江苏高考理科附加题套
人教版江苏高考数学理科附加题考前指导复习(含答案)及参考答案
江苏高考数学理科附加题考前指导复习(附参考答案)一、附加题的两点共识1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．（3）准确定位，合理取舍．二、各模块归类分析及应对策略三、六年高考考查内容（一）矩阵与变换考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．例1（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．（2011年江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求向量α，使得A 2α＝β．考点二：二阶矩阵与平面变换例2如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵a ,b 1))的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．考点三： 逆矩阵例3（2009年江苏高考）求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤322 1的逆矩阵．说明：方法一，根据A A －1＝E ，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .。
江苏高三数学20套数学附加题
实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。
江 苏 高 考 附 加 题 部 分C部分
江 苏 高 考 附 加 题 部 分（C ．选修4—4参数方程与极坐标）1.（2010）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。
2. 在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．3.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π4 (ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．4.在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13πρθ+=的距离.5.（2012）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=的交点，求圆C 的极坐标方程．6.（2008）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．7.（2009）已知曲线C的参数方程为13()xy tt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数，0t>）.求曲线C的普通方程。
8.（2011）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩（t为参数）平行的直线的普通方程．9.（2013）在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为12x ty t=+⎧⎨=⎩（t为参数）曲线C 的参数方程为22tan2tanxyθθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）,试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标。
10.（2014）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．11．已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．12．已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⨯的最大值与最小值．13.已知曲线1C 的参数方程为ααα(sin 2,cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4cos(=+πθρ，求1C 与2C 交点的极坐标，其中.20,0πθρ<≤≥14.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.15.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．16.己知直线 l 的参数方程为,21x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）,圆C 的参数方程为,sin x acos y a θθ=⎧⎨=⎩.(a>0. θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点，若点P 到直线l 的距离的最大值为15+，求a 的值。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第3章 选修4-1 第69课 课时分层训练13
课时分层训练(十三)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．如图69-11，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．图69-11[解] 由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FCAC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC ＝1.2．如图69-12所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N .求证：AB ·BM ＝AM ·BN . 【导学号：62172364】图69-12[证明] ∵在Rt △ACM 中， CM 2＝MN ·AM .又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ， ∴BM 2＝MN ·AM ， ∴BM AM ＝MNBM .又∵∠BMN ＝∠AMB ，所以△AMB ∽△BMN ，∴AB BN ＝AMBM ，∴AB ·BM ＝AM ·BN .3．如图69-13，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .图69-13求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . [证明] 设AB ＝AC ＝3a ， 那么AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝ADBF ，∵∠A ＝∠EFB ， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .4．如图69-14所示，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .图69-14(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)假设S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长. 【导学号：62172365】 [解] (1)证明：∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ，又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴△ABC ∽△FCD .(2)过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ， BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4， 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20， 解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM ， ∵DM ＝12CD ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152， ∴DE 4＝5152，解得DE ＝83.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．如图69-15所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .图69-15(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠CEB . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14， ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.2．如图69-16，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .图69-16(1)求BFFC的值；(2)假设△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．[解](1)过点D作DG∥BC，并交AF于G点，因为E是BD的中点，所以BE＝DE.又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，所以△BEF≌△DEG，那么BF＝DG，所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D是AC的中点，那么DG∶FC＝1∶2，那么BF∶FC＝1∶2，即BFFC ＝1 2.(2)假设△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，那么由(1)知BF∶BC＝1∶3.又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，那么S△BEFS△BDC＝13×12＝16，那么S1∶S2＝1∶5.3．如图69-17所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2＝GF·HF.图69-17[证明] ∵∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， ∴∠H ＝∠GBF . 又∠AFH ＝∠GFB ＝90°. ∴△AFH ∽△GFB ，因此HF BF ＝AFGF ，即AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF ·BF ，所以DF 2＝GF ·HF . 4．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，假设BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .图69-18[解] 过F 作MN ∥AD 分别交BA 的延长线和DC 于点M ，N .对△MEF ，有PFPE ＝AM AE因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF .对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .。
2020年江苏省高考数学试卷(包括附加题)【含详答】
2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF//平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．519. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．【答案】{0,2}【解析】解：集合B={0,2，3}，A={−1,0，1，2}，则A∩B={0,2}，故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．【答案】3【解析】解：复数z=(1+i)(2−i)=3+i，所以复数z=(1+i)(2−i)的实部是：3．故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．【答案】2【解析】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P=436=19．故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，则该双曲线的离心率是______． 【答案】32【解析】解：双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，可得√5a=√52，所以a =2，所以双曲线的离心率为：e =c a =√4+52=32， 故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是______． 【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．