最优化理论与方法习题

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优化设计复习题(原)

word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。

图论与网络最优化算法答案

图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。

2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。

用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。

4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。

研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。

通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。

6影子价格反映资源配置状况的价格。

影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。

即影子价格等于资源投入的边际收益。

只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。

产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。

8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。

也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。

9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。

10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。

最优化方法练习题(答案)

练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。

练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

最优化方法之对偶理论讲解

问题： 0成立的条件.
LP 对偶问题的表达
（1）对称LP问题的定义
(P)
min s.t.
cT x Ax b x0
（2）对称LP问题的对偶问题
max
(D)
bT w AT w c w0
s.t.
例：写出下列LP问题的对偶问题
min 8 x1 16 x2 12 x3 2 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x3 3 x1 , x2 , x3 0
线性规划的对偶问题为：
max wT b1 vT b2 s.t. wT A1 vT A2 c w0
求下列非线性规划问题的对偶问题:
2 min x12 x2 s.t. x1 x2 4 0 x1 , x2 0
解：把变量的非负限制作为集约束，即 x1 x D x1 0, x2 0 , x2
( w, v) inf f ( x) wT g ( x) vT h( x) | x D f ( x) wT g ( x) vT h( x) f ( x).

推论1: 对于原问题和对偶问题，必有 inf f ( x) | g ( x) 0, h( x) 0, x D sup (w, v) | w 0. 1,, m h j ( x) 0, j 1,, l xD
集约束
(1)
定义(1)的对偶问题:
max ( w, v) s.t. w 0
(2)
max ( w, v) s.t. w 0
m l 其中 ( w, v) inf f ( x) wi gi ( x) v j h j ( x) x D i 1 j 1

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

最优化设计课后习题答案

最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。

最优化计算方法(工程优化)第1章

最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。

现代教育技术习题及答案

《现代教育技术》课程习题一、判断题1.1 现代教育技术是应用现代教育理论和现代信息技术，通过对教与学过程和教与学资源的设计、开发、利用、评价和管理，以实现教学优化的理论和实践。

（）1.2 运用现代媒体来上课就是现代教育技术。

( )1.3 现代教育媒体具有形声性、再现性、高效性和先进性等特点。

（）1.4 现代教育技术设备将日益自动化、微观化、多样化、数字化。

( )1.5 教育最优化的标准主要有两个：一是最大效果，二是最少时间。

( )1.6 现代教育理论是现代教育技术的理论基础，主要包括学习理论、视听教育理论、传播理论和系统方法论。

（）1.7 教育技术的发展历史中，对其影响最大的、并称为“主线”的三种教育实践分别是视听教育、程序教学和在教育中引入系统方法。

（）1.8 调节幻灯机、投影器焦距的作用是调节幻灯片/投影片投影在银幕上影像的清晰度。

( )1.9 改变光学投影器反光镜的仰角主要作用是用以调整投影影像的大小。

( )1.10 投影片放置在投影机置物台面时时应上下左右倒置。

（）1.11 视频展示台是将电信号转换为光信号的设备。

（）1.12 视频展示台是一种可将文字、图片、透明胶片等光学图像转换为视频信号输出的设备。

（）1.13 视频展示台是一种可直接将文字、图片、透明胶片等光学图像放大投影至银幕的光学放大设备。

（）1.14 调节视频展示台的光圈大小的主要作用是调整投影至银幕上的影像大小。

( )1.15 视频展示台的聚焦按钮的主要作用是调整投影至银幕上的影像大小。

( )1.16 视频展示台的终端设备可以是投影机或电视机。

（）1.17 为了增强扩声效果，通常应将话筒正对扬声器放置。

( )1.18 数字录音笔是用闪存作为存储媒介。

（）1.19 M D机和MP3机所采用的压缩方法是一样的。

( )1.20 在扩声系统中扩声的大小主要取决于扬声器的功率大小。

( )1.21 电视接收机的输入端的特性阻抗为75Ω，为了减少线路损耗，连接电视接收机的馈线阻抗应小于75Ω。

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x ∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(50250.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

