第2讲：三角形的角及倒角模型
多边形内角和中常用倒角模型
第二讲三角形的倒角模型黑逗小可爱【要点梳理】知识点一、多边形内角和定理n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；(1((（证明过程：结论：∠1+∠2=180°+∠C（2）飞镖模型证明过程：结论：∠BOC=∠A+∠B+∠C（3）八字模型证明过程：结论：∠A+∠B=∠D+∠C精讲精练1.如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝2.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝320°，则∠6＝．3.如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A.360°B.300°C.180°D.240°4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．5.如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为()A．135°B．240°C．270°D．300°6.7.如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．模块二、三角形折叠问题解题关键：折叠前后对应角相等精讲精练1.如图把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间的数量关系保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是（）A、∠A＝∠1＋∠2B、2∠A＝∠1＋∠2C、2∠A＝2∠1＋∠2D、3∠A＝2（∠1＋∠2）2.如图，把∠ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.2∠A=∠1-∠2B.3∠A=2（∠1-∠2）C.3∠A=2∠1-∠2D.∠A=∠1-∠23.如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．通过计算我们知道：2∠A=∠1+∠2．请你继续探索：(1)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系?并说明理由。
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(解析版)
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型(基础型)条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。
8字模型(加角平分线)条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D1(2021·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．2(2023·浙江·八年级假期作业)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A+∠B=∠IJL，∠C+∠D=∠MLJ，∠H+∠K=∠GIJ，∠E+∠F=∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A+∠B=∠IJL，∠C+∠D=∠MLJ，∠H+∠K=∠GIJ，∠E+∠F=∠GML，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K=∠IJL+∠MLJ+∠GML+∠G+∠GIJ=(5-2)×180°=3×180°=540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键3(2023·山东德州·八年级校考阶段练习)如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB”，试探究∠P与∠B,∠C之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110°；②∠P=13∠B+2∠C【分析】(1)利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；(2)①根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=1 2∠B+∠C，即可求解．②根据∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，可得∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠BDC，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2∠C-∠P=∠P-∠B，即可求解．【详解】(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；(2)解：①∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②，由①-②，得：∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12∠C+∠B，∵∠B=100°,∠C=120°，∴∠P=12100°+120°=110°；②∵∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，∴∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=13∠BDC-13∠BAC=13∠BDC-∠BAC，∠P-∠B=23∠BDC-23∠BAC=2 3∠BDC-∠BAC，∴2∠C-∠P=∠P-∠B，∴∠P=13∠B+2∠C，故答案为：∠P=13∠B+2∠C．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．4(2023春·广东深圳·七年级统考期末)定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD +BC 与AB +CD 的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE =OF ，连接PE ，PF ．求证：PE =PF ；(3)如图3，在△ABC 中，AB >AC ，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB -PC >BD -CD ．【答案】(1)AD +BC >AB +CD ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】(1)根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE +BE >AB ，CE +ED >CD ，两式相加即可得出结论；(2)根据SAS 证△OEP ≌△OFP 即可得出结论；(3)在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE 交BP 于点F ，证△APE ≌△APC ，即PC =PE ，同理证CD =DE ，然后同理(1)得PB +CD >PC +BD ，变形不等式即可得出结论．【详解】(1)解：AD +BC >AB +CD ，理由如下：∵AE +BE >AB ，CE +ED >CD ，∴AE +BE +CE +ED >AB +CD ，即AD +BC >AB +CD ；(2)证明：∵OC 平分∠AOB ，∴∠EOP =∠FOP ，在△OEP 和△OFP 中，OE =OF∠EOP =∠FOP OP =OP，∴△OEP ≌△OFP SAS ，∴PE =PF ；(3)证明：在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE 交BP 于点F，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠EAP =∠CAP ，在△APE 和△APC 中，AE =AC∠EAP =∠CAP AP =AP，∴△APE ≌△APC SAS ，∴PE =PC ，同理可证DE =DC ，∵EF +PF >EP ，BF +FD >BD ，∴EF +PF +BF +FD >EP +BD ，即PB +DE >EP +BD ，∴PB +CD >PC +BD ，∴PB -PC >BD -CD ．