【答案】x =−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x −π6)，求g(x)的所有对称轴x =7π24+kπ2，k ∈Z ，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)， 则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和S a n =n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d 2n 2+(a 1−d2)n ，当{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S b n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为S b n =b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1+b 1q−1，所以S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【答案】解：(1)ℎ2=−1800b3+6b，点B到OO′的距离为40米，可令b=40，可得ℎ2=−1800×403+6×40=160，即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160，由140a2=160，解得a=80，则|AB|=80+40=120米；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，由{0<x<400<80−x<80，可得0<x<40，总造价为y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]=k800(x3−30x2+160×800)，y′=k800(3x2−60x)=3k800x(x−20)，由k>0，当0<x<20时，y′<0，函数y递减；当20<x<40时，y′>0，函数y递增，所以当x=20时，y取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b=40，求得ℎ2，即O′O的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a，可得|AB|=a+b；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，0<x<40，求得总造价y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t 1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以|m−3|√9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值； (2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+1≤0时，即k≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当k+1>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．423所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x03)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x=k+1≤0时，当k+1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x4−2x2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y=f(x)的图象在x=x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论．本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n2+(1−t)p n +1=0有两解α，β，设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n ={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件．对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则Sn+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：(1)由题意，知[a 1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn pq ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上， ∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4．∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π]，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23. 设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x|<4． 【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24. 在三棱锥A −BCD 中，已知CB =CD =√5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F −DE −C 的大小为θ，求sinθ的值．【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2．∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)，∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α，则cosα=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+2|√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515； (2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)；设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n ⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913． 【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．(1)求p 1，q 1和p 2，q 2；(2)求2p n +q n 与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n 的数学期望E(X n )(用n 表示)．【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． (2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ，q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23，则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23，所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ，即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。
江苏高考近7年试题附加题
2010 数学Ⅱ（附加题）21.[选做题]本题包括 A 、B、C、D 四小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．。
若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A ．选修4-1：几何证明选讲D（本小题满分10 分）AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过 D 作圆O 的切线交 A B COAB 延长线于点C，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。
[ 解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0) ，B(-2,0) ，C(-2,1) 。
设k 为非零实数，矩阵k 0 0 M= ,N=0 1 1 1，点A、B、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为 A 1、B1、C1，0△A 1B1C1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求k 的值。
[ 解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。
满分10 分。
B．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值。
[ 解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。
满分10 分。
[ 必做题]第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分。
请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10% 。
生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。
设生产各种产品相互独立。
文理通用江苏省高考数学理科附加题第2讲空间向量与立体几何练习
空间向量与立体几何第2讲课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角DAABCDBCDPC 的中，为棱2的正方体-1.如图所示，在棱长为111111BBBBBQQ λ中点，λ为棱≠0)．上的点，且(＝111AQAP 与所成角的余弦值；(1)若λ＝，求 2APQAA 的值．所成的角为(2)若直线45°，求实数与平面λ1→→→AAADAB 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标，解：以{}，1QAPAxyzA (0,0,2)，)(1,2,2)，，系．-(2,0,2.则λ(0,0,0)11→→AQAP ＝(1,2,2)，＝时，，＝(2,0,1)当(1)λ 2||→→AQAP ·→→AQAP ，所以cos 〈〉＝ →→AQAP ||||54|1×2＋2×0＋2×1|. ＝＝1553×54AQAP .所以所成角的余弦值为与15→→AQAA )＝(0,0,2)，．＝(2,0,2λ(2)1zxyAPQ n ，)＝(设平面，的法向量为， →? ?z n APxy ，＝＋·0＝，2＋20??? 即则?zx 0.→λ＝2＋2????AQ n ，＝·0yzx . ＝2－＝－2，则2＝λ，λ令n ．，－2)所以－＝(2λ，2λAPQAA 45°，又因为直线所成角为与平面1→AA n |·|→1AA n 所以|cos 〈|，＝〉 1→AA n ||||142 ＝，＝2222???＋－22??2λ＋?2－λ42. ≠0，所以λ＝λλ－4λ＝0，又因为5可得 5ACBCCABCABAC ，)2．(2019·宿迁期末如图，在直三棱柱中，-⊥111BCBBDBBCDAB.，点＝＝1＝，2在棱上，且⊥1111．DB求线段的长；(1)1CCDA(2)求二面角--的余弦值．11→→→CCBCCABCACBCAABC为基底构建如图所示的空间}，中，，解：在直三棱柱⊥-{，则以11111111CAAB，，，(1,0,2)，(0,0,0)直角坐标系，则(0,1,0)(1,0,0)111CB(0,0,2)(0,1,2)，，→AB2)，＝(－所以1,1，－1→tDtCt,DtBD)，＝(0,1＝，0≤设．≤2，则)(0,1，11→→ABDDABCC·，⊥(1)由＝，得011111tt＝?所以1－2，＝021DB.所以＝12→BACCC＝的一个法向量为(0,1,0)(2)易知平面，1111zCD n xyA的一个法向量为)＝(，，设平面，11??→→??CADA，－1，1 －，(1)知1,0,2)，＝＝(由11??2→??D n A，0·＝1?因为→??C n A，·＝011??zxy，＝＋－0＋2?z＝取所以2，??zx，＝20－＋n xy，所以＝则(4,3,2)＝3，，＝4→BC n293·→11BC n.〉＝＝所以cos〈，1129→BC n||||11293CCDA.--的余弦值为所以二面角1129BADABCDS＝3.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，已知∠-ABCDSADCDABSASDADCDA .＝1，且平面＝⊥平面∠＝90°，，＝＝2，SBCSASDSA ⊥时，求直线所成角的正弦值；与平面(1)当πSASBCSAD ，求若平面(2)的长．与平面所成角的大小为 4SOADO . ，连结(1)取中点解：SOADSDSA ，⊥，所以＝因为ABCDSAD ⊥平面，因为平面SADSOSADABCDAD 平面，平面，∩平面?＝ABCDSO .⊥平面所以 建立如图所示的空间直角坐标系，CSBA1,2,0)由条件可得，．(1,0,0)，((0,0,1)，－(1,1,0)，→→→BCSASB ，．(＝(1,1，－1)，－2,1,0)所以＝＝(1,0，－1)zySBC n x 的法向量，＝(设平面，，) →? ?x n zSBy ，＝－＋＝0，·0???n 所以则(1,2,3)取．＝?yx ，→＋0－2＝????BC n ，0·＝SBCSA 设直线θ与平面，所成角为7－3||1→n SA .＝〉|cos 则sin θ＝〈|＝，7142×→aaSBSOaS ))＝(2)设，所以＝(1,1，则，－(0,0，， azyx ，－0＋＝??zxSBC n y 的法向量)＝(，满足平面，?yx ，＝＋0－2??3????n ，1，2.取＝ a ??n SAD ′＝的法向量(0,1,0)，取平面2π2a ，解得所以cos ，＝3＝＝243??2??＋51× a ??SA 2.＝所以BCADADABCDPAABCDABP ，中，⊥平面，，∥4.如图，在四棱锥⊥-ADABAP 1.＝＝＝πBCPBCD 与，求若直线所成角的大小为的长；(1) 3ABPD -求二面角的余弦值．-(2)→→→APABAD 建立如图所示的空间直解：(1)以{为单位正交基底，，，}xyzA .-角坐标系ADAPAB 因为1＝＝，＝PDAB (0,1,0)(0,0,1)，所以(0,0,0)，(1,0,0)，．→→CDy,Cy,PB ．0)－1,1－(＝，1)，－(1,0＝，则0)，(1设πCDPB 因为直线所成角大小为与， 3→→CDPB 1||·→→CDPB ＝||cos 〈＝，，〉所以 2→→CDPB ∣∣∣·∣11yy )或，＝即0(＝，解得舍＝2 22y ?1＋?1－2×BCC 2. 所以的长为(1,2,0)，所以zxyPBD n ，(2)设平面)的法向量为，＝(．1→→PDPB ，＝(0,1，－因为1)＝(1,0，－1)， →? ?zxPB n ，·＝＝0，0－??1? 即则?zy 0.→＝－????n PD ，＝0·1n zxy ＝(1,1,1)1，．＝令1＝1，则，所以＝1n PAD ＝因为平面(1,0,0)的一个法向量为，2nn 3·21nn ， 〉＝所以cos 〈＝， 21nn |3|·||213APDB . 