胡不归问题专题

金牌教育一对一个性化辅导教案学生学校文汇中学年级九年级学科数学教师王老师日期20180 时段次数 1 课题胡不归、可题专题一.选择题（共2小题）1.如图，抛物线y=X- 2x- 3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan / EBA^，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的3点D处，再以1.25单位/S的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是SX2.如图，△ ABC在直角坐标系中，AB=AC A （0, 血）,C （1, 0）, D为射线A0上一点，一动点P从A出发，运动路径为A- "C点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）C. (0, ¥)D. (0,乎)二•填空题(共1小题)3.如图，一条笔直的公路I穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路乐千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是1^千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过居民点小时可到达B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)三.解答题(共5小题)4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(- 1 , 0)，B (0，^)，C (2, 0)，其对称轴与X轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,贝』PB+PD的最小值为芒I(3) M(X，t)为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，贝U这样的点N共有个;5.如图，在△ ACE中，CA=CE / CAE=30, O O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是O O的切线；(2)若^ ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O O的直径AB;(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接0D,当丄CD+OD的最小2值为6时，求O O的直径AB的长.6.如图，已知抛物线y韦(X+2) (X-4) (k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-Ml x+b与抛物线的3另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A, B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?7. (1)如图1,已知正方形ABCD 的边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上 的一个动点，求PD 丄PC 的最小值和PD-丄PC 的最大值；2 2(2) 如图2,已知正方形ABCD 的边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的 一个动点，那么PD ZfC 的最小值为 _________ , PD -ZfC 的最大值为 __________ .3 3(3) 如图3,已知菱形ABCD 的边长为4,/ B=60 ,圆B 的半径为2,点P 是圆,PD-yFC 的最大值£B 上的一个动点，那么P 的最小值为£为D&如图1,抛物线y=aX+ (a+3) x+3 (a^ 0) 与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E (m, 0) (0Vmv4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M .求a的值和直线AB的函数表达式;好PMN的周长为C ,△ AEN的周长为Q,若号专，求m的值;如图2,在(2)条件下，将线段0E绕点0逆时针旋转得到0E,旋转角(2)(3)2018年05月25日187****4779的初中数学组卷参考答案与试题解析一. 选择题（共2小题）1.如图，抛物线yrX 2- 2x -3与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ， 且tan / EBA 县，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的3点D 处，再以1.25单位/S 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最 短时间是里S.【分析】过点E 作x 轴的平行线，再过D 点作y 轴的平行线，两线相交于点 H ， 如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到 tan / HED=tanZ EBA 塑 4，设EH 3DH=4m, EH=3m 贝U DE=5m,则可判断蚂蚁从 D 爬到E 点所用的时间等于从 D爬到H 点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A 出发，先以1单位/S 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/S 的速度沿着DE 爬到E 点所用时间等于它 从A 以1单位/S 的速度爬到D 点，再从D 点以1单位/S 速度爬到H 点的时间, 利用两点之间线段最短得到 AD+DH 的最小值为AQ 的长，接着求出A 点和B 点坐标，再利用待定系数法求出 BE 的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析 式所组成的方程组确定E 点坐标，从而得到AQ 的长，然后计算爬行的时间. 