t＝2.经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时.DF AD EF CD=.∴24 62t=-.∴t＝5.经检验符合题意.综上所述.t的值为67或613或2或5.（4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时.如图5.∴QD＝12QF＝0.5t.∵BQ＝1.5t.BQ+QD＝BD＝3. ∴1.5t+0.5t＝3.∴t＝3 2 .②当矩形PQFE的对角线交点O在AC上时.∵点F始终与点C重合.点P从点A运动到点C.55254AC==∴点P在AC上运动时间为2≤t＜6.∴当2≤t＜6时.矩形PQFE的对角线交点O在AC上.③由题意知.矩形PQFE的对角线交点O不可能在CD上.综上所述.t的取值范围t＝32或2≤t＜6．5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1.△ACB是等腰直角三角形.AC＝BC＝4.∠ACB＝90°.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．思考探索：（1）在图1中：①CD＝.②△A′BC的面积为.拓展延伸：（2）如图2.若△ACB为任意直角三角形.∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系.并证明．（3）如图3.在△ACB中.AB＝AC＝5.BC＝6.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C．①△A′BC的面积为．②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点.连接A′D、DB.则A′D+DB的最小值是．【答案】（1）①8.②8.（2）CD AC A D '=+.证明见解析.（3）①9.109【详解】解：（1）①∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∵AC =BC =4.90ACB ∠=︒.∴45CAB CBA ∠=∠=︒．∴18045DBA CBA ABA ''∠=︒-∠-∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA '∠=︒．∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴BD =AC =4．∴CD =BC +BD =8．故答案为：8．②∵BDA ACB '△≌△.∴4A D BC '==． ∴182A BC S BC A D ''=⋅=△．故答案为：8．（2）CD AC A D '=+.证明如下：∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∴90CBA DBA '∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒.∴90CAB CBA ∠+∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴A D BC '=.BD =AC ．∴CD BD BC AC A D '=+=+．（3）如下图所示.过点A '作A F CB '⊥交CB 延长线于点F .过点A 作AE CB ⊥交CB 于点E .交线段A C '于点M .再连接DC ．①∵AB =AC =5.BC =6.且AE CB ⊥. ∴132BE CE BC ===.90AEB =︒∠．∴90EAB EBA ∠+∠=︒．∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴5BA AB '==.90ABA '∠=︒．∴90EBA FBA '∠+∠=︒．∴FBA EAB '∠=∠．∵A F CB '⊥.∴90BFA '∠=︒．∴90BFA AEB '∠=∠=︒．∴()BFA AEB AAS '△≌△．∴3A F BE '==． ∴192A BC S BC A F ''=⋅=△．故答案为：9．②∵AE CB ⊥.且BE =CE .∴AE 垂直平分CB ．∴DC =DB ．∴A D DB A D DC ''+=+．∵点D 在AE 上.∴当点D 与点M 重合时.A D DB '+有最小值.此时最小值为A C '．∵5BA '=.3A F '=. ∴224BF BA A F ''=-=．∵BC =6.∴CF =BC +BF =10． ∴22109A C CF A F ''=+=．∴A D DB '+的最小值为109．故答案为：109．6．如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A 与点B 的坐标分别是（1.0）.（7.0）．（1）对于坐标平面内的一点P .给出如下定义：如果∠APB ＝45°.则称点P 为线段AB 的“等角点”．显然.线段AB 的“等角点”有无数个.且A 、B 、P 三点共圆．①设A 、B 、P 三点所在圆的圆心为C .直接写出点C 的坐标和⊙C 的半径.②y 轴正半轴上是否有线段AB 的“等角点”？如果有.求出“等角点”的坐标.如果没有.请说明理由.（2）当点P 在y 轴正半轴上运动时.∠APB 是否有最大值？如果有.说明此时∠APB 最大的理由.并求出点P 的坐标.如果没有请说明理由．【答案】（1）①(4.3)或(4,−3).半径为2.②存在2或(0.2).见解析.（2）有.见解析7【详解】（1）①如图1中.在x 轴的上方.作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB .易知A .B .P 三点在⊙C 上. 圆心C 的坐标为(4,3).半径为32.根据对称性可知点C (4,−3)也满足条件.②y 轴的正半轴上存在线段AB 的“等角点“。