所以由图可知二面角--的余弦值为3ABCD 所在平面垂直于直如图，已知矩形．(2019·苏州调研)5 AEAEABADABPEABBPAE ，且⊥＝＝2，1＝角梯形，所在平面，且＝BP.∥ABPEPCD求平面所成的二面角的余弦值；与平面(1)2PCDNBNPD？若存在，，使得直线(2)线段与平面上是否存在一点所成角的正弦值等于5N试确定点的位置；若不存在，请说明理由．BPAEAEAB因为∥⊥，，解：(1)ABBP⊥所以，ABABCDABPEABPEABCD∩平面，因为平面＝⊥平面，平面ABCDBP所以，⊥平面BCBPBCABBA又⊥，，所以直线两两垂直．，yBCBPxBBA轴，所在直线为，以为坐标原点，分别以轴，，BPz，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)(0,2,0)EDC(0,0,1)，(2,1,0)， (2,0,1)，BCABPE，⊥平面因为→ABPEBC的一个法向量，(0,0,1)所以为平面＝zPCD n xy的一个法向量为)＝(，，，设平面→→CDPD，易得＝＝(2，－2,1)，(2,0,0)→??xCD n，＝0，20＝·???则即?zxy，＝－→202＋????PD n，＝0·n yz 2＝，故，＝令(0,1,2)＝1，则ABPEPCD与平面，设平面所成的二面角大小为θ→BC n5·2|2| ，θ|＝＝＝则|cos 5→51×BC n||·|| 由图知，所求二面角为锐角，52ABPEPCD.所以平面所成二面角的余弦值为与平面5N假设满足题意的点存在，(2)→→PDPNλ≤1)，λ，λ＝λ)(0≤＝(2λ，－设2→→→PNBNBP．，λ)2(2λ，2则－＝＋λ＝n PCD，＝由(1)知，平面(0,1,2)的一个法向量为PCDBN，设直线所成的角为与平面α22→n BN |＝＝则sin α＝|cos 〈，，〉524λ＋－5×9λ812即9λ－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．92NDBNPCD 所成角的正弦值为.故当点与点重合时，直线与平面 5。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第1章 第59课 课时分层训练3
课时分层训练(三)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M －N ＝240，求展开式中二项式系数最大的项. 【导学号：62172324】[解] 依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24， 解得n ＝4.要使二项式系数C r 4最大，只有r ＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为T 3＝C 24(5x )2·(－x )2＝150x 3. 2．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .假设13a ＝7b ，求m 的值．[解] (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m ，同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·(2m )！m ！ m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝63．(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【导学号：62172325】[解] 令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a 1＋a 3＋a 5＋a 7 ＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)法一：∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.4．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．[解] (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，∴2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.5．假设⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．[解] 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T r ＋1， 由T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r8x 16－3r 4，∴r 为4的倍数， 又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120C 08x16－3×04＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48x16－3×44＝358x ， T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128C 88x16－3×84＝1256x 2.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，那么：⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＋1C r ＋18且⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r －1C r －18⇒r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 28x16－3×24＝7x 52，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 38x16－3×34＝7x 74.6．(1)2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；8的近似值．(准确到小数点后三位)[解] (1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.8＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 282＋C 383≈1.172.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·苏州期中)设f (x ，n )＝(1＋x )n ，n ∈N ＋. (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)n ∈N ＋，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1；(3)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ×2n －1.[解] (1)展开式中系数最大的项是第4项为C 3n x 3＝20x 3. (2)C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ]＝14(4＋1)n＝5n 4.(3)证明：因为k C k n ＝n C k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…C n －1n －1)＝n ×2n －1. 2．f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．[解] (1)由得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N ＋，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时， m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.3．(2021·南京模拟)设集合S ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N ＋，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(A ，B )的个数为P n .(1)求P 2，P 3的值； (2)求P n 的表达式．[解] (1)当n ＝2时，即S ＝{1,2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1. 当n ＝3时，即S ＝{1,2,3}．假设A ＝{1}，那么B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}；假设A ＝{2}或A ＝{1,2}，那么B ＝{3}．所以P 3＝5.(2)当集合A 中的最大元素为“k 〞时，集合A 的其余元素可在1,2，…，k －1中任取假设干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k－1种情况．此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取假设干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k－1种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k 〞时， 集合对(A ，B )共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对．当k 依次取1,2,3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B )的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.4．(2021·苏锡常镇调研一)在杨辉三角形中，从第3行开场，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图59-2所示．图59-2(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？假设存在，试求出是第几行；假设不存在，请说明理由；(2)n 、r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．[解] (1)杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0,1,2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k n C k ＋1n ＝k ＋1n －k＝45，那么3n －7k ＝－3,4n －9k ＝5， 解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(2)假设有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列， 那么2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，即2·n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＝n ！r ！(n －r )！＋n ！(r ＋2)！(n －r －2)！，2·n ！(r ＋2)！(n －r －2)！＝n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＋n ！(r ＋3)！(n －r －3)！.所以有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)( r ＋2)，2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)，经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0.两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．。
(文理通用)江苏省高考数学理科附加题3道附加题限时组合练(一)～(六)
3道附加题限时组合练——训练答题用时，掌控答题节奏3道附加题限时组合练(一) (满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，求A －1α的值．解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132323－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－13a ＋23c ＝1，－13b ＋23d ＝0，23a －13c ＝0，23b －13d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1.所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，所以A －1α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤42＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤810. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解：曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的直角坐标方程可以设为y ＝kx (x ≥0，k ＞0)，则圆心到直线的距离d ＝|k －3|1＋k 2根据题意得，24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －3|1＋k 22＝23，解得k ＝33， 即tan θ0＝33，θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故θ0＝π6.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都是正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z.同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x＋1y ＋1z.