【解答】解：过点E 作x 轴的平行线，再过D 点作y 轴的平行线，两线相交于点H ，如图, ••• EH// AB，•••/ HEB=/ ABE••• tan / HED=tanZ EBA 罟冷，X设 DH-4m, EH-3m 贝U DE-5m, •蚂蚁从D 爬到E 点的时间 4J -4 (S )k 25若设蚂蚁从D 爬到H 点的速度为1单位/S ,则蚂蚁从D 爬到H 点的时间 晋-4 (S ), •••蚂蚁从D 爬到E 点所用的时间等于从D 爬到H 点所用的时间相等, •••蚂蚁从A 出发，先以1单位/S 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/S 的速度沿着DE 爬到E 点所用时间等于它从A 以1单位/S 的速度爬到D 点，再从D 点以1单位/S 速度爬到H 点的时间, 作 AG 丄 EH 于 G ,贝U AD+DH 》AH > AG , ••• AD+DH 的最小值为AQ 的长，当 y=0 时，X 2-2x — 3=0,解得 X 1 = - 1, X 2=3,则 A (- 1, 0), B (3, 0), 直线BE 交y 轴于C 点，如图，在 Rf OBC中「tan/ CBOf^， •••0C=4 则 C (0, 4), 设直线BE 的解析式为y=kx+b .把 B (3, 0), C (0, 4)代入得 Pk+ZQ ,解得 k=—,I 口b=4•••直线BE 的解析式为y=-2x+4,• AQ=T•蚂蚁从A 爬到G 点的时间-冒(S ),19即蚂蚁从A 到E 的最短时间为邑S .9故答案为罟【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点：把求二次函数y=a ）^+bx+c （a , b ,解方程组［尸;"3得(沪3或"I Y=—x+4 I y=07S 二 ~J ，则E 点坐标为(-丄，竽), 邑 3 9Xc是常数，aM0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程.解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等.2.如图，△ ABC在直角坐标系中，AB=AC A （0, 血）,C （1, 0）, D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A- "C点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A. （0,伯B. （0,誓）C. （0,誓）D. （0,【分析】假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标.【解答】解：假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1, 设D坐标为（0, y）,则AD=M - y, CD否妒,「•设t=^+佔,等式变形为：t^y-警，则t的最小值时考虑y的取值即可, ... t2+（鉀警）t+申-攀勻2+1,•4y2+ （警-自）y-12伴t+1=0,△ = （土厘-Z t ） 2-4（-t 2+土色9 3 ■ ••• t 的最小值为 y 爭•••点D 的坐标为（0,故选D .解法二：假设P 在AD的速度为3V,在CD 的速度为IV ，总时间t=^+Q ■二丄（如+CD ）,要使t 最小，就要坐+CD 最小，3V V V 3 3因为AB=AC=3过点B 作BH 丄AC 交AC 于点H,交OA 于D,易证△ ADH^A ACO, 所以些3=3,所以^=DH ,因为△ ABC 是等腰三角形，所以 BD=CD 所以要0C DH 3如+CD 最小，就是要DH+BD 最小，就要B 、D 、H 三点共线就行了.因为△ AOC 3 sA BOD ,所以型竺，即囚2丄-，所以OD 迈,0B 0D 1 0D4所以点D 的坐标应为（0,平）.【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△ =b 2- 4ac ） 判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大.二. 填空题（共1小题）3.如图，一条笔直的公路I 穿过草原，公路边有一消防站A ,距离公路 千米 的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是10伍千米.一天，居民点B 着火，消 防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是 80千米/小时，而在草地 上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过_■!_小时可到达居S民点B .（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）*1啰+"命【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶t+1)> 0, 3普），x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解. 【解答】解：如图所示，公路上行驶的路线是AD,草地上行驶的路线是DB,设AD的路程为x千米,由已知条件AB=1^千米，BC=^千米，BC丄AC,知AC^^-BC^=15千米.贝U CD=AC- AD= (15 - X)千米,设走的行驶时间为y,则工十&5+(15-幻280 40整理为关于X的一元二次方程得3X2+ (160y- 120) X-6400y2+1200=0.因为X必定存在，所以0.即(160y- 120) 2-4X 3X( 1200- 6400y2)> 0. 化简得102400y2- 38400y>0.解得y》一，□即消防车在出发后最快经过鲁小时可到达居民点B.故答案为：鲁.【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程.三.解答题(共5小题)4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=aX2+bx+c的图象经过点A (- 1 , 0), B (0,-(^), C (2, 0),其对称轴与X轴交于点D求二次函数的表达式及其顶点坐标；若P 为y 轴上的一个动点，连接PD,贝』PB+PD 的最小值为 色伍2 — 4M (x , t )为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ,使得以A , B , M , N 为顶点的四边形为菱形，贝U 这样的点(2)如图1中，连接AB,作DH 丄AB 于H ,交0B 于P ,小值就是线段DH ,求出DH 即可.(3)①先在对称轴上寻找满足△ ABM 是等腰三角形的点②作AB 的中垂线与y 轴交于点E,连接EA,则/AEB=120,以E为圆心，EB 为 半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F 、G .