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．5(2023春·江苏苏州·七年级校联考期中)阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论∠A +∠B =∠C +∠D ．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论∠AOC =∠A +∠C +∠P ．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，说明：∠P =12∠B +∠D ．(2)将图2看作基本图形，直接利用(1)中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠B =30°，∠D =20°，求∠P 的度数．②在图4中，AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系(直接写出结果，无需说明理由)．③在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系(直接写出结果，无需说明理由)．【答案】(1)见解析(2)①25°；②∠P =180°-12∠B +∠D ；③∠P =90°+12∠B +∠D 【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P +∠3=∠2+∠ABC ，∠P +∠1=∠4+∠ADC ，相加得到2∠P +∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC +∠ADC ，继而得到2∠P =∠ABC +∠ADC ，即可证明结论；(2)①如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，根据(1)的结论得到∠H =12∠B +∠D =25°，再由角平分线的定义和平角的定义证明∠PCH =90°，∠PAH =90°，再根据题干的结论可推出∠P =∠H =25°；②如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D ，，同理可得∠PCH =90°，∠PAH =90°，则由四边形内角和定理可得∠P =180°-12∠B +∠D ；③由题干的结论可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP ，由角平分线的定义得到∠BAP =12∠BAO ，∠BCP =12∠BCE ，再求出∠BCP =90°-12∠BCD ，由题干的结论可知∠B +∠BAO =∠D +∠BCD ，由此可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP =90°+12∠B +∠D ．【详解】(1)解：∵AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由题干的结论得：∠P +∠3=∠2+∠ABC ，∠P +∠1=∠4+∠ADC ，∴2∠P +∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC +∠ADC ，∴2∠P =∠ABC +∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC ，即∠P =12∠B +∠D ；(2)解：①如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D =25°，∵PC ，HC 分别平分∠BCE ，∠BCD ，∴∠BCP =12∠BCE ，∠BCH =12∠BCD ，∵∠BCD +∠BCE =180°∴∠BCP +∠BCH =12∠BCD +12∠BCE =90°，∴∠PCH =90°，同理可得∠PAH =90°，由题干的结论可得∠P +∠PAH =∠H +∠PCH ，∴∠P =∠H =25°；②如图所示，分作∠BAD ，∠BCD 的角平分线交于H ，由(1)的结论可知∠H =12∠B +∠D ，，同理可得∠PCH =90°，∠PAH =90°，∴∠P =360°-∠PAH -∠PCH -∠H =180°-12∠B +∠D ；③由题干的结论可得∠P =∠B +∠BAP +∠BCP ，∵AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠BAP =12∠BAO ，∠BCP =12∠BCE ，∵∠BCE =180°-∠BCD ，∴∠BCP =90°-12∠BCD ，由题干的结论可知∠B +∠BAO =∠D +∠BCD ，∴∠BAO =∠D +∠BCD -∠B ，∴∠P=∠B+∠BAP+∠BCP=∠B+12∠BAO+90°-12∠BCD=∠B+12∠D+12∠BCD-12∠B+90°-12∠BCD=90°+12∠B+∠D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
三角形中的倒角模型——飞镖模型、风筝模型以及翻角模型 学生版
初中几何专题01.三角形中的倒角模型--飞镖模型、风筝模型以及翻角模型一、模型简介近年来，各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉此类模型可以快速得到角的关系，求出所需的角，本专题就飞镖模型、风筝模型以及翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便同学们掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=12(∠A+∠C)。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=12(∠D-∠B)。
模型常用辅助线添加技巧1在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠E =72°，∠F=65°，则∠D的度数为()A.35°B.45°C.30°D.24°2封闭折线ABCDEFGA组成的“七角形”，其七个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G之和为()A.180°B.270°C.360°D.720°3请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1．∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，⋯大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
三角形倒角模型结论和证明
三角形倒角模型结论和证明1. 引言好啦，今天咱们聊聊三角形倒角模型！这个名字听起来挺高大上的，但其实说白了就是把一个三角形的角给“修整”一下，让它看起来更柔和，更圆润。
就像我们在生活中总是希望把事情搞得圆滑一点，避免那些尖锐的冲突一样，倒角模型的主要目的是为了优化、提高效率，简直是“顺其自然”的典范嘛。
接下来，我会跟大家细说这个模型的结论和证明，保证你听完后，不仅会觉得有趣，还能带点干货回家。
2. 三角形倒角模型的基本概念2.1 什么是倒角？首先，咱得弄明白啥叫“倒角”。
通俗点说，就是把三角形的角切掉，留下一个小平面。
你可以想象一下，如果你有一个三角形的饼干，把那尖尖的角削平，这样就不会刮到嘴巴，吃起来也更爽口了。
倒角的目的是为了降低尖锐的边界，给人一种更加温和、亲切的感觉。
这就像我们在社交场合中，总是希望用更柔和的方式与人交流，不让人觉得不适。
2.2 倒角的应用在很多地方，倒角都是一个关键的设计元素。
比如说，在工业设计中，很多产品的边角都是经过倒角处理的，这样既好看，又能提高安全性。
想象一下，家里的家具如果都有尖角，那可真是个安全隐患。