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM →与NQ →共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3,0)，所以OP →＝(x ，y )，ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM →＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM →与NQ →共线．23．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n .(1)求A 2； (2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1， 故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22.(2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法，由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n(n －1)，即满足条件的x 共有n n(n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法， 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)＝n n (n －1)22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ；A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·nn －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法， 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n.所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋nn －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)2(nn ＋1＋n n－1)，故f (n )＝nn ＋1＋n n－1.3道附加题限时组合练(二) (对应学生用书P34)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6， 令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0， 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1，求a ＋2＋2b ＋1的最大值． 解：因为(a ＋2＋2b ＋1)2≤(a ＋2＋2b ＋1)(12＋12)＝8， 所以a ＋2＋2b ＋1≤2 2. 即a ＋2＋2b ＋1的最大值为2 2.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．如图，在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.(1)求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示，则A (3,0,0)，C 1(0,3,3)，B (3，3,0)，E (3,0,2)，AC 1→＝(－3,3,3)，BE →＝(0，－3,2)，所以cos 〈AC 1→，BE →〉＝AC 1→·BE →|AC 1→||BE →|＝－9＋633×13＝－3939， 故两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为3939. (2)由(1)知BE →＝(0，－3,2)，又D 1(0,0,3)，B 1(3,3,3)， 所以D 1E →＝(3,0，－1)，BB 1→＝(0,0,3)． 设平面BED 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0，令x ＝1，得y ＝2，z ＝3，n ＝(1,2,3)是平面BED 1F 的一个法向量．设直线BB 1与平面BED 1F 所成的角为α，则 sin α＝||cos 〈BB 1→，n 〉＝93×14＝31414，所以直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为31414.23．设数列{t n }满足0＜t 1＜1，t n ＋1＝t n －sin t n . (1)求证：0＜t n ＋1＜t n ＜1； (2)若t 1＝12，求证：t n ≤122n －1.证明：(1)法一：设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)， 所以f ′(x )＝1－cos x ＞0， 所以f (x )在(0,1)上是单调增函数． 因为t n ＋1＝t n －sin t n,0＜t 1＜1， 所以t 2＝t 1－sin t 1＞f (0)＝0，又因为t 2－t 1＝－sin t 1＜0，所以t 2＜t 1， 所以0＜t 2＜t 1＜1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0＜t 2＜t 1＜1，命题成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即0＜t k ＋1＜t k ＜1.因为f (x )在(0,1)上是单调增函数，所以f (0)＜f (t k ＋1)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1－sin 1＜1， 即0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1，也就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，对n ∈N *时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. 法二：先证明0＜t n ＜1.①当n ＝1时，0＜t 1＜1，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即0＜t k ＜1. 则当n ＝k ＋1时，t k ＋1＝t k －sin t k ， 设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)， 所以f ′(x )＝1－cos x ＞0， 所以f (x )在(0,1)上是单调增函数． 因为0＜t k ＜1，所以f (0)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋1＜1－sin 1＜1，即0＜t k ＋1＜1， 这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，对n ∈N *时，0＜t n ＜1. 因为t n ＋1＝t n －sin t n,0＜t n ＜1， 所以t n ＋1－t n ＝－sin t n ＜0，即t n ＋1＜t n ， 所以，对n ∈N *时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. (2)令g (x )＝x －sin x －x 22(0＜x ＜1)，则g ′(x )＝1－cos x －x ， 记φ(x )＝g ′(x )＝1－cos x －x ， 则φ′(x )＝sin x －1＜0(0＜x ＜1)， 所以φ(x )在(0,1)上是单调减函数， 即g ′(x )在(0,1)上是单调减函数， 所以g ′(x )＜g ′(0)＝0， 所以g (x )在(0,1)上是单调减函数， 因为0＜x ＜1，所以g (x )＜g (0)＝0，由于0＜t n ＜1，所以g (t n )＜0，即t n －sin t n －t 2n2＜0，所以t n ＋1＜t 2n 2，所以t n ＋1t n ＜t n2，又因为t n ＜t n －1＜…＜t 2＜t 1，故n ≥2时，t n ＝t 1·t 2t 1·t 3t 2·…·t n t n －1＜t 1·t 12·t 22·…·t n －12＜t 1·t 12·t 12·…·t 12＝t n 12n －1，因为t 1＝12，所以t n ≤122n －1.3道附加题限时组合练(三) (对应学生用书P35)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1 4，求其特征值及特征向量． 解：因为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，由f (λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t(t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．解：把直线l 的参数方程化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆C 的极坐标方程ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.所以圆心C (－1,1)到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以直线l 与圆C 相切． C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋7|＋|x －7|的最小值为M .若正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，求x 24＋y 29＋z 2的最小值．解：因为f (x )＝|x ＋7|＋|x －7|≥|x ＋7－x ＋7|＝27，所以x ＋y ＋z ＝27.由柯西不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 29＋z 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝28，当且仅当x 22＝y33＝z 1，即x ＝477，y ＝977，z ＝77时取“＝”．所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为2. [必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，经过x 轴上点P (－p,0)分别作直线l 1，l 2，直线l 1与曲线C 切于点T ，直线l 2与曲线C 分别交于点A ，B ，若PT 2＝12PA ·PB ，求直线l 2的斜率．解：设直线l 1的方程为x ＝my －p ， 代入抛物线方程得，y 2＝2p (my －p )， 整理得，y 2－2pmy ＋2p 2＝0， 因为直线l 1与曲线C 相切， 所以Δ＝4p 2m 2－8p 2＝0， 所以m 2＝2，且T (pm 2－p ，pm )， 所以PT 2＝(pm 2)2＋(pm )2＝6p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线l 2：x ＝ny －p ， 代入抛物线方程整理得，y 2－2pny ＋2p 2＝0，由Δ′＝4p 2n 2－8p 2＞0得，n 2＞2且y 1＋y 2＝2pn ，y 1y 2＝2p 2， 所以PA ·PB ＝(x 1＋p )2＋y 21·(x 2＋p )2＋y 22 ＝(1＋n 2)y 21·(1＋n 2)y 22 ＝(1＋n 2)|y 1y 2|＝2p 2(1＋n 2)．因为PT 2＝12PA ·PB ，所以6p 2＝p 2(1＋n 2)，解得n 2＝5＞2，即n ＝± 5. 此时直线l 2的斜率为±55. 23．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C k n11＋k ＝1n ＋1·∑k ＝0n(－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1，又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ， 所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.3道附加题限时组合练(四) (对应学生用书P36)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y .因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12 0 14 .B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0， 所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·[12＋(－1)2＋12]＝3， 因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立， 所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32；当－1≤x ≤1时，2≥3不成立； 当x >1时，2x ≥3，即x ≥32.综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. [必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22.如图，已知在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝4，AA 1＝6，D 是线段BC 的中点．(1)求直线A 1D 与平面AB 1D 所成角的正弦值； (2)求平面AB 1D 与平面A 1C 1D 所成锐二面角的余弦值．解：(1)因为在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,6)，B 1(4,0,6)，C 1(0,4,6)．因为D 是线段BC 的中点， 所以D (2,2,0)，所以A 1D →＝(2,2，－6)，AB 1→＝(4,0,6)，AD →＝(2,2,0)， 设平面AB 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AD →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋6z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，令y 1＝1，可得x 1＝－1，z 1＝23，所以平面AB 1D 的法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23， 所以|cos 〈n 1，A 1D →〉|＝|n 1·A 1D →||n 1|·|A 1D →|＝3211，所以直线A 1D 与平面AB 1D 所成角的正弦值为3211.