北航最优化理论与算法课程

8.1 考虑等式二次规划问题 T 3 −1 0 1 1 T q (x) = 2 x −1 2 −1 x + 1 x 0 −1 1 1 x1 + 2x2 + x3 = 4. 1 T y U y + vT y, 2
minimize subject to
消去变量x1 后，得到目标函数
内容(预习章节) 课程简介、 LP基本概念(§1.1-1.3,§2.1.1-2.1.2) LP 基本定理和既约费用系数(§2.1.3-2.1.4, §2.2.1) 单纯形法(§2.2.2-§2.2.4) 国庆节放假国庆节放假单纯形法的启动及效率、修正单纯形法(§2.2.5-§2.2.6) LP 的对偶(§2.3) 网络流问题及网络单纯形法(§3.1) 网络流问题的应用(§3.2) 线性整数规划(§3.4-§3.4) 数学基础、最优性条件、凸函数(§1.4, §4.1-§4.2) 无约束优化算法综述、线搜索算法(§4.3-§4.4) 无约束优化：最速下降法、牛顿法(§5.1) 无约束优化：共轭梯度法(§5.2) 无约束优化：拟牛顿法(§5.3) 无约束优化：最小二乘(§5.4) & 信赖域法(§6.1-§6.2) 期中考试2017,11.30(周四上午10:00-12:00) 约束优化：一阶条件(§7.1-§7.2)、凸规划(§7.5) 约束优化：一阶条件续(§7.3) 约束优化：二阶条件(§7.4) 约束优化：Lagrange对偶(§7.6-§7.7) 约束优化：二次规划(§8.1-§8.3) 约束优化：罚函数法(§9.1-§9.2) 约束优化：罚函数法(§9.3) 约束优化：逐步二次规划法(§9.4) 期末考试(暂定) 2018,1.11(周四上午10:00-12:00)

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。

2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。

马昌凤课后习题答案(第1章到第10章)

于是
( f g)(x (1 ) y) f (x (1 ) y) g(x (1 ) y) f (x) (1 ) f ( y) g(x) (1 )g( y) ( f (x) g(x)) (1 )( f ( y) g( y)) ( f g)(x) (1 )( f g)( y).
f (x) f (x)T (x x) 1 (x x)T A(x x) 2
f (x) f (x)T (x x).
于是根据凸函数的一阶充要条件得， f (x) 1 xTAx bT x 是严格凸函数。 2
4. 设 f (x) 是定义在 Rn 上的函数，如果对每一点 x Rn 及正数 t 均有 f (tx) tf (x) ，则称 f (x) 为正齐次函数。证明 Rn 上的正齐次函数 f (x) 为凸函数的充要条件是，对任何
x(1) , x(2) Rn ，有
f (x(1) x(2) ) f (x(1) ) f (x(2) ).
证：先证必要性。设正齐次函数 f (x) 为凸函数，则对任意两点 x(1) , x(2) Rn ，必有
f 1 x(1) 1 x(2) 1 f (x(1) ) 1 f (x(2) ).
x (1)
x (1) 1
x (1) 2
,
x
(
2)
x(2) 1
x(2) 2
及每个数
[0,1]
，有
x (1)
（1 )x(2)
xx12((11))
(1 (1
) )
x(2) 1
x(2) 2
.
由题设，有
x1(1)
（1 )x1(2)
|
x(1) 2
|
(1 ) |
x(2) 2
||
x2(1)

北航最优化教材

例1. 食谱问题
◎ 问题：确定食品数量，满足营养需求，花费最小？
n种食品，m种营养成份；－第 j 种食品的单价－每单位第 j 种食品所含第 i 种营养的数量－为了健康，每天必须食用第i 种营养的数量
◎ 变量：－食用第 j 种食品的数量 ◎ 模型：
4
例2. 目标函数中含绝对值的问题
假设：事实：转化为：
基本可行解
定义称
的非负基本解是标准形的基
本可行解(basic feasible solution)；
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！问题：基本可行解与基的对应关系？(见习题2.5)
例. 基本可行解及几何意义
基本可行解的个数不超过
线性规划的基本定理(*****)
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n 矩阵，则以下结论成立：
将 Ax=b 的任一解 x 用非基变量表示为
确定进基变量
◎最优性定理
◎定理:BFS的提高给定目标值为z0的非退化基本可行解，且假定存
在 j 使得 rj < 0，则 i) 如果用 aj 替换基中某列得到了新的BFS，则新解
处的目标值比 z0 严格小. ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
基本解
基变量
一般地：
只要有m个单位列
非基变量即可，次序可以打乱！
8
规范形的转换问题
◎ 替换问题
假设在上述规范形中，想用
⊙ 什么时候可以替换？ ⊙ 替换后新规范形是什么？
转轴(pivot)
◎ 当且仅当
，可以替换
◎ 替换后，新规范形的系数
转轴公式
－转轴元(pivot element)