小孩玩耍时不小心撞到，家长可就要心疼得直叫唤了！而且，倒角还可以让产品在生产时更容易加工，减少磨损，简直是一举两得，聪明得不得了。
3. 三角形倒角模型的结论3.1 模型的结论通过对三角形倒角模型的分析，我们得出一个结论：倒角处理可以有效提升结构的稳定性，同时降低受力集中现象。
这听起来可能有点抽象，简单来说，就是给三角形的角“减负”，让它在受到外力时不容易崩溃。
就像一个团队，大家都团结一致，才能更好地面对外部挑战，毕竟“团结就是力量”嘛！3.2 生活中的反思再说说这个模型在生活中的启示吧。
我们每个人都是一座小小的三角形，在生活中不可避免地会遇到各种冲突和挑战。
如果我们能够像倒角那样，适度地“软化”自己的态度，处理问题时就会更有智慧，减少不必要的摩擦。
比如说，当朋友之间有误会时，咱不妨先放下架子，真诚沟通，总比剑拔弩张要强得多。
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。
初中数学——三角形的内外角和倒角模型
飞镖模型
A
12
D
B
34
C
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
A
D B
连接BC
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB =180°
∠DBC+∠D+ ∠DCB=180°
C
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB= ∠DBC+∠D+ ∠DCB 又∵ ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC
∠ACB= ∠ACD+ ∠DCB
∠A+∠B+∠F=∠BOF
在飞镖模型EDCO中
∠D+∠E+∠C=∠EOC
∠BOF=∠EOC=105 °(对顶角相等)
O
∴ ∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F=210°
“8”字模型
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠B+ ∠1 =180° ∠C+∠D+ ∠2=180°
∠A+∠B+ ∠1 =∠C+∠D+ ∠2
∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠BDC
飞镖模型
A
D
B
C
实现角的数量转换
飞镖模型
连接BD 在飞镖模型ABDN中 ∠A+∠ABD+∠NDB=∠AND=100 ° 在飞镖模型BDCM中 ∠C+∠BDA+∠DBM=∠CMB=130 ° ∴ ∠A+∠ABM+∠C+∠NDC=230 °
M N
在飞镖模型ABOF中
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D
三角形倒角模型2024
引言：在三维建模中，倒角模型是一种常用的技术，用于给几何体的尖锐边缘添加平滑的圆角效果。
在本文中，我们将继续探讨三角形倒角模型的相关内容。
首先我们会简要回顾前文介绍的方法，然后深入讨论另外五个方面的内容，包括：双曲线倒角、坡度倒角、螺旋倒角、圆柱倒角和体积倒角。
通过详细的阐述，我们希望读者能够更好地理解和应用这些倒角模型技术。
概述：三角形的倒角模型是指给三角形的边缘或角度添加圆角效果。
倒角模型可以使模型更显真实，同时也能够消除尖锐边缘的刺眼感。
在之前的文章中，我们介绍了一种基本的三角形倒角模型方法，即通过增加额外的顶点来切割原始三角形，然后连接这些顶点以形成圆角效果。
在本文中，我们将深入讨论更多的三角形倒角模型技术。
正文内容：1.双曲线倒角1.1定义双曲线倒角1.2双曲线倒角的计算方法1.3双曲线倒角的应用实例1.4双曲线倒角的优缺点1.5双曲线倒角与其他倒角方法的比较2.坡度倒角2.1坡度倒角的原理2.2坡度倒角的计算方法2.3坡度倒角的应用实例2.4坡度倒角的优缺点2.5坡度倒角与其他倒角方法的比较3.螺旋倒角3.1螺旋倒角的原理3.2螺旋倒角的计算方法3.3螺旋倒角的应用实例3.4螺旋倒角的优缺点3.5螺旋倒角与其他倒角方法的比较4.圆柱倒角4.1圆柱倒角的定义4.2圆柱倒角的计算方法4.3圆柱倒角的应用实例4.4圆柱倒角的优缺点4.5圆柱倒角与其他倒角方法的比较5.体积倒角5.1体积倒角的概念5.2体积倒角的计算方法5.3体积倒角的应用实例5.4体积倒角的优缺点5.5体积倒角与其他倒角方法的比较总结：通过本文的讨论，我们详细了解了五种不同的三角形倒角模型技术。
双曲线倒角、坡度倒角、螺旋倒角、圆柱倒角和体积倒角都是常用的倒角方法。
它们各自具有不同的原理、计算方法、应用实例和优缺点。
通过比较不同的倒角方法，我们可以根据具体需求选择最适合的方法来创建高质量的倒角模型。
文末400字，请将前文正文段落补足至1300字。
倒角公式证明过程
倒角公式证明过程
摘要：
一、引言
二、倒角公式的定义
三、倒角公式证明过程
1.准备阶段
2.证明阶段
3.结论阶段
四、总结
正文：
【引言】
倒角公式，作为数学中一个重要的公式，广泛应用于解决各种几何问题。
本文将详细介绍倒角公式的定义，并通过证明过程，帮助读者更好地理解和掌握这一公式。
【倒角公式的定义】
倒角公式，又称余角公式，是指在直角三角形中，两个锐角的和等于90度的关系。
用数学符号表示为：α + β = 90°，其中α和β分别表示两个锐角。
【倒角公式证明过程】
【准备阶段】
为了证明倒角公式，我们需要运用一些基本的几何知识，如三角形的性
质、角度和为180度的性质等。
【证明阶段】
1.假设在一个直角三角形ABC中，角A是锐角，角B是锐角，且角C是直角。
我们需要证明角A + 角B = 90度。
2.由于三角形ABC是直角三角形，根据三角形内角和为180度的性质，我们有角A + 角B + 角C = 180度。
3.将角C替换为90度，得到角A + 角B + 90度= 180度。
4.两边同时减去90度，得到角A + 角B = 90度。
【结论阶段】
通过以上证明过程，我们成功证明了在直角三角形中，两个锐角的和等于90度，即倒角公式成立。
【总结】
本文通过详细的证明过程，展示了倒角公式的正确性。
通过掌握这一公式，我们可以更好地解决各种几何问题。
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型(解析版)
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型图1图2图31)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．2)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3⋯⋯以此类推；结论：∠P n 的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 1(2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 内一点，且点P 到△ABC 三边的距离相等，若∠BPC =124°，则∠A =．【答案】68°【分析】由条件可知BP 、CP 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点P 到△ABC 三边的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠A =180°-(∠ABC +∠ACB )，=180°-2(∠PBC +∠PCB )=180°-2×(180°-∠BPC )=180°-2×(180°-124°)=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．2(2022·湖北十堰·八年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =a ，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是．