(2)因为A 1C 1→＝(0,4,0)，A 1D →＝(2,2，－6)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C 1→＝0，n 2·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝0，2x 2＋2y 2－6z 2＝0，令z ＝1，可得y 2＝0，x 2＝3，所以平面A 1C 1D 的法向量n 2＝(3,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－755110，所以平面AB 1D 与平面A 1C 1D 所成锐二面角的余弦值为755110. 23．已知(2x －1)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n，n ∈N *.(1)求S n ＝∑i ＝1nia i 的值；(2)设T n ＝n (n －2)2n ＋2n 3，试比较S 2 019与T 2 019的大小，并说明理由． 解：(1)对等式(2x －1)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n两边求导， 得2n (2x －1)n －1＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋na n (x －1)n －1，取x ＝2，则S n ＝∑i ＝1nia i ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ·3n －1.(2)要比较S n 与T n 的大小，即比较3n －1与(n －2)2n －1＋n 2的大小．当n ＝1时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2；当n ＝2,3,4时，3n －1＜(n －2)2n －1＋n 2；当n ＝5,6时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2，猜想：当n ≥5时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝5时，35－1＝81＞73＝(5－2)25－1＋52，猜想成立， ②假设当n ＝k (k ≥5)时结论成立，即3k －1＞(k －2)2k －1＋k 2，则当n ＝k ＋1时，3k ＋1－1＝3·3k －1＞3[(k －2)2k －1＋k 2]，而3[(k －2)2k －1＋k 2]－[(k －1)2k＋(k ＋1)2]＝(k －4)·2k －1＋2k 2－2k －1＞2k 2－2k －1＝2k (k －1)－1≥2×5×4－1＝39＞0， 所以3k ＋1－1＞3[(k －2)2k －1＋k 2]＞(k －1)2k ＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②可知，当n ≥5时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2.所以S 2 019＞T 2 019.3道附加题限时组合练(五) (对应学生用书P37)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.②由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2.则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2. 法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋(6－2)2＝4 2.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)·(x ＋2＋14－x )＝64， 所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22.如图，在四棱锥P ABCD 中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC →＝λAD →(0＜λ≤1)．(1)若λ＝12，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；(2)若二面角B PC D 的大小为120°，求实数λ的值．解：(1)以{AB →，AD →，AP →}为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .因为λ＝12，所以BC →＝12AD →，依题意，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，P (0,0,1)，B (1，0,0)，D (0,1,0)， 所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,1，－1)．设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0.取z ＝1，得n ＝(1,1,1)．所以|cos 〈PC →，n 〉|＝|PC →·n ||PC →|·|n |＝1232×3＝39.所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为39. (2)依题意，C (1，λ，0)，PB →＝(1,0，－1)，PC →＝(1，λ，－1)，PD →＝(0,1，－1)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－z 1＝0，x 1＋λy 1－z 1＝0，取z 1＝1，得n 1＝(1,0,1)．设平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λy 2－z 2＝0，y 2－z 2＝0，取z 2＝1，得n 2＝(1－λ，1,1)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|×|n 2|＝|2－λ|2×2＋(1－λ)2＝|cos 120°|＝12， 解得λ＝1或λ＝5，因为0＜λ≤1，所以λ＝1.23．设(x －1)2n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a r x r ＋…＋a 2n x 2n ，其中n ∈N *，a r (r ＝0,1,2，…，2n )是与x 无关的常数．(1)若S 2n ＝∑r ＝02na rr ＋1，求S 2n ；(2)求证：32S 2n ＞1＋12＋13＋…＋122n ＋1－1.解：(1)由二项展开式的通项公式可知a r ＝C 2n －r2n ·(－1)2n －r＝C r 2n (－1)2n －r，C r2n r ＋1＝1r ＋1·2n ！r ！(2n －r )！＝2n ！(r ＋1)！(2n －r )！ ＝12n ＋1·(2n ＋1)！(r ＋1)！(2n －r )！＝12n ＋1·C r ＋12n ＋1. r ＝0,1,2，…，2n ，所以S 2n ＝C 02n－C 12n 2＋C 22n 3＋…－C 2n －12n 2n ＋C 2n2n2n ＋1＝12n ＋1[C 12n ＋1－C 22n ＋1＋C 32n ＋1＋…－C 2n2n ＋1＋C2n ＋12n ＋1] ＝12n ＋1[－C 02n ＋1＋C 12n ＋1－…－C 2n2n ＋1＋C2n ＋12n ＋1＋1] ＝12n ＋1[1－(－1＋1)2n ＋1] ＝12n ＋1. (2)证明：由(1)知，32S 2n ＝3n ＋32， 即证3n ＞13＋14＋…＋122n ＋1－1.利用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，3n ＝3，13＋14＋…＋123－1＝153140＜3，不等式成立．②假设当n ＝k 时，3k ＞13＋14＋…＋122k ＋1－1，当n ＝k ＋1时，13＋14＋…＋122(k ＋1)＋1－1＝13＋14＋…＋122k ＋1－1＋122k ＋1＋…＋122k ＋3－1＝13＋…＋122k ＋1－1＋122k ＋1＋…＋13·22k ＋1＋22k ＋1－1＜3k ＋122k ＋1·3·22k ＋1＝3k ＋3＝3(k ＋1)， 综上，由①②可知，当n ＝k ＋1时，不等式也成立，得证．3道附加题限时组合练(六)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]求圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a ＞0，b ＞0)对应的变换作用下所得的曲线的方程为x 24＋y 29＝1，求A －1. 解：设圆C 上的点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1by 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1a x ，y 1＝1b y ，代入圆方程x 2＋y 2＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，所以a 2＝4，b 2＝9，所以a ＝2，b ＝3，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ce df ，所以AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ed f ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝1，3d ＝0，2e ＝0，3f ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝12，d ＝0，e ＝0，f ＝13所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|2|1＋k2＝1，得到k ＝±3，故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．某学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ＞0)＝710.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E (ξ)．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7－x )人，只会一项的人数是(7－2x )人．(1)因为P (ξ＞0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，所以P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，所以(7－2x )(6－2x )(7－x )(6－x )＝310，解得x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，所以ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×310＋1×35＋2×10＝5.23．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n . (1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1， 故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n<34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2(n ≥2)，而a 1＝1＜2，所以对任意正整数n ，有a n ＜2.。
2014年江苏高考理科附加题(10套)
2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲 已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分） 设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥； （2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
人教版江苏高考数学理科附加题考前指导复习(含答案)及参考答案