则/ AFB=Z AGB=60，从而线段FG 上的点满足题意，求出F 、G 的坐标即可解决问题.f 品* 22•••抛物线解析式为y 誓X 2-爭x-d^, -y 书八省X -届省(x -*) 2-竽， •顶点坐标(*,-普)(2)如图1中，连接AB ,作DH 丄AB 于H ,交0B 于P , 此时由PD 最小.(1)(2)此时尹涉PD 最小.最M ,由此即可解决问题.a-b+c=O 【解答】解：(1)由题意*匚二灯5 解得* 4a+2b+c=0N 共有 5个;【分析】(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.乙理由：••• OA=1, OB£，••• tan/ ABO型巫,OB 3•••/ ABO=30,• PH»PB,2•••* PBi_PD=PHP D=DH•••此时丄PB+PD最短(垂线段最短).2在RtAADH 中，•••/ AHD=90，AD卫，/ HAD=60，2••• sin 60 =M,AD ••• DH^^,4•丄P由PD的最小值为凶1.24故答案为凶I.4(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点, 以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点, 线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5 个, 故答案为5.②如图，Rf AOB中，；tan/ABO霁书•••/ ABO=30，作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA则/ AEB=120,以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.则/AFB=Z AGB=60，从而线段FG上的点满足题意,AB••• EB- 丁-2^ cos30* 3 '• OE-OB- EB誓，•- F (*, t), E F^-EE2，G6故F （丄，進遁），G （丄，港迺L ）,2 6 2 G < t <-2V3+V396【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题 的关键是掌握待定系数法确定函数解析式， 学会利用垂线段最短解决实际问题中 的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.5.如图，在△ ACE 中, CA=CE / CAE=30, O O 经过点C ,且圆的直径 AB 在线 段 AE上.（1）试说明CE 是O O 的切线;（2） 若^ ACE 中AE 边上的高为h ,试用含h 的代数式表示O O 的直径AB ; （3） 设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接0D,当+CD+OD 的最小乙值为6时，求O O 的直径AB 的长.•••（丄）2+ （t+逅）2=（也）2,23 3 解得t=&迺L 或暫玄L ,6【分析】(1)连接0C,如图1,要证CE 是O O 的切线，只需证到/ OCE=90即 可;(2)过点C 作CH 丄AB 于H ,连接0C,如图2,在RtAOHC 中运用三角函数即可解决问题;(3)作OF 平分/ AOC,交O 0于F ,连接AF 、CF DF,如图3,易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF =DO过点D 作DH10C于 H，易得D埠DC,从而有丄CC+OD=DH F FD.根据两点之间线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH+FD2(即I C D+OD)最小，然后在RtAOHF 中运用三角函数即可解决问题.2•••/ E=/ CAE=30, / COE=N A=6ff , •••/ OCE=90, ••• CE 是O O 的切线;(2)过点C 作CH 丄AB 于H ,连接OC,如图2,由题可得CH=h.在 RtA OHC 中，CH=OC?si / CO”EEV CA=CE / CAE=30,【解答】解：(1)连接OC,如图1,£•h=OC?sin60°OC,2•OC^^h,Vs 3•AB=2OC^Ih;3(3)作OF平分/ AOC交O O于F,连接AF、CF DF,如图3,则,AOFN COF*/ AOC专（180- 60° =60：••• OA=OF=OC •••△ AOF △ COF是等边三角形,AF=AO=OC=F,C•四边形AOCF是菱形, •••根据对称性可得DF=DO 过点D作DH丄OC于H,V OA=OC •/ OCA=/ OAC=30,• DH=DC?sit/ DCH=DC?sin3° =DC, • - CC+OD=DH F FD.2根据两点之间线段最短可得: 当F、D、H三点共线时，DH+FD (即寺CD+OD)最小, 此时FH=OF?sin/ FOH誓OF=6,£则OF=^, AB=2OF=^.•当+ CD+OD的最小值为6时，O O的直径AB的长为8品.厶【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把丄CD+OD转化为DH+FD是解决第(3)小题的关键.26.如图，已知抛物线y土(x+2) (x-4) (k为常数，且k>0)与x轴从左至右8依次交于A, B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-亚x+b与抛物线的3另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A, B, P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF, 一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【分析】(1)首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；(2)因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ ABP为钝角.因此若两个三角形相似，只可能是△ ABBA APB或△ AB3A PAB如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算;(3)由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：t=AF号DF.如答图3,作辅助线，将AF+^DF转化为AF+FG;再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点.【解答】解：(1)抛物线y^^ (x+2) (x-4),令y=0,解得x=- 2或x=4,• A (-2, 0), B (4, 0).