【答案】12α-90°【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为5-2 ×180°=540°，∴∠EDC +∠BCD =540°-α，∵DP,CP分别为∠EDC、∠BCD的平分线，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12∠EDC+∠BCD=12540°-α，∴∠P=180°-12540°-α=12α-90°，故答案为：12α-90°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为n-2×180°是解题关键．3(2023·山东济南·校考模拟预测)如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC=90°+12∠ABC；(2)当∠ABC=90°时，且AO=3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．【详解】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-90°-12∠ABC，即∠AOC=90°+12∠ABC；(2)解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAO AO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD =31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12(∠DAC +∠ACF )=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°-(∠EAC +∠ECA )=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·湖北·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，若∠ABC =m °，∠ACB =n °，求∠BGC 的度数.【答案】∠BGC =12m °+n ° 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在ΔBCG 中，∠BGC =180°-12∠EBC +12∠BCF=180°-12(∠EBC +∠BCF )=180°-12(180°-∠ABC +180°-∠ACB )=180°-12(180°-m °+180°-n °)；=12m °+n ° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中)如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A =70°，则∠BDC =()A.35°B.25°C.70°D.60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD =12∠ABC ，∠DCE =12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE =∠D +∠CBD ，∠ACE =∠A +∠ABC ，然后整理求出∠D=12∠A．【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠D+∠CBD，∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠D+∠CBD=12(∠A+∠ABC)∴∠D=12∠A，∵∠A=70°，∴∠D=12×70°=35°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．7(2022秋·八年级课时练习)如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1 BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A=α，则∠A2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴1 2(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根据规律推导，∴∠A2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·成都市七年级课时练习)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1= 2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2，正确的是．(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠1)=90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．9(2023秋·广东佛山·八年级校考期末)(1)如图1所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点O，则有∠BOC=90°+12∠A，请说明理由．(2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由．(3)如图3所示，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P=12(∠C+∠D)，请说明理由．(4)如图4所示，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)∠P=12∠D+12∠C+90°【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D +∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC =y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180°-∠A÷2=90°-12∠A∴∠BOC==180°-90°-12∠A=90°+12∠A(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴∠P=12(∠C+∠D)(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y =y∴x+y=12∠D-12∠C+90°∴∠P=12∠D-12∠C+90°+∠C∴∠P=12∠D+12∠C+90°【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．10(2023·江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．(2)如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°-12∠A．(3)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°．②由②得x+y=180°-∠BOC．③把③代入①，得∠A+2180°-∠BOC=180°，即2∠BOC=180°+∠A，即∠BOC=90°+12∠A(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]，=180°-12(∠A+180°)，=90°-12∠A；(3)如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12(∠A+2∠1)，即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．2(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=12∠OAC=12(180°-∠OAB)．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=12∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-12(180°-∠OAB)-∠OAB-12∠ABO=90°-12(∠OAB+∠ABO)=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-12(∠OAB+∠ABO)．