人教版江苏高考数学理科附加题考前指导复习(含答案)及参考答案(附参考答案)一、附加题的两点共识1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．（3）准确定位，合理取舍．二、各模块归类分析及应对策略（一）矩阵与变换考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．例1（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．（2011年江苏高考）已知矩阵A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．βααβ考点二：二阶矩阵与平面变换例2如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b 的值．考点三：逆矩阵例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝的逆矩阵．说明：方法一，根据A A－1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X.考点四：特征值与特征向量例4已知矩阵A＝，向量＝．α（1）求A的特征值1、2和特征向量1、2；（2）计算A5的值．λλααα以下内容最好能记忆：1．旋转变换矩阵．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．2．二阶矩阵M＝的逆矩阵为M－1＝,))＝．其中是矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到．3．矩阵特征多项式f()＝．λ（二）坐标系与参数方程考点1：极坐标化为与直角坐标例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式不能出现类似于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．2．应了解点的极坐标的形式和意义．例2：在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，π)，(，π)．求△OMN的面积．3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．例3：(2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．考点2：参数方程转化普通方程例4（2009年高考题）已知曲线C的参数方程为－)，,y＝3(t＋)))(t为参数，t ＞0)．求曲线C的普通方程．应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．考点3：参数方程的应用例5（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.（三）概率基本题型：附加题概率考查两个方面问题：（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；（2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算．基本策略:1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A，B，C三个岗位服务，且A岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人；（2）求A岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在B岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．例3盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：ξ（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；ξ（3）计分不小于20分的概率．说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．解答（2）中P （＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．ξ 4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用))Pi ＝1检验计算是否正确的习惯． （四）空间向量与立体几何考点1：空间向量的坐标运算例1（2008年江苏高考）如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．考点2：空间向量的应用1．判别线面位置关系；2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．例2（2011年江苏高考）如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC1上，设二面角A1－DN －M 的大小为．θ （1）当＝90°时，求AM 的长；θ （2）当cos ＝,6)时，求CM 的长．θ例3在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A1B1C1D1中，D1P ⊥平面PCE. (1)试求：线段D1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定． （五）圆锥曲线与方程 考点1：曲线方程．考点2：直线与抛物线．例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；（3）设过点M(m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m)，求f (m)关于m 的表达式．例2：在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足＝λ， 过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.AF FB (1)求：·的值；OA OB(2)证明：·为定值．FM ABA B CD A 1 B 1C1D 1P（六）数学归纳法例1：已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． 例2．如图，，，…，（）是曲线：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．111()P x y ，222()P x y ，()n n n P x y ，120n y y y <<<<…C 23y x =0y ≥n (0)i i A a ，123i n =，，，…，x 1i i i A A P -∆0A （1）写出，，；1a 2a 3a（2）求出点（）的横坐标关于的表达式．(0)n n A a ，n *∈N n a n例3：已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==⋅-∈（1） 求； （2）试用数学归纳法证明．12,a a 12,n n a a n N +<<∈说明数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。
2017江苏高考数学理科选修附加卷-极坐标与参数方程高考题汇编
附加题：极坐标与参数方程（2007）坐标系与参数方程：1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程． （2008）坐标系与参数方程：已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：222()22x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 。
（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。
写出1'C ，2'C 的参数方程。
1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
（2009） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离的最小值．（2010）坐标系与参数方程：已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .（2012）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
2019高考数学江苏(理)精准提分练 附加题满分练1
附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (PA <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段PA 的长.解 连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ， 由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22， 由切割线定理可得PC 2＝PA ·PB ， 即16＝PA ·(PA ＋22)， 解得PA ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M .解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根.因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2，所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1， 故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3为圆心且与直线l:ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z63≥ 3xyz48，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n－C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论. 解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C km ＋1·(x －k )m ＋1.因为C km ＋1＝C km ＋C k －1m ，k C km ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C km ＋1(x －k )m ＋1＝x ∑k ＝0m ＋1 (－1)k Ckm ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1(－1)kk C km ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m＋x ∑k ＝1m ＋1(－1)k Ck －1m(x －k )m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C km ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第3章 第67课 课时分层训练11
课时分层训练(十一)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．(2021·如皋市高三调研一)函数f (x )＝e 3x －6－3x ，求函数y ＝f (x )的极值． [解] 由f ′(x )＝3e 3x －6－3＝3(e 3x －6－1)＝0，得x ＝2.极小值所以f (x )在x ＝2处取得极小值－5，无极大值． 2．(2021·镇江期中) 函数f (x )＝e 2x －1－2x . (1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)证明：当x ∈R 时，f (x )≥0 恒成立. 【导学号：62172356】 [解] (1)函数f (x )＝e 2x －1－2x ，定义域为R ， f ′(x )＝e 2x －1×(2x －1)′－2＝2e 2x －1－2. (2)由题意f ′(x )＝2e 2x －1－2，x ∈R ， x ，f ′(x )，f (x )在x ∈R 上变化如下表：当x ＝12时f (x )取得极小值也是最小值， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f (x )≥0恒成立．3．(2021·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． [解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，那么g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．4．函数f (x )＝x －e ax (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2a 上的最大值. 【导学号：62172357】[解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，那么f ′(x )＝1－a e ax ，令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，那么x ＝1a ln 1a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ，＋∞. (2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2a －e 2；当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －e.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·如皋市高三调研一)设函数f (x )＝ax ＋x e b －x (其中a ，b 为常数)，函数y ＝f (x )在点(2,2e ＋2)处的切线的斜率为e －1.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解] (1)因为f ′(x )＝a ＋e b －x －x e b －x ，所以f ′(2)＝a －e b －2＝e －1，① 且f (2)＝2a ＋2e b －2＝2e ＋2，②由①②得a ＝e ，b ＝2，所以f (x )＝e x ＋x e 2－x .(2)f ′(x )＝e ＋e 2－x －x e 2－x ，由f ″(x )＝－e 2－x －e 2－x ＋x e 2－x ＝e 2－x (x －2)＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ″(x )，f ′(x )的变化情况如下表：f ′(x )最小值所以f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)． 2．函数f (x )＝(x －k )2e xk . (1)求f (x )的单调区间；(2)假设对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝(x －k )2e xk ，得 f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk ， 令f ′(x )＝0，得x ＝±k ，假设k >0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：k ，k )．假设k <0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：k)．(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e k＋1k>1e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e.当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k2e≤1e，解得－12≤k<0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.3．函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．[解](1)f′(x)＝e x＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.②当b>2时，假设x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.4．设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－ax，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<a4且b<14时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2a.。