最优化习题

（3）（2）
min 2 x1 + 2 x 2 ⎧ x1 − x 2 ≥ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 0 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 min x1 + x 2 ⎧− 2 x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ （4） ⎪− x1 + 2 x 2 ≥ 2 s.t.⎨ ⎪ x1 + x 2 ≥ 2 ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0 min x1 + βx 2 ⎧− x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 4 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
9．用两阶段法解下列问题：
max 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 + 7 x 4
（1）
min 4 x1 + x 2 + x3
（2）
⎧2 x1 + 3x 2 − x3 − 4 x 4 = 8 ⎪ s.t.⎨ x1 − 2 x 2 + 6 x3 − 7 x 4 = −3 ⎪x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 min − 3x1 + x 2 + x3
最优化理论与算法复习题
1．求以下函数的梯度和 Hesse 矩阵：（1） f ( x) = 3 cos( x1 + x 2 ) + 4 x1 x 2 （2） f ( x ) = x1 + x1 x 2 + (1 + x 2 ) 2 2．已知 f ( x ) = 3．设 f ( x ) =
4
α
4
⎧2 x1 + x 2 + 2 x3 = 4 ⎪ s.t.⎨3 x1 + 3 x 2 + x3 = 3 ⎪x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 min 2 x1 + 3x 2 + 4 x3

最优化理论与方法习题

检验以下各点是否为局部最优解
x (1 ) 2 3 ,x (2 ) 4 3 ,x (3 ) 3 0 1 0 x (4 ) 3 0 1 0
记目标函数和约束函数分别为f x ,g x ,h x ,他们在点x处的梯度分别是 f(x ) 1 0 , g (x ) 6 (x 1 1 3 ) , h (x ) 2 (x 2 1 x 2 3 ) Lagrange函数是
2 f
x12
2 f
H
(
f
)
x 2 x1
2 f
x
n
x1
2 f
x1x2 2 f
x
2 2

2 f
x n x 2
2 f
x1xn
2 f
x 2 x n
2 f
x
2 n
例求目标函数
f(x ) x 1 4 2 x 2 3 3 x 3 2 x 1 2 x 2 4 x 2 x 3 x 1 x 3 2
取点x(1) (1,1,1)T,验证s(1) (1,0,-1是) f x 在点 x (1处) 的一个
下降方向证明： f( x ) ( 2 x 1 ,3 x 2 2 2 x 3 1 ,4 x 3 2 x 2 1 ) T
f(x1)(2,4,5)T
2 s(1)f (x1) (1,0,-14) 30 5
第一章习题课
二次型
n个变量的二次齐次多项式
f(x 1 ,x2, ,xn) a 1x 1 1 2 2 a 1x 2 1 x2 2 a 1 nx 1 xn a 2x 2 2 2 2 a 2 nx2xn a nx n n 2
称为一个n元二次型, 简称二次型
x 1 2 2 x 1 x 2 3 x 1 x 3 x 2 2 5 x 2 x 3 2 x 3 2

第4章最优化方法(运筹学)

例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用二、线性规划的一般模型

三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小

北航最优化方法习题2015版(下)

y x
易见最优解件为：
y∗
=0，于是得原问题的解
x∗
=
1, y ∗
=0.
(b) 该问题的 Lagrange 函数 L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ((x − 1)3 − y 2 ) . KKT条 2x + 3λ(x − 1)2 = 0 2y − 2λy = 0 (x − 1)3 − y 2 = 0.
9 T ∗ 首先，因为 x∗ = ( 3 2 , 4 ) 满足约束条件，且有 I (x ) = {1} , 所以由互补条件有 ∗ ∗ λ∗ 2 = λ3 = λ4 = 0 . 再将
3 1 g ∗ = (− , )T , 2 2
T a∗ 1 = (3, −1) .
代入上边的梯度条件，即KKT条件的前两个方程，解得 λ∗ 1 = 足KKT条件.
由两个等式约束得 x1 = 2x2 , x3 =
750 , x2 2
从而原问题可既约为
16x2 2+
33000 x2
minimize √
subject to x2 > 0.
3 求稳定点，得 x∗ 2 = 10
33 32 .
将 x∗ 代入 KKT 条件中的梯度条件(第一个和第三个方程)，解得 Lagrange
7.6 考虑找曲线 (x − 1)3 = y 2 上哪个点离原点最近(在Euclidean范数意义下)的问题.
可以将该问题表述为
minimize
x,y
f (x, y ) = x2 + y 2
subject to (x − 1)3 = y 2 . (a) 用图解法求解该问题. 消去 y 求解问题, 所得到的函数有极小点吗？给出结果不一致的可能原因. 消去 x 求解问题, 得到怎样的结果? (b) 对于该问题, 找到所有的KKT点. LICQ 成立吗?请给出结果可能的解释.

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章概述(包括凸规划)一、判断与填空题1 )].([arg)(arg min maxx f x f n nR x Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(m in :)(m ax nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x Nε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。

√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{}Λ,2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

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