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4(2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【分析】由点O在△ABC内，且到三边的距离相等，可知O是角平分线的交点，则∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，可得∠ABC+∠ACB=120°，根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，计算求解即可．【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴O是角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴12∠ABC+12∠ACB+120°=180°，即∠ABC+∠ACB=120°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5(2022秋·四川绵阳·八年级统考期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.10°B.15°C.20°D.30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4 +∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6(2023春·福建漳州·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判断③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠CBD，故①符合题意；∵BE是边AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合题意；∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∠A，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=12∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合题意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB=180°-∠ABC+2∠ACB=180°-180°-∠A+∠ACB=∠A-∠ACB，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7(2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为．【答案】37°/37度【分析】由角平分线的性质可得EF=EH=EG，进而可证明EA是∠BAC的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E点分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于点G，作EH⊥CD于H，∵EC 是∠ACB 的平分线，EB 是∠ABD 的平分线，∴EF =EH ，EG =EH ，∴EF =EG ，∴EA 是∠BAC 的外角平分线，∵∠ACB =90°，∠BAC =16°，∴∠ACE =45°，∴∠EAB =∠FAB 2=180°-16°2=82°，∴∠AEC =180°-∠EAC +∠ACE =180°-82°+16°+45° =180°-143°=37°．故答案为：37°．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，若∠A =α，则∠A 999=．【答案】α2999【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形外角的性质可得12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，化简可得∠A 1=12∠A ，进一步找出其中的规律，即可求出∠A 999的度数．【详解】解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠ABC +∠A ，∠A 1CD =∠A 1BD +∠A 1，∴12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A =12α，同理可得：∠A 2=12∠A 1=12×12α=122α，∠A 3=122∠A 1=123α，...... 则A 999=12999∠A =α2999，故答案为：α2999．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A 1，∠A 2，∠A 3与∠A 的规律是解题的关键．9(2022秋·北京大兴·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC 的平分线与外角∠BCD 的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①∠MCD >∠MAB ；②BM =CM ；③射线BM 是∠EBC 的角平分线；④∠BMC =90°-12∠BAC ．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC．再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH．即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即说明BM= CM不成立，故②错误；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．再根据角平分线的定义即得出∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正确；如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；假设BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°-∠CBE=180°-∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假设不成立，故②错误；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．∵∠MBG=12∠CBE，∠MCG=12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD=180°-12∠CBE-12∠BCD=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则．(用含字母的代数式表示)【答案】【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=12∠BCD，∴∠PBC+∠BCP=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12360°-m°∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180°-12360°-m°=12m°故答案为：12m°．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12(∠ACB+∠ABC)=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN= 90°是关键．13(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC =12∠A +90°；理由见解析；(2)∠BOC =12∠A ；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，然后得出∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，然后根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ，最后根据∠BOC =∠OCE -∠OBC 得出答案．