江苏高考理科附加题 套
2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲 已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,3AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为??=l 与??=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =u u u u r *1|()n n n Q Q b n N +=∈u u u u u u r ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分） 设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥； （2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级 姓名 得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第1章 第61课 课时分层训练5
课时分层训练(五)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．(2021·苏州模拟)假定某射手射击一次命中目标的概率为23.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停顿射击，否那么就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：X 的概率分布. 【导学号：62172332】[解] 耗用子弹数X 的所有可能取值为1,2,3,4.当X ＝1时，表示射击一次，命中目标，那么P (X ＝1)＝23；当X ＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，那么P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝29； 当X ＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，那么P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝227；当X ＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中， 那么P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝127. X 的概率分布为2.(2021·南京模拟)1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，假设有3次摸到红球即停顿．(1)求恰好摸4次停顿的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的概率分布．[解] (1)设事件“恰好摸4次停顿〞的概率为P ，那么 P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34×14＝9256. (2)由题意，得X ＝0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256， ∴X 的概率分布为3.(2021·7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛完毕)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性一样．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布. 【导学号：62172333】[解] (1)由，得甲、乙两名运发动在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜〞为事件A ，那么P (A )＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3·12＝18. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局〞为事件B .乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫125－3·12＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫126－3·12＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2＝516.(3)设比赛的局数为X ，那么X 的可能取值为4,5,6,7. P (X ＝4)＝2C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18， P (X ＝5)＝2C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3·12＝14，P (X ＝6)＝2C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫125－3·12＝516，P (X ＝7)＝2C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫126－3·12＝516.所以比赛局数的概率分布为4.现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率．[解] (1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ〞． 依题意，ξ的取值可能为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，那么P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫123－k ＝C k 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123. 又每盘游戏得分X 的取值为10,20,100，－200.根据题意： 那么P (X ＝10)＝P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝20)＝P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝100)＝P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝－200)＝P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 所以X 的概率分布为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐〞为事件A i (i ＝1,2,3)， 那么P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐〞的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．某银行规定，一张银行卡假设在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进展尝试．假设密码正确，那么完毕尝试；否那么继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的概率分布． [解] (1)设“当天小王的该银行卡被锁定〞为事件A ， 那么P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23. 所以X 的概率分布为2.(2021·南通三模)2n (n ∈N ＋)局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，那么此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P (n )．(1)求P (2)与P (3)的值；(2)试比拟P (n )与P (n ＋1)的大小，并证明你的结论．[解] (1)假设甲、乙比赛4局甲获胜，那么甲在4局比赛中至少胜3局， 所以P (2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫12 4＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝516， 同理P (3)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132. (2)在2n 局比赛中甲获胜，那么甲胜的局数至少为n ＋1局 故 P (n )＝C n ＋12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2n ＋C n ＋22n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋…＋C 2n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝()C n ＋12n ＋C n ＋22n ＋…＋C 2n 2n·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝12()22n －C n2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－C n 2n 22n ， 所以P (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－C n ＋12n ＋222n ＋2. 又因为 C n 2n22nC n ＋12n ＋222n ＋2＝4C n 2nC n ＋12n ＋2＝4(2n )！n ！n ！(2n ＋2)！(n ＋1)！(n ＋1)！＝4(n ＋1)2(2n ＋2)(2n ＋1)＝2(n ＋1)2n ＋1>1，所以C n 2n22n >C n ＋12n ＋222n ＋2，所以P (n )<P (n ＋1)．3．(2021·无锡模拟)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，假设有2次连续击中，而另外1次未击中，那么额外加1分；假设3次全击中，那么额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的概率分布．[解] (1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标〞为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标〞为事件A ，那么P (A )＝P (A 1A 2A 3A4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1·A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. (3)设“第i 次射击击中目标〞为事件A i (i ＝1,2,3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6. P (ξ＝0)＝P (A1A2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ的概率分布是4元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表所示：(1)设X (2)假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．[解] (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg 〞，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg 〞，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－本钱， 所以X 所有可能的取值为 500×10－1 000＝4 000， 500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000， 300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)××(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B ×0.4＝0.2， 所以X 的概率分布为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元〞(i ＝1,2,3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 33＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×2×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第6章 第73课 课时分层训练17