•••直线y=-豆x+b经过点B (4, 0),3•••-返X 4+b=0，解得b,33•直线BD解析式为：沪-並x+亚33当x=- 5 时，y=3j5, ••• D (- 5, 3品).•••点D (- 5, 3^5)在抛物线y专(x+2) (x-4)上, •冷(-5+2) (- 5-4) =37^,• k=^9•抛物线的函数表达式为：Y蛋(x+2) (x-4).9即y巫X2-迟-盛9 9 9(2)由抛物线解析式，令x=0,得y=-k, ••• C (0,- k), OC=k因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ ABP为钝角.因此若两个三角形相似，只可能是△ AB3A APB或^ AB3A PAB①若△ AB3A APB,则有/ BAC=/ PAB,如答图2 - 1所示.设P (x, y),过点P作PN丄x轴于点N,则ON=x, PN=y. tan / BAC=tan/ PAB 即：号毛^，••• y±x+k.2•- P(X,号x+k),代入抛物线解析式y寺(x+2) (x- 4),2 8得上（x+2） （x -4） =JLx+k ,整理得：x 2-6x - 16=0, 8 2 解得：x=8或x=- 2 （与点A 重合，舍去），••• P (8, 5k ). •••△ AB3A APB,• AC _AB 即 …丽讦，6则有/ ABC 玄PAB 如答图2 -2所示.得鱼(x+2) (x - 4) 丄x+上，整理得：x 2- 4x - 12=0,8 4 2解得：x=6或x=- 2 （与点A 重合，舍去），••• P (6, 2k ). •••△ AB3A PAB AE =CE而衍，6 V16+k^解得k=±V^,y ）,过点P 作PN 丄x 轴于点N ,则ON=x, y x+2设 P二P （吩x 谆） ，代入抛物线解析式 PN=y.y 爷(x+2) (x -4),••• k> 0,•- k吨,综上所述，k=^或虽.5(3)方法一:如答图2- 2,过点D作DN丄x轴于点N,则DN=V3 , 0N=5, BN=%5=9, ••• tan/DB A£=出巫,BN 9 3•••/ DBA=30.过点D 作DK// x 轴，贝KDF=Z DBA=30 . 过点F作FG丄DK于点G,则FG寺DF. 由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：t=AF^DF,••• t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点A 作AH丄DK于点H,则t最小=AH, AH与直线BD的交点，即为所求之F点.••• A点横坐标为-2,直线BD解析式为：y=-••• y=^^x(-2) + 竽=2^^,••• F (- 2, ).综上所述，当点F坐标为(-2, )时，点M在整个运动过程中用时最少.方法二:作DK// AB, AH 丄DK , AH 交直线BD 于点F ,V/ DBA=30, •••/ BDH=30, ••• FH=DF< sin30 包,2•••当且仅当AH 丄DK 时，AF+FH 最小， 点M 在整个运动中用时为：上=理^^婕+FH ，1 2V I BD ： y=-亜x+虫！, 3 3二 F x =A x =- 2,••• F （- 2,必）.【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大.第（2）问中需要分类讨论，避免 漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数 k ,增加了计算的难度，注意解题过 程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真 体会.7. （1）如图1,已知正方形ABCD 的边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上 的一个动点，求PD 丄PC 的最小值和PD-丄PC 的最大值；2 2（2） 如图2,已知正方形ABCD 的边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的 一个动点，那么PD Zpc 的最小值为_姮|_, PD-Zpc 的最大值为_亟|_.（3） 如图3,已知菱形ABCD 的边长为4,/ B=60 ,圆B 的半径为2,点P 是圆PC 的最小值为_姮—,PD - yPC 的最大值为B 上的一个动点，那么 PD+^G ,使得 BG=1 .由△PBaA CBP 推V37_.D【分析】（1）如1中，在BC 上取一点出巴=匹=丄，推出PG 丄PC,推出PCH ■丄PC=DPPG,由DP+PG> DG ,当D 、G 、 PC PB2 2 2F 共线时，PD+^PC 的值最小，最小值为DG 胡< DG,当点F 在DG 的延长线上时，DG=5;【解答】解：（1）如图1中，在BC 上取一点G ,使得BG=1.•••△ FBaA CBF• PG _BG _1 • PC ， • PG 寺 PC, • PD+丄 F C_DR PG,2 •/ DF+ PGA DG,•••当D 、G 、P 共线时，PD+^PC 的值最小，最小值为 DG 时护+32=5. 乙••• PD4 PC=P 》PG<DG，当点F 在DG 的延长线上时，PD-+ PC 的值最大（如图2中），最大值为DG=5.2+3 2=5.由 PD-专PC=PD~PGPD-丄PC 的值最大（如图2中），最大值为2（2）如图3中，在BC 上取一点G , 使得BG=4解法类似（1）;（3）如图4中，在BC 上取一点G , 使得BG=4,作DF 丄BC 于F .解法类似（1）;3中，在BC 上取一点G ,使得BG=4•••△ PBaA CBP• PG _BG _2 • PC 话帀， • PG 台PC,3••• PD+Z p C_DR PG,3 •/ DF+ PGA DG,•••当D 、G 、P 共线时，PD+#PC 的值最小，最小值为DG 吋5^+护.••• PD -ZPC=PD-P GWDG,3当点P 在DG 的延长线上时，PD-+ PC 的值最大，最大值为DG ^06 .乙故答案为五元，VTos(2)如图•喘舊•••/ PBG =/PBC(3)如图4中，在BC上取一点G,使得BG=4,作DF丄BC于F.F•••匹二些，•••/ PBG=/ PBC BG PB•••△ PBaA CBP•P G=BG=1…氏市P，•PG寺PC, ••• p D专pc=D R pG，•/ DF+ PGA DG,•••当D、G、P共线时，PD+*PC的值最小，最小值为DG, 在RtACDF中，/ DCF=60, CD=4• DF=CD?sin60 =2, CF=2在RdGDF中，DG彳。