【详解】(1)∠BOC =12∠A +90°．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，在△BOC 中，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，又∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ．∴∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°．∴∠BOC =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ．(2)∠BOC =12∠A ．∵∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，∴∠A =∠ACE -∠ABC ，∠BOC =∠OCE -∠OBC又∵BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ．∴∠BOC =∠OCE -∠OBC =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC )=12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14(2023·北京昌平·八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A ,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC , ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)【答案】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A；(2)探究3：结论∠BOC=90°-12∠A；(3)拓展：结论∠BOC=12∠A+∠D【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；(3)同(1)的求解思路．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；(2)由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠A+∠ACB)-12(∠A+∠ABC)，=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)，=180°-12(180°+∠A)，=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．(3)∠OBC+∠OCB=12(360°-∠A-∠D)，在△BOC中，∠BOC=180°-12(360°-∠A-∠B)=12(∠A+∠D)．故答案为∠BOC=12(∠A+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=°；若∠MON=90°，则∠ACG=°；(2)若∠MON=n°，请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数．(用含n的代数式表示)．【答案】(1)60°；45°；(2)90°-12n；(3)90°-12n．【分析】(1)根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；(2)根据(1)中的结论即可求出答案；(3)根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO-∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】(1)∵∠MON+∠ABO+∠BAO=180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON=60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=60°，当∠MON=90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=45°，故答案为：60°，45°；(2)由(1)知∠ACG=12(180°-∠MON)，∵∠MON=n°，∴∠ACG=12(180°-∠MON)=90°-12n；(3)∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO-∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON=n°时∠ACG=90°-12n，∴∠BGO-∠ACF=90°-12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16(2023·山西晋城·七年级统考期末)在△ABC中，已知∠A=α．(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=70°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)(1)①125°；②90°+12α，(2)∠BFC=12α；(3)∠BMC=90°+14α【分析】(1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；(2)由三角形外角性质得∠BFC=∠FCE-∠FBC，然后结合角平分线的定义求解；(3)由折叠的对称性得∠BGC=∠BFC，结合(1)②的结论可得答案．【详解】解：(1)①∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-70°)=125°②∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．(2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠ACE，∴∠BFC=∠FCE-∠FBC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A即∠BFC=12α．(3)由轴对称性质知：∠BGC=∠BFC=12α，由(1)②可得∠BMC=90°+12∠BGC，∴∠BMC=90°+14α．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17(2023·江苏连云港·七年级统考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG 的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)ECB，ACB，ECB；(2)70°；(3)①205°；②∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°【分析】(1)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；(2)先推出∠AEC=12∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=12∠M，进而即可求解；②根据∠N= 12∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：(1)因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠ECB．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠_ACB_．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠__ECB____=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．