课时分层训练(十七)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．(2021·泰州二中高三月考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．[解] ρ2＝2ρcos θ，圆ρ＝2cos θ的普通方程为：x 2＋y 2＝2x ，(x －1)2＋y 2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的普通方程为： 3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3·1＋4·0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8.2．(2021·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M (1,2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.假设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA ·MB 的值．[解]直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0， 设该方程两根为t 1，t 2，那么t 1·t 2＝－1. ∴MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．[解] (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率一样，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 4．(2021·常州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，P (m ，n )为曲线C 2上任一点，求m ＋n 的取值范围. 【导学号：62172380】[解] 曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t 的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1，与x 轴交点为(－a,0)，(a,0)，由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以m ＋n 的取值范围为[]－32，32.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·南通模拟)在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.判断直线l 和圆C 的位置关系. 【导学号：62172381】[解] 将⎩⎨⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t 消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x －3；由ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 即x 2＋y 2＝2y ＋2x ，∴⊙C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2；又圆心C 到直线l ：2x －y －3＝0的距离d ＝|2－1－3|22＋12＝255＜2，∴直线l和⊙C 相交．2．(2021·苏州市期中)平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ＋2y ＝r sin θ＋2(θ为参数，r ＞0)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0.(1)求圆C 的圆心的极坐标；(2)当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围． [解] (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＋2y ＝r sin θ＋2得(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (2)由l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0得l ：x ＋y ＋1＝0，从而圆心(2,2)到直线l 的距离为d ＝|2＋2＋1|2＝522，∵圆C 与直线l 有公共点，∴d ≤r ，即r ≥52 2.3．(2021·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，AB＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. AB ＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由AB ＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求P A ＋PB .[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第1章 第60课 课时分层训练4
课时分层训练(四)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．设随机变量X 的概率分布为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710. 【导学号：62172328】[解] (1)由概率分布的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.2．一袋中装有10个大小一样的黑球和白球，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球〞为事件A ，设袋中白球的个数为x ，那么P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为3.(2021·南京模拟)十位数字大于百位数字，那么称n为“三位递增数〞(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得－1分；假设能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；(2)假设甲参加活动，求甲得分X的概率分布．[解](1)个位数是5的“三位递增数〞有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数〞的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的概率分布为4.盒内有大小一样的9个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.【导学号：62172329】[解] (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球〞为事件C ，那么P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的概率分布为：(建议用时：15分钟)1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．[解] 假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.假设两条棱平行，那么它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的概率分布是2.300元的顾客，将获得一次摸奖时机，规那么如下：奖盒中放有除颜色外完全一样的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，假设摸到黑球那么停顿摸奖，否那么就要将奖盒中的球全部摸出才停顿．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停顿摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布． [解] (1)设“1名顾客摸球3次停顿摸奖〞为事件A ，那么P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停顿摸球的概率为14. (2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X的概率分布为3．甲箱中只放有y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．假设从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不一样的概率为P，求当P取得最大值时x，y 的值；(2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．[解](1)由题意知P＝C1x C1y C11C26C14＝xy60≤160⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝320，当且仅当x＝y时等号成立，所以，当P取得最大值时x＝y＝3.(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.那么P(ξ＝0)＝C24C12C26C14＝1 5，P(ξ＝1)＝C12C14C12＋C24C12C26C14＝715，P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C14C12C26C14＝310，P(ξ＝3)＝C22C12C26C14＝130.所以红球个数ξ的概率分布为/微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2021年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：质量到达一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A，那么P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.因此ξ的概率分布为。
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2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲 已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,3AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为??=l 与??=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =u u u u r *1|()n n n Q Q b n N +=∈u u u u u u r ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分） 设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥； （2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级 姓名 得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，AC =BC = 4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M CE AB 、分别为、的中点，求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．23．设数列{}n a 是等比数列，311232C A mm m a +-=⋅，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用,n x 表示通项n a 与前n 项和n S ；（2）若1212C C C n n n n n n A S S S =+++L ，用,n x 表示n A ．江苏省数学高考附加题强化试题6班级 姓名 得分 A M BC OD E21.[选做题]在B 、C 、D 三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换求关于直线y=3x 的对称的反射变换对应的矩阵A ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中,过曲线)0(cos 2sin :2>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2tan =θθ为锐角)作平行于)(4R ∈=ρπθ的直线l 与曲线分别交于C B ,. （1）写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建直角坐标系)；（2）若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值.D ．选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||23|.f x x x =++-（1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为（I ）求证：C 1D 2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=-ΛR x ∈20112011221222a a a +++Λ选做题]在B 、C 、D 三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．（1）分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；（2）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+= （1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．选修4—5：不等式选讲设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最小值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（Ⅰ） 已知动点(,)P x y 到点(0,1)F 与到直线1y =-的距离相等，求点P 的轨迹L 的方程； （Ⅱ） 若正方形ABCD 的三个顶点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y (1230x x x <<≤)在(Ⅰ)中的曲线L 上，设BC 的斜率为k ，||l BC =，求l 关于k 的函数解析式()l f k =；（Ⅲ） 求(2)中正方形ABCD 面积S 的最小值。