故答案是：ECB，ACB，ECB；(2)∵∠ABC=40°，∴∠AEC=12∠ABC=20°，∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠FAC=12∠ABC+12∠CAG=12(∠ABC+∠CAG)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=12∠M，∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，∴∠M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°，∴∠N=25°，∴∠AEF+∠BFE=360°-(180°-25°)=205°；②∵∠AEF+∠BFE=360°-(180°-∠N)=180°+∠N，∠BAD+∠ADC=180°+∠M，又∵∠N=12∠M，∴∠AEF+∠BFE-180°=12(∠BAD+∠ADC-180°)，即：∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18(2023春·江苏南京·七年级期中)(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是(2)类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是，并说明理由．(3)类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．。
与三角形的角有关模型
与三角形有关的角
基础知识点回顾：
1、 三角形的内角：三角形的内角和为180°；
2、 三角形的外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
知识讲解概览：
1、“8”字模型
2、飞镖模型
3、内外角平分线模型
一、“8”字模型与飞镖模型
（1）“8”字模型
如图，线段 AB 与CD 相交于点O ，连接A 、C ，连接B 、D ，则有∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D
（2）飞镖模型
如图，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠ADC
例1：下图是一个五角星，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的大小。
例2：如下图，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE 与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H 。
求证：2∠E=∠A+∠C 。
二、内外角平分线问题
（1）内角平分线+内角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠P=90°+2
1∠A
（2）内角平分线+外角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACD 角平分线的交点，则∠P=21∠A
（3）外角平分线+外角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACB 角平分线的交点，则∠P=90°－21∠A
例3：在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，AG ⊥AE ，CG 是外角∠ACF 的平分线，若∠G －∠DAE ＝60°，则∠ACB=。
初中数学倒角知识点总结2
不可不知的倒角一、根底知识等角：角平分线，等腰三角形底角，对顶角，平行线同位角、内错角，同角、等角的余角或补角，同弧、等弧圆周角，余角〔补角〕：垂直，直角三角形，共线，平行线同旁内角，三角形内角和，外角等于内对角转换：全等三角形，相似三角形，圆周角与圆心角倒角〔1〕题目条件〔如角度，角分线，垂直，平行〕〔2〕最根本的等角〔角分线，对顶角，同角余角，〕〔2〕特殊三角形内角〔等腰三角形，直角三角形，含角的三角形〕〔3〕位置关系〔平行、垂直〕〔4〕等量转化〔相似、全等对应角，圆周角圆心角〕2方法：〔a〕路径法〔b〕计算法二、∠A=∠B的方法解析1. 路径法——倒角最根本的方法路径法的根本步骤是首先识别∠A与∠B各是上述六类角度中的哪一类角，然后利用等角或者余、补角关系，把∠A、∠B分别转化为相应的∠A1、∠B1，然后继续转化∠A1、∠B1,，如果角度无法转换，从上一步重新出发，寻找新的转换路径。
最后将转换的角度复原到题目条件中，即可完成角度相等的证明。
路径法中最重要的是〔1〕识别角度身份〔2〕寻找倒角路径路径法是倒角的根底，但具体的问题也会有倒角的具体考前须知【例一】如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ABC，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF度数【例二】如图，AB是圆O的直径，D是弧AC的中点，∠A=40°，求∠CBD的度数【分析】从所需要的∠CDF出发，需要求∠CDF的度数，只要知道∠FCD，而∠FCD可以由∠CED〔74°〕求出，∠CED由可以由∠A〔40°〕和∠ACE〔34°〕求出。
【分析】从∠CBD出发，∠CBD是圆周角，利用等弧，发现∠DBA=∠CBD。
从题目条件出发，AB是直径，∠C=90°，∠A=40°，所以∠CBA=50°，所以∠CBD=25°2. 方程法遇到如果题目中给出的角度关系与归纳的六类角度没有关系的时候，往往可以设其中一个角的度数为α，然后用α表示剩余的角度，最后通过方程求解α或角度关系【例三】△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足2∠BAD=∠C，求证：AD⊥BC错误！未找到引用源。
三角形的倒角
三角形的倒角题型一：三角形的倒角模型“飞镖模型”“8字模型”注意：飞镖和8字模型不可以直接使用，需要证明后再用．【例1】（1）如下左图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的角度．（2）如下右图，∠A=30°，∠B=45°，∠D=50°，试求∠C的角度．【例2】如图：在∠M的两边上分别取点P、点Q，在∠M内部取一点N，连接PN、QN，探索∠PNQ、∠M、∠MPN与∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论．【例3】（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．图1 图2题型二：三角形中常见倒角构图图1I为∠A、∠B平分线的交点图2E为△ABC两外角平分线的交点图3P为∠B的平分线和△ABC外角平分线的交点图4AD为∠BAC的平分线，AE为BC上的高图5E为∠ABC，∠ADC平分线的交点图6BE，DE为∠AB C和∠ADC的平分线【例4】已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：图1 图2 图3（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）（5）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．【例5】如图1，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，（1）∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P，点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？（2）如图2，若延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交OM于点C，若∠ABC、∠CAE和∠ACF的角平分线交于点G，过点G作GH⊥BE于H，判断∠AGH与∠BGC的大小关系，并说明理由．图1 图2【例6】如图，在△ABC 中，1BO 、2BO 是∠ABC 的三等分线，1CO 、2CO 是∠ACB 的三等分线，（1）当∠A =60°时，∠C BO 2=______°；（2）请你探究∠C BO 1与∠C BO 2之间的数量关系．【演练1】（1）如图∠A =30°，求∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．（2）如图1，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =____________． （3）如图2，求∠A +∠B +∠C +∠D =____________．图1 图2【演练2】将图1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图2、图3、图4．分别探究图2、图3、图4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？图1 图2 图3 图4【演练3】（1）如图①，分别在△ABC 的两个外角内部作射线BM 、CM ，相交于点P ， 则∠A +∠ABM +∠ACN +∠BPC（2）如图②，分别在△C B A ''的两个外角作射线''M B 、''N C ，相交于点'P ，探索∠'A 、∠'''M B A 、'''N C A 与∠'''C P B 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图③，分别在△C B A ''的一个内角和一个外角作射线''M B 、''N C ，相交于点'P ，探索∠'A 、∠'''M B A 、'''N C A 与∠'''C P B 之间的数量关系，并证明你的结论．图① 图② 图③【演练4】（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．图①图②图③【演练5】同学们都知道，平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种．已知AB∥CD．如图1，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，B∠D．又因为∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠（1）已知AB∥CD．如图2，点P在AB、CD内部时，上述结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；（2）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？说明理由；（3）利用第（2）小题的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．图1 图2 图3 图4。
角形的四大模型
三角形的四大模型一、三角形的重要概念和性质1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形角平分线角分线中线分面积等高直角三角形两锐角互余二、八字模型：证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D三、飞镖模型：证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C四、角分线模型：如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,试探索∠A与∠D之间的数量关系,并证明你的结论．如图,△ABC两个外角∠CAD、∠ACE的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系,并证明你的结论．题型一、三角形性质等应用1．如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了米数是A．120 B．150 C．240 D．3602．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为 cm2．3．如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影= cm2．4． A、B、C是线段A1B,B1C,C1A的中点,S△ABC的面积是1,则S△A1B1C1的面积．5．一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角1当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；2当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立直接回答3当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．题型二、八字模型应用7．1如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D；2如图2,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,①图2中共有个“8字形”；②若∠ABC=80°,∠ADC=38°,求∠P的度数；提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由．8．1求五角星的五个角之和；2求这六个角之和题型三、飞镖模型应用9．如图,已知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F,探索∠BFE与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论．10．如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED．1探究猜想：①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论．2拓展应用：如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想：∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系不要求证明．题型四、角分线模型应用11．如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数．12．如图,在△ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E,则∠BDC的度数是 A．67° B．84° C．88° D．110°第11题第12题第13题13．如图,若∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,∠ABC=50°,则∠BCD的大小为A．50° B．100° C．130° D．150°14．如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：1∠A1= ；2∠A2= ；3∠A n= ．题型五、其他应用15．已知△ABC中,∠A=60°．1如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC=°．2如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C= °．3如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1内部有n﹣1个点,求∠BO n﹣1C 用n的代数式表示．4如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1,若∠BO n﹣1C=90°,求n的值．16．我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．1请你通过画图、度量,填写右上表图画在草稿纸上,并尽量画准确2